Инвариант Arf

редактировать

Arf и формула для инварианта Arf появляются на обратной стороне купюры 2009 турецких 10 лир

In математика, Arf-инвариант неособой квадратичной формы в поле характеристики 2 был определен как Турецкий математик Кахит Арф (1941), когда он начал систематическое изучение квадратичных форм над произвольными полями характеристики 2. Инвариант Арфа равен замена в характеристике 2 дискриминанта для квадратичных форм в характеристике not 2. Арф использовал свой инвариант, среди прочего, в попытках классифицировать квадратичные формы в характеристике 2.

В В частном случае двухэлементного поля F2 инвариант Arf можно описать как элемент F2, который чаще всего встречается среди значений формы. Две неособые квадратичные формы над F2изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую размерность и один и тот же инвариант Arf. Этот факт был по существу известен Леонарду Диксону (1901) даже для любого конечного поля характеристики 2, и Арф доказал его для произвольного совершенного поля.

. инвариант, в частности, применяется в геометрической топологии, где он в основном используется для определения инварианта (4k + 2) -мерных многообразий (однократно четных -мерных многообразий : поверхности (2-многообразия), 6-многообразия, 10-многообразия и т. Д.) С определенной дополнительной структурой, называемой оснащением, и, следовательно, инвариантом Арфа – Кервера и Arf-инвариант узла. Инвариант Арфа аналогичен сигнатуре многообразия, которая определена для 4k-мерных многообразий (дважды четных -мерных); эта 4-кратная периодичность соответствует 4-кратной периодичности L-теории. Инвариант Арфа может быть определен и в более общем виде для некоторых 2k-мерных многообразий.

Содержание

1 Определения
2 Основные результаты Arf
3 Квадратичные формы над F 2
4 Инвариант Arf в топологии
- 4.1 Примеры
5 См. Также
6 Примечания
7 Ссылки
8 Дополнительная литература

Определения

Инвариант Arf определен для квадратичной формы q над полем K характеристики 2, так что q неособое, в в том смысле, что связанная билинейная форма $b (u, v) = q (u + v) - q (u) - q (v) {\ displaystyle b (u, v) = q (u + v) - q (u) -q (v)}$ ${\ displaystyle b (u, v) = q (u + v) -q (u) -q (v)}$ является невырожденным. Форма $b {\ displaystyle b}$ $b$ является чередующимся, поскольку K имеет характеристику 2; отсюда следует, что неособая квадратичная форма характеристики 2 должна иметь четную размерность. Любая двоичная (двумерная) невырожденная квадратичная форма над K эквивалентна форме $q (x, y) = ax 2 + xy + by 2 {\ displaystyle q (x, y) = ax ^ {2} + xy + by ^ {2}}$ ${\ displaystyle q (x, y) = ax ^ {2} + xy + by ^ {2}}$ с $a, b {\ displaystyle a, b}$ $a, b$ в K. Инвариант Arf определяется как произведение $ab {\ displaystyle ab}$ $ab$ . Если форма $q '(x, y) = a' x 2 + xy + b 'y 2 {\ displaystyle q' (x, y) = a'x ^ {2} + xy + b'y ^ {2}}$ $q'(x,y)=a'x^{2}+xy+b'y^{2}$ эквивалентно $q (x, y) {\ displaystyle q (x, y)}$ $q (x, y)$ , тогда продукты $ab {\ displaystyle ab }$ $ab$ и $a ′ b ′ {\ displaystyle a'b '}$ $a'b'$ отличаются элементом формы $u 2 + u {\ displaystyle u ^ {2 } + u}$ $u^{2}+u$ с $u {\ displaystyle u}$ $u$ в K. Эти элементы образуют аддитивную подгруппу U группы K. Следовательно, смежный класс $ab {\ displaystyle ab}$ $ab$ по модулю U является инвариантом $q {\ displaystyle q}$ $q$ , что означает, что он не изменяется, когда $q {\ displaystyle q}$ $q$ заменяется эквивалентной формой.

Каждая неособая квадратичная форма $q {\ displaystyle q}$ $q$ над K эквивалентна прямой сумме $q = q 1 +… + qr {\ displaystyle q = q_ {1} + \ ldots + q_ {r}}$ $q = q_1 + \ ldots + q_r$ невырожденных двоичных форм. Это было показано Арфом, но ранее это наблюдалось Диксоном в случае конечных полей характеристики 2. Инвариант Арфа Arf ( $q {\ displaystyle q}$ $q$ ) определяется как сумма инвариантов Arf элемента $qi {\ displaystyle q_ {i}}$ $q_ {i}$ . По определению, это смежный класс K по модулю U. Arf показал, что действительно Arf ( $q {\ displaystyle q}$ $q$ ) не изменяется, если $q {\ displaystyle q}$ $q$ заменяется эквивалентной квадратичной формой, что означает, что он является инвариантом $q {\ displaystyle q}$ $q$ .

Инвариант Arf является аддитивным; другими словами, Arf-инвариант ортогональной суммы двух квадратичных форм есть сумма их Arf-инвариантов.

Для поля K характеристики 2, теория Артина-Шрайера идентифицирует фактор-группу поля K по подгруппе U, указанной выше, с группой когомологий Галуа H (K, F2). Другими словами, ненулевые элементы K / U находятся во взаимно однозначном соответствии с сепарабельными полями квадратичного расширения K. Таким образом, Arf-инвариант невырожденной квадратичной формы над K либо равен нулю, либо он описывает сепарабельное квадратичное поле расширения K. Это аналогично дискриминанту невырожденной квадратичной формы над полем F характеристики не 2. В этом случае дискриминант принимает значения в F / (F), которые можно отождествить с H (F, F2) по теории Куммера.

Основные результаты Арфа

Если поле K совершенно, то каждая неособая квадратичная форма над K однозначно (с точностью до эквивалентности) определяется своей размерностью и его инвариант Arf. В частности, это относится к полю F2. В этом случае указанная выше подгруппа U равна нулю, и, следовательно, инвариант Arf является элементом базового поля F2; либо 0, либо 1.

Если поле K характеристики 2 не является совершенным (то есть K отличается от своего подполя квадратов K), то алгебра Клиффорда является другой важный инвариант квадратичной формы. Исправленная версия первоначального утверждения Арфа состоит в том, что если степень [K: K] не превосходит 2, то каждая квадратичная форма над K полностью характеризуется своей размерностью, ее инвариантом Арфа и своей алгеброй Клиффорда. Примерами таких полей являются функциональные поля (или поля степенного ряда ) одной переменной над полями идеальной основы.

Квадратичные формы по F 2

По F2инвариант Arf равен 0, если квадратичная форма эквивалентна прямой сумме копий двоичной формы $xy {\ displaystyle xy}$ $ху$ , и он равен 1, если форма представляет собой прямую сумму $x 2 + xy + y 2 {\ displaystyle x ^ {2} + xy + y ^ {2}}$ $x ^ {2} + xy + y ^ {2}$ с несколькими копиями $xy {\ displaystyle xy}$ $ху$ .

Уильям Браудер назвал инвариант Арфа демократическим инвариантом, потому что это значение, которое чаще всего принимается квадратичной формой. Другая характеристика: q имеет Arf-инвариант 0 тогда и только тогда, когда лежащее в основе 2k-мерное векторное пространство над полем F2имеет k-мерное подпространство, на котором q тождественно 0, то есть полностью изотропно подпространство половинной размерности. Другими словами, неособая квадратичная форма размерности 2k имеет Arf-инвариант 0 тогда и только тогда, когда ее индекс изотропии равен k (это максимальная размерность полностью изотропного подпространства невырожденной формы).

Инвариант Arf в топологии

Пусть M - компактное, связанное 2k-мерное многообразие с границей $∂ M {\ displaystyle \ partial M}$ $\ partial M$ такой, что индуцированные морфизмы в $Z 2 {\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {2}}$ $\ mathbb {Z} _ {2}$ -коэффициент гомологии

ЧАС К (М, ∂ M; Z 2) → ЧАС К - 1 (∂ M; Z 2), ЧАС К (∂ M; Z 2) → ЧАС К (M; Z 2) {\ Displaystyle H_ { k} (M, \ partial M; \ mathbb {Z} _ {2}) \ to H_ {k-1} (\ partial M; \ mathbb {Z} _ {2}), \ quad H_ {k} ( \ partial M; \ mathbb {Z} _ {2}) \ to H_ {k} (M; \ mathbb {Z} _ {2})}

{\ displaystyle H_ {k} (M, \ partial M; \ mathbb {Z} _ {2}) \ to H_ {k-1 } (\ partial M; \ mathbb {Z} _ {2}), \ quad H_ {k} (\ partial M; \ mathbb {Z} _ {2}) \ to H_ {k} (M; \ mathbb { Z} _ {2})}

оба равны нулю (например, если $M {\ displaystyle M}$ $M$ закрыт). Форма пересечения

λ: H k (M; Z 2) × H k (M; Z 2) → Z 2 {\ displaystyle \ lambda: H_ {k} (M; \ mathbb {Z} _ {2}) \ times H_ {k} (M; \ mathbb {Z} _ {2}) \ to \ mathbb {Z} _ {2}}

{\ displaystyle \ lambda: H_ {k} (M; \ mathbb {Z} _ {2}) \ times H_ {к} (М; \ mathbb {Z} _ {2}) \ to \ mathbb {Z} _ {2}}

неособое число. (Топологи обычно пишут F2как $Z 2 {\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {2}}$ $\ mathbb {Z} _ {2}$ .) Квадратичное уточнение для $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ - функция $μ: H k (M; Z 2) → Z 2 {\ displaystyle \ mu: H_ {k} (M; \ mathbb {Z} _ {2 }) \ to \ mathbb {Z} _ {2}}$ ${\ displaystyle \ mu: H_ {k} (M; \ mathbb {Z} _ {2}) \ to \ mathbb {Z} _ {2}}$ , который удовлетворяет

μ (x + y) + μ (x) + μ (y) ≡ λ (x, y) (mod 2) ∀ Икс, Y ∈ ЧАС К (М; Z 2) {\ Displaystyle \ му (х + у) + \ му (х) + \ му (у) \ эквив \ лямбда (х, у) {\ pmod { 2}} \; \ forall \, x, y \ in H_ {k} (M; \ mathbb {Z} _ {2})}

{\ Displaystyle \ му (х + Y) + \ му (х) + \ му (у) \ эквив \ лямбда (х, у) {\ pmod {2}} \; \ forall \, х, у \ в H_ {k} (M; \ mathbb {Z} _ {2})}

Пусть ${x, y} {\ displaystyle \ {x, y \}}$ $\ {x, y \}$ - любое двумерное подпространство в $H k (M; Z 2) {\ displaystyle H_ {k} (M; \ mathbb {Z} _ {2})}$ ${\ displaystyle H_ {k} ( M; \ mathbb {Z} _ {2})}$ , такое, что $λ (x, y) = 1 {\ displaystyle \ lambda (x, y) = 1}$ $\ lambda (x, y) = 1$ . Тогда есть две возможности. Либо все из $μ (x + y), μ (x), μ (y) {\ displaystyle \ mu (x + y), \ mu (x), \ mu (y)}$ $\ mu (x + y), \ mu (x), \ mu (y)$ равны 1, иначе только один из них равен 1, а два других равны 0. Назовите первый случай $H 1, 1 {\ displaystyle H ^ {1,1}}$ $H^{{1,1}}$ и второй случай $H 0, 0 {\ displaystyle H ^ {0,0}}$ $H ^ {{0,0}}$ . Поскольку каждая форма эквивалентна симплектической форме, мы всегда можем найти подпространства ${x, y} {\ displaystyle \ {x, y \}}$ $\ {x, y \}$ , где x и y равны $λ { \ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ -dual. Таким образом, мы можем разделить $H k (M; Z 2) {\ displaystyle H_ {k} (M; \ mathbb {Z} _ {2})}$ ${\ displaystyle H_ {k} ( M; \ mathbb {Z} _ {2})}$ на прямую сумму подпространств, изоморфных либо $H 0, 0 {\ displaystyle H ^ {0,0}}$ $H ^ {{0,0}}$ , либо $H 1, 1 {\ displaystyle H ^ {1,1}}$ $H^{{1,1}}$ . Кроме того, за счет хитроумного изменения основы $H 0, 0 ⊕ H 0, 0 ≅ H 1, 1 ⊕ H 1, 1. {\ displaystyle H ^ {0,0} \ oplus H ^ {0,0} \ cong H ^ {1,1} \ oplus H ^ {1,1}.}$ ${\ displaystyle H ^ {0,0} \ oplus H ^ {0,0} \ cong H ^ {1,1} \ oplus H ^ {1,1}.}$ Поэтому мы определяем Arf инвариант

A rf (ЧАС К (M; Z 2); μ) {\ displaystyle Arf (H_ {k} (M; \ mathbb {Z} _ {2}); \ mu)}

{\ displaystyle Arf (H_ {k} ( M; \ mathbb {Z} _ {2}); \ mu)}

= (количество копий

H 1, 1 {\ displaystyle H ^ {1,1}}

H^{{1,1}}

в модуле разложения 2)

∈ Z 2 {\ displaystyle \ in \ mathbb {Z} _ {2}}

{\ displaystyle \ in \ mathbb {Z} _ {2}}

Примеры

Пусть $M {\ displaystyle M}$ $M$ будет компактным, связанным, ориентированным двумерным многообразие, то есть поверхность, рода $g {\ displaystyle g}$ $g$ такая, что граница $∂ M {\ displaystyle \ partial M}$ $\ partial M$ либо пусто, либо подключено. Вставить $M {\ displaystyle M}$ $M$ в $S m {\ displaystyle S ^ {m}}$ $S ^ {m}$ , где $m ≥ 4 {\ displaystyle m \ geq 4}$ $m \ geq 4$ . Выберите оснащение M, которое является тривиализацией нормального (m-2) -плоскостного векторного расслоения. (Это возможно для $m = 3 {\ displaystyle m = 3}$ $m = 3$ , поэтому, безусловно, возможно для $m ≥ 4 {\ displaystyle m \ geq 4}$ $m \ geq 4$ ). Выберите симплектический базис $x 1, x 2,…, x 2 g - 1, x 2 g {\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {2g- 1}, x_ {2g}}$ ${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {2g-1}, x_ {2g}}$ для $H 1 (M) = Z 2 g {\ displaystyle H_ {1} (M) = \ mathbb {Z} ^ {2g}}$ ${\ displaystyle H_ {1} (M) = \ mathbb {Z} ^ {2g}}$ . Каждый базовый элемент представлен вложенным кругом $x i: S 1 ⊂ M {\ displaystyle x_ {i}: S ^ {1} \ subset M}$ $x_ {i}: S ^ {1} \ subset M$ . Нормальная (m-1) -плоскость векторное расслоение из $S 1 ⊂ M ⊂ S m {\ displaystyle S ^ {1} \ subset M \ subset S ^ {m}}$ $S ^ {1} \ subset M \ subset S ^ { m}$ имеет две тривиализации, одна из которых определяется стандартным обрамлением стандартного вложения $S 1 ⊂ S m {\ displaystyle S ^ {1} \ subset S ^ {m}}$ $S ^ {1} \ subset S ^ {m}$ и один определяется обрамлением M, которые отличаются отображением $S 1 → SO (m - 1) {\ displaystyle S ^ {1} \ to SO (m-1)}$ $S ^ {1} \ в SO (m-1)$ ie элемент $π 1 (SO (m - 1)) ≅ Z 2 {\ displaystyle \ pi _ {1} (SO (m-1)) \ cong \ mathbb {Z} _ {2}}$ ${\ displaystyle \ pi _ {1} (SO (m-1)) \ cong \ mathbb {Z} _ {2}}$ для $m ≥ 4 {\ displaystyle m \ geq 4}$ $m \ geq 4$ . Это также можно рассматривать как класс оснащенных кобордизмов $S 1 {\ displaystyle S ^ {1}}$ $S ^ {1}$ с этим оснащением в одномерной группе оснащенных кобордизмов $Ω 1, оснащенных π м (S м - 1) (м ≥ 4) ≅ Z 2 {\ displaystyle \ Omega _ {1} ^ {framed} \ cong \ pi _ {m} (S ^ {m-1}) \, (m \ geq 4) \ cong \ mathbb {Z} _ {2}}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {1} ^ {framed} \ cong \ pi _ {m } (S ^ {m-1}) \, (m \ geq 4) \ cong \ mathbb {Z} _ {2}}$ , который создается кругом $S 1 {\ displaystyle S ^ {1}}$ $S ^ {1}$ с Формирование группы Ли. Изоморфизм здесь осуществляется с помощью конструкции Понтрягина-Тома. Определите $μ (x) ∈ Z 2 {\ displaystyle \ mu (x) \ in \ mathbb {Z} _ {2}}$ ${\ displaystyle \ mu (x) \ in \ mathbb {Z} _ {2}}$ как этот элемент. Теперь определен Arf-инвариант оснащенной поверхности

Φ (M) = A rf (H 1 (M, ∂ M; Z 2); μ) ∈ Z 2 {\ displaystyle \ Phi (M) = Arf (H_ {1} (M, \ partial M; \ mathbb {Z} _ {2}); \ mu) \ in \ mathbb {Z} _ {2}}

{\ displaystyle \ Phi ( M) = Arf (H_ {1} (M, \ partial M; \ mathbb {Z} _ {2}); \ mu) \ in \ mathbb {Z} _ {2}}

Обратите внимание, что

π 1 (SO (2)) ≅ Z, {\ displaystyle \ pi _ {1} (SO (2)) \ cong \ mathbb {Z},}

{\ displaystyle \ pi _ {1} (SO (2)) \ cong \ mathbb {Z},}

, поэтому нам пришлось стабилизировать, взяв

m {\ displaystyle m }

m

должно быть не менее 4, чтобы получить элемент

Z 2 {\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {2}}

\ mathbb {Z} _ {2}

. Случай

m = 3 {\ displaystyle m = 3}

m = 3

также допустим, если мы берем вычет по модулю 2 оснащения.

Инвариант Arf $Φ (M) {\ displaystyle \ Phi (M)}$ $\ Phi (M)$ оснащенной поверхности определяет, существует ли 3-многообразие, граница которого является данной поверхностью, продолжающей данное оснащение. Это потому, что $H 1, 1 {\ displaystyle H ^ {1,1}}$ $H^{{1,1}}$ не привязан. $H 1, 1 {\ displaystyle H ^ {1,1}}$ $H^{{1,1}}$ представляет тор $T 2 {\ displaystyle T ^ {2}}$ $T ^ {2}$ с тривиализацией на обоих генераторах $H 1 (T 2; Z 2) {\ displaystyle H_ {1} (T ^ {2}; \ mathbb {Z} _ {2})}$ ${\ displaystyle H_ {1} (T ^ {2}; \ mathbb {Z} _ {2})}$ , который скручивает нечетное количество раз. Ключевым фактом является то, что с точностью до гомотопии есть два варианта тривиализации тривиального трехплоскостного расслоения над окружностью, соответствующего двум элементам $π 1 (SO (3)) {\ displaystyle \ pi _ {1 } (SO (3))}$ $\ pi _ {1} (SO (3))$ . Нечетное количество скручиваний, известное как обрамление группы Ли, не распространяется на диск, в то время как четное количество скручиваний распространяется. (Обратите внимание, что это соответствует помещению спиновой структуры на нашу поверхность.) Понтрягин использовал инвариант Арфа для оснащенных поверхностей для вычисления группы двумерных оснащенных кобордизмов $Ω 2 в рамке ≅ π m (S m - 2) (m ≥ 4) ≅ Z 2 {\ displaystyle \ Omega _ {2} ^ {framed} \ cong \ pi _ {m} (S ^ {m- 2}) \, (m \ geq 4) \ cong \ mathbb {Z} _ {2}}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {2} ^ {framed} \ cong \ pi _ {m} (S ^ {m-2}) \, ( м \ geq 4) \ cong \ mathbb {Z} _ {2}}$ , который генерируется torus $T 2 {\ displaystyle T ^ {2}}$ $T ^ {2}$ с оснащением группы Ли. Изоморфизм здесь осуществляется с помощью конструкции Понтрягина-Тома.

Пусть $(M 2, ∂ M) ⊂ S 3 {\ displaystyle (M ^ {2}, \ partial M) \ subset S ^ {3 }}$ $(M ^ {2}, \ partial M) \ subset S ^ {3}$ быть поверхностью Зейферта для узла, $∂ M = K: S 1 ↪ S 3 {\ displaystyle \ partial M = K: S ^ {1} \ hookrightarrow S ^ {3}}$ ${\ displaystyle \ partial M = K: S ^ {1} \ hookrightarrow S ^ {3}}$ , который может быть представлен как диск $D 2 {\ displaystyle D ^ {2}}$ $D^{2}$ с прикрепленными полосами. Полосы обычно скручиваются и завязываются узлами. Каждая полоса соответствует генератору $x ∈ H 1 (M; Z 2) {\ displaystyle x \ in H_ {1} (M; \ mathbb {Z} _ {2})}$ ${\ displaystyle x \ in H_ {1} (M; \ mathbb {Z} _ {2})}$ . $x {\ displaystyle x}$ $x$ можно представить в виде круга, пересекающего одну из полос. Определите $μ (x) {\ displaystyle \ mu (x)}$ $\ му (х)$ как количество полных поворотов в полосе по модулю 2. Предположим, мы положили $S 3 {\ displaystyle S ^ { 3}}$ $S ^ {3}$ bound $D 4 {\ displaystyle D ^ {4}}$ $D ^ {4}$ и нажмите th e Поверхность Зейферта $M {\ displaystyle M}$ $M$ в $D 4 {\ displaystyle D ^ {4}}$ $D ^ {4}$ , так что ее граница по-прежнему находится в $S 3 {\ Displaystyle S ^ {3}}$ $S ^ {3}$ . Вокруг любого генератора $x ∈ H 1 (M, ∂ M) {\ displaystyle x \ in H_ {1} (M, \ partial M)}$ $x \ in H_ {1} (M, \ partial M)$ теперь у нас есть тривиальная нормальная 3-плоскость векторный пучок. Упростите его, используя тривиальное оснащение нормального пакета вложением $M ↪ D 4 {\ displaystyle M \ hookrightarrow D ^ {4}}$ $M \ hookrightarrow D ^ {4}$ для двух требуемых разделов. Для третьего выберите сечение, которое остается нормальным к $x {\ displaystyle x}$ $x$ , но всегда остается касательным к $M {\ displaystyle M}$ $M$ . Эта тривиализация снова определяет элемент $π 1 (SO (3)) {\ displaystyle \ pi _ {1} (SO (3))}$ $\ pi _ {1} (SO (3))$ , который мы принимаем равным $μ (Икс) {\ Displaystyle \ му (х)}$ $\ му (х)$ . Обратите внимание, что это совпадает с предыдущим определением $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ .

. Arf-инвариант узла определяется через его поверхность Зейферта. Это не зависит от выбора поверхности Зейферта (базовое хирургическое изменение S-эквивалентности, добавление / удаление трубки, добавление / удаление $H 0, 0 {\ displaystyle H ^ {0,0}}$ $H ^ {{0,0}}$ прямое слагаемое), а также инвариант узла . Он является аддитивным по отношению к связанной сумме и исчезает на узлах среза, поэтому является инвариантом согласования узлов .

Форма пересечения на (2k + 1) -мерном $Z 2 {\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {2}}$ $\ mathbb {Z} _ {2}$ -комологию коэффициентов $H 2 k + 1 (M; Z 2) {\ displaystyle H_ {2k + 1} (M; \ mathbb {Z} _ {2})}$ ${\ displaystyle H_ {2k + 1} (M; \ mathbb {Z} _ {2})}$ оснащенного (4k + 2) -мерного многообразия M имеет квадратичное уточнение $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ , которое зависит от кадрирования. Для $k ≠ 0, 1, 3 {\ displaystyle k \ neq 0,1,3}$ $k \ neq 0,1,3$ и $x ∈ H 2 k + 1 (M; Z 2) {\ displaystyle x \ in H_ {2k + 1} (M; \ mathbb {Z} _ {2})}$ ${\ displaystyle x \ in H_ {2k + 1} (M; \ mathbb {Z} _ {2})}$ , представленное вложением $x: S 2 k + 1 ⊂ M {\ displaystyle x \ двоеточие S ^ {2k + 1} \ subset M}$ ${\ displaystyle x \ двоеточие S ^ {2k + 1} \ subset M}$ значение $μ (x) ∈ Z 2 {\ displaystyle \ mu (x) \ in \ mathbb {Z} _ {2}}$ ${\ displaystyle \ mu (x) \ in \ mathbb {Z} _ {2}}$ равно 0 или 1, в зависимости от обычного набора $x {\ displaystyle x}$ $x$ является тривиальным или нет. Инвариант Кервера оснащенного (4k + 2) -мерного многообразия M является инвариантом Арфа квадратичного уточнения $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ на $H 2 к + 1 (M; Z 2) {\ displaystyle H_ {2k + 1} (M; \ mathbb {Z} _ {2})}$ ${\ displaystyle H_ {2k + 1} (M; \ mathbb {Z} _ {2})}$ . Инвариант Кервера - это гомоморфизм $π 4 k + 2 S → Z 2 {\ displaystyle \ pi _ {4k + 2} ^ {S} \ to \ mathbb {Z} _ {2}}$ ${\ displaystyle \ pi _ {4k + 2} ^ {S} \ to \ mathbb {Z} _ {2}}$ на (4k + 2) -мерной стабильной гомотопической группе сфер. Инвариант Кервера также может быть определен для (4k + 2) -мерного многообразия M, оснащенного кроме точки.

В теории хирургии для любого $4 k + 2 {\ displaystyle 4k + 2}$ $4k + 2$ -мерная карта нормалей $(f, b): M → X {\ displaystyle (f, b): M \ to X}$ $(f, b): M \ to X$ определено неособая квадратичная форма $(K 2 k + 1 (M; Z 2), μ) {\ displaystyle (K_ {2k + 1} (M; \ mathbb {Z} _ {2}), \ mu)}$ ${\ displaystyle (K_ {2k + 1} (M; \ mathbb {Z} _ {2}), \ mu)}$ на $Z 2 {\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {2}}$ $\ mathbb {Z} _ {2}$ ядро гомологии с коэффициентами

K 2 k + 1 (M; Z 2) знак равно ker (е *: ЧАС 2 К + 1 (M; Z 2) → H 2 K + 1 (X; Z 2)) {\ Displaystyle K_ {2k + 1} (M; \ mathbb {Z} _ {2 }) = ker (f _ {*}: H_ {2k + 1} (M; \ mathbb {Z} _ {2}) \ to H_ {2k + 1} (X; \ mathbb {Z} _ {2}))}

{\ displaystyle K_ {2k + 1} (M; \ mathbb {Z } _ {2}) = ker (f _ {*}: H_ {2k + 1} (M; \ ma thbb {Z} _ {2}) \ к H_ {2k + 1} (X; \ mathbb {Z} _ {2}))}

уточнение формы гомологического пересечения

λ {\ displaystyle \ lambda}

\ lambda

. Инвариант Arf этой формы - это инвариант Кервера для (f, b). В частном случае

X = S 4 k + 2 {\ displaystyle X = S ^ {4k + 2}}

X=S^{{4k+2}}

это инвариант Кервера M. Инвариант Кервера особенности в классификации экзотических сфер Мишелем Кервером и Джоном Милнором, и в более общем плане в классификации многообразий теорией хирургии. Уильям Браудер определил

μ {\ displaystyle \ mu}

\ mu

, используя функциональные квадраты Стинрода и C. Т. К. Уолл определил

μ {\ displaystyle \ mu}

\ mu

, используя погружения в рамке. Квадратичное усиление

μ (x) {\ displaystyle \ mu (x)}

\ му (х)

существенно предоставляет больше информации, чем

λ (x, x) {\ displaystyle \ lambda (x, x)}

\ lambda (x, x)

: убить x хирургическим путем можно тогда и только тогда, когда

μ (x) = 0 {\ displaystyle \ mu (x) = 0}

\ mu (x) = 0

. Соответствующий инвариант Кервера обнаруживает обструкцию операции

(f, b) {\ displaystyle (f, b)}

(f, б)

в L- группе

L 4 k + 2 (Z) = Z 2 {\ displaystyle L_ {4k + 2} (\ mathbb {Z}) = \ mathbb {Z} _ {2}}

{\ displaystyle L_ {4k + 2} (\ mathbb {Z}) = \ mathbb {Z} _ {2}}

См. Также

инвариант де Рама, a mod 2, инвариант $(4 k + 1) {\ displaystyle (4k + 1)}$ ${\ displaystyle (4k + 1)}$ -мерных многообразий

Примечания

Ссылки

См. Lickorish (1997) относительно связи между инвариантом Арфа и многочленом Джонса.
См. в главе 3 книги Картера другое эквивалентное определение инварианта Арфа в терминах самопересечений дисков в 4-мерном пространстве.
Arf, Cahit (1941), "Untersuchungen über quadratische Formen in Körpern der Charakteristik 2, I", J. Reine Angew. Math., 183 : 148–167
Глен Бредон : Топология и геометрия, 1993, ISBN 0-387-97926-3.
Браудер, Уильям (1972), Хирургия односвязных многообразий, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, MR 0358813
J. Скотт Картер: Как поверхности пересекаются в пространстве, Серия о узлах и всем остальном, 1993, ISBN 981-02-1050-7.
А.В. Чернавский (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press
Диксон, Леонард Юджин (1901), Линейные группы: с изложением теории поля Галуа, New Йорк: Dover Publications, MR 0104735
Кирби, Робион (1989), Топология 4-многообразий, Лекционные заметки по математике, 1374, Springer-Verlag, doi : 10.1007 / BFb0089031, ISBN 0-387-51148-2, MR 1001966
W. Б. Раймонд Ликориш, Введение в теорию узлов, Тексты для выпускников по математике, Спрингер, 1997, ISBN 0-387-98254-X
Мартино, Дж. ; Придди, С. (2003), «Расширения групп и групповые кольца автоморфизмов», Гомологии, гомотопии и приложения, 5 (1): 53–70, arXiv : 0711.1536, doi : 10.4310 / hha.2003.v5.n1.a3
Лев Понтрягин, Гладкие многообразия и их приложения в теории гомотопии Переводы Американского математического общества, сер. 2, т. 11, pp. 1–114 (1959)

Дополнительная литература

Lorenz, Falko; Рокетт, Питер (2013), «Каит Арф и его инвариант», Вклад в историю теории чисел в 20-м веке (PDF), Наследие европейской математики, Цюрих: Европейское математическое общество, стр. 189–222, ISBN 978-3-03719-113-2, MR 2934052, Zbl 1276.11001
Кнус, Макс-Альберт (1991), Квадратичные и эрмитовы формы над кольцами, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 294, Berlin: Springer-Verlag, pp. 211 –222, doi : 10.1007 / 978-3-642-75401-2, ISBN 3-540-52117-8, MR 1096299, Zbl 0756.11008

Последняя правка сделана 2021-06-12 02:04:51

Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).

Обратная связь: support@alphapedia.ru

Соглашение

О проекте