Войти
В математике - абстрактный многогранникпредставляет собой алгебраический частично упорядоченный набор или poset, который захватывает комбинаторные свойства традиционного многогранника без указания чисто геометрических свойств, таких как углы или длины ребер. Многогранник - это обобщение многоугольников и многогранников на любое количество измерений.
Обычный геометрический многогранник называется реализацией в некотором реальном N-мерном пространстве, обычно евклидовом, соответствующего абстрактного многогранника. Абстрактное определение допускает некоторые более общие комбинаторные структуры, чем традиционные определения многогранника, что позволяет создавать множество новых объектов, не имеющих аналогов в традиционной теории.
В евклидовой геометрии все шесть четырехугольников различны. Тем не менее, у них есть общая структура в чередующейся цепочке из четырех вершин и четырех сторон, которая дала им их имя. Они называются изоморфными или «сохраняющими структуру».
Эта общая структура может быть представлена в нижележащем абстрактном многограннике, чисто алгебраическом частично упорядоченном множестве, которое фиксирует паттерн связей или инцидентностей между различными структурными элементами. Измеримые свойства традиционных многогранников, такие как углы, длины ребер, асимметрия, прямолинейность и выпуклость, не имеют значения для абстрактного многогранника.
То, что верно для традиционных многогранников (также называемых классическими или геометрическими многогранниками), может не быть так для абстрактных, и наоборот. Например, традиционный многогранник является правильным, если все его грани и фигуры вершин правильны, но это не обязательно так для абстрактного многогранника.
Традиционный геометрический многогранник называется реализация связанного абстрактного многогранника. Реализация - это отображение или внедрение абстрактного объекта в реальное пространство, обычно евклидово, с целью построения традиционного многогранника как реальной геометрической фигуры.
Все шесть показанных четырехугольников являются различными реализациями абстрактного четырехугольника, каждый с разными геометрическими свойствами. Некоторые из них не соответствуют традиционным определениям четырехугольника и считаются неверными реализациями. Обычный многогранник - точная реализация.
В абстрактном многограннике каждый структурный элемент - вершина, ребро, ячейка и т. Д. Связан с соответствующим членом или элементом набора. Термин лицо часто относится к любому такому элементу, например. вершина (0-грань), ребро (1-грань) или общая k-грань, а не только многоугольная 2-грань.
Грани ранжируются в соответствии с их реальной размерностью: вершины имеют ранг = 0, ранг ребер = 1 и так далее.
Инцидентные грани разного ранга, например вершина F ребра G, упорядочиваются соотношением F < G. F is said to be a subface of G, or G has subface F.
F, G называются инцидентными, если F = G или F < G or G < F. This usage of "incidence" also occurs in Finite геометрия, хотя и отличается от традиционной геометрии и некоторых других областей математики. Например, в квадрате abcd ребра ab и bc не инцидентны абстрактно (хотя оба они инцидентны вершине b).
Многогранник тогда определяется как набор граней Pс отношение порядка <, and which satisfies certain additional axioms. Formally, P(с <) будет (строго) частично упорядоченным набором или poset.
Так же, как число ноль необходимо в математике, каждый набор имеет пустой набор ∅ в качестве подмножества. В абстрактном многограннике по соглашению определяется как наименьшая или нулевая грань и является подпространством всех остальных. Поскольку наименьшая грань находится на один уровень ниже вершин или 0-граней, ее ранг равен −1, и ее можно обозначить как F −1. Таким образом, F −1 ≡ ∅ и абстрактный многогранник также содержит пустое множество как элемент. Обычно это не реализуется.
Существует также одна грань, все остальные которой являются субграни. Это называется величайшим лицом. В n-мерном многограннике наибольшая грань имеет ранг = n и может быть обозначена как F n. Иногда его воплощают в виде интерьера геометрической фигуры.
Эти наименьшие и наибольшие грани иногда называют неправильными гранями, а все остальные - правильными гранями.
Грани абстрактного четырехугольника или квадрата показаны на таблица ниже:
| Тип лица | Ранг (k) | Количество | k-граней |
|---|---|---|---|
| Наименьшее | −1 | 1 | F−1 |
| Вершина | 0 | 4 | a, b, c, d |
| Край | 1 | 4 | W, X, Y, Z |
| Наибольшее | 2 | 1 | G |
Отношение < comprises a set of pairs, which here include
Порядковые отношения являются транзитивными, т.е. F < G and G < H implies that F < H. Therefore, to specify the hierarchy of faces, it is not necessary to give every case of F < H, only the pairs where one is the преемником другое, т.е. где F < H and no G satisfies F < G < H.
Ребра W, X, Y и Z иногда записываются как ab, ad, bcи cdсоответственно, но такое обозначение не всегда уместно.
Все четыре ребра структурно похожи, то же самое относится и к вершинам. Таким образом, фигура имеет симметрию квадрата и обычно называется квадратом.
Меньшие позы и многогранники в в частности, часто лучше всего визуализировать на диаграмме Хассе, как показано. По соглашению лица равного ранга размещаются на одном вертикальном уровне. Каждая «линия» между гранями, скажем, F, G, указывает отношение упорядочения < such that F < G where F is below G in the diagram.
Диаграмма Хассе определяет уникальный объектный набор и, следовательно, полностью отражает структуру многогранника. Изоморфные многогранники порождают изоморфные диаграммы Хассе, и наоборот. То же самое в общем случае неверно для графа представления многогранников.
Ранг лица F определяется как (m - 2), где m - максимальное количество граней в любой цепочке (F ', F ",..., F) удовлетворяющий F '< F" <... < F. F' is always the least face, F−1.
Ранг абстрактного многогранника P- это максимальный ранг nлюбой грани. Это всегда ранг наибольшего грань F n.
Ранг грани или многогранника обычно соответствует размерности его аналога в традиционной теории.
Для некоторых рангов их типы граней указаны в следующей таблице.
| Ранг | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | ... | n - 2 | n - 1 | n |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Тип лица | Последний | Vertex | Edge | † | Ячейка | Подфасет или гребень | Фасет | Наибольшее |
† Традиционно «лицо» означало лицо 2-го ранга или 2-грань. В абстрактной теории термин «лицо» обозначает грань любого ранга.
A flag представляет собой максимальную цепочку граней, т.е. (полностью) упорядоченный набор Ψ граней, каждая из которых подмножеством следующей (если есть) и такой, что не является подмножеством какой-либо большей цепи. окраска граней F, G в флаг, либо F < G or F >G.
Например, {ø, a, ab, abc} - это флаг в треугольнике abc.
Для данного многогранника все флаги содержат одинаковое количество граней. Другие посеты, как правило, не удовлетворяют этому требованию.
Любое подмножество P ' poset P - это poset (с тем же отношением <, restricted to P').
В абстрактном многограннике для любых двух граней F, H многогранника P с F ≤ H множество {G | F ≤ G ≤ H} называется секциейиз P и обозначается H / F. (В теории порядка, секция называется закрытым интервалом изучаемого объекта и обозначается [F, H].
Например, в призме abcxyz(см. диаграмму) сечение xyz/ø(выделено зеленым) - это треугольник
A k-сечение- сечение ранга k.
Многогранник, являющийся подмножеством другого многогранника, не обязательно является сечением. На диаграмме квадрат abcdявляется подмножеством тетраэдра abcd, но является не его часть.
P, таким образом, является частью самого себя.
Это понятие раздела не имеет того же значения, что и в традиционной геометрии.
Фасет для подарка en j-грань F - это (j − 1) -сечение F / ∅, где F j - наибольшая грань.
Например, в треугольнике abcфасет в abравен ab/b= {∅, a, b, ab} , который представляет собой отрезок прямой.
Различие между F и F / ∅ обычно не имеет значения, и они часто рассматриваются как идентичные.
Фигуры вершин в данной вершине V представляют собой (n − 1) -сечение F n / V, где F n - наибольшая грань.
Например, в треугольнике abcфигура вершины в bравна abc/b= {b, ab, bc, abc}, который представляет собой отрезок линии. Фигуры вершин куба - это треугольники.
Позиционирование P связно, если P имеет ранг ≤ 1 или, для любых двух правильных граней F и G, существует последовательность правильных граней
такие, что F = H 1 , G = H k , и каждый H i , i < k, is incident with its successor.
Вышеупомянутое условие гарантирует, что пара непересекающихся треугольников abcи xyzне является (одиночным) многогранником.
объект P является сильно связанным, если каждый участок P (включая сам P) связан.
С этим дополнительным требованием также исключаются две пирамиды с общей вершиной. Однако две квадратные пирамиды, например, можно «склеить» своими квадратными гранями, получив октаэдр. «Общая грань» тогда не является гранью октаэдра.
абстрактный многогранник- это частично упорядоченное множество, элементы которого мы называем гранями, удовлетворяя четырем аксиомам:
n-многогранник- это многогранник ранга n.
В случае нулевого многогранника наименьшая и наибольшая грани являются одним и тем же отдельным элементом.
Аксиома 2 эквивалентна утверждению, что ч.у.ст. является градуированным посетом.
С учетом других аксиом, аксиома 3 эквивалентна сильной флаговой связности, что неформально означает:
Аксиома 4 известна как «свойство ромба», поскольку диаграмма Хассе a, b, а грани между ним ромбовидные.
Из аксиом можно показать, что каждое сечение является многогранником и что Rank (G / F) = Rank (G) - Rank (F) - 1.
Абстрактный многогранник связанный с реальным выпуклым многогранником, также называется его решеткой граней.
Для каждого ранга −1 и 0. Это, соответственно, нулевая грань и точка. Они не всегда считаются допустимыми абстрактными многогранниками.
Существует только один многогранник ранга 1, который является отрезком прямой. У него есть наименьшая грань, всего две 0-грани и наибольшая грань, например {ø, a, b, ab}. Отсюда следует, что вершины aи bимеют ранг 0, и что наибольшая грань ab, а следовательно, и poset, обе имеют ранг 1.
Для каждого p, 3 ≤ p <
Для p = 2 у нас есть двуугольник и p =
A двуугольник многоугольник с двумя ребрами. В отличие от любого другого многоугольника, оба ребра имеют одинаковые две вершины. По этой причине он вырожден в евклидовой плоскости.
. Грани иногда описываются с использованием «обозначения вершин» - например, {ø, a, b, c, ab, ac, bc, abc} для треугольника abc. Этот метод имеет то преимущество, что подразумевает отношение <.
С цифрой это обозначение вершины использовать нельзя. Необходимо присвоить граням отдельные символы и указать пары субграни F < G.
Таким образом, двуугольник определяется как набор {ø, a, b, E ', E ", G} с отношением <, заданным формулой
где E 'и E "- два ребра, а G - наибольшая грань.
Эта необходимость идентифицировать каждый элемент многогранника уникальным символом применяется ко многим другим абстрактным многогранникам и поэтому является обычной практикой.
Многогранник может быть полностью описан с использованием вершинной нотации только в том случае, если каждая грань инцидентна уникальному набору вершин. Многогранник, обладающий этим свойством, называется атомистическим.
Множество j-граней (−1 ≤ j ≤ n) традиционного n-многогранника образуют абстрактный n -полигон.
Концепция абстрактного многогранника является более общей и также включает:
Дигон обобщается с помощью осоэдр и гозотопы более высоких измерений, которые могут быть реализованы как сферические многогранники - они составляют мозаику сферы.
Четыре примера нетрадиционных абстрактных многогранников: Hemicube (показан), Hemi-octahedron, Hemi -додекаэдр и полуикосаэдр. Это проективные аналоги Платоновых тел, которые могут быть реализованы как (глобально) проективные многогранники - они тесселируют реальную проективную плоскость.
Другой пример - гемикуб. где обозначение вершин не может использоваться для определения многогранника - все 2-грани и 3-грань имеют одинаковый набор вершин.
Каждый геометрический многогранник имеет двойственный двойник. Абстрактно двойственный - это тот же многогранник, но с обратным ранжированием: диаграмма Хассе отличается только аннотациями. В n-многограннике каждая из исходных k-граней отображается в (n - k - 1) -грань в двойственном. Так, например, n-грань отображается в (−1) -грань. Дуальный к двойнику (изоморфен ) оригиналу.
Многогранник самодвойственный, если он совпадает с двойственным ему, т.е. изоморфен ему. Следовательно, диаграмма Хассе самодвойственного многогранника должна быть симметричной относительно горизонтальной оси на полпути между верхом и низом. Квадратная пирамида в приведенном выше примере самодуальна.
Фигура вершины в вершине V является двойственной грани, на которую V отображается в двойственном многограннике.
Формально абстрактный многогранник определяется как «регулярный», если его группа автоморфизмов действует транзитивно на множестве своих флаги. В частности, любые две k-грани F, G n-многогранника «одинаковы», т. Е. Существует автоморфизм, отображающий F в G. Когда абстрактный многогранник регулярен, его группа автоморфизмов изоморфна фактору a Группа Кокстера.
Все многогранники ранга ≤ 2 регулярны. Самые известные правильные многогранники - это пять Платоновых тел. Полурубка (на рисунке) также правильная.
Неформально, для каждого ранга k это означает, что нет способа отличить любую k-грань от любой другой - грани должны быть идентичны и должны иметь идентичных соседей и т. Д. Например, куб является правильным, потому что все грани являются квадратами, вершины каждого квадрата прикреплены к трем квадратам, и каждый из этих квадратов прикреплен к идентичным расположениям других граней, ребер и вершин и так далее.
Одного этого условия достаточно, чтобы гарантировать, что любой регулярный абстрактный многогранник имеет изоморфные регулярные (n - 1) -грани и изоморфные правильные фигуры вершин.
Это более слабое условие, чем регулярность для традиционных многогранников, поскольку оно относится к (комбинаторной) группе автоморфизмов, а не к (геометрической) группе симметрии. Например, любой абстрактный многоугольник является правильным, поскольку для абстрактных многогранников не существует углов, длин ребер, кривизны ребер, перекоса и т.д.
Есть несколько других более слабых концепций, некоторые из которых еще не полностью стандартизированы, например полурегулярный, квазирегулярный, однородный, киральный и архимедов, которые применяются к многогранникам, у которых некоторые, но не все грани эквивалентны в каждом ранге.
Учитывая то количество внимания, которое уделяется правильным многогранникам, можно почти подумать, что все многогранники правильные. На самом деле правильные многогранники - это просто особые случаи.
Простейшим неправильным многогранником является квадратная пирамида, хотя она все еще имеет много симметрий.
Показан пример многогранника без нетривиальных симметрий - никакая пара вершин, ребер или 2-граней не "одинаковые", как определено выше. Возможно, это самый простой из таких многогранников.
Набор точек V в евклидовом пространстве, снабженный сюръекцией из множества вершин абстрактного апейрогона P, такой, что автоморфизмы P индуцируют изометрические перестановки V называется реализацией абстрактного апейрогона. Две реализации называются конгруэнтными, если естественная биекция между их наборами вершин индуцируется изометрией их окружающих евклидовых пространств.
Если абстрактный n-многогранник реализуется в n-мерном пространстве, такое что геометрическое расположение не нарушает никаких правил для традиционных многогранников (таких как изогнутые грани или ребра нулевого размера), тогда реализация называется верной. В общем, только ограниченный набор абстрактных многогранников ранга n может быть точно реализован в любом данном n-пространстве. Характеристика этого эффекта - нерешенная проблема.
Для правильного абстрактного многогранника, если комбинаторные автоморфизмы абстрактного многогранника реализуются геометрическими симметриями, то геометрическая фигура будет правильным многогранником.
Группа симметрий G реализации V абстрактного апейрогона P порождается двумя отражениями, произведение которых переводит каждую вершину P в следующую. Продукт двух отражений может быть разложен как произведение ненулевого переноса, конечного числа вращений и, возможно, тривиального отражения.
Как правило, пространство модулей реализаций абстрактного многогранник - это выпуклый конус бесконечной размерности. Конус реализации абстрактного апейрогона имеет бесчисленное множество алгебраической размерности и не может быть замкнутым в евклидовой топологии.
Важным вопросом теории абстрактных многогранников является проблема объединения. Это серия вопросов, таких как
Например, если K - квадрат, а L - треугольник, ответы на эти вопросы:
Известно, что если ответ на первый вопрос будет «Да» 'для некоторых регулярных K и L, то существует единственный многогранник, фасеты которого равны K, а фигуры вершин - L, называемый универсальныммногогранником с этими фасетами и фигурами вершин, который покрываетвсе другие такие многогранники. То есть, предположим, что P - универсальный многогранник с фасетами K и вершинными фигурами L. Тогда любой другой многогранник Q с этими фасетами и вершинными фигурами можно записать Q = P / N, где
Q = P / N называется частнымот P, и мы говорим, что P покрываетQ.
Учитывая этот факт, поиск многогранников с определенными гранями и фигурами вершин обычно происходит следующим образом:
Эти две проблемы, в общем, очень сложны.
Возвращаясь к примеру выше, если K - квадрат, а L - треугольник, универсальный многогранник {K, L} является кубом (также обозначается как {4,3}). Полукуб - это фактор {4,3} / N, где N - это группа симметрий (автоморфизмов) куба, состоящая всего из двух элементов - тождества и симметрии, которая отображает каждый угол (или ребро, или грань) на его противоположность..
Если L вместо этого также является квадратом, универсальный многогранник {K, L} (то есть {4,4}) представляет собой мозаику евклидовой плоскости квадратами. Эта мозаика имеет бесконечно много частных с квадратными гранями, по четыре на вершину, некоторые из которых правильные, а некоторые нет. За исключением самого универсального многогранника, все они соответствуют различным способам мозаики тора или бесконечно длинного цилиндра с квадратами.
11-элементный, независимо обнаруженный H. С. М. Кокстер и Бранко Грюнбаум, является абстрактным 4-многогранником. Его грани представляют собой полуикосаэдры. Поскольку его грани топологически являются проективными плоскостями, а не сферами, 11-ячейка не является мозаикой какого-либо многообразия в обычном смысле. Вместо этого 11-ячейка является локально проективным многогранником. 11-ячейка не только красива в математическом смысле, но и исторически важна как один из первых открытых нетрадиционных абстрактных многогранников. Он самодвойственен и универсален: это единственный многогранник с полуикосаэдрическими гранями и полудодекаэдрическими вершинными фигурами.
57-элементный также самодвойственный, с полудодекаэдрическими гранями. Он был обнаружен Х. С. М. Коксетером вскоре после открытия 11-элементной клетки. Подобно 11-клеточному, он также универсален, являясь единственным многогранником с полудодекаэдрическими гранями и полуикосаэдрическими вершинными фигурами. С другой стороны, есть много других многогранников с полудодекаэдрическими гранями и типом Шлефли {5,3,5}. Универсальный многогранник с полудодекаэдрическими гранями и икосаэдрическими (не полуикосаэдрическими) вершинами конечен, но очень велик, с 10006920 гранями и вдвое меньшим количеством вершин.
Исторически проблема объединения решалась в соответствии с локальной топологией. То есть, вместо того, чтобы ограничивать K и L определенными многогранниками, им разрешается быть любым многогранником с заданной топологией , то есть любым многогранником , разбивающим заданное многообразие.. Если K и L сферические (т. Е. Мозаика топологической сферы ), то P называется локально сферическим и соответствует мозаике некоторого многообразия. Например, если K и L оба квадраты (и поэтому топологически такие же, как круги), P будет мозаикой плоскости, тор или бутылка Клейна квадратами. Замощение n-мерного многообразия на самом деле является многогранником ранга n + 1. Это соответствует общепринятой интуиции, что Платоновы тела трехмерны, хотя их можно рассматривать как мозаику двумерной поверхности шара.
В общем, абстрактный многогранник называется локально X, если его фасеты и фигуры вершин топологически являются сферами или X, но не обеими сферами. 11-элементный и 57-элементный являются примерами локально проективных многогранников ранга 4 (то есть четырехмерных), так как их фасеты и фигуры вершин представляют собой мозаику вещественных проективные плоскости. Однако в этой терминологии есть слабость. Он не позволяет легко описать многогранник, фасеты которого являются торами, а фигуры вершин являются, например, проективными плоскостями. Еще хуже, если разные фасеты имеют разную топологию или вообще не имеют четко определенной топологии. Однако был достигнут большой прогресс в полной классификации локально тороидальных регулярных многогранников (McMullen & Schulte, 2002)
Пусть Ψ - флаг абстрактного n-многогранника, и пусть -1 < i < n. From the definition of an abstract polytope, it can be proven that there is a unique flag differing from Ψ by a rank i element, and the same otherwise. If we call this flag Ψ, then this defines a collection of maps on the polytopes flags, say φi. Эти карты называются обменными картами, поскольку они меняют пары флагов: (Ψφ i)φi= Ψ всегда. Некоторые другие свойства обменных карт:
Карты обмена и, в частности, действие флага могут использоваться для доказать, что любой абстрактный многогранник является частным некоторого регулярного многогранника.
Многогранник также может быть представлен путем табулирования его инцидентностей.
Следующая матрица инцидентности - это матрица инцидентности. треугольник:
| ø | a | b | c | ab | bc | ca | abc | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ø | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| a | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| b | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| c | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| ab | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| bc | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| ca | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| abc | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
В таблице отображается 1 везде, где находится грань. подпространство другого или наоборот (так что таблица симметрична относительно диагонали) - так что на самом деле таблица имеет избыточную информацию; было бы достаточно показать только 1, когда грань строки ≤ грани столбца.
Поскольку и тело, и пустой набор связаны со всеми другими элементами, первая строка и столбец, а также последняя строка и столбец являются тривиальными, и их удобно опустить.
Дополнительная информация получается путем подсчета каждого вхождения. Это числовое использование обеспечивает группировку симметрии , как на диаграмме Хассе квадратной пирамиды : если вершины B, C, D и E считаются симметрично эквивалентными внутри абстрактного многогранника ребра f, g, h и j будут сгруппированы вместе, а также ребра k, l, m и n, и, наконец, также треугольники P, Q, Rи S. Таким образом, соответствующая матрица инцидентности этого абстрактного многогранника может быть представлена как:
| A | B,C,D,E | f,g,h,j | k, l, m, n | P, Q, R, S | T | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| A | 1 | * | 4 | 0 | 4 | 0 |
| B, C, D, E | * | 4 | 1 | 2 | 2 | 1 |
| f, g, h, j | 1 | 1 | 4 | * | 2 | 0 |
| k, l, m, n | 0 | 2 | * | 4 | 1 | 1 |
| P, Q, R, S | 1 | 2 | 2 | 1 | 4 | * |
| T | 0 | 4 | 0 | 4 | * | 1 |
В этом представлении накопленной матрицы инцидентности диагональные элементы представляют собой общее количество элементов любого типа.
Очевидно, что элементы разных типов одного и того же ранга никогда не бывают случайными, поэтому значение всегда будет равно 0, однако, чтобы помочь различить такие отношения, используется звездочка (*) вместо 0.
Поддиагональные записи каждой строки представляют собой подсчеты инцидентности соответствующих подэлементов, в то время как наддиагональные записи представляют собой соответствующие подсчеты элементов вершинной, реберной или любой другой фигуры.
Уже эта простая квадратная пирамида показывает, что накопленные симметрией матрицы инцидентности больше не симметричны. Но по-прежнему существует простое отношение сущностей (помимо обобщенных формул Эйлера для диагонали, соответственно субдиагональных элементов каждой строки, соответственно супердиагональных элементов каждой строки - по крайней мере, когда отсутствуют дыры, звезды и т. Д. рассматривается), как и для любой такой матрицы инцидентности 
В 1960-х годах Бранко Грюнбаум призвал геометрическое сообщество рассмотреть обобщения концепции правильных многогранников, которые он назвал Он разработал теорию полистромат, показав примеры новых объектов, включая 11-элементный.
11-элементный - самодвойственный 4 -полигранник, фасеты не являются икосаэдрами, а являются «полуикосаэдрами » - то есть это форма, которую можно получить, если рассматривать противоположное грани икосаэдров должны быть фактически одной и той же гранью (Grünbaum, 1977). Спустя годы после открытия Грюнбаумом 11-камерного, H.S.M. Кокстер открыл похожий многогранник, 57-элементный (Coxeter 1982, 1984), а затем независимо повторно открыл 11-элементный.
С помощью более ранних работ Бранко Грюнбаума, Х. С. М. Коксетер и Жак Титс заложили фундамент, основная теория комбинаторных структур, ныне известных как абстрактные многогранники, была впервые описана Эгоном Шульте в его докторской диссертации 1980 года. В нем он определил «регулярные комплексы инцидентности» и «правильные многогранники инцидентности». Впоследствии он и Питер МакМаллен разработали основы теории в серии исследовательских статей, которые позже были собраны в книгу. С тех пор многие другие исследователи внесли свой вклад, и первые пионеры (включая Грюнбаума) также приняли определение Шульте как «правильное».
С тех пор исследования в области теории абстрактных многогранников были сосредоточены в основном на правильных многогранниках, то есть на тех, автоморфизм группы которых действуют transitively on the set of flags of the polytope.
