Теория Мора – Кулона

редактировать

Законы

Сохранение
Масса Импульс Энергия
Неравенства
Клаузиус-Дюгем (энтропия)

Механика твердого тела

Гидравлическая механика

Жидкости
Статика Динамика Принцип Архимеда Принцип Бернулли Уравнения Навье – Стокса Уравнение Пуазейля Закон Паскаля Вязкость ( Ньютоновский неньютоновский ) Плавучесть Смешивание Давление
Жидкости
Адгезия Капиллярное действие Хроматография Сплоченность (химия) Поверхностное натяжение
Газы
Атмосфера Закон Бойля Закон Чарльза Закон о комбинированном газе Закон Фика Закон Гей-Люссака Закон Грэма
Плазма

Реология

Умные жидкости
Вязкоупругость Реометрия Реометр
Электрореологический Магнитореологический Феррожидкости

Ученые

Теория Мора – Кулона - это математическая модель (см. Поверхность текучести ), описывающая реакцию хрупких материалов, таких как бетон или груды щебня, на напряжение сдвига, а также нормальное напряжение. Большинство классических инженерных материалов так или иначе следуют этому правилу, по крайней мере, в части их диапазона разрушения при сдвиге. Обычно теория применима к материалам, у которых прочность на сжатие намного превышает предел прочности на разрыв.

В геотехнике он используется для определения прочности грунтов и горных пород на сдвиг при различных эффективных напряжениях.

В проектировании конструкций он используется для определения разрушающей нагрузки, а также угла разрушения сдвиговой трещины в бетоне и подобных материалах. Кулоновское «с трением гипотеза используется для определения комбинации сдвига и нормального напряжения, что приведет к разрушению материала. Круг Мора используется для определения того, какие главные напряжения будут вызывать эту комбинацию сдвига и нормального напряжения, а также угол плоскости, в котором это произойдет. Согласно принципу нормальности напряжение, возникающее при разрушении, будет перпендикулярно линии, описывающей состояние разрушения.

Можно показать, что материал, разрушающийся в соответствии с гипотезой кулоновского трения, будет демонстрировать смещение, вносимое при разрыве, образуя угол к линии разрушения, равный углу трения. Это позволяет определить прочность материала путем сравнения внешней механической работы, вызванной смещением и внешней нагрузкой, с внутренней механической работой, вызванной деформацией и напряжением на линии разрушения. За счет сохранения энергии их сумма должна быть равна нулю, и это позволит рассчитать разрушающую нагрузку конструкции.

Обычным усовершенствованием этой модели является объединение гипотезы кулоновского трения с гипотезой Рэнкина о главном напряжении для описания отрывной трещины. Альтернативная точка зрения выводит критерий Мора-Кулона как отказ расширения.

СОДЕРЖАНИЕ

1 История развития
2 Критерий разрушения Мора – Кулона
- 2.1 Критерий разрушения Мора – Кулона в трех измерениях
3 Поверхность разрушения Мора – Кулона в пространстве Хая – Вестергаарда
4 Податливость и пластичность Мора – Кулона
5 Типичные значения сцепления и угла внутреннего трения
6 См. Также
7 ссылки

История развития

Теория Мора – Кулона названа в честь Шарля-Огюстена де Кулона и Кристиана Отто Мора. Вклад Кулона - эссе 1773 года под названием « Essai sur une application des règles des maximis et minimis à quelques problèmes de statique relatifs à l'architecture ». Мор разработал обобщенную форму теории примерно в конце XIX века. Поскольку обобщенная форма повлияла на интерпретацию критерия, но не на ее сущность, в некоторых текстах этот критерий по-прежнему упоминается просто как « критерий Кулона».

Критерий разрушения Мора – Кулона

Рисунок 1: Вид поверхности разрушения Мора – Кулона в трехмерном пространстве главных напряжений для

{\ displaystyle c = 2, \ phi = -20 ^ {\ circ}}

с = 2, \ phi = -20 ^ \ circ

Критерий разрушения Мора – Кулона представляет собой линейную огибающую, которая получается из графика зависимости прочности материала на сдвиг от приложенного нормального напряжения. Это отношение выражается как

{\ Displaystyle \ тау = \ сигма ~ \ загар (\ фи) + с}

\ tau = \ sigma ~ \ tan (\ phi) + с

где - прочность на сдвиг, - нормальное напряжение, - точка пересечения границы разрушения с осью и - наклон зоны разрушения. Величину часто называют сцеплением, а угол - углом внутреннего трения. В нижеследующем обсуждении предполагается, что сжатие положительно. Если предполагается отрицательное сжатие, его следует заменить на. ${\ Displaystyle \ тау}$ $\тау$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\сигма$ ${\ displaystyle c}$ $c$ ${\ Displaystyle \ тау}$ $\тау$ ${\ Displaystyle \ загар (\ фи)}$ ${\ Displaystyle \ загар (\ фи)}$ ${\ displaystyle c}$ $c$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\сигма$ ${\ displaystyle - \ sigma}$ $-\сигма$

Если критерий Мора – Кулона сводится к критерию Трески. С другой стороны, если модель Мора – Кулона эквивалентна модели Ренкина. Более высокие значения не допускаются. ${\ displaystyle \ phi = 0}$ $\ phi = 0$ ${\ displaystyle \ phi = 90 ^ {\ circ}}$ $\ phi = 90 ^ {\ circ}$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$

Из круга Мора имеем

{\ displaystyle \ sigma = \ sigma _ {m} - \ tau _ {m} \ sin \ phi ~; ~~ \ tau = \ tau _ {m} \ cos \ phi}

\ sigma = \ sigma _ {m} - \ tau _ {m} \ sin \ phi ~; ~~ \ tau = \ tau _ {m} \ cos \ phi

куда

{\ displaystyle \ tau _ {m} = {\ cfrac {\ sigma _ {1} - \ sigma _ {3}} {2}} ~; ~~ \ sigma _ {m} = {\ cfrac {\ sigma _ {1} + \ sigma _ {3}} {2}}}

{\ displaystyle \ tau _ {m} = {\ cfrac {\ sigma _ {1} - \ sigma _ {3}} {2}} ~; ~~ \ sigma _ {m} = {\ cfrac {\ sigma _ {1} + \ sigma _ {3}} {2}}}

и - максимальное главное напряжение, и - минимальное главное напряжение. ${\ displaystyle \ sigma _ {1}}$ $\ sigma _ {1}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {3}}$ $\ sigma_3$

Следовательно, критерий Мора – Кулона можно также выразить как

{\ displaystyle \ tau _ {m} = \ sigma _ {m} \ sin \ phi + c \ cos \ phi ~.}

\ tau _ {m} = \ sigma _ {m} \ sin \ phi + c \ cos \ phi ~.

Эта форма критерия Мора – Кулона применима к отказу на плоскости, параллельной направлению. ${\ displaystyle \ sigma _ {2}}$ $\ sigma _ {2}$

Критерий разрушения Мора – Кулона в трех измерениях

Трехмерный критерий Мора – Кулона часто выражается как

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {align} \ pm {\ cfrac {\ sigma _ {1} - \ sigma _ {2}} {2}} amp; = \ left [{\ cfrac {\ sigma _ { 1} + \ sigma _ {2}} {2}} \ right] \ sin (\ phi) + c \ cos (\ phi) \\\ pm {\ cfrac {\ sigma _ {2} - \ sigma _ { 3}} {2}} amp; = \ left [{\ cfrac {\ sigma _ {2} + \ sigma _ {3}} {2}} \ right] \ sin (\ phi) + c \ cos (\ phi) \\\ pm {\ cfrac {\ sigma _ {3} - \ sigma _ {1}} {2}} amp; = \ left [{\ cfrac {\ sigma _ {3} + \ sigma _ {1}} {2}} \ right] \ sin (\ phi) + c \ cos (\ phi). \ End {align}} \ right.}

\ left \ {{\ begin {align} \ pm {\ cfrac {\ sigma _ {1} - \ sigma _ {2}} {2}} amp; = \ left [{\ cfrac {\ sigma _ {1} + \ sigma _ {2}} {2}} \ right] \ sin (\ phi) + c \ cos (\ phi) \\\ pm {\ cfrac {\ sigma _ {2} - \ sigma _ {3}} {2}} amp; = \ left [{\ cfrac {\ sigma _ {2} + \ sigma _ {3}} {2}} \ right] \ sin (\ phi) + c \ cos (\ phi) \\ \ pm {\ cfrac {\ sigma _ {3} - \ sigma _ {1}} {2}} amp; = \ left [{\ cfrac {\ sigma _ {3} + \ sigma _ {1}} {2} } \ right] \ sin (\ phi) + c \ cos (\ phi). \ end {align}} \ right.

Поверхность разрушения Мора-Кулон является конусом с шестиугольным поперечным сечением в девиаторном пространстве напряжений.

Выражения для и могут быть обобщены для трех измерений путем разработки выражений для нормального напряжения и разрешенного напряжения сдвига на плоскости произвольной ориентации по отношению к осям координат (базисным векторам). Если единица измерения, нормальная к интересующей плоскости, равна ${\ Displaystyle \ тау}$ $\тау$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\сигма$

{\ displaystyle \ mathbf {n} = n_ {1} ~ \ mathbf {e} _ {1} + n_ {2} ~ \ mathbf {e} _ {2} + n_ {3} ~ \ mathbf {e} _ {3}}

{\ mathbf {n}} = n_ {1} ~ {\ mathbf {e}} _ {1} + n_ {2} ~ {\ mathbf {e}} _ {2} + n_ {3} ~ {\ mathbf {e}} _ {3}

где три блок ортонормирована базисные векторы, и если главные напряжения выровнены с базисными векторами, то выражения для являются ${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i}, ~~ i = 1,2,3}$ ${\ mathbf {e}} _ {i}, ~~ i = 1,2,3$ ${\ Displaystyle \ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}, \ sigma _ {3}}$ $\ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}, \ sigma _ {3}$ ${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {1}, \ mathbf {e} _ {2}, \ mathbf {e} _ {3}}$ ${\ mathbf {e}} _ {1}, {\ mathbf {e}} _ {2}, {\ mathbf {e}} _ {3}$ ${\ displaystyle \ sigma, \ tau}$ $\ сигма, \ тау$

{\ displaystyle {\ begin {align} \ sigma amp; = n_ {1} ^ {2} \ sigma _ {1} + n_ {2} ^ {2} \ sigma _ {2} + n_ {3} ^ {2 } \ sigma _ {3} \\\ tau amp; = {\ sqrt {(n_ {1} \ sigma _ {1}) ^ {2} + (n_ {2} \ sigma _ {2}) ^ {2} + (n_ {3} \ sigma _ {3}) ^ {2} - \ sigma ^ {2}}} \\ amp; = {\ sqrt {n_ {1} ^ {2} n_ {2} ^ {2} (\ sigma _ {1} - \ sigma _ {2}) ^ {2} + n_ {2} ^ {2} n_ {3} ^ {2} (\ sigma _ {2} - \ sigma _ {3}) ^ {2} + n_ {3} ^ {2} n_ {1} ^ {2} (\ sigma _ {3} - \ sigma _ {1}) ^ {2}}}. \ End {выравнивается}} }

{\ displaystyle {\ begin {align} \ sigma amp; = n_ {1} ^ {2} \ sigma _ {1} + n_ {2} ^ {2} \ sigma _ {2} + n_ {3} ^ {2 } \ sigma _ {3} \\\ tau amp; = {\ sqrt {(n_ {1} \ sigma _ {1}) ^ {2} + (n_ {2} \ sigma _ {2}) ^ {2} + (n_ {3} \ sigma _ {3}) ^ {2} - \ sigma ^ {2}}} \\ amp; = {\ sqrt {n_ {1} ^ {2} n_ {2} ^ {2} (\ sigma _ {1} - \ sigma _ {2}) ^ {2} + n_ {2} ^ {2} n_ {3} ^ {2} (\ sigma _ {2} - \ sigma _ {3}) ^ {2} + n_ {3} ^ {2} n_ {1} ^ {2} (\ sigma _ {3} - \ sigma _ {1}) ^ {2}}}. \ End {выравнивается}} }

Затем критерий разрушения Мора – Кулона можно оценить с помощью обычного выражения

{\ Displaystyle \ тау = \ сигма ~ \ загар (\ фи) + с}

\ tau = \ sigma ~ \ tan (\ phi) + с

для шести плоскостей максимального напряжения сдвига.

Получение нормального напряжения и напряжения сдвига на плоскости
Пусть единица, нормальная к интересующей плоскости, есть ${\ displaystyle \ mathbf {n} = n_ {1} ~ \ mathbf {e} _ {1} + n_ {2} ~ \ mathbf {e} _ {2} + n_ {3} ~ \ mathbf {e} _ {3}}$ ${\ mathbf {n}} = n_ {1} ~ {\ mathbf {e}} _ {1} + n_ {2} ~ {\ mathbf {e}} _ {2} + n_ {3} ~ {\ mathbf {e}} _ {3}$ где - три ортонормированных единичных базисных вектора. Тогда вектор тяги на плоскости определяется выражением ${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i}, ~~ i = 1,2,3}$ ${\ mathbf {e}} _ {i}, ~~ i = 1,2,3$ ${\ displaystyle \ mathbf {t} = n_ {i} ~ \ sigma _ {ij} ~ \ mathbf {e} _ {j} ~~~ {\ text {(повторяющиеся индексы указывают на суммирование)}}}$ ${\ mathbf {t}} = n_ {i} ~ \ sigma _ {{ij}} ~ {\ mathbf {e}} _ {j} ~~~ {\ text {(повторяющиеся индексы указывают на суммирование)}}$ Величина вектора тяги определяется выражением ${\ displaystyle \| \ mathbf {t} \| = {\ sqrt {(n_ {j} ~ \ sigma _ {1j}) ^ {2} + (n_ {k} ~ \ sigma _ {2k}) ^ {2} + (n_ {l} ~ \ sigma _ {3l}) ^ {2}}} ~~~ {\ text {(повторяющиеся индексы указывают на суммирование)}}}$ $\| {\ mathbf {t}} \| = {\ sqrt {(n_ {j} ~ \ sigma _ {{1j}}) ^ {2} + (n_ {k} ~ \ sigma _ {{2k}}) ^ {2} + (n_ {l} ~ \ sigma _ {{3l}}) ^ {2}}} ~~~ {\ text {(повторяющиеся индексы указывают на суммирование)}}$ Тогда величина напряжения, нормального к плоскости, определяется выражением ${\ displaystyle \ sigma = \ mathbf {t} \ cdot \ mathbf {n} = n_ {i} ~ \ sigma _ {ij} ~ n_ {j} ~~ {\ text {(повторяющиеся индексы указывают на суммирование)}}}$ $\ sigma = {\ mathbf {t}} \ cdot {\ mathbf {n}} = n_ {i} ~ \ sigma _ {{ij}} ~ n_ {j} ~~ {\ text {(повторяющиеся индексы указывают на суммирование) }}$ Величина разрешенного напряжения сдвига на плоскости определяется выражением ${\ Displaystyle \ тау = {\ sqrt {\| \ mathbf {t} \| ^ {2} - \ sigma ^ {2}}}}$ $\ tau = {\ sqrt {\| {\ mathbf {t}} \| ^ {2} - \ sigma ^ {2}}}$ Что касается компонентов, у нас есть ${\ displaystyle {\ begin {align} \ sigma amp; = n_ {1} ^ {2} \ sigma _ {11} + n_ {2} ^ {2} \ sigma _ {22} + n_ {3} ^ {2 } \ sigma _ {33} +2 (n_ {1} n_ {2} \ sigma _ {12} + n_ {2} n_ {3} \ sigma _ {23} + n_ {3} n_ {1} \ sigma _ {31}) \\\ tau amp; = {\ sqrt {(n_ {1} \ sigma _ {11} + n_ {2} \ sigma _ {12} + n_ {3} \ sigma _ {31}) ^ {2} + (n_ {1} \ sigma _ {12} + n_ {2} \ sigma _ {22} + n_ {3} \ sigma _ {23}) ^ {2} + (n_ {1} \ sigma _ {31} + n_ {2} \ sigma _ {23} + n_ {3} \ sigma _ {33}) ^ {2} - \ sigma ^ {2}}} \ end {align}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} \ sigma amp; = n_ {1} ^ {2} \ sigma _ {11} + n_ {2} ^ {2} \ sigma _ {22} + n_ {3} ^ {2 } \ sigma _ {33} +2 (n_ {1} n_ {2} \ sigma _ {12} + n_ {2} n_ {3} \ sigma _ {23} + n_ {3} n_ {1} \ sigma _ {31}) \\\ tau amp; = {\ sqrt {(n_ {1} \ sigma _ {11} + n_ {2} \ sigma _ {12} + n_ {3} \ sigma _ {31}) ^ {2} + (n_ {1} \ sigma _ {12} + n_ {2} \ sigma _ {22} + n_ {3} \ sigma _ {23}) ^ {2} + (n_ {1} \ sigma _ {31} + n_ {2} \ sigma _ {23} + n_ {3} \ sigma _ {33}) ^ {2} - \ sigma ^ {2}}} \ end {align}}}$ Если главные напряжения выравниваются с базисными векторами, то выражения для АРЯ ${\ Displaystyle \ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}, \ sigma _ {3}}$ $\ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}, \ sigma _ {3}$ ${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {1}, \ mathbf {e} _ {2}, \ mathbf {e} _ {3}}$ ${\ mathbf {e}} _ {1}, {\ mathbf {e}} _ {2}, {\ mathbf {e}} _ {3}$ ${\ displaystyle \ sigma, \ tau}$ $\ сигма, \ тау$ ${\ displaystyle {\ begin {align} \ sigma amp; = n_ {1} ^ {2} \ sigma _ {1} + n_ {2} ^ {2} \ sigma _ {2} + n_ {3} ^ {2 } \ sigma _ {3} \\\ tau amp; = {\ sqrt {(n_ {1} \ sigma _ {1}) ^ {2} + (n_ {2} \ sigma _ {2}) ^ {2} + (n_ {3} \ sigma _ {3}) ^ {2} - \ sigma ^ {2}}} \\ amp; = {\ sqrt {n_ {1} ^ {2} n_ {2} ^ {2} (\ sigma _ {1} - \ sigma _ {2}) ^ {2} + n_ {2} ^ {2} n_ {3} ^ {2} (\ sigma _ {2} - \ sigma _ {3}) ^ {2} + n_ {3} ^ {2} n_ {1} ^ {2} (\ sigma _ {3} - \ sigma _ {1}) ^ {2}}} \ end {выровнено}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} \ sigma amp; = n_ {1} ^ {2} \ sigma _ {1} + n_ {2} ^ {2} \ sigma _ {2} + n_ {3} ^ {2 } \ sigma _ {3} \\\ tau amp; = {\ sqrt {(n_ {1} \ sigma _ {1}) ^ {2} + (n_ {2} \ sigma _ {2}) ^ {2} + (n_ {3} \ sigma _ {3}) ^ {2} - \ sigma ^ {2}}} \\ amp; = {\ sqrt {n_ {1} ^ {2} n_ {2} ^ {2} (\ sigma _ {1} - \ sigma _ {2}) ^ {2} + n_ {2} ^ {2} n_ {3} ^ {2} (\ sigma _ {2} - \ sigma _ {3}) ^ {2} + n_ {3} ^ {2} n_ {1} ^ {2} (\ sigma _ {3} - \ sigma _ {1}) ^ {2}}} \ end {выровнено}}}$

Получение нормального напряжения и напряжения сдвига на плоскости

Пусть единица, нормальная к интересующей плоскости, есть

{\ displaystyle \ mathbf {n} = n_ {1} ~ \ mathbf {e} _ {1} + n_ {2} ~ \ mathbf {e} _ {2} + n_ {3} ~ \ mathbf {e} _ {3}}

{\ mathbf {n}} = n_ {1} ~ {\ mathbf {e}} _ {1} + n_ {2} ~ {\ mathbf {e}} _ {2} + n_ {3} ~ {\ mathbf {e}} _ {3}

где - три ортонормированных единичных базисных вектора. Тогда вектор тяги на плоскости определяется выражением ${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i}, ~~ i = 1,2,3}$ ${\ mathbf {e}} _ {i}, ~~ i = 1,2,3$

{\ displaystyle \ mathbf {t} = n_ {i} ~ \ sigma _ {ij} ~ \ mathbf {e} _ {j} ~~~ {\ text {(повторяющиеся индексы указывают на суммирование)}}}

{\ mathbf {t}} = n_ {i} ~ \ sigma _ {{ij}} ~ {\ mathbf {e}} _ {j} ~~~ {\ text {(повторяющиеся индексы указывают на суммирование)}}

Величина вектора тяги определяется выражением

{\ displaystyle | \ mathbf {t} | = {\ sqrt {(n_ {j} ~ \ sigma _ {1j}) ^ {2} + (n_ {k} ~ \ sigma _ {2k}) ^ {2} + (n_ {l} ~ \ sigma _ {3l}) ^ {2}}} ~~~ {\ text {(повторяющиеся индексы указывают на суммирование)}}}

| {\ mathbf {t}} | = {\ sqrt {(n_ {j} ~ \ sigma _ {{1j}}) ^ {2} + (n_ {k} ~ \ sigma _ {{2k}}) ^ {2} + (n_ {l} ~ \ sigma _ {{3l}}) ^ {2}}} ~~~ {\ text {(повторяющиеся индексы указывают на суммирование)}}

Тогда величина напряжения, нормального к плоскости, определяется выражением

{\ displaystyle \ sigma = \ mathbf {t} \ cdot \ mathbf {n} = n_ {i} ~ \ sigma _ {ij} ~ n_ {j} ~~ {\ text {(повторяющиеся индексы указывают на суммирование)}}}

\ sigma = {\ mathbf {t}} \ cdot {\ mathbf {n}} = n_ {i} ~ \ sigma _ {{ij}} ~ n_ {j} ~~ {\ text {(повторяющиеся индексы указывают на суммирование) }}

Величина разрешенного напряжения сдвига на плоскости определяется выражением

{\ Displaystyle \ тау = {\ sqrt {| \ mathbf {t} | ^ {2} - \ sigma ^ {2}}}}

\ tau = {\ sqrt {| {\ mathbf {t}} | ^ {2} - \ sigma ^ {2}}}

Что касается компонентов, у нас есть

{\ displaystyle {\ begin {align} \ sigma amp; = n_ {1} ^ {2} \ sigma _ {11} + n_ {2} ^ {2} \ sigma _ {22} + n_ {3} ^ {2 } \ sigma _ {33} +2 (n_ {1} n_ {2} \ sigma _ {12} + n_ {2} n_ {3} \ sigma _ {23} + n_ {3} n_ {1} \ sigma _ {31}) \\\ tau amp; = {\ sqrt {(n_ {1} \ sigma _ {11} + n_ {2} \ sigma _ {12} + n_ {3} \ sigma _ {31}) ^ {2} + (n_ {1} \ sigma _ {12} + n_ {2} \ sigma _ {22} + n_ {3} \ sigma _ {23}) ^ {2} + (n_ {1} \ sigma _ {31} + n_ {2} \ sigma _ {23} + n_ {3} \ sigma _ {33}) ^ {2} - \ sigma ^ {2}}} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ sigma amp; = n_ {1} ^ {2} \ sigma _ {11} + n_ {2} ^ {2} \ sigma _ {22} + n_ {3} ^ {2 } \ sigma _ {33} +2 (n_ {1} n_ {2} \ sigma _ {12} + n_ {2} n_ {3} \ sigma _ {23} + n_ {3} n_ {1} \ sigma _ {31}) \\\ tau amp; = {\ sqrt {(n_ {1} \ sigma _ {11} + n_ {2} \ sigma _ {12} + n_ {3} \ sigma _ {31}) ^ {2} + (n_ {1} \ sigma _ {12} + n_ {2} \ sigma _ {22} + n_ {3} \ sigma _ {23}) ^ {2} + (n_ {1} \ sigma _ {31} + n_ {2} \ sigma _ {23} + n_ {3} \ sigma _ {33}) ^ {2} - \ sigma ^ {2}}} \ end {align}}}

Если главные напряжения выравниваются с базисными векторами, то выражения для АРЯ ${\ Displaystyle \ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}, \ sigma _ {3}}$ $\ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}, \ sigma _ {3}$ ${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {1}, \ mathbf {e} _ {2}, \ mathbf {e} _ {3}}$ ${\ mathbf {e}} _ {1}, {\ mathbf {e}} _ {2}, {\ mathbf {e}} _ {3}$ ${\ displaystyle \ sigma, \ tau}$ $\ сигма, \ тау$

{\ displaystyle {\ begin {align} \ sigma amp; = n_ {1} ^ {2} \ sigma _ {1} + n_ {2} ^ {2} \ sigma _ {2} + n_ {3} ^ {2 } \ sigma _ {3} \\\ tau amp; = {\ sqrt {(n_ {1} \ sigma _ {1}) ^ {2} + (n_ {2} \ sigma _ {2}) ^ {2} + (n_ {3} \ sigma _ {3}) ^ {2} - \ sigma ^ {2}}} \\ amp; = {\ sqrt {n_ {1} ^ {2} n_ {2} ^ {2} (\ sigma _ {1} - \ sigma _ {2}) ^ {2} + n_ {2} ^ {2} n_ {3} ^ {2} (\ sigma _ {2} - \ sigma _ {3}) ^ {2} + n_ {3} ^ {2} n_ {1} ^ {2} (\ sigma _ {3} - \ sigma _ {1}) ^ {2}}} \ end {выровнено}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ sigma amp; = n_ {1} ^ {2} \ sigma _ {1} + n_ {2} ^ {2} \ sigma _ {2} + n_ {3} ^ {2 } \ sigma _ {3} \\\ tau amp; = {\ sqrt {(n_ {1} \ sigma _ {1}) ^ {2} + (n_ {2} \ sigma _ {2}) ^ {2} + (n_ {3} \ sigma _ {3}) ^ {2} - \ sigma ^ {2}}} \\ amp; = {\ sqrt {n_ {1} ^ {2} n_ {2} ^ {2} (\ sigma _ {1} - \ sigma _ {2}) ^ {2} + n_ {2} ^ {2} n_ {3} ^ {2} (\ sigma _ {2} - \ sigma _ {3}) ^ {2} + n_ {3} ^ {2} n_ {1} ^ {2} (\ sigma _ {3} - \ sigma _ {1}) ^ {2}}} \ end {выровнено}}}

Рисунок 2: Поверхность текучести Мора – Кулона в плоскости для

{\ displaystyle \ pi}

\Пи

{\ displaystyle c = 2, \ phi = 20 ^ {\ circ}}

c = 2, \ phi = 20 ^ {\ circ}

Рисунок 3: След поверхности текучести Мора – Кулона в плоскости для

{\ displaystyle \ sigma _ {1} - \ sigma _ {2}}

\ sigma _ {1} - \ sigma _ {2}

{\ displaystyle c = 2, \ phi = 20 ^ {\ circ}}

c = 2, \ phi = 20 ^ {\ circ}

Поверхность разрушения Мора – Кулона в пространстве Хая – Вестергаарда

Поверхность разрушения (текучести) Мора – Кулона часто выражается в координатах Хая – Вестергаада. Например, функция

{\ displaystyle {\ cfrac {\ sigma _ {1} - \ sigma _ {3}} {2}} = {\ cfrac {\ sigma _ {1} + \ sigma _ {3}} {2}} ~ \ грех \ фи + с \ соз \ фи}

{\ cfrac {\ sigma _ {1} - \ sigma _ {3}} {2}} = {\ cfrac {\ sigma _ {1} + \ sigma _ {3}} {2}} ~ \ sin \ phi + c \ cos \ phi

можно выразить как

{\ displaystyle \ left [{\ sqrt {3}} ~ \ sin \ left (\ theta + {\ cfrac {\ pi} {3}} \ right) - \ sin \ phi \ cos \ left (\ theta + { \ cfrac {\ pi} {3}} \ right) \ right] \ rho - {\ sqrt {2}} \ sin (\ phi) \ xi = {\ sqrt {6}} c \ cos \ phi.}

\ left [{\ sqrt {3}} ~ \ sin \ left (\ theta + {\ cfrac {\ pi} {3}} \ right) - \ sin \ phi \ cos \ left (\ theta + {\ cfrac { \ pi} {3}} \ right) \ right] \ rho - {\ sqrt {2}} \ sin (\ phi) \ xi = {\ sqrt {6}} c \ cos \ phi.

В качестве альтернативы в терминах инвариантов мы можем написать ${\ displaystyle p, q, r}$ $р, д, г$

{\ displaystyle \ left [{\ cfrac {1} {{\ sqrt {3}} ~ \ cos \ phi}} ~ \ sin \ left (\ theta + {\ cfrac {\ pi} {3}} \ right) - {\ cfrac {1} {3}} \ tan \ phi ~ \ cos \ left (\ theta + {\ cfrac {\ pi} {3}} \ right) \ right] qp ~ \ tan \ phi = c}

\ left [{\ cfrac {1} {{\ sqrt {3}} ~ \ cos \ phi}} ~ \ sin \ left (\ theta + {\ cfrac {\ pi} {3}} \ right) - {\ cfrac {1} {3}} \ tan \ phi ~ \ cos \ left (\ theta + {\ cfrac {\ pi} {3}} \ right) \ right] qp ~ \ tan \ phi = c

куда

{\ displaystyle \ theta = {\ cfrac {1} {3}} \ arccos \ left [\ left ({\ cfrac {r} {q}} \ right) ^ {3} \ right] ~.}

\ theta = {\ cfrac {1} {3}} \ arccos \ left [\ left ({\ cfrac {r} {q}} \ right) ^ {3} \ right] ~.

Вывод альтернативных форм функции текучести Мора – Кулона
Мы можем выразить функцию доходности ${\ displaystyle {\ cfrac {\ sigma _ {1} - \ sigma _ {3}} {2}} = {\ cfrac {\ sigma _ {1} + \ sigma _ {3}} {2}} ~ \ грех \ фи + с \ соз \ фи}$ ${\ cfrac {\ sigma _ {1} - \ sigma _ {3}} {2}} = {\ cfrac {\ sigma _ {1} + \ sigma _ {3}} {2}} ~ \ sin \ phi + c \ cos \ phi$ в качестве ${\ displaystyle \ sigma _ {1} ~ {\ cfrac {(1- \ sin \ phi)} {2 ~ c ~ \ cos \ phi}} - \ sigma _ {3} ~ {\ cfrac {(1+ \ sin \ phi)} {2 ~ c ~ \ cos \ phi}} = 1 ~.}$ $\ sigma _ {1} ~ {\ cfrac {(1- \ sin \ phi)} {2 ~ c ~ \ cos \ phi}} - \ sigma _ {3} ~ {\ cfrac {(1+ \ sin \ phi)} {2 ~ c ~ \ cos \ phi}} = 1 ~.$ В инварианты Хей-Вестергард связаны с главными напряжениями от ${\ Displaystyle \ sigma _ {1} = {\ cfrac {1} {\ sqrt {3}}} ~ \ xi + {\ sqrt {\ cfrac {2} {3}}} ~ \ rho ~ \ cos \ theta ~; ~~ \ sigma _ {3} = {\ cfrac {1} {\ sqrt {3}}} ~ \ xi + {\ sqrt {\ cfrac {2} {3}}} ~ \ rho ~ \ cos \ left (\ theta + {\ cfrac {2 \ pi} {3}} \ right) ~.}$ $\ sigma _ {1} = {\ cfrac {1} {{\ sqrt {3}}}} ~ \ xi + {\ sqrt {{\ cfrac {2} {3}}}} ~ \ rho ~ \ cos \ theta ~; ~~ \ sigma _ {3} = {\ cfrac {1} {{\ sqrt {3}}}} ~ \ xi + {\ sqrt {{\ cfrac {2} {3}}}} ~ \ rho ~ \ cos \ left (\ theta + {\ cfrac {2 \ pi} {3}} \ right) ~.$ Подстановка выражения для функции текучести Мора – Кулона дает нам ${\ displaystyle - {\ sqrt {2}} ~ \ xi ~ \ sin \ phi + \ rho [\ cos \ theta - \ cos (\ theta +2 \ pi / 3)] - \ rho \ sin \ phi [\ cos \ theta + \ cos (\ theta +2 \ pi / 3)] = {\ sqrt {6}} ~ c ~ \ cos \ phi}$ $- {\ sqrt {2}} ~ \ xi ~ \ sin \ phi + \ rho [\ cos \ theta - \ cos (\ theta +2 \ pi / 3)] - \ rho \ sin \ phi [\ cos \ theta + \ cos (\ theta +2 \ pi / 3)] = {\ sqrt {6}} ~ c ~ \ cos \ phi$ Использование тригонометрических тождеств для суммы и разности косинусов и перестановки дает нам выражение функции текучести Мора – Кулона через. ${\ Displaystyle \ xi, \ rho, \ theta}$ $\ xi, \ rho, \ theta$ Мы можем выразить функцию доходности в терминах, используя соотношения ${\ displaystyle p, q}$ $р, д$ ${\ displaystyle \ xi = {\ sqrt {3}} ~ p ~; ~~ \ rho = {\ sqrt {\ cfrac {2} {3}}} ~ q}$ ${\ displaystyle \ xi = {\ sqrt {3}} ~ p ~; ~~ \ rho = {\ sqrt {\ cfrac {2} {3}}} ~ q}$ и прямая замена.

Вывод альтернативных форм функции текучести Мора – Кулона

Мы можем выразить функцию доходности

{\ displaystyle {\ cfrac {\ sigma _ {1} - \ sigma _ {3}} {2}} = {\ cfrac {\ sigma _ {1} + \ sigma _ {3}} {2}} ~ \ грех \ фи + с \ соз \ фи}

{\ cfrac {\ sigma _ {1} - \ sigma _ {3}} {2}} = {\ cfrac {\ sigma _ {1} + \ sigma _ {3}} {2}} ~ \ sin \ phi + c \ cos \ phi

в качестве

{\ displaystyle \ sigma _ {1} ~ {\ cfrac {(1- \ sin \ phi)} {2 ~ c ~ \ cos \ phi}} - \ sigma _ {3} ~ {\ cfrac {(1+ \ sin \ phi)} {2 ~ c ~ \ cos \ phi}} = 1 ~.}

\ sigma _ {1} ~ {\ cfrac {(1- \ sin \ phi)} {2 ~ c ~ \ cos \ phi}} - \ sigma _ {3} ~ {\ cfrac {(1+ \ sin \ phi)} {2 ~ c ~ \ cos \ phi}} = 1 ~.

В инварианты Хей-Вестергард связаны с главными напряжениями от

{\ Displaystyle \ sigma _ {1} = {\ cfrac {1} {\ sqrt {3}}} ~ \ xi + {\ sqrt {\ cfrac {2} {3}}} ~ \ rho ~ \ cos \ theta ~; ~~ \ sigma _ {3} = {\ cfrac {1} {\ sqrt {3}}} ~ \ xi + {\ sqrt {\ cfrac {2} {3}}} ~ \ rho ~ \ cos \ left (\ theta + {\ cfrac {2 \ pi} {3}} \ right) ~.}

\ sigma _ {1} = {\ cfrac {1} {{\ sqrt {3}}}} ~ \ xi + {\ sqrt {{\ cfrac {2} {3}}}} ~ \ rho ~ \ cos \ theta ~; ~~ \ sigma _ {3} = {\ cfrac {1} {{\ sqrt {3}}}} ~ \ xi + {\ sqrt {{\ cfrac {2} {3}}}} ~ \ rho ~ \ cos \ left (\ theta + {\ cfrac {2 \ pi} {3}} \ right) ~.

Подстановка выражения для функции текучести Мора – Кулона дает нам

{\ displaystyle - {\ sqrt {2}} ~ \ xi ~ \ sin \ phi + \ rho [\ cos \ theta - \ cos (\ theta +2 \ pi / 3)] - \ rho \ sin \ phi [\ cos \ theta + \ cos (\ theta +2 \ pi / 3)] = {\ sqrt {6}} ~ c ~ \ cos \ phi}

- {\ sqrt {2}} ~ \ xi ~ \ sin \ phi + \ rho [\ cos \ theta - \ cos (\ theta +2 \ pi / 3)] - \ rho \ sin \ phi [\ cos \ theta + \ cos (\ theta +2 \ pi / 3)] = {\ sqrt {6}} ~ c ~ \ cos \ phi

Использование тригонометрических тождеств для суммы и разности косинусов и перестановки дает нам выражение функции текучести Мора – Кулона через. ${\ Displaystyle \ xi, \ rho, \ theta}$ $\ xi, \ rho, \ theta$

Мы можем выразить функцию доходности в терминах, используя соотношения ${\ displaystyle p, q}$ $р, д$

{\ displaystyle \ xi = {\ sqrt {3}} ~ p ~; ~~ \ rho = {\ sqrt {\ cfrac {2} {3}}} ~ q}

{\ displaystyle \ xi = {\ sqrt {3}} ~ p ~; ~~ \ rho = {\ sqrt {\ cfrac {2} {3}}} ~ q}

и прямая замена.

Податливость и пластичность Мора – Кулона

Поверхность текучести Мора – Кулона часто используется для моделирования пластического течения геоматериалов (и других материалов, связанных с трением). Многие такие материалы демонстрируют дилатационное поведение при трехосных напряжениях, которые не учитываются в модели Мора – Кулона. Кроме того, поскольку поверхность текучести имеет углы, может быть неудобно использовать исходную модель Мора – Кулона для определения направления пластического течения (в теории пластичности течения ).

Распространенным подходом является использование гладкого не связанного потенциала пластического течения. Примером такого потенциала является функция

{\ displaystyle g: = {\ sqrt {(\ alpha c _ {\ mathrm {y}} \ tan \ psi) ^ {2} + G ^ {2} (\ phi, \ theta) ~ q ^ {2}} } -p \ tan \ phi}

g: = {\ sqrt {(\ alpha c _ {{\ mathrm {y}}} \ tan \ psi) ^ {2} + G ^ {2} (\ phi, \ theta) ~ q ^ {2}}} -p \ tan \ phi

где - параметр, - значение, когда пластическая деформация равна нулю (также называемая начальным пределом текучести когезии), - угол, образующий поверхность текучести в плоскости Rendulic при высоких значениях (этот угол также называется углом растяжения).), и является подходящей функцией, которая также является гладкой в плоскости девиаторных напряжений. ${\ displaystyle \ alpha}$ $\альфа$ ${\ displaystyle c _ {\ mathrm {y}}}$ $с _ {{\ mathrm {y}}}$ ${\ displaystyle c}$ $c$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ ${\ displaystyle p}$ $п$ ${\ Displaystyle G (\ phi, \ theta)}$ $G (\ phi, \ theta)$

Типичные значения сцепления и угла внутреннего трения

Значения когезии (также называемой прочностью сцепления) и угла трения для горных пород и некоторых распространенных грунтов перечислены в таблицах ниже.

Прочность сцепления (c) для некоторых материалов
Материал	Прочность сцепления в кПа	Прочность сцепления в фунтах на квадратный дюйм
Рок	10 000	1450
Ил	75	10
Глина	От 10 до200	1,5 к30
Очень мягкая глина	От 0 до48	От 0 до7
Мягкая глина	48 к96	7 к14
Средняя глина	96 к192	С 14 до28 год
Жесткая глина	192 к384	28 к56
Очень жесткая глина	384 к766	28 к110
Твердая глина	gt; 766	gt; 110

Угол внутреннего трения () для некоторых материалов ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$
Материал	Угол трения в градусах
Рок	30 °
Песок	30 ° до45 °
Гравий	35 °
Ил	26 ° до35 °
Глина	20 °
Рыхлый песок	30 ° до35 °
Средний песок	40 °
Плотный песок	От 35 ° до45 °
Песчаный гравий	gt; 34 ° до48 °

Смотрите также

Трехмерная эластичность
Критерий несостоятельности Хука – Брауна
Закон Байерли
Боковое давление грунта
фон Мизес стресс
Доходность (инженерная)
Критерий текучести Друкера-Прагера - гладкая версия критерия текучести M – C
Координаты Лоде

использованная литература

^ Ювинал, Роберт С. и Маршек, Курт.; Основы проектирования узлов машин. - 2-е изд., 1991, стр. 217, ISBN 0-471-62281-8
Перейти ↑ Coulomb, CA (1776). Essai sur une application des regles des maximis et minimis a quelquels issuesde statique relatifs, как архитектура. Mem. Акад. Рой. Div. Сав., Т. 7. С. 343–387.
^ Staat, M. (2021) Критерий Мора – Кулона типа деформации растяжения. Rock Mech. Rock Eng., DOI: 10.1007 / s00603-021-02608-7.
^ АМИР Р. ХОЕЙ; Расчетная пластичность в процессах порошкообразования ; Эльзевир, Амстердам; 2005; 449 с.
^ МАО-ХОНГ Ю; « Развитие теорий прочности материалов в условиях сложного напряженного состояния в ХХ веке »; Обзоры прикладной механики ; Американское общество инженеров-механиков, Нью-Йорк, США; May 2002; 55 (3): стр. 169–218.
^ НИЛЬС САБЬЕ ОТТОСЕН и МАТТИ РИСТИНМАА; Механика конститутивного моделирования ; Elsevier Science, Амстердам, Нидерланды; 2005; С. 165 и далее.
Перейти ↑ Coulomb, CA (1776). Essai sur une application des regles des maximis et minimis a quelquels issuesde statique relatifs, как архитектура. Mem. Акад. Рой. Div. Сав., Т. 7. С. 343–387.