В математическом анализе теорема Какутани о неподвижной точке является теорема о фиксированной точке для многозначных функций. Он обеспечивает достаточные условия для многозначной функции, определенной на выпуклом, компактном подмножестве евклидова пространства, чтобы иметь фиксированная точка, то есть точка, которая отображается в набор, содержащий ее. Теорема Какутани о неподвижной точке является обобщением теоремы Брауэра о неподвижной точке. Теорема Брауэра о неподвижной точке является фундаментальным результатом топологии , который доказывает существование неподвижных точек для непрерывных функций, определенных на компактных выпуклых подмножествах евклидовых пространств. Теорема Какутани распространяет это на многозначные функции.
Теорема была разработана Шизуо Какутани в 1941 году и использовалась Джоном Нэшем в его описании равновесий по Нэшу. Впоследствии он нашел широкое применение в теории игр и экономике.
Теорема Какутани гласит:
Функция: , показанный на рисунке справа, удовлетворяет всем условиям Какутани и действительно имеет много фиксированных точек: любая точка на 45 ° Линия (пунктирная линия красного цвета), которая пересекает график функции (заштрихована серым цветом), является фиксированной точкой, поэтому на самом деле в данном конкретном случае существует бесконечное количество фиксированных точек. Например, x = 0,72 (пунктирная линия синего цвета) является фиксированной точкой, поскольку 0,72 ∈ [1 - 0,72 / 2, 1 - 0,72 / 4].
функция:
удовлетворяет всем условиям Какутани, и действительно имеет фиксированную точку: x = 0,5 - фиксированная точка, поскольку x содержится в интервале (0, 1).
Требование, чтобы φ (x) была выпуклой для всех x, является существенным для выполнения теоремы.
Рассмотрим следующую функцию, определенную на [0,1]:
Функция не имеет фиксированной точки. Хотя он удовлетворяет всем остальным требованиям теоремы Какутани, его значение не может быть выпуклым при x = 0,5.
Рассмотрим следующую функцию, определенную на [0,1]:
Функция имеет нет фиксированной точки. Хотя он удовлетворяет всем остальным требованиям теоремы Какутани, его график не замкнут; например, рассмотрим последовательности x n = 0,5 - 1 / n, y n = 3/4.
В некоторых источниках, включая оригинальную статью Какутани, используется концепция верхней полунепрерывности при формулировании теоремы:
Это утверждение теоремы Какутани полностью эквивалентно утверждению, данному в начале статьи.
Мы можем показать это, используя теорему о замкнутом графике для многозначных функций, которая гласит, что для компактного хаусдорфова пространства диапазонов Y многозначная функция φ: X → 2 имеет замкнутый граф тогда и только тогда, когда он полунепрерывен сверху и φ (x) является замкнутым множеством для всех x. Поскольку все евклидовы пространства хаусдорфовы (будучи метрическими пространствами ) и φ требуется, чтобы в альтернативном утверждении теоремы Какутани было замкнутозначно, из теоремы о замкнутом графе следует, что два утверждения эквивалентны.
Теорема Какутани о неподвижной точке может использоваться для доказательства теоремы о минимаксе в теории с нулевой суммой. игры. Это приложение было специально обсуждено в оригинальной статье Какутани.
Математик Джон Нэш использовал теорему Какутани о неподвижной точке, чтобы доказать главный результат в теории игр. Неформально сформулированная теорема подразумевает существование равновесия по Нэшу в любой конечной игре со смешанными стратегиями для любого числа игроков. Позже эта работа принесла ему Нобелевскую премию по экономике. В этом случае:
В теории общего равновесия в экономике теорема Какутани использовалась для доказательства существования набора цен, которые одновременно уравновешивают предложение со спросом на всех рынках экономики. Существование таких цен было открытым вопросом в экономике, по крайней мере, еще со времен Вальраса. Первое доказательство этого результата было построено Лайонелом Маккензи.
. В этом случае:
Теорема Какутани о фиксированной точке используется для доказательства существования распределения тортов, которое оба свободны от зависти и эффективны по Парето. Этот результат известен как теорема Веллера.
Доказательство теоремы Какутани является самым простым для многозначных функций, определенных более отрезки реальной линии. Однако доказательство этого случая поучительно, поскольку его общая стратегия может быть перенесена и на многомерный случай.
Пусть φ: [0,1] → 2 - многозначная функция на отрезке [0,1], удовлетворяющая условиям теоремы Какутани о неподвижной точке.
Пусть (a i, b i, p i, q i) для i = 0, 1,… быть последовательностью со следующими свойствами:
1. | 1 ≥ b i>ai≥ 0 | 2. | (bi- a i) ≤ 2 |
3. | pi∈ φ (a i) | 4. | qi∈ φ (b i) |
5. | pi≥ a i | 6. | qi≤ b i |
Таким образом, отрезки [a i, b i ] образуют последовательность подынтервалов в [0,1]. Условие (2) говорит нам, что эти подынтервалы продолжают уменьшаться, в то время как условия (3) - (6) говорят нам, что функция φ сдвигает левый конец каждого подынтервала вправо и сдвигает правый конец каждого подынтервала влево.
Такую последовательность можно построить следующим образом. Пусть a 0 = 0 и b 0 = 1. Пусть p 0 - любая точка в φ (0), а q 0 - любая точка в φ (1). Тогда условия (1) - (4) немедленно выполняются. Более того, поскольку p 0 ∈ φ (0) ⊂ [0,1], должно быть так, что p 0 ≥ 0 следовательно, условие (5) выполнено. Аналогично условие (6) i s выполняется q 0.
Теперь предположим, что мы выбрали a k, b k, p k и q k, удовлетворяющие (1) - (6). Пусть
Тогда m ∈ [0,1], потому что [0,1] выпукло.
Если существует ar ∈ φ (m) такое, что r ≥ m, тогда возьмем,
В противном случае, поскольку φ (m) непусто, должно быть as ∈ φ (m) такое, что s ≤ m. В этом случае пусть
Можно проверить, что a k + 1, b k + 1, p k + 1 и q k + 1 удовлетворяют условиям (1) - (6).
декартово произведение [0,1] × [0,1] × [0,1] × [0,1] - это компакт по теореме Тихонова. Поскольку последовательность (a n, p n, b n, q n) лежит в этом компактном множестве, она должна иметь сходящаяся подпоследовательность по теореме Больцано-Вейерштрасса. Зафиксируем внимание на такой подпоследовательности и пусть ее предел будет (a *, p *, b *, q *). Поскольку график φ замкнут, должно быть, что p * ∈ φ (a *) и q * ∈ φ (b *). Кроме того, по условию (5) p * ≥ a * и по условию (6) q * ≤ b *.
Но поскольку (b i - a i) ≤ 2 по условию (2),
Итак, b * равно a *. Пусть x = b * = a *.
Тогда имеем ситуацию, что
Если p * = q *, тогда p * = x = q *. Поскольку p * ∈ φ (x), x - неподвижная точка φ.
В противном случае мы можем написать следующее. Напомним, что мы можем параметризовать линию между двумя точками a и b как (1-t) a + tb. Используя наш вывод выше, q
еще раз следует, что x должен принадлежать φ (x), поскольку p * и q * делают и, следовательно, x - неподвижная точка φ.
В размерах больше единицы, n-симплексы являются простейшими объектами, на которых может быть доказана теорема Какутани. Неформально n-симплекс - это многомерная версия треугольника. Доказательство теоремы Какутани для многозначной функции, определенной на симплексе, по существу не отличается от ее доказательства для интервалов. Дополнительная сложность в многомерном случае существует на первом этапе разделения домена на более мелкие части:
После того, как эти изменения были внесены в первый шаг, второй и третий шаги поиска предельной точки и доказательства того, что это фиксированная точка, практически не отличаются от одномерного случая.
Теорема Какутани для n-симплексов может быть использована для доказательства теоремы для произвольного компактного выпуклого S. Мы снова используем ту же технику для создания все более тонких подразделений. Но вместо треугольников с прямыми краями, как в случае n-симплексов, мы теперь используем треугольники с изогнутыми краями. Формально мы находим симплекс, который покрывает S, а затем перемещаем задачу из S в симплекс, используя деформационный ретракт . Тогда мы можем применить уже установленный результат для n-симплексов.
Теорема Какутани о неподвижной точке была распространена на бесконечномерные локально выпуклые топологические векторные пространства и Ки Фаном. Чтобы сформулировать теорему в этом случае, нам потребуется еще несколько определений:
Тогда отображение Какутани – Гликксберга –Теорема вентилятора может быть сформулирована как:
Соответствующим результатом для однозначных функций является теорема Тихонова о неподвижной точке.
Существует еще одна версия, что формулировка теоремы становится такой же, как в Евклидов случай:
В своем учебнике теории игр Кен Бинмор вспоминает, что Какутани однажды спросил его на конференции, почему так много экономистов посетили его выступление. Когда Бинмор сказал ему, что это, вероятно, из-за теоремы Какутани о неподвижной точке, Какутани был озадачен и ответил: "Что такое теорема Какутани о неподвижной точке?"