Алгебраическая функция

В математике алгебраическая функция является функцией который можно определить как корень полиномиального уравнения . Довольно часто алгебраические функции - это алгебраические выражения, использующие конечное количество членов, включающие только алгебраические операции сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в дробную степень. Примеры таких функций:

• $f\; (x)\; =\; 1\; /\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; 1\; /\; x\}$
• $f\; (x)\; =\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\; x\}\}\}$
• $f\; (x)\; =\; 1\; +\; x\; 3\; x\; 3/7\; -\; 7\; x\; 1/3\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{1\; +\; x\; ^\; \{3\}\}\}\; \{x\; ^\; \{3/7\}\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{7\}\}\; x\; ^\; \{1/3\}\}\}\}$

Однако некоторые алгебраические функции не могут быть выражены такими конечными выражениями (это абель –Теорема Руффини ). Так обстоит дело, например, с радикалом Принесения , который является функцией , неявно, определенной как

$f\; (x)\; 5\; +\; f\; (x)\; +\; x\; =\; 0\; \{\; \backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; ^\; \{5\}\; +\; f\; (x)\; +\; x\; =\; 0\}$.

Точнее говоря, алгебраическая функция степени n от одной переменной x - это функция $y\; =\; f\; (x),\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; f\; (x),\}$, который является непрерывным в своей области и удовлетворяет полиномиальному уравнению

$an\; (x)\; yn\; +\; an\; -\; 1\; (x)\; yn\; -\; 1\; +\; \cdots \; +\; a\; 0\; (x)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\; (x)\; y\; ^\; \{n\}\; +\; a\_\; \{n-1\}\; (x)\; y\; ^\; \{\; n-1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; a\_\; \{0\}\; (x)\; =\; 0\}$

где коэффициенты a i (x) - это полиномиальные функции от x с целыми коэффициентами. Можно показать, что тот же самый класс функций получается, если алгебраические числа приняты в качестве коэффициентов a i (x). Если трансцендентные числа встречаются в коэффициентах, функция, как правило, не алгебраическая, а алгебраическая по полю , генерируемому этими коэффициентами.

Значение алгебраической функции в рациональном числе и, в более общем смысле, в алгебраическом числе всегда является алгебраическим числом. Иногда рассматриваются коэффициенты $ai\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{i\}\; (x)\}$, полиномиальные по кольцу R, и затем говорят о «функциях алгебраический над R ".

Функция, которая не является алгебраической, называется трансцендентной функцией, как, например, в случае $exp\; \; (x),\; tan\; \; (x),\; ln\; \; (\; Икс),\; \Gamma \; (Икс)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; ехр\; (х),\; \backslash \; загар\; (х),\; \backslash \; пер\; (х),\; \backslash \; Гамма\; (х)\}$. Комбинация трансцендентных функций может дать алгебраическую функцию: $f\; (x)\; =\; cos\; \; (arcsin\; \; (x))\; =\; 1\; -\; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; \backslash \; cos\; (\backslash \; arcsin\; (x))\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-x\; ^\; \{2\}\}\}\}$.

Как полиномиальное уравнение степени n имеет до n корней (и ровно n корней над алгебраически замкнутым полем, например комплексные числа ), полиномиальное уравнение неявно определяет одну функцию, а определяет до n функций, иногда также называемых ветвями. Рассмотрим, например, уравнение единичной окружности : $y\; 2\; +\; x\; 2\; =\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; ^\; \{2\}\; +\; x\; ^\; \{2\}\; =\; 1.\; \backslash ,\}$Определяет y, за исключением только от до общего знака; соответственно, он имеет две ветви: $y\; =\; \pm \; 1\; -\; x\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; \backslash \; pm\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-x\; ^\; \{2\}\}\}.\; \backslash ,\}$

Алгебраическая функция от m переменных аналогичным образом определяется как функция $y\; =\; f\; (x\; 1,\dots ,\; xm)\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; f\; (x\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; x\_\; \{m\})\}$, который решает полиномиальное уравнение от m + 1 переменных:

$p\; (y,\; x\; 1,\; x\; 2,\dots ,\; xm)\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; (y,\; x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\},\; \backslash \; dots,\; x\_\; \{m\})\; =\; 0.\}$

Это обычно предполагается, что p должен быть неприводимым многочленом. Тогда существование алгебраической функции гарантируется теоремой о неявной функции.

Формально алгебраическая функция от m переменных над полем K является элементом алгебраического замыкания поля рациональные функции K (x 1,..., x m).

• 1 Алгебраические функции в одной переменной
  • 1.1 Введение и обзор
  • 1.2 Роль комплексных чисел
  • 1.3 Монодромия
• 2 История
• 3 См. Также
• 4 Ссылки
• 5 Внешние ссылки

Введение и обзор

Неформальное определение алгебраической функции дает ряд подсказок об их свойствах. Чтобы получить интуитивное понимание, может быть полезно рассматривать алгебраические функции как функции, которые могут быть образованы с помощью обычных алгебраических операций : сложение, умножение, деление и извлечение корня n-й степени. Это что-то вроде чрезмерного упрощения; в силу фундаментальной теоремы теории Галуа алгебраические функции не обязательно должны быть выражены радикалами.

Во-первых, обратите внимание, что любая полиномиальная функция $y\; =\; p\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; p\; (x)\}$является алгебраической функцией, поскольку это просто решение y уравнения

$y\; -\; p\; (x)\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; yp\; (x)\; =\; 0.\; \backslash ,\}$

В общем, любая рациональная функция $y\; =\; p\; (x)\; q\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; \{\backslash \; frac\; \{p\; (x)\}\; \{q\; (x)\}\}\}$является алгебраическим, являясь решением

$q\; (x)\; y\; -\; p\; (x)\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; (x)\; yp\; (x)\; =\; 0.\}$

Кроме того, корень n-й степени любого многочлена $y\; =\; p\; (x)\; n\; \{\; \backslash \; displaystyle\; y\; =\; \{\backslash \; sqrt\; [\{n\}]\; \{p\; (x)\}\}\}$- алгебраическая функция, решающая уравнение

$yn\; -\; p\; (x)\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; ^\; \{n\}\; -p\; (x)\; =\; 0.\}$

Удивительно, но обратная функция алгебраической функции является алгебраической функцией. Предположим, что y является решением

$an\; (x)\; yn\; +\; \cdots \; +\; a\; 0\; (x)\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\; (x)\; y\; ^\; \{n\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; a\_\; \{0\}\; (x)\; =\; 0,\}$

для каждого значения x, тогда x также является решением этого уравнения для каждого значения y. В самом деле, поменяв местами x и y и собирая термины,

$bm\; (y)\; xm\; +\; bm\; -\; 1\; (y)\; xm\; -\; 1\; +\; \cdots \; +\; b\; 0\; (y)\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{m\}\; (\; y)\; x\; ^\; \{m\}\; +\; b\_\; \{m-1\}\; (y)\; x\; ^\; \{m-1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; b\_\; \{0\}\; (y)\; =\; 0.\}$

Запись x как функции y дает обратная функция, также алгебраическая функция.

Однако не каждая функция имеет инверсию. Например, y = x не проходит тест горизонтальной линии : он не может быть однозначным. Обратной является алгебраическая "функция" $x\; =\; \pm \; y\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; \backslash \; pm\; \{\backslash \; sqrt\; \{y\}\}\}$. Другой способ понять это состоит в том, что набор ветвей полиномиального уравнения, определяющего нашу алгебраическую функцию, является графиком алгебраической кривой.

Роль комплексных чисел

С алгебраической точки зрения комплексные числа вполне естественно входят в изучение алгебраических функций. Прежде всего, согласно основной теореме алгебры, комплексные числа являются алгебраически замкнутым полем. Следовательно, любое полиномиальное отношение p (y, x) = 0 гарантированно будет иметь по крайней мере одно решение (и, как правило, количество решений, не превышающих степень p по y) для y в каждой точке x, при условии, что мы позволяем y принимать комплексные, а также реальные значения. Таким образом, проблемы, связанные с областью области алгебраической функции, можно безопасно минимизировать.

График трех ветвей алгебраической функции y, где y - xy + 1 = 0, в области 3/2 < x < 50.

Более того, даже если кто-то в конечном итоге интересуется действительными алгебраическими функциями, может не быть средств чтобы выразить функцию в терминах сложения, умножения, деления и извлечения корней n-й степени, не прибегая к комплексным числам (см. casus unducibilis ). Например, рассмотрим алгебраическую функцию, определяемую уравнением

$y\; 3\; -\; xy\; +\; 1\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; ^\; \{3\}\; -xy\; +\; 1\; =\; 0.\; \backslash ,\}$

Использование кубической По формуле получаем

$y\; =\; -\; 2\; x\; -\; 108\; +\; 12\; 81\; -\; 12\; x\; 3\; 3\; +\; -\; 108\; +\; 12\; 81\; -\; 12\; x\; 3\; 3\; 6.\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{2x\}\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{-\; 108\; +\; 12\; \{\backslash \; sqrt\; \{81-12x\; ^\; \{3\}\}\}\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; [\{\; 3\}]\; \{-\; 108\; +\; 12\; \{\backslash \; sqrt\; \{81-12x\; ^\; \{3\}\}\}\}\}\; \{6\}\}.\}$

Для $x\; \le \; 3\; 4\; 3,\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; leq\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{4\}\}\},\}$квадратный корень является действительным, и, таким образом, кубический корень хорошо определен, обеспечивая уникальный действительный корень. С другой стороны, для $x>3\; 4\; 3,\; \{\backslash \; displaystyle\; x>\{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{4\}\}\},\}$квадратный корень не является действительным, и для получения квадратного корня нужно выбрать либо ненастоящий квадратный корень. Таким образом, кубический корень должен быть выбран среди трех нереальных чисел. тот же выбор делается в двух членах формулы, три варианта для кубического корня обеспечивают три ветви, показанные на сопроводительном изображении.

Может быть доказано, что нет способа выразить эту функцию в термины корней n-й степени, использующие только действительные числа, даже несмотря на то, что результирующая функция имеет действительное значение в области показанного графика.

На более значительном теоретическом уровне использование комплексных чисел позволяет использовать мощные методы комплексный анализ для обсуждения алгебраических функций. В частности, arg Принцип элемента может использоваться, чтобы показать, что любая алгебраическая функция на самом деле является аналитической функцией, по крайней мере, в многозначном смысле.

Формально, пусть p (x, y) - комплексный многочлен от комплексных переменных x и y. Предположим, что x 0∈ Cтаково, что многочлен p (x 0, y) от y имеет n различных нулей. Мы покажем, что алгебраическая функция аналитична в окрестности точки x 0. Выберите систему из n неперекрывающихся дисков Δ i, содержащих каждый из этих нулей. Тогда по принципу аргумента

$1\; 2\; \pi \; i\; \oint \; \partial \; \Delta \; я\; \; py\; (x\; 0,\; y)\; p\; (x\; 0,\; y)\; dy\; =\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\; i\}\; \}\; \backslash \; oint\; \_\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; Delta\; \_\; \{i\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{p\_\; \{y\}\; (x\_\; \{0\},\; y)\}\; \{p\; (x\_\; \{0\},\; y)\}\}\; \backslash ,\; dy\; =\; 1.\}$

По непрерывности это также верно для всех x в окрестности x 0. В частности, p (x, y) имеет только один корень в ∆ i, задаваемый теоремой о вычетах :

$fi\; (x)\; =\; 1\; 2\; \pi \; i\; \oint \; \partial \; ∆\; iypy\; (x,\; y)\; p\; (x,\; y)\; dy\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{i\}\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\; i\}\}\; \backslash \; oint\; \_\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; Delta\; \_\; \{i\}\}\; y\; \{\backslash \; frac\; \{p\_\; \{y\}\; (x,\; y)\}\; \{p\; (x,\; y)\}\}\; \backslash ,\; dy\}$

, которая является аналитической функцией.

Монодромия

Обратите внимание, что в предыдущем доказательстве аналитичности получено выражение для системы из n различных функциональных элементов fi (x), при условии, что x не является критическая точка точки p (x, y). Критическая точка - это точка, в которой количество различных нулей меньше степени p, и это происходит только там, где член наивысшей степени p равен нулю, и где дискриминант обращается в нуль. Следовательно, таких точек только конечное число c 1,..., c m.

Можно использовать внимательный анализ свойств функциональных элементов f i вблизи критических точек. чтобы показать, что покрытие монодромии разветвлено над критическими точками (и, возможно, точкой на бесконечности ). Таким образом, голоморфное расширение f i имеет в худшем случае алгебраические полюсы и обычные алгебраические ветвления над критическими точками.

Обратите внимание, что вне критических точек мы имеем

$p\; (x,\; y)\; =\; an\; (x)\; (y\; -\; f\; 1\; (x))\; (y\; -\; f\; 2\; (x))\; \cdots \; (Y\; -\; Fn\; (x))\; \{\backslash \; Displaystyle\; p\; (x,\; y)\; =\; a\_\; \{n\}\; (x)\; (y-f\_\; \{1\}\; (x))\; (y-f\_\; \{2\}\; (x))\; \backslash \; cdots\; (\; y-f\_\; \{n\}\; (x))\}$

, поскольку f i по определению являются различными нулями p. группа монодромии действует путем перестановки факторов и, таким образом, образует представление монодромии группы Галуа на стр. (Действие монодромии на универсальном накрывающем пространстве является родственным, но другим понятием в теории римановых поверхностей.)

Идеи, окружающие алгебраические функции восходят, по крайней мере, к Рене Декарту. Первое обсуждение алгебраических функций, по-видимому, было в работе Эдварда Уоринга 1794 г. «Очерк принципов человеческого знания», в которой он пишет:

пусть величина, обозначающая ординату, будет алгебраической функцией абсцисса x с помощью обычных методов деления и извлечения корней редуцирует ее в бесконечный ряд по возрастанию или убыванию в соответствии с размерами x, а затем находит интеграл каждого из полученных членов.

• Алгебраическое выражение
• Аналитическая функция
• Сложная функция
• Элементарная функция
• Функция (математика)
• Обобщенная функция
• Список специальных функций и эпонимов
• Список типов функций
• Полином
• Рациональная функция
• Специальные функции
• Трансцендентная функция

• Альфорс, Ларс (1979). Комплексный анализ. McGraw Hill.
• van der Waerden, B.L. (1931). Современная алгебра, Том II. Springer.

На Викискладе есть материалы, связанные с Алгебраическими функциями.

• Определением «алгебраической функции» в Энциклопедии математики
• Вайсштейн, Эрик У. «Алгебраическая функция». MathWorld.
• Алгебраическая функция на PlanetMath.org.
• Определение «Алгебраической функции» в Интернет-энциклопедии Дэвида Дж. Дарлинга