Боковое давление грунта

Пример бокового давления грунта, опрокидывающего подпорную стенку

Боковое давление грунта : давление, которое почва оказывает в горизонтальном направлении. Боковое давление грунта важно, поскольку оно влияет на характеристики уплотнения и прочности грунта, а также потому, что оно учитывается при проектировании инженерно-геологических конструкций, таких как подпорные стены, подвалы., туннели, глубокие фундаменты и раскопки с расчалками.

Проблема давления земли начинается до 18 века, когда Готье перечислил пять областей, требующие исследования, одна из - размеры удерживающих гравитацию стен, необходимых для удержания почвы. Однако первый крупный вклад в область земных давлений был сделан десятилетиями позже Кулоном, который рассмотрел твердую массу грунта, скользящую по поверхности сдвига. Ренкин расширил теорию давления земли, получив решение для всей массы грунта в состоянии разрушения по сравнению с решением Кулона, в котором учитывалась масса грунта, ограниченная одной поверхностью разрушения. Первоначально теория Ранкина рассматривала случай только несвязных грунтов. Однако Белл расширил эту теорию на случай грунтов, обладающих как сцеплением, так и трением. Caquot и Kerisel модифицировали уравнения Мюллера-Бреслау, чтобы учесть неплоскую поверхность разрыва.

• 1 Коэффициент бокового давления грунта
• 2 Определения символов
• 3 Давление в состоянии покоя
• 4 Боковое давление почвы давление и пассивное сопротивление
  • 4.1 Коэффициенты давления земли Ренкина и расширение Белла для связных грунтов
  • 4.2 Коэффициенты давления земли Кулона
  • 4.3 Анализ Како и Керизеля для лог-спиральных поверхностей разрушения
  • 4.4 Земля Мононобе-Окабе и Капилла коэффициенты давления для динамических условий
  • 4.5 Подход Мазиндрани и Ганджале для связно-фрикционных грунтов с наклонной поверхностью
  • 4.6 Единый подход Пантелидиса: обобщенные коэффициенты давления грунта
    • 4.6.1 Коэффициент давления грунта в состоянии покоя
    • 4.6.2 Коэффициент активного давления грунта
    • 4.6.3 Коэффициент пассивного давления грунта
    • 4.6.4 Коэффициент промежуточного давления грунта на активной «стороне»
    • 4.6.5 Коэффициент промежуточного давления грунта на пассивной «стороне»
    • 4.6.6 Боковое максимальное смещение стен ы, соответствующее активному или пассивному состоянию
    • 4.6.7 Глубина трещины растяжения (активное состояние) или нейтральная зона (состояние при покое)
    • 4.6.8 Расчет давления грунта в состоянии покоя на основе активного коэффициента давления грунта
• 5 См. также
• 6 Примечания
• 7 Ссылки

Коэффициент бокового давления грунта, K, определяется как отношение горизонтального эффективное напряжение, σ 'h, к вертикальному эффективному напряжению, σ 'v. эффективное напряжение - это межкристаллитное напряжение, рассчитанное путем вычитания порового давления из общего напряжения, как описано в механике грунта. K для конкретного грунтового отложения функция Свойства грунта и истории напряжений. Минимальное стабильное значение K называется активным коэффициентом давления земли, K a ; хорошее давление грунта достигается, например, когда подпорная стена удаляется от грунта. Максимально стабильное значение K называется коэффициентом пассивного давления грунта, K p ; может быть пассивное давление грунта, например, против вертикального плуга, который толкает почву горизонтально. Для ровного грунта с нулевой боковой деформацией в грунте получают коэффициент бокового давления грунта «в состоянии покоя», K 0.

Есть много теорий для предсказания бокового давления земли; некоторые из них основаны на эмпирически, а некоторые получены аналитически.

В статье следующие переменные в уравнении этого измененного образа:

OCR

Коэффициент переуплотнения

β

Угол обратного склона, измеренный до по горизонтали

δ

Угол трения о стенку

θ

Угол стены, измеренный относительно вертикали

φ

Угол трения напряжения в грунте

φ'

Эффективный угол трения напряжения в грунте

φ'cs

Угол трения эффективного напряжения в критическом состоянии

in situ Боковое давление грунта называется давлением грунта в состоянии покоя и обычно рассчитывается как произведение напряжения покрывающей породы на коэффициент K 0 ; последний называется коэффициентом давления земли в состоянии покоя. K 0 можно получить непосредственно в поле на основе, например, дилатометрический тест (DMT) или скважинный прессиометрический тест (PMT), хотя он чаще рассчитывается с использованием хорошо известной формулы Джаки. Для рыхлых отложений песков в состоянии покоя Джейки аналитически показывает, что отклоняется от единицы с тенденцией к снижению по мере увеличения синусоидального члена угла внутреннего трения, т.е.

$K\; 0\; (NC)\; =\; 1\; -\; sin\; \; \varphi \; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{0\; (NC)\}\; =\; 1-\; \backslash \; sin\; \backslash \; phi\; \text{'}\}$

Позже было доказано, что коэффициент Джаки также применим для нормально консолидированных зернистых отложений и нормально консолидированных глин.

С теоретической точки зрения очень простая формула $1\; -\; sin\; \; \varphi \; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; 1-\; \backslash \; sin\; \backslash \; phi\; \text{'}\}$идеально подходит для двух крайних значений $\varphi \; \prime \; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; phi\; \text{'}\}$, где для $\varphi \; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\text{'}\}$= 0 это дает $K\; 0\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{0\}\; =\; 1\}$относится к гидростатическим условиям и для $\varphi \; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; \text{'}\}$= 90 (теоретическое значение) дает $K\; 0\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{0\}\; =\; 0\}$относится к фрикционному материалу, который может стоять вертикально без опоры, таким образом, не оказывая бокового давления. Эти крайние случаи имеют достаточное доказательство того, что правильным выражением является коэффициент давления земли в состоянии покоя $K\; 0\; =\; 1\; -\; sin\; \; \varphi \; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{0\}\; =\; 1-\; \backslash \; sin\; \backslash \; phi\; \text{'}\}$.

Существует общее впечатление, что коэффициент давления земли в состоянии покоя Джеки (1944) является эмпирическим и действительно $K\; 0\; =\; 1\; -\; sin\; \; \varphi \; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{0\}\; =\; 1-\; \backslash \; sin\; \backslash \; phi\; \text{'}\}$выражение - это просто упрощенное выражение ниже:

$K\; 0\; (NC)\; =\; 1\; +\; 2/3\; sin\; \; \varphi \; \prime \; 1\; +\; sin\; \; \varphi \; \prime \; (1\; -\; sin\; \; \varphi \; \prime )\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{0\; (\; NC)\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\; +\; 2/3\; \backslash \; sin\; \backslash \; phi\; \text{'}\}\; \{1+\; \backslash \; sin\; \backslash \; phi\text{'}\}\}\; (1-\; \backslash \; sin\; \backslash \; phi\; \text{'})\}$

Однако, последнее происходит из полностью аналитических процедур и соответствует промежуточному состоянию между состоянием покоя и активным состоянием (для получения дополнительной информации см. Pantelidis).

Как упоминалось ранее, согласно литературе, Jaky's $K\; 0\; =\; 1\; -\; sin\; \; \varphi \; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{0\}\; =\; 1-\; \backslash \; sin\; \backslash \; phi\; \text{'}\}$уравнение очень хорошо согласуется с экспериментальными данными как для нормально консолидированных песков, так и для глин. Некоторые исследователи, однако, заявляют, что слегка измененные формы уравнения Джеки лучше соответствуют их данным. Однако, хотя некоторые из этих модификаций приобрели большую популярность, они не использовали лучшую силу для $K\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{0\}\}$. Например, коэффициент Брукера и Ирландии $K\; 0\; =\; 0,95\; -\; грех\; \; \varphi \; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{0\}\; =\; 0,95-\; \backslash \; sin\; \backslash \; phi\; \text{'}\}$был основан на лабораторном определении $K\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{0\}\}$только пяти образцов, в то время как эффективный угол сопротивления сдвигу трех из них был получен из литературных источников без какого-либо контроля. Более того, уточнения порядка мягких пунктов скорее подтверждают справедливость $K\; 0\; =\; 1\; -\; sin\; \; \varphi \; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{0\}\; =\; 1-\; \backslash \; sin\; \backslash \; phi\; \text{'}\}$выражение, чем превосходство изысканного выражения.

Для переуплотненных грунтов Mayne Kulhawy представляют следующее выражение:

$K\; 0\; (OC)\; =\; K\; 0\; (NC)\; \ast \; OCR\; (sin\; \; \varphi \; \prime )\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{0\; (OC)\}\; =\; K\_\; \{0\; (NC)\}\; *\; OCR\; ^\; \{(\backslash \; sin\; \backslash \; phi\; \text{'})\}\; \backslash \}$

Последний требует определения глубины. OCR - это коэффициент переуплотнения, а $\varphi \; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; \text{'}\}$- эффективный угол трения.

Чтобы оценить K 0 из-за уплотнения давления, обратитесь к Ingold (1979)

Пантелидис применил аналитический эксперимент для коэффициента давления грунта при отдыхе применимый к связным грунтам с трением и как горизонтальным, так и вертикальным псевдостатическим условиям, который является частным подходом механической сплошной среды (рассматриваемое выражение дано в разделе ниже).

Различные типы стеновых конструкций могут быть спроектированы для противодействия давлению грунта.

Активное состояние, возникшее, когда оставшаяся массе его грунта позволяет расслабиться или деформироваться в поперечном направлении и наружу (от массы грунта) до точки мобилизации доступного полного сопротивления сдвигу (или задействования его прочности на сдвиг) в попытке противостоять поперечной деформации. То есть почва находится в точке зарождающегося разрушения из-за сдвига из-за разгрузки в боковом направлении. Это минимальное боковое давление, которое будет перемещаться или вращаться от грунта до тех пор, пока не будет достигнуто активное состояние грунта (не обязательно фактическое поперечное давление при эксплуатации на стены, которые не двигаются, когда подвергается боковому давлению почвы выше, чем активное давление). Пассивное состояние, когда массив грунта сжимается извне в боковом и внутреннем направлении (по направлению к массиву грунта) до точки мобилизации его доступного полного сопротивления сдвигу в попытке противостоять дальнейшей боковой деформации. То есть масса почвы находится в точке начала разрушения из-за сдвига из-за нагрузки в боковом направлении. Это высокое боковое сопротивление. То есть почва находится в точке начала разрушения из-за сдвига, но на этом разрыве из-за нагрузки в боковом направлении. Таким образом, активное давление и пассивное сопротивление определяют минимальное боковое давление и максимальное боковое сопротивление, возможное для массы почвы.

Коэффициенты давления земли Ренкина и расширение Белла для связных грунтов

Теория Ренкина, разработанная в 1857 году, представляет собой решение поля напряжений, которое предсказывает активное и пассивное давление грунта. Предполагается, что грунт несвязный, стена без повреждений и не имеет трения, пока засыпка находится в горизонтальном положении. Поверхность разрушения, по которой движется грунт, плоская. Выражения для активных и пассивных коэффициентов давления грунта ниже.

$К\; a\; =\; грех\; 2\; \; (45\; -\; \varphi \; \prime \; 2)\; =\; 1\; -\; грех\; \; (\varphi \; \prime )\; 1\; +\; \; (\varphi \; \prime )\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{a\}\; =\; \backslash \; tan\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (\; 45\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; phi\; \text{'}\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1-\; \backslash \; sin\; (\backslash \; phi\text{'})\}\; \{1+\; \backslash \; sin\; (\backslash \; phi\; \text{'})\}\}\}$

$K\; p\; знак\; равно\; загар\; 2\; \; (45\; +\; \varphi \; \prime \; 2)\; =\; 1\; +\; грех\; \; (\varphi \; \prime )\; 1\; -\; грех\; \; (\varphi \; \prime )\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{p\}\; =\; \backslash \; tan\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (45\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; phi\; \text{'}\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1+\; \backslash \; sin\; (\backslash \; phi\text{'})\}\; \{1-\; \backslash \; sin\; (\backslash \; phi\; \text{'})\}\}\}$

Для почв с когезией Bell разработала аналитическое решение, использующее квадратный корень из коэффициента давления для прогнозирования вклада когезии в общее результирующее давление. Эти уравнения представляют полное боковое давление земли. Первый член представляет собой несвязный вклад, а второй член - связанный вклад. Первое уравнение предназначено для условий активного давления грунта, а второе - для условий пассивного давления грунта.

$\sigma \; час\; знак\; равно\; К\; a\; \sigma \; v\; -\; 2\; c\; \text{'}K\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{h\}\; =\; K\_\; \{a\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{v\}\; -2c\text{'}\; \{\backslash \; sqrt\; \{K\_\; \{a\}\}\}\; \backslash \}$

$\sigma \; час\; =\; К\; п\; \sigma \; v\; +\; 2\; c\; \prime \; K\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{h\}\; =\; K\_\; \{p\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{v\}\; +\; 2c\; \text{'}\{\backslash \; sqrt\; \{K\_\; \{p\}\}\; \}\; \backslash \}$

Обратите внимание, что c 'и φ' представляют собой эффективное сцепление и угол сопротивление сдвигу грунта соответственно. Для связных грунтов глубина трещины растяжения (относительно активного состояния) составляет: $ztc\; =\; 2\; c\; \prime \; \gamma \; tan\; \; (45\; o\; -\; \varphi \; \prime \; /\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; z\_\; \{tc\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2c\; \text{'}\}\; \{\backslash \; gamma\; \backslash \; tan\; \{(45\; ^\; \{o\}\; -\; \backslash \; phi\; \text{'}/\; 2)\}\}\}\}$Для чисто фрикционных грунтов с наклонной засыпкой, оказывающей давление на небитую стену без трения, коэффициенты следующие:

$К\; знак\; равно\; соз\; \; \beta \; соз\; \; \beta \; -\; (соз\; 2\; \; \beta \; -\; соз\; 2\; \; \varphi \; \prime \; соз\; \; \beta \; +\; (соз\; 2\; \; \beta \; -\; соз\; 2\; \; \varphi \; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{a\}\; =\; \backslash \; cos\; \backslash \; beta\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; cos\; \backslash \; beta\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{(\backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; beta\; -\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; phi\; \text{'}\}\}\}\; \{\backslash \; cos\; \backslash \; beta\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{(\backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; beta\; -\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; phi\; \text{'}\}\}\}\}\}$

$K\; p\; =\; cos\; \; \beta \; cos\; \; \beta \; +\; (cos\; 2\; \; \beta \; -\; cos\; 2\; \; \varphi \; \prime \; cos\; \; \beta \; -\; (cos\; 2\; \; \beta \; -\; соз\; 2\; \; \varphi \; \prime \; \{\backslash \; Displaystyle\; K\_\; \{p\}\; =\; \backslash \; cos\; \backslash \; beta\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; cos\; \backslash \; beta\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{(\backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; beta\; -\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; phi\; \text{'}\}\}\}\; \{\backslash \; cos\; \backslash \; beta\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{(\backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; beta\; -\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; phi\; \text{'}\}\}\}\}$

с горизонтальными компонентами давления земли:

$\sigma \; знак\; равно\; К\; а\; \gamma \; z\; со\; з\; \; \beta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{a\}\; =\; K\_\; \{a\}\; \backslash \; gamma\; z\; \backslash \; cos\; \backslash \; beta\}$

$\sigma \; p\; =\; K\; p\; \gamma \; z\; cos\; \; \beta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{p\}\; =\; K\_\; \{\; p\}\; \backslash \; gamma\; z\; \backslash \; cos\; \backslash \; beta\}$

где β - угол наклона засыпки.

Кулоновские коэффициенты давления грунта

Кулон (1776 г.) впервые изучил проблему бокового давления грунта на подпорные конструкции. Он использовал теорию предельного равновесия, которая рассматривает разрушающийся грунтовый блок как свободное тело, чтобы определить предельное горизонтальное давление грунта. Предельные горизонтальные давления при разрыве при растяжении или сжатии используются для определения K a и K p соответственно. Задача неопределенная, необходимо проанализировать ряд поверхностей разрушения, чтобы критическую поверхность разрушения (то есть поверхность, которая создает или минимальное давление на стену). Основное предположение Кулонов состоит в том, что поверхность разрушения плоская. Мейниел (1908) позже расширил уравнения Кулона, чтобы учесть трение поверхности, обозначенное δ. Мюллер-Бреслау (1906) подробные уравнения Майниеля для негоризонтальной засыпки и невертикальной границы раздела грунт-стена (представленной углом θ от вертикали).

$K\; a\; =\; cos\; 2\; \; (\varphi \; \prime \; -\; \theta )\; cos\; 2\; \; \theta \; cos\; \; (\delta \; +\; \theta )\; (1\; +\; sin\; \; (\delta \; +\; \varphi \; \prime )\; sin\; \; (\varphi \; \prime \; -\; \beta )\; cos\; \; (\delta \; +\; \theta )\; соз\; \; (\beta \; -\; \theta ))\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{a\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; phi\; \text{'}-\; \backslash \; theta\; \backslash \; right)\}\; \{\backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta\; \backslash \; cos\; \backslash \; left\; (\backslash \; delta\; +\; \backslash \; theta\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (1\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sin\; \backslash \; left\; (\backslash \; delta\; +\; \backslash \; phi\; \text{'}\backslash \; right)\; \backslash \; sin\; \backslash \; left\; (\backslash \; phi\text{'}\; -\; \backslash \; beta\; \backslash \; right)\}\; \{\backslash \; cos\; \backslash \; left\; (\backslash \; delta\; +\; \backslash \; theta\; \backslash \; right)\; \backslash \; cos\; \backslash \; left\; (\backslash \; beta\; -\; \backslash \; theta\; \backslash \; right)\}\}\}\; \backslash \; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\}\}$

$K\; p\; =\; cos\; 2\; \; (\varphi \; \prime \; +\; \theta )\; cos\; 2\; \; \theta \; cos\; \; (\delta \; -\; \theta )\; (1\; -\; sin\; \; (\delta \; +\; \varphi \; \prime )\; sin\; \; (\varphi \; \prime \; +\; \beta )\; cos\; \; (\delta \; -\; \theta )\; cos\; \; (\beta \; -\; \theta ))\; 2\; \{\backslash \; Displaystyle\; K\_\; \{p\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; phi\; \text{'}+\; \backslash \; theta\; \backslash \; right)\}\; \{\backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta\; \backslash \; cos\; \backslash \; left\; (\backslash \; delta\; -\; \backslash \; theta\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (1\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sin\; \backslash \; left\; (\backslash \; delta\; +\; \backslash \; phi\; \text{'}\backslash \; right)\; \backslash \; sin\; \backslash \; left\; (\backslash \; phi\text{'}\; +\; \backslash \; beta\; \backslash \; right)\; \}\; \{\backslash \; cos\; \backslash \; left\; (\backslash \; delta\; -\; \backslash \; theta\; \backslash \; right)\; \backslash \; cos\; \backslash \; left\; (\backslash \; beta\; -\; \backslash \; theta\; \backslash \; right)\}\}\}\; \backslash \; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\}\}$

Вместо вычислений вышеуказанного уравненного ения или для использования этих коммерческих программных приложений, можно использовать книги для наиболее распространенных случаев. Обычно вместо K a табулируется горизонтальная часть K ah. Это то же самое, что K a, умноженное на cos (δ + θ).

Фактическая сила давления грунта E a - это сумма части E ag, обусловленной весом земли, части E ap из-за дополнительных нагрузок, таких как трафик, минус часть E ac из-за присутствующей связности.

Eag- это интеграл давления по высоте стены, который равен K a, умноженному на удельный вес земли, умноженному на половину квадрата высоты стены.

В случае загрузки равномерного давления на террасу выше подпорной стенки, Е ар приравнивает к этому времени давления К а раз высоту стены. Это применимо, если терраса горизонтальна или стена вертикальна. В противном случае E ap необходимо умножить на cosθ cosβ / cos (θ - β).

Eacобычно принимается равным нулю, если только значение сцепления не может поддерживаться постоянно.

Eagвоздействиеует на поверхность стены на одной трети ее высоты от дна и под углом δ относительно прямого угла у стены. E ap действует под тем же углом, но на половине высоты.

Анализ Како и Керизеля для лог-спиральных разложений

В 1948 году Альберт Како (1881–1976) и Жан Керизель (1908– 1948) 2005) разработал продвинутую теорию, которая модифицировала уравнения Мюллера-Бреслау для учета неплоской поверхности разрыва. Вместо этого использовали логарифмическую спираль для представления поверхности разрыва. Эта модификация важна для пассивного давления на грунт, когда существует трение грунта о стенку. Уравнения Мейниеля и Мюллера-Бреслау в ситуации не консервативны и их опасно применять. Для коэффициента активного давления поверхности разрыва логарифмической спирали обеспечивает значительную разницу по сравнению с Мюллером-Бреслау. Эти уравнения слишком сложны для использования, вместо них используются таблицы или компьютеры.

Коэффициенты давления грунта Мононобе-Окабе и Капиллы для динамических условий

Коэффициенты давления грунта Мононобе-Окабе и Капиллы для динамических активных и пассивных условий соответственно были получены на той же основе, что и решение Кулона. Эти коэффициенты приведены ниже:

$K\; ae\; =\; cos\; 2\; \; (\varphi \; \prime \; -\; \psi \; -\; \beta )\; cos\; \; \psi \; cos\; 2\; \; \beta \; cos\; \; (\delta \; +\; \beta \; +\; \psi )\; (1\; +\; sin\; \; (\varphi \; \prime \; +\; \delta )\; грех\; \; (\varphi \; \prime \; -\; \psi \; +\; \alpha )\; cos\; \; (\delta \; +\; \beta \; +\; \varphi )\; cos\; \; (\alpha \; -\; \beta ))\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{ae\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \{(\backslash \; phi\; \text{'}\; -\; \backslash \; psi\; -\; \backslash \; beta)\}\}\; \{\backslash \; cos\; \{\backslash \; psi\}\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; beta\}\; \backslash \; cos\; (\backslash \; delta\; +\; \backslash \; beta\; +\; \backslash \; psi)\; \{\backslash \; Bigl\; (\}\; 1\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sin\; \{(\backslash \; phi\; \text{'}+\; \backslash \; delta)\}\; \backslash \; sin\; \{(\backslash \; phi\text{'}\; -\; \backslash \; psi\; +\; \backslash \; alpha)\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; cos\; \{(\backslash \; delta\; +\; \backslash \; beta\; +\; \backslash \; phi)\}\; \backslash \; cos\; \{(\backslash \; alpha\; -\; \backslash \; beta)\}\}\}\}\}\; \{\backslash \; Bigr)\}\; ^\; \{2\}\}\}\}$$K\; pe\; =\; cos\; 2\; \; (\varphi \; \prime \; -\; \psi \; +\; \beta )\; cos\; \; \psi \; cos\; 2\; \; \beta \; cos\; \; (\delta \; -\; \beta \; +\; \psi )\; (1\; -\; грех\; \; (\varphi \; \prime \; +\; \delta )\; sin\; \; (\varphi \; \prime \; -\; \psi \; +\; \alpha )\; cos\; \; (\delta \; -\; \beta \; +\; \varphi )\; cos\; \; (\alpha \; -\; \beta ))\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{pe\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \{(\backslash \; phi\; \text{'}-\; \backslash \; psi\; +\; \backslash \; beta)\}\}\; \{\backslash \; cos\; \{\backslash \; psi\}\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; beta\}\; \backslash \; cos\; (\backslash \; дельта\; -\; \backslash \; бета\; +\; \backslash \; psi)\; \{\backslash \; Bigl\; (\}\; 1\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sin\; \{(\backslash \; phi\; \text{'}+\; \backslash \; delta)\}\; \backslash \; sin\; \{(\backslash \; phi\text{'}\; -\; \backslash \; psi\; +\; \backslash \; alpha)\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; cos\; \{(\backslash \; delta\; -\; \backslash \; beta\; +\; \backslash \; phi)\}\; \backslash \; cos\; \{(\backslash \; alpha\; -\; \backslash \; beta)\}\}\}\}\}\; \{\backslash \; Bigr)\}\; ^\; \{2\}\}\}\}$с горизонтальные составляющие давления грунта: $\sigma \; a\; =\; K\; a\; \gamma \; z\; cos\; \; \beta \; \{\backslash \; disp\; Laystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{a\}\; =\; K\_\; \{a\}\; \backslash \; gamma\; z\; \backslash \; cos\; \backslash \; beta\}$

$\sigma \; p\; =\; K\; p\; \gamma \; z\; cos\; \; \beta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{p\}\; =\; K\_\; \{p\}\; \backslash \; gamma\; z\; \backslash \; cos\; \backslash \; beta\}$

где, $kh\; \{\backslash \; textstyle\; k\_\; \{h\}\}$и $kv\; \{\backslash \; textstyle\; k\_\; \{v\}\}$- сейсмические коэффициенты горизонтального и вертикального ускорения соответственно, $\psi \; =\; arctan\; \; (kh\; /\; (1\; -\; kv))\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; psi\; =\; \backslash \; arctan\; \{(k\_\; \{h\}\; /\; (1-k\_\; \{v\}))\}\}$, $\beta \; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; beta\}$- угол наклона задней грани конструкции по отношению к вертикали, $\delta \; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; delta\}$- угол наклона трение между конструкцией и почвой, а $\alpha \; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; alpha\}$- наклон заднего откоса.

Вышеупомянутые коэффициенты включены во множество норм сейсмического проектирования по всему миру (например, EN1998-5, AASHTO), поскольку они были предложены в качестве стандартных методов Сидом и Уитманом. Проблемы с этими двумя решениями известны (например, см. Андерсон]), наиболее важным из которых является квадратный корень из отрицательного числа для (знак минус означает активный случай, а знак плюса означает пассивный случай).

Различные проектные коды распознают проблему с этимиинструментами, либо они используются как интерпретаторы, либо диктуют моди эти системы, либо используются альтернативы. В этом отношении:

• Еврокод 8 диктует (без каких-либо объяснений) весь квадратный корень в формуле Мононобе-Окабе, когда он отрицательный, должен быть произвольно заменен единицей
• AASHTO, в дополнение к проблеме с квадратом root, признал консерватизм решения Mononobe-Okabe, принятая в качестве стандартной методики проектирования использования понижающего коэффициента для ожидаемого пикового ускорения грунта, предполагаемая $kh\; =\; (1/2)\; PGA\; \{\backslash \; textstyle\; k\_\; \{h\}\; =\; (1/2)\; PGA\}$(где $PGA\; \{\backslash \; textstyle\; PGA\}$- пиковое ускорение грунта)
• Совет по сейсмической безопасности зданий предлагает, чтобы $kh\; =\; (2\; /\; 3)\; PGA\; \{\backslash \; textstyle\; k\_\; \{h\}\; =\; (2/3)\; PGA\}$по той же причине, что и выше
• Отчет GEO № 45 компании Geotechnical Engineering Управление Гонконга предписывает использовать метод пробного клина, когда число под квадратным корнем отрицательное.

следует отметить, что выше эмпирические поправки на $kh\; \{\backslash \; textstyle\; k\_\; \{h\}\}$сделано AASHTO и коэффициенты давления грунта, полученные Советом по сейсмической безопасности зданий, очень близки к значениям, полученным с помощью аналитического решения, предложенного Пантелидисом (см. ниже).

Подход Мазиндрани и Ганджале для связных фрикционных грунтов с наклонной поверхностью

Мазиндрани и Ганджале представили аналитическое решение проблемы давления грунта, оказываемого на не имеющую трения, не разрушенную стену, за счетное - фрикционный грунт с наклонной поверхности. Производные уравнения приведены ниже как для активного, так и для пассивного состояния:

$K\; a\; =\; 1\; cos\; 2\; \; \varphi \; \prime \; (2\; cos\; 2\; \; \beta \; +\; 2\; c\; \prime \; \gamma \; z\; cos\; \; \varphi \; \prime \; sin\; \; \varphi \; \prime \; -\; 4\; cos\; 2\; \; \beta \; (cos\; 2\; \; \beta \; -\; cos\; 2\; \; \varphi \; \prime )\; +\; 4\; (c\; \prime \; \gamma \; z)\; 2\; cos\; 2\; \; \varphi \; \prime \; +\; 8\; (c\; \prime \; \gamma \; z)\; cos\; 2\; \; \beta \; sin\; \; \varphi \; \prime \; cos\; \; \varphi \; \prime )\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{a\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; phi\; \text{'}\}\}\; \{\backslash \; biggl\; (\}\; 2\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; beta\; +2\; \{\backslash \; frac\; \{c\text{'}\}\; \{\backslash \; gamma\; z\}\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; phi\; \text{'}\backslash \; sin\; \backslash \; phi\text{'}\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{4\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; beta\; \{\backslash \; Bigl\; (\}\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; beta\; -\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; phi\; \text{'}\{\backslash \; Bigr)\}\; +\; 4\; \{\backslash \; biggl\; (\}\; \{\backslash \; frac\; \{c\text{'}\}\; \{\backslash \; gamma\; z\}\}\; \{\backslash \; biggl)\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; phi\; \text{'}+8\; \{\backslash \; biggl\; (\}\; \{\backslash \; frac\; \{c\; \text{'}\}\; \{\backslash \; gamma\; z\}\}\; \{\backslash \; biggl)\}\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; beta\; \backslash \; sin\; \backslash \; phi\text{'}\; \backslash \; cos\; \backslash \; phi\; \text{'}\}\}\; \{\backslash \; biggl)\}\; -\; 1\; \}$

$K\; p\; =\; 1\; cos\; 2\; \; \varphi \; \prime \; (2\; cos\; 2\; \; \beta \; +\; 2\; c\; \prime \; \gamma \; z\; cos\; \; \varphi \; \prime \; sin\; \; \varphi \; \prime \; +\; 4\; cos\; 2\; \; \beta \; (cos\; 2\; \; \beta \; -\; cos\; 2\; \; \varphi \; \prime )\; +\; 4\; (c\; \prime \; \gamma \; z)\; 2\; cos\; 2\; \; \varphi \; \prime \; +\; 8\; (c\; \prime \; \gamma \; z)\; cos\; 2\; \; \beta \; sin\; \; \varphi \; \prime \; cos\; \; \varphi \; \prime )\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{p\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\; 1\}\; \{\backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; phi\; \text{'}\}\}\; \{\backslash \; biggl\; (\}\; 2\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; beta\; +2\; \{\backslash \; frac\; \{c\; \text{'}\}\; \{\backslash \; gamma\; z\}\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; phi\text{'}\; \backslash \; sin\; \backslash \; phi\; \text{'}+\; \{\backslash \; sqrt\; \{4\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; beta\; \{\backslash \; Bigl\; (\}\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; beta\; -\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; phi\; \text{'}\{\backslash \; Bigr)\}\; +\; 4\; \{\backslash \; biggl\; (\}\; \{\backslash \; frac\; \{c\text{'}\}\; \{\backslash \; gamma\; z\}\}\; \{\backslash \; biggl)\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; phi\; \text{'}+\; 8\; \{\backslash \; biggl\; (\}\; \{\backslash \; frac\; \{c\text{'}\}\; \{\backslash \; gamma\; z\}\}\; \{\backslash \; biggl)\}\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; beta\; \backslash \; sin\; \backslash \; phi\; \text{'}\backslash \; cos\; \backslash \; phi\text{'}\}\}\; \{\backslash \; biggl)\}\; -\; 1\}$

с горизонтальными составляющими для активного и пассивного давления грунта:

$\sigma \; a\; =\; K\; a\; \gamma \; z\; cos\; \; \beta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{a\}\; =\; K\_\; \{a\}\; \backslash \; gamma\; z\; \backslash \; cos\; \backslash \; beta\}$

$\sigma \; p\; =\; K\; p\; \gamma \; z\; cos\; \; \beta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{p\}\; =\; K\_\; \{p\}\; \backslash \; gamma\; z\; \backslash \; cos\; \backslash \; beta\}$

Коэффициенты ka и kp для различных значений $\varphi \; \prime \; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; phi\; \text{'}\}$, $\beta \; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; beta\}$и $c\; \prime \; /\; (\gamma \; z)\; \{\backslash \; textstyle\; c\text{'}\; /\; (\backslash \; gamma\; z)\}$можно найти в табличной форме в Мазиндрани и Ганджале.

Основываясь на аналогичной аналитической процедуре, Гнанапрагасам дал другое выражение для ka. Однако следует отметить, что выражения Мазиндрани, Ганджале и Гнанапрагасама приводят к идентичным значениям давления земли.

При любом подходе к активному давлению грунта глубина трещины растяжения оказывается таким же, как и в случае нулевого наклона засыпки (см. Расширение теории Ренкина Беллом).

Единый подход Пантелидиса: обобщенные коэффициенты давления грунта

Пантелидис применяемый единый полностью аналитический подход механики сплошной среды (основанный на первом законе движения Коши) для получения коэффициентов давления грунта для всех состояний грунта., применимые к связным фрикционным грунтам и как в горизонтальных, так и в вертикальных псевдостатических условиях.

Используются следующие символы:

$kh\; \{\backslash \; textstyle\; k\_\; \{h\}\}$и $kv\; \{\backslash \; textstyle\; k\_\; \{v\}\}$. сейсмические коэффициенты горизонтального и вертикального ускорения соответственно

$c\; \prime \; \{\backslash \; textstyle\; c\; \text{'}\}$, $\varphi \; \prime \; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; phi\text{'}\}$и $\gamma \; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; gamma\}$- эффективное сцепление, эффективный угол трения (пиковые значения) и удельный вес грунта соответственно.

$см\; \{\backslash \; textstyle\; c\_\; \{m\}\}$- мобилизованное сцепление грунта (мобилизованная прочность почвы на сдвиг, т.е. параметры $см\; \{\backslash \; textstyle\; c\_\; \{m\}\}$и $\varphi \; m\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; phi\; \_\; \{m\}\}$, можно получить либо аналитически, либо с помощью соответствующих диаграмм; см. Pantelidis)

$E\; \{\backslash \; textstyle\; E\}$и $\nu \; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; nu\}$- эффективные упругие постоянные почвы (т.е. модуль Юнга и коэффициент Пуассона соответственно)

$H\; \{\backslash \; textstyle\; H\}$- высота стены

$z\; \{\backslash \; textstyle\; z\}$- глубина, на которой вычисляется артериальное давление

Коэффициент давления грунта в состоянии покоя

$K\; oe\; =\; (\; 1\; -\; грех\; \; \varphi \; \prime )\; (1\; +\; kh\; 1\; -\; kv\; tan\; \; \varphi \; \prime )\; -\; 1\; 1\; -\; kv\; 2\; cm\; \gamma \; z\; загар\; \; (45\; о\; -\; \varphi \; \text{'}2)\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{oe\}\; =\; (1-\; \backslash \; sin\; \backslash \; phi\; \text{'})\; \backslash \; left\; (1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{k\_\; \{h\}\}\; \{1-k\_\; \{v\})\}\}\; \backslash \; tan\; \backslash \; phi\text{'}\; \backslash \; right)\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1-k\_\; \{v\; \}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{2c\_\; \{m\}\}\; \{\backslash \; gamma\; z\}\}\; \backslash \; tan\; \backslash \; left\; (45\; ^\; \{o\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; phi\; \text{'}\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\}$с $\sigma \; o\; =\; K\; oe\; (1\; -\; kv)\; \gamma \; z\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{o\}\; =\; K\_\; \{oe\}\; (1-k\_\; \{v\})\; \backslash \; gamma\; z\}$.

Коэффициент активного давления грунта

$K\; ae\; =\; 1\; -\; sin\; \; \varphi \; \prime \; 1\; +\; sin\; \; \varphi \; \prime \; (1\; +\; 2\; kh\; 1\; -\; kv\; tan\; \; \varphi \; \prime )\; -\; 1\; 1\; -\; kv\; 2\; см\; \gamma \; z\; загар\; \; (45\; o\; -\; \varphi \; \prime \; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{ae\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1-\; \backslash \; sin\; \backslash \; phi\; \text{'}\}\; \{1+\; \backslash \; sin\; \backslash \; phi\text{'}\}\}\; \backslash \; left\; (1\; +\; 2\; \{\backslash \; frac\; \{k\_\; \{h\}\}\; \{1-k\_\; \{v\})\; \}\}\; \backslash \; tan\; \backslash \; phi\; \text{'}\backslash \; right)\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1-k\_\; \{v\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{2c\_\; \{m\}\}\; \{\backslash \; gamma\; z\}\}\; \backslash \; tan\; \backslash \; left\; (45\; ^\; \{o\; \}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; phi\; \text{'}\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\}$с $\sigma \; a\; =\; K\; ae\; (1\; -\; kv)\; \gamma \; z\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{a\}\; =\; K\_\; \{ae\; \}\; (1-k\_\; \{v\})\; \backslash \; gamma\; z\}$.

Коэффициент пассивного давления грунта

$K\; pe\; =\; 1\; +\; sin\; \; \varphi \; \prime \; 1\; -\; грех\; \; \varphi \; \prime \; (1-2\; кh\; 1\; -\; kv\; tan\; \; \varphi \; \prime )\; +\; 1\; 1\; -\; кв\; 2\; см\; \gamma \; z\; загар\; \; (45\; o\; +\; \varphi \; \prime \; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{pe\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1+\; \backslash \; sin\; \backslash \; phi\; \text{'}\}\; \{1-\; \backslash \; sin\; \backslash \; phi\text{'}\}\}\; \backslash \; left\; (1-2\; \{\backslash \; frac\; \{k\_\; \{h\}\}\; \{1-k\_\; \{v\}\}\}\; \backslash \; tan\; \backslash \; phi\; \text{'}\backslash \; right)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1-k\_\; \{v\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{2c\_\; \{m\}\}\; \{\backslash \; gamma\; z\}\}\; \backslash \; tan\; \backslash \; left\; (45\; ^\; \{o\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; phi\; \text{'}\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\}$с $\sigma \; п\; знак\; равно\; К\; ре\; (1\; -\; кв)\; \gamma \; z\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{p\}\; =\; K\_\; \{pe\}\; (1-k\_\; \{v\})\; \backslash \; гамма\; z\}.$.

Коэффициент промежуточного давления грунта на активной «стороне»

$K\; xe,\; a\; =\; (1\; -\; sin\; \; \varphi \; \prime \; 1\; +\; sin\; \; \varphi \; \prime )\; ((1\; -\; \xi \; sin\; \; \varphi \; \prime )\; -\; kh\; 1\; -\; kv\; загар\; \; \varphi \; \prime \; (2\; +\; \xi \; (1\; -\; грех\; \; \varphi \; \prime )))\; -\; 1\; 1\; -\; kv\; 2\; см\; \gamma \; z\; загар\; \; (45\; o\; -\; \varphi \; \prime \; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{xe,\; a\}\; =\; \{\backslash \; biggl\; (\; \}\; \{\backslash \; frac\; \{1-\; \backslash \; sin\; \backslash \; phi\; \text{'}\}\; \{1+\; \backslash \; sin\; \backslash \; phi\text{'}\}\}\; \{\backslash \; biggr)\}\; \{\backslash \; biggl\; (\}\; \backslash \; left\; (1-\; \backslash \; xi\; \backslash \; sin\; \backslash \; phi\; \text{'}\backslash \; right)\; -\; \{\; \backslash \; frac\; \{k\_\; \{h\}\}\; \{1-k\_\; \{v\}\}\}\; \backslash \; tan\; \backslash \; phi\; \text{'}(2+\; \backslash \; xi\; (1-\; \backslash \; sin\; \backslash \; phi\text{'}))\; \{\backslash \; biggl)\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\; 1-k\_\; \{v\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{2c\_\; \{m\}\}\; \{\backslash \; gamma\; z\}\}\; \backslash \; tan\; \backslash \; left\; (45\; ^\; \{o\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; phi\; \text{'}\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\}$с $\sigma \; x,\; a\; =\; K\; xe,\; a\; (1\; -\; kv)\; \gamma \; z\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{x,\; a\}\; =\; K\_\; \{xe,\; a\}\; (1-k\_\; \{v\})\; \backslash \; gamma\; z\}$.

Коэффициент промежуточного давления грунта на пассивной «стороне»

$K\; xe,\; p\; =\; (1\; +\; sin\; \; \varphi \; \prime \; 1\; -\; sin\; \; \varphi \; \prime )\; \xi \; 1\; ((1\; +\; \xi \; sin\; \; \varphi \; \prime )\; +\; \xi \; 2\; kh\; 1\; -\; kv\; tan\; \; \varphi \; \prime \; (2\; +\; \xi \; (1\; +\; sin\; \; \varphi \; \prime )))\; +\; 1\; 1\; -\; kv\; 2\; cm\; \gamma \; z\; (tan\; \; (45\; o\; +\; \varphi \; \prime \; 2)\; tan\; \; (45\; o\; -\; \varphi \; \prime \; 2))\; \xi \; 1\; загар\; \; (45\; o\; -\; \varphi \; \prime \; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{xe,\; p\}\; =\; \{\backslash \; biggl\; (\}\; \{\backslash \; frac\; \{1+\; \backslash \; sin\; \backslash \; phi\; \text{'}\}\; \{1\; -\; \backslash \; sin\; \backslash \; phi\text{'}\}\}\; \{\backslash \; biggr)\}\; ^\; \{\backslash \; xi\; \_\; \{1\}\}\; \{\backslash \; biggl\; (\}\; \backslash \; left\; (1+\; \backslash \; xi\; \backslash \; sin\; \backslash \; phi\; \text{'}\backslash \; right)\; +\; \backslash \; xi\; \_\; \{2\}\; \{\backslash \; frac\; \{k\_\; \{h\}\}\; \{1-k\_\; \{v\}\}\}\; \backslash \; tan\; \backslash \; phi\text{'}\; (2+\; \backslash \; xi\; (1+\; \backslash \; sin\; \backslash \; phi\; \text{'}))\; \{\backslash \; biggl)\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1-k\_\; \{v\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{2c\_\; \{m\}\}\; \{\backslash \; gamma\; z\}\}\; \{\backslash \; Biggl\; (\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; tan\; \backslash \; left\; (45\; ^\; \{o\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; phi\; \text{'}\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\}\; \{\backslash \; tan\; \backslash \; left\; (45\; ^\; \{o\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; phi\text{'}\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\}\}\; \{\backslash \; Biggr)\}\; ^\; \{\backslash \; xi\; \_\; \{1\}\}\; \backslash \; tan\; \backslash \; left\; (45\; ^\; \{o\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; phi\; \text{'}\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\}$где, $\xi \; 1\; =\; 1\; +\; \xi \; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; xi\; \_\; \{1\}\; =\; 1\; +\; \backslash \; xi\}$, $\xi \; 2\; =\; 2\; м\; -\; 1\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; xi\; \_\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{m\}\}\; -\; 1\}$, $\xi \; =\; m\; -\; 1\; м\; +\; 1\; (1\; -\; 1\; м)\; -\; 1\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; xi\; =\; \{\backslash \; frac\; \{m-1\}\; \{m\; +\; 1\}\}\; \{\backslash \; Bigl\; (\; \}\; 1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{m\}\}\; \{\backslash \; Bigr)\}\; -\; 1\}$и $m\; =\; (1\; -\; \Delta \; x\; \Delta \; xmax)\; -\; 1\; \{\backslash \; textstyle\; m\; =\; \{\backslash \; Bigl\; (\}\; 1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Delta\; x\}\; \{\backslash \; Delta\; x\_\; \{max\}\}\}\; \{\backslash \; Bigr)\}\; ^\; \{-\; 1\}\}$

с $\sigma \; x,\; p\; =\; K\; xe,\; p\; (\; 1\; -\; кв)\; \gamma \; z\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{x,\; p\}\; =\; K\_\; \{xe,\; p\}\; (1-k\_\; \{v\})\; \backslash \; gamma\; z\}$

$\xi \; 1\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; xi\; \_\; \{1\}\}$и $\xi \; 2\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; xi\; \_\; \{2\}\}$- параметры, относящиеся к переход от клина почвы в состоянии покоя к клину почвы в пассивном состоянии (т.е. угол наклона клина почвы изменяется от $45\; o\; +\; \varphi \; \prime \; /\; 2\; \{\backslash \; textstyle\; 45\; ^\; \{o\}\; +\; \backslash \; phi\; \text{'}/\; 2\}$до $45\; o\; -\; \varphi \; \prime \; /\; 2\; \{\backslash \; стиль\; текста\; 45\; ^\; \{o\}\; -\; \backslash \; phi\; \text{'}/\; 2\}$. Кроме того, $\Delta \; x\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; Delta\; x\}$и $\Delta \; xmax\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; Delta\; x\_\; \{max\}\}$- это поперечное смещение стены и боковое (максимальное) смещение стены, соответствующее активному или пассивному состоянию (оба на глубине $z\; \{\backslash \; textstyle\; z\}$). Последний представлен ниже.

Боковое максимальное смещение стенки, соответствующее активному или пассивному состоянию

$\Delta \; xmax\; =\; \pi \; 4\; 1\; -\; \nu \; 2\; E\; (H\; +\; z)\; 3\; (H\; -\; z)\; H\; 2\; z\; \Delta \; K\; (1\; -\; кв)\; \gamma \; z\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; x\_\; \{max\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{4\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{1-\; \backslash \; nu\; ^\; \{2\}\}\; \{E\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{(H\; +\; г)\; ^\; \{3\}\; (Гц)\}\; \{Н\; ^\; \{2\}\; г\}\}\; \backslash \; Delta\; \backslash \; mathrm\; \{K\}\; (1-к\_\; \{v\})\; \backslash \; Гамма\; г\}$для гладких подпорной стенки и $\Delta \; Xmax\; =\; \pi \; 4\; (3\; -\; \nu \; -\; 4\; \nu \; 2)\; (1\; +\; \nu )\; E\; (1\; -\; \nu \; 2\; H\; 2\; -\; z\; 2\; +\; \nu \; (1\; +\; \nu )\; H\; -\; (1\; -\; \nu \; 2)\; z\; (H\; +\; z)\; 3)\; -\; 1\; 1\; ЧАС\; \Delta \; К\; (1\; -\; кв)\; \gamma \; z\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; x\_\; \{max\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{4\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{(3-\; \backslash \; nu\; -4\; \backslash \; nu\; ^\; \{2\})\; (1+\; \backslash \; nu)\}\; \{E\}\}\; \{\backslash \; Biggl\; (\}\; \{\backslash \; frac\; \{1-\; \backslash \; nu\; ^\; \{2\}\}\; \{H\; ^\; \{2\}\; -z\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; nu\; (1+\; \backslash \; nu)\; H-\; (1-\; \backslash \; nu\; ^\; \{2\})\; z\}\; \{(H\; +\; z)\; ^\; \{3\}\}\}\; \{\backslash \; Biggl)\}\; ^\; \{-\; 1\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\; Н\}\}\; \backslash \; Delta\; \backslash \; mathrm\; \{K\}\; (1-к\_\; \{v\})\; \backslash \; гаммы\; г\}$для грубых подпорной стенки

. с $\Delta \; K\; =\; K\; аи\; -\; к\; й,\; а\; \{\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; Delta\; \backslash \; mathrm\; \{K\}\; =\; K\_\; \{oe\}\; -K\_\; \{xe,\; a\}\}$или $\Delta \; K\; =\; K\; xe,\; p\; -\; K\; oe\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; Дельта\; \backslash \; mathrm\; \{K\}\; =\; K\_\; \{xe,\; p\}\; -K\_\; \{oe\}\}$для активной и пассивной «стороны» соответственно..

Глубина трещины растяжения (активное состояние) или нейтральная зона (состояние покоя)

Глубина нейтральной зоны в состоянии покоя составляет:

$znz\; =\; c\; \prime \; (1\; -\; kv)\; \gamma \; загар\; \; \varphi \; \prime \; [1\; (соз\; \; \varphi \; \prime \; +\; kh\; 1\; -\; kv\; sin\; \; \varphi \; \prime )\; 2-1]\; \{\backslash \; displaystyle\; z\_\; \{nz\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{c\; \text{'}\}\; \{(1-k\_\; \{v\})\; \backslash \; gamma\; \backslash \; tan\; \{\backslash \; phi\; \text{'}\}\}\}\; \{\backslash \; Biggl\; [\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\{\backslash \; biggl\; (\}\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; phi\text{'}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{k\_\; \{h\}\}\; \{1-k\_\; \{v\}\}\}\; \backslash \; sin\; \{\; \backslash \; phi\; \text{'}\}\; \{\backslash \; biggl)\}\; ^\; \{2\}\}\}\; -\; 1\; \{\backslash \; Biggl]\}\}$в то время как глубина растяжения трещины в активном состоянии составляет: $ztc\; =\; c\; \prime \; (1\; -\; кв)\; \gamma \; загар\; \; \varphi \; \prime \; [загар\; 2\; \; (45\; +\; \varphi \; \prime \; /\; 2)\; (1\; +\; 2\; kh\; 1\; -\; kv\; tan\; \; \varphi \; \prime )\; 2\; -\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; z\_\; \{tc\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{c\; \text{'}\}\; \{\; (1-k\_\; \{v\})\; \backslash \; gamma\; \backslash \; tan\; \{\backslash \; phi\; \text{'}\}\}\}\; \{\backslash \; Biggl\; [\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; tan\; ^\; \{2\}\; (45+\; \backslash \; phi\text{'}\; /\; 2)\}\; \{\{\backslash \; biggl\; (\}\; 1\; +\; 2\; \{\backslash \; frac\; \{k\_\; \{h\}\}\; \{1-k\_\; \{v\}\}\}\; \backslash \; tan\; \{\backslash \; phi\; \text{'}\}\; \{\backslash \; biggl)\}\; ^\; \{2\}\}\}\; -\; 1\; \{\backslash \; Biggl]\}\}$В статических условиях ($kh\; \{\backslash \; displaystyle\; k\_\; \{h\}\}$=$kv\; \{\backslash \; displaystyle\; k\_\; \{v\}\}$= 0), где мобилизованная сплоченность, $см\; \{\; \backslash \; displaystyle\; c\_\; \{m\}\}$, равно значению сцепления в критическом состоянии, $c\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; c\; \text{'}\}$, приведенное выше выражение преобразуется в хорошо известный: $ztc\; =\; 2\; c\; \prime \; \gamma \; tan\; \; (45\; o\; -\; \varphi \; \prime \; /\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; z\_\; \{tc\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2c\; \text{'}\}\; \{\backslash \; gamma\; \backslash \; tan\; \{(45\; ^\; \{o\; \}\; -\; \backslash \; phi\; \text{'}/\; 2)\}\}\}\}$

Определение давления грунта в состоянии покоя на основе активного коэффициента давления грунта

Фактически, это было предусмотрено в EM1110-2-2502 с применением фактор мобилизации силы (SMF) для c 'и tanφ'. Согласно этому Руководству для инженера, соответствующее значение SMF позволяет рассчитать давление грунта, превышающее активное, с использованием уравнения активной силы Кулона. Предполагая, что среднее значение SMF равно 2/3 вдоль поверхности кулоновского разрушения, было показано, что для чисто фрикционных грунтов полученное значение коэффициента давления грунта достаточно хорошо совпадает с соответствующим значением, полученным из $K\; 0\; =\; 1\; -\; sin\; Джаки.\; \; \varphi \; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{0\}\; =\; 1-\; \backslash \; sin\; \backslash \; phi\; \text{'}\}$уравнение.

В решении, предложенном Пантелидисом, коэффициент SMF - это соотношение $1\; /\; fm\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; /\; f\_\; \{m\}\}$и то, что было предусмотрено EM1110-2 -2502, его можно точно посчитать.

Пример №1: Для $c\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; c\; \text{'}\}$= 20 кПа, $\varphi \; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\text{'}\}$= 30, γ = 18 кН / м, $kh\; \{\backslash \; displaystyle\; k\_\; \{h\}\}$=$kv\; \{\backslash \; displaystyle\; k\_\; \{v\}\}$= 0 и $z\; \{\backslash \; displaystyle\; z\}$= 2 м, для состояния покоя $K\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{0\}\}$= 0,211, $см\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{m\; \}\}$= 9,00 кПа и $\varphi \; m\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; \_\; \{m\}\}$= 14,57. Используя эту пару значений ($cm\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{m\}\}$, $\varphi \; m\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; \_\; \{m\}\}$) вместо ($c\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; c\; \text{'}\}$, $\varphi \; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\text{'}\}$) пара значений коэффициента активного давления земли ($K\; ae\; \{\backslash \; textstyle\; K\_\; \{ae\}\}$), приведенный ранее, последний возвращает коэффициент давления земли, равный 0,211, то есть коэффициент давления земли в состоянии покоя.

Пример №2: Для $c\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; c\; \text{'}\}$= 0kPa, $\varphi \; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\text{'}\}$= 30, γ = 18 кН / м, $kh\; \{\backslash \; displaystyle\; k\_\; \{h\}\}$= 0,3, $kv\; \{\backslash \; displaystyle\; k\_\; \{v\}\}$= 0,15 и $z\; \{\backslash \; displaystyle\; z\}$= 2 m, для состояния покоя $K\; oe\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{oe\}\}$= 0.602, $см\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{m\}\}$= 0 кПа и $\varphi \; m\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; \_\; \{m\}\}$= 14,39. Используя эту пару значений ($cm\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{m\}\}$, $\varphi \; m\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; \_\; \{m\}\}$) вместо ($c\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; c\; \text{'}\}$, $\varphi \; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\text{'}\}$) пара значений и $kh\; \{\backslash \; displaystyle\; k\_\; \{h\}\}$=$kv\; \{\backslash \; displaystyle\; k\_\; \{\; v\}\}$= 0 в коэффициенте активного давления грунта ($K\; ae\; \{\backslash \; textstyle\; K\_\; \{ae\}\}$), данном ранее, последний возвращает коэффициент давления грунта равно до 0,602, то есть снова коэффициент давления земли в состоянии покоя.

• Теория Мора-Кулона
• Механика грунта

• Кодуто, Дональд (2001), Foundation Design, Prentice-Hall, ISBN 0-13-589706-8 Укажите пустой неизвестный параметр: | Поместите =()
• Служба транспорта Калифорнии о Боковое давление земли

.