Парастатистика

редактировать

Статистическая механика

Термодинамика Кинетическая теория
Статистика частиц Теорема спин-статистики Идентичные частицы Максвелл – Больцманн Бозе-Эйнштейн Ферми – Дирак Парастатистика Статистика Anyonic Статистика плетения
Термодинамические ансамбли NVE Microcanonical NVT Canonical µVT Большой канонический НПХ Изоэнтальпийно-изобарический NPT Изотермически-изобарический
Модели Дебай Эйнштейн Я пою Potts
Возможности Внутренняя энергия Энтальпия Свободная энергия Гельмгольца Свободная энергия Гиббса Большой потенциал / свободная энергия Ландау
Ученые Максвелл Больцман Гиббс Эйнштейн Эренфест фон Нейман Толман Дебай Ферми Bose
v т е

В квантовой механике и статистической механики, парастатистика является одной из нескольких альтернатив более известных статистических частиц моделей ( статистика Бозе-Эйнштейна, статистика Ферми-Дирака и статистика Максвелла-Больцмана ). Другие варианты включают anyonic статистики и кос статистики, оба из них с участием более низкие размеры пространства - времени. Герберту С. Грину приписывают создание парастатистики в 1953 году.

СОДЕРЖАНИЕ

1 Формализм
2 Квантовая теория поля
- 2.1 Объяснение
3 См. Также
4 ссылки

Формализм

Рассмотрим операторную алгебру системы из N одинаковых частиц. Это * -алгебра. Существует S N группа ( симметрическая группа порядка N) действует на оператор алгебру с предполагаемой интерпретацией перестановки на N частиц. Квантовая механика требует сосредоточения внимания на наблюдаемых, имеющих физический смысл, и наблюдаемые должны быть инвариантными относительно всех возможных перестановок N частиц. Например, в случае N = 2, R 2 - R 1 не может быть наблюдаемым, потому что он меняет знак, если мы переключаем две частицы, но расстояние между двумя частицами: | R 2 - R 1 | является законным наблюдаемым.

Другими словами, наблюдаемая алгебра должна быть * -подалгеброй, инвариантной относительно действия S N (отметим, что это не означает, что каждый элемент операторной алгебры, инвариантный относительно S N, является наблюдаемой). Это позволяет различные суперотборных секторов, каждый из которых параметризирован диаграммы Юнга из S N.

В частности:

Для N идентичных парабозонов порядка p (где p - целое положительное число) допустимые диаграммы Юнга - это все диаграммы с p или меньшим количеством строк.
Для N одинаковых парафермионов порядка p допустимыми являются диаграммы Юнга с p или меньшим количеством столбцов.
Если p равно 1, это сводится к статистике Бозе – Эйнштейна и Ферми – Дирака соответственно.
Если p произвольно велико (бесконечно), это сводится к статистике Максвелла – Больцмана.

Квантовая теория поля

Поле парабозонов порядка p, где если x и y - пространственно- разделенные точки, и если где [,] - коммутатор, а {,} - антикоммутатор. Обратите внимание, что это не согласуется с теоремой о спиновой статистике, которая предназначена для бозонов, а не парабозонов. Может существовать такая группа, как симметрическая группа S p, действующая на φ ⁽ⁱ⁾ s. Наблюдаемые должны быть операторами, инвариантными относительно рассматриваемой группы. Однако наличие такой симметрии не обязательно. ${\ Displaystyle \ фи (х) = \ сумма _ {я = 1} ^ {р} \ фи ^ {(я)} (х)}$ $\ phi (x) = \ sum _ {{i = 1}} ^ {p} \ phi ^ {{(i)}} (x)$ ${\ Displaystyle [\ фи ^ {(я)} (х), \ фи ^ {(я)} (у)] = 0}$ $[\ phi ^ {{(i)}} (x), \ phi ^ {{(i)}} (y)] = 0$ ${\ Displaystyle \ {\ phi ^ {(я)} (х), \ phi ^ {(j)} (у) \} = 0}$ $\ {\ phi ^ {{(i)}} (x), \ phi ^ {{(j)}} (y) \} = 0$ ${\ displaystyle i \ neq j}$ $я \ neq j$

Парафермионное поле порядка p, где если x и y - пространственно- разделенные точки, а если. Тот же комментарий о наблюдаемых будет применяться вместе с требованием, чтобы они имели четную оценку при оценке, где ψ s имеют нечетную оценку. ${\ Displaystyle \ psi (x) = \ sum _ {i = 1} ^ {p} \ psi ^ {(i)} (x)}$ $\ psi (x) = \ sum _ {{i = 1}} ^ {p} \ psi ^ {{(i)}} (x)$ ${\ Displaystyle \ {\ пси ^ {(я)} (х), \ пси ^ {(я)} (у) \} = 0}$ $\ {\ psi ^ {{(i)}} (x), \ psi ^ {{(i)}} (y) \} = 0$ ${\ Displaystyle [\ psi ^ {(i)} (x), \ psi ^ {(j)} (y)] = 0}$ $[\ psi ^ {{(i)}} (x), \ psi ^ {{(j)}} (y)] = 0$ ${\ displaystyle i \ neq j}$ $я \ neq j$

В parafermionic и parabosonic алгебры порождены элементами, которые подчиняются коммутационными и антикоммутационные отношения. Они обобщают обычную фермионную алгебру и бозонную алгебру квантовой механики. Алгебра Дирака и Даффина-Кеммера-Петье алгебры появляются как частные случаи parafermionic алгебры для порядка р = 1 и р = 2, соответственно.

Объяснение

Обратите внимание, что если x и y - точки, разделенные пространственно-подобным разделением, φ ( x) и φ ( y) не коммутируют и не антикоммутируют, если p = 1. Тот же комментарий относится к ψ ( x) и ψ ( y). Итак, если у нас есть n пространственно разделенных точек x 1,..., x n,

{\ Displaystyle \ phi (x_ {1}) \ cdots \ phi (x_ {n}) | \ Omega \ rangle}

\ phi (x_ {1}) \ cdots \ phi (x_ {n}) | \ Omega \ rangle

соответствует созданию n идентичных парабозонов в точках x 1,..., x n. По аналогии,

{\ Displaystyle \ psi (x_ {1}) \ cdots \ psi (x_ {n}) | \ Omega \ rangle}

\ psi (x_ {1}) \ cdots \ psi (x_ {n}) | \ Omega \ rangle

соответствует созданию n одинаковых парафермионов. Поскольку эти поля не коммутируют и не антикоммутируют

{\ Displaystyle \ phi (x _ {\ pi (1)}) \ cdots \ phi (x _ {\ pi (n)}) | \ Omega \ rangle}

\ phi (x _ {{\ pi (1)}}) \ cdots \ phi (x _ {{\ pi (n)}}) | \ Omega \ rangle

а также

{\ Displaystyle \ psi (x _ {\ pi (1)}) \ cdots \ psi (x _ {\ pi (n)}) | \ Omega \ rangle}

\ psi (x _ {{\ pi (1)}}) \ cdots \ psi (x _ {{\ pi (n)}}) | \ Omega \ rangle

дает различные состояния для каждой перестановки π в S n.

Мы можем определить оператор перестановки следующим образом: ${\ Displaystyle {\ mathcal {E}} (\ pi)}$ ${\ mathcal {E}} (\ pi)$

{\ displaystyle {\ mathcal {E}} (\ pi) \ left [\ phi (x_ {1}) \ cdots \ phi (x_ {n}) | \ Omega \ rangle \ right] = \ phi (x _ {\ pi ^ {- 1} (1)}) \ cdots \ phi (x _ {\ pi ^ {- 1} (n)}) | \ Omega \ rangle}

{\ mathcal {E}} (\ pi) \ left [\ phi (x_ {1}) \ cdots \ phi (x_ {n}) | \ Omega \ rangle \ right] = \ phi (x _ {{\ pi ^ {{-1}} (1)}}) \ cdots \ phi (x _ {{\ pi ^ {{- 1}} (n)}}) | \ Omega \ rangle

а также

{\ displaystyle {\ mathcal {E}} (\ pi) \ left [\ psi (x_ {1}) \ cdots \ psi (x_ {n}) | \ Omega \ rangle \ right] = \ psi (x _ {\ pi ^ {- 1} (1)}) \ cdots \ psi (x _ {\ pi ^ {- 1} (n)}) | \ Omega \ rangle}

{\ mathcal {E}} (\ pi) \ left [\ psi (x_ {1}) \ cdots \ psi (x_ {n}) | \ Omega \ rangle \ right] = \ psi (x _ {{\ pi ^ {{-1}} (1)}}) \ cdots \ psi (x _ {{\ pi ^ {{- 1}} (n)}}) | \ Omega \ rangle

соответственно. Можно показать, что это хорошо определено, пока оно ограничено только состояниями, охватываемыми векторами, данными выше (по существу, состояниями с n идентичными частицами). Это тоже унитарно. Более того, это операторнозначное представление симметрической группы S n, и поэтому мы можем интерпретировать его как действие S n на само n -частичное гильбертово пространство, превращая его в унитарное представление. ${\ Displaystyle {\ mathcal {E}} (\ pi)}$ ${\ mathcal {E}} (\ pi)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {E}}}$ ${\ mathcal {E}}$

КХД может быть переформулирована с использованием парастатистики, где кварки являются парафермионами порядка 3, а глюоны - парабозонами порядка 8. Обратите внимание, что это отличается от традиционного подхода, в котором кварки всегда подчиняются антикоммутационным соотношениям и соотношениям коммутации глюонов.

Смотрите также

Преобразование Клейна о том, как конвертировать между парастатистикой и более традиционной статистикой.

Рекомендации