Список типов функций

Функции можно идентифицировать по свойствам, которыми они обладают. Эти свойства описывают поведение функций при определенных условиях. Парабола - это особый тип функции.

Содержание

• 1 Относительно теории множеств
• 2 Относительно оператора (cq группа или другая структура)
• 3 Относительно топологии
• 4 Относительно упорядочения
• 5 Относительно действительные / комплексные числа
• 6 Относительно измеримости
• 7 Относительно меры
• 8 Способы определения функций / отношения к теории типов
• 9 Функции высшего порядка
• 10 Отношение к теории категорий
• 11 Более общие объекты по-прежнему называются функциями
• 12 См. Также
• 13 Ссылки

Относительно теории множеств

Эти свойства относятся к домену, codomain и изображение функций.

• Инъективная функция : имеет отдельное значение для каждого отдельного аргумента. Также называется инъекцией или, иногда, однозначной функцией. Другими словами, каждый элемент кодомена функции является изображением не более одного элемента его домена.
• Сюръективная функция : имеет прообраз для каждого элемента кодомена , то есть codomain равен изображению. Также называется сюръекцией или функцией.
• Биективная функция : является одновременно инъекцией и сюръекцией, и, следовательно, обратимой.
• функцией идентичности : сопоставляет любой заданный элемент с собой.
• Постоянная функция : имеет фиксированное значение независимо от аргументов.
• Пустая функция : домен которой равен пустому множеству.
• Установить функция : входом которой является набор.
• Функция выбора, также вызываемая селектором или функцией унификации : присваивает каждому набору один из его элементов.

Относительно оператора (cq a group или другая структура )

Эти свойства касаются того, как на функцию влияют арифметические операции над ее операндом.

Ниже приведены специальные примеры гомоморфизма в бинарной операции :

• Аддитивная функция : сохраняет операцию сложения: f (x + y) = f (x) + f (y).
• Мультипликативная функция : сохраняет операцию умножения: f (xy) = f (x) f (y).

Relati от ve до отрицание :

• Четная функция : симметрична относительно оси Y. Формально для каждого x: f (x) = f (−x).
• Нечетная функция : симметрична относительно начала координат . Формально для каждого x: f (−x) = −f (x).

Относительно бинарной операции и order :

• Субаддитивная функция : для которой значение f (x + y) меньше или равно f (x) + f (y).
• Супераддитивная функция : для которой значение f (x + y) больше или равно f (x) + f (y).

Относительно топологии

• Непрерывная функция : в которой прообразы из открытых множеств открыты.
• Непрерывная функция : не является непрерывным в любой точке своего домена; например, функция Дирихле.
• гомеоморфизм : это биективная функция, которая также является непрерывной, чья обратная непрерывна.
• Открытая функция : отображает открытые множества в открытые.
• Закрытые функции : отображает закрытые множества в закрытые.
• Компактно поддерживаемая функция : исчезает вне компакта.
• Càdlàg функция, называемая также функцией RCLL, функцией corlor и т. Д.: непрерывная справа, с левыми пределами.
• Квазинепрерывная функция : примерно, близка к f (x) для некоторых, но не для всех y, близких x (скорее технический).

Относительно топологии и порядка:

• Полунепрерывная функция : полунепрерывная верхняя или нижняя.
• Правосторонняя непрерывная функция : без скачка при приближении к предельной точке из верно. Непрерывная слева функция: аналогично.
• Локально ограниченная функция : ограниченная вокруг каждой точки.

Относительно упорядочения

• Монотонная функция : не меняет порядок любой пары.
• Строгая Монотонная функция : сохраняет заданный порядок.

Относительно действительных / комплексных чисел

• Линейная функция ; также аффинная функция.
• Выпуклая функция : отрезок прямой между любыми двумя точками на графике лежит над графиком. Также вогнутая функция.
• Арифметическая функция : функция от положительных целых до комплексных чисел.
• Аналитическая функция : может быть определена локально с помощью сходящийся степенной ряд.
• Квазианалитическая функция : не аналитическая, но все же локально определяется своими производными в точке.
• Дифференцируемая функция : имеет производная.
• Непрерывно дифференцируемая функция : дифференцируемая, с непрерывной производной.
• Гладкая функция : имеет производные всех порядков.
• функция Липшица, функция Холдера : несколько больше, чем равномерно непрерывная функция.
• Голоморфная функция : Комплексная значная функция комплексной переменной, которая дифференцируема в каждой точке своего домена.
• Мероморфная функция : Комплексная значная функция, которая голоморфна всюду, кроме отдельных точек, где есть полюсов.
• Целая функция : голоморфная функция whos Область e - это вся комплексная плоскость.
• Гармоническая функция : ее значение в центре шара равно среднему значению на поверхности шара (свойство среднего значения). Также субгармоническая функция и супергармоническая функция.
• Элементарная функция : композиция арифметических операций, экспонент, логарифмов, констант и решений алгебраических уравнений.
• Специальные функции : неэлементарные функции, которым присвоены названия и обозначения из-за их важности.
• Тригонометрические функции : связывают углы треугольника с длинами его сторон.
• Нигде дифференцируемая функция также не называется Функция Вейерштрасса : непрерывна везде, но не дифференцируема даже в одной точке.
• Быстрорастущая (или быстро возрастающая) функция; в частности, функция Аккермана.
• Простая функция : функция с действительным знаком на подмножестве действительной прямой, аналогичная ступенчатой ​​функции.

Относительно измеримости

• Измеримая функция : прообраз каждого измеряемого набора можно измерить.
• Функция Бореля : прообраз каждого набора Бореля является набором Бореля.
• Функция Бэра также называется Бэр измеримая функция : получается из непрерывных функций трансфинитным повторением операции формирования поточечных пределов последовательностей функций.
• Сингулярная функция : непрерывная, с нулевой производной почти всюду, но не -константа.

Относительно меры

• Интегрируемая функция : имеет интеграл (конечный).
• Функция, интегрируемая с квадратом : квадрат ее абсолютного значения является интегрируемым.

Относительно мера и топология

• Локально интегрируемая функция : интегрируемая вокруг каждой точки.

Способы определения функций / отношения к теории типов

• Полиномиальная функция ion : определяется путем вычисления полинома.
• Рациональная функция : соотношение двух полиномиальных функций. В частности, преобразование Мёбиуса также называется дробно-линейной функцией.
• Алгебраическая функция : определяется как корень полиномиального уравнения.
• Трансцендентная функция : аналитический, но не алгебраический. Также гипертрансцендентная функция.
• Составная функция : формируется композицией двух функций f и g путем сопоставления x с f (g (x)).
• объявляется обратная функция : путем «выполнения обратного» заданной функции (например, арксинус является инверсией синуса ).
• Неявная функция : неявно определяется отношением между аргументом (ами) и значением.
• Кусочная функция : определяется разными выражениями с разными интервалами.
• Вычислимая функция : алгоритм может выполнять работу функции. Также полувычислимая функция ; примитивная рекурсивная функция ; частичная рекурсивная функция.

В общем, функции часто определяются путем указания имени зависимой переменной и способа вычисления того, чему она должна отображаться. Для этой цели $\mapsto \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mapsto\}$или символ Church $\lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\}$ часто используется. Кроме того, иногда математики обозначить функцию do main и codomain, написав, например, $е:\; A\; \to \; B\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; A\; \backslash \; rightarrow\; B\}$. Эти понятия распространяются непосредственно на лямбда-исчисление и теорию типов соответственно.

Функции высшего порядка

Это функции, которые работают с функциями или производят другие функции, см. Функция высшего порядка. Примеры:

• Композиция функций.

• Интегральные и Дифференциальные операции.
• Преобразование Фурье.
• Fold и Отображение операций.
• Карринг

Отношение к теории категорий

Теория категорий - это раздел математики, который формализует понятие специальной функции с помощью стрелок или морфизмов. Категория - это алгебраический объект, который (абстрактно) состоит из класса объектов, а для каждой пары объектов - набора морфизмов. Частичная (эквивалент зависимо типизированная ) бинарная операция, называемая композиция, предоставляется для морфизмов, каждый объект имеет один особый морфизм от него к самому себе, называемый identity на этом объект, а композиция и идентичности необходимы для подчинения определенным отношениям.

В так называемой конкретной категории объекты связаны с математическими структурами, такими как наборы, магмы, группы, кольца, топологические пространства, векторные пространства, метрические пространства, частичные порядки, дифференцируемые многообразия, равномерные пространства и т. д. и морфизмы между двумя объектами связаны с сохраняющими структуру функциями между ними. В приведенных выше примерах это могут быть функции, гомоморфизмы магмы, гомоморфизмы групп, кольцевые гомоморфизмы, непрерывные функции, линейные преобразования (или матрицы ), метрические карты, монотонные функции, дифференцируемые функции и равномерно непрерывные функции соответственно.

Как алгебраическая теория, одно из преимуществ теории категорий состоит в том, что она позволяет доказать многие общие результаты с минимумом предположений. Многие общие понятия из математики (например, сюръективное, инъективное, свободный объект, базис, конечное представление, изоморфизм ) определены чисто в терминах теории категорий (ср. мономорфизм, эпиморфизм ).

Теория категорий была предложена в качестве основы для математики наравне с теорией множеств и теорией типов (см. топос ).

Теория аллегории обеспечивает обобщение, сопоставимое с теорией категорий, для отношений вместо функций.

Более общие объекты по-прежнему называются функциями

• Обобщенная функция : широкое обобщение дельта-функции Дирака, способное описывать белый шум и т. Д.
  • Дельта-функция Дирака : полезна для описания физических явлений, таких как точечные заряды.
• Многозначная функция : отношение «один ко многим».
• Случайная функция : Случайный элемент набора функций.

См. Также

• Список типов наборов

Ссылки