Число витков

редактировать

Сколько раз кривая огибает точку на плоскости

Эта кривая имеет виток номер два вокруг точки p.

В математике число витка замкнутой кривой в плоскости вокруг заданной точки равно целое число, представляющее общее количество раз, когда кривая проходит вокруг точки против часовой стрелки. Число витков зависит от ориентации кривой и является отрицательным, если кривая перемещается вокруг точки по часовой стрелке.

Числа обмоток являются фундаментальными объектами изучения в алгебраической топологии, и они играют важную роль в векторном исчислении, комплексном анализе, геометрическая топология, дифференциальная геометрия и физика, включая теорию струн.

Содержание

1 Интуитивное описание
2 Формальное определение
3 Альтернативные определения
- 3.1 Нумерация Александера
- 3.2 Дифференциальная геометрия
- 3.3 Комплексный анализ
- 3.4 Топология
- 3.5 Многоугольники
4 Число поворота
5 Число обмоток и уравнения ферромагнетика Гейзенберга
6 См. Также
7 Ссылки
8 Внешние ссылки

Интуитивное описание

Объект, движущийся по красной кривой, делает два поворота против часовой стрелки вокруг человека в исходной точке.

Предположим, нам дан замкнутый, ориентированная кривая в плоскости xy. Мы можем представить кривую как путь движения некоторого объекта с ориентацией, указывающей направление, в котором движется объект. Тогда число витков кривой будет равно общему количеству витков против часовой стрелки, которые объект делает вокруг начала координат.

При подсчете общего количества оборотов движение против часовой стрелки считается положительным, а движение по часовой стрелке считается отрицательным. Например, если объект сначала четыре раза обходит исходную точку против часовой стрелки, а затем один раз обходит ее по часовой стрелке, то общее число витков кривой равно трем.

Используя эту схему, кривая, которая вообще не движется вокруг начала координат, имеет нулевой номер витка, в то время как кривая, движущаяся по часовой стрелке вокруг начала координат, имеет отрицательный номер витка. Следовательно, число витков кривой может быть любым целым числом. На следующих рисунках показаны кривые с номерами витков от -2 до 3:

$⋯ {\ displaystyle \ cdots}$ $\ cdots$
	−2	-1	0
				$⋯ {\ displaystyle \ cdots}$ $\ cdots$
	1	2	3

Формальное определение

Кривая в плоскости xy может быть определена с помощью параметрических уравнений :

x = x (t) и y = y (t) для 0 ≤ t ≤ 1. {\ displaystyle x = x (t) \ quad {\ text {and}} \ quad y = y (t) \ qquad {\ text {for}} 0 \ leq t \ leq 1.}

x = x (t) \ quad \ text {и} \ quad y = y (t) \ qquad \ text {for} 0 \ leq t \ leq 1.

Если мы подумаем о параметре t как время, то эти уравнения определяют движение объекта в плоскости между t = 0 и t = 1. Траектория этого движения представляет собой кривую, пока функции x (t) и y ( t) являются непрерывными. Эта кривая замкнута до тех пор, пока положение объекта одинаково в t = 0 и t = 1.

Мы можем определить номер витка такой кривой, используя полярная система координат. Предполагая, что кривая не проходит через начало координат, мы можем переписать параметрические уравнения в полярной форме:

r = r (t) и θ = θ (t) для 0 ≤ t ≤ 1. {\ displaystyle r = r ( t) \ quad {\ text {and}} \ quad \ theta = \ theta (t) \ qquad {\ text {for}} 0 \ leq t \ leq 1.}

r = r (t) \ quad \ text {и} \ quad \ theta = \ theta (t) \ qquad \ text {for} 0 \ leq t \ leq 1.

Функции r (t) и θ (t) должны быть непрерывными, причем r>0. Поскольку начальная и конечная позиции совпадают, θ (0) и θ (1) должны отличаться на целое число, кратное 2π. Это целое число является номером обмотки:

номер обмотки = θ (1) - θ (0) 2 π. {\ displaystyle {\ text {число витков}} = {\ frac {\ theta (1) - \ theta (0)} {2 \ pi}}.}

\ text {номер витка} = \ frac {\ theta (1) - \ theta (0)} {2 \ pi}.

Это определяет число витков кривой вокруг начала координат в плоскости xy. Путем перевода системы координат мы можем расширить это определение, включив в него числа намотки вокруг любой точки p.

Альтернативные определения

Число обмоток часто определяется по-разному в различных разделах математики. Все приведенные ниже определения эквивалентны приведенному выше:

Нумерация Александра

Простое комбинаторное правило для определения номера витков было предложено Августом Фердинандом. Мёбиус в 1865 году и снова независимо Джеймс Уодделл Александр II в 1928 году. Любая кривая разбивает плоскость на несколько связанных областей, одна из которых не ограничена. Число витков кривой вокруг двух точек в одной и той же области одинаково. Число витков вокруг (любой точки) неограниченной области равно нулю. Наконец, номера витков для любых двух соседних областей различаются ровно на 1; область с большим числом витков появляется на левой стороне кривой (относительно движения вниз по кривой).

Дифференциальная геометрия

В дифференциальной геометрии параметрические уравнения обычно считаются дифференцируемыми (или, по крайней мере, кусочно дифференцируемыми). В этом случае полярная координата θ связана с прямоугольными координатами x и y уравнением:

d θ = 1 r 2 (x d y - y d x), где r 2 = x 2 + y 2. {\ displaystyle d \ theta = {\ frac {1} {r ^ {2}}} \ left (x \, dy-y \, dx \ right) \ quad {\ text {where}} r ^ {2} = x ^ {2} + y ^ {2}.}

d \ theta = \ frac {1} {r ^ 2} \ left (x \, dy - y \, dx \ right) \ quad \ text {где} r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2.

Что находится путем дифференцирования следующего определения для θ:

θ (t) = arctan ⁡ (y (t) x (t)) {\ displaystyle \ theta (t) = \ arctan {\ bigg (} {\ frac {y (t)} {x (t)}} {\ bigg)}}

{\ displaystyle \ theta (t) = \ arctan {\ bigg (} {\ frac {y (t)} {x (t)}} {\ bigg)}}

По фундаментальной теореме исчисления, полное изменение θ равно интегралу от dθ. Следовательно, мы можем выразить число витков дифференцируемой кривой как линейный интеграл :

число витков = 1 2 π ∮ C (x r 2 d y - y r 2 d x). {\ displaystyle {\ text {число витков}} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ oint _ {C} \, \ left ({\ frac {x} {r ^ {2}}} \, dy - {\ frac {y} {r ^ {2}}} \, dx \ right).}

{\ displaystyle {\ text {число витков}} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ oint _ {C} \, \ left ({\ frac {x} {r ^ {2}}} \, dy - {\ frac {y} {r ^ {2}}} \, dx \ right).}

Одноместная форма dθ (определенная в дополнении к началу координат) закрытый, но не точный, и он генерирует первую группу когомологий де Рама для проколотой плоскости. В частности, если ω - любая замкнутая дифференцируемая одноформная форма, определенная на дополнении к началу координат, то интеграл от ω по замкнутым контурам дает кратное число витков.

Комплексный анализ

Числа обмотки играют очень важную роль во всем комплексном анализе (см. Формулировку теоремы об остатках ). В контексте комплексного анализа число витков замкнутой кривой $γ {\ displaystyle \ gamma}$ $\ gamma$ в комплексной плоскости можно выразить через комплексную координату z = x + iy. В частности, если мы напишем z = re, тогда

dz = ei θ dr + irei θ d θ {\ displaystyle dz = e ^ {i \ theta} dr + ire ^ {i \ theta} d \ theta \! \,}

dz = e ^ {i \ theta} dr + ire ^ { я \ theta} d \ theta \! \,

и, следовательно,

dzz = drr + id θ = d [ln ⁡ r] + id θ. {\ displaystyle {\ frac {dz} {z}} \; = \; {\ frac {dr} {r}} + i \, d \ theta \; = \; d [\ ln r] + i \, d \ theta.}

\ frac {dz} {z} \; = \; \ frac {dr} {r} + i \, d \ theta \; = \; d [\ ln r] + я \, d \ theta.

Поскольку $γ {\ displaystyle \ gamma}$ $\ gamma$ является замкнутой кривой, общее изменение ln (r) равно нулю, и, следовательно, интеграл от $dzz {\ displaystyle {\ frac {dz} {z}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {dz } {z}}}$ равно $i {\ displaystyle i}$ $i$ , умноженному на общее изменение $θ {\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ . Следовательно, число витков замкнутого пути $γ {\ displaystyle \ gamma}$ $\ gamma$ относительно начала координат задается выражением

1 2 π i ∮ γ ⁡ dzz {\ displaystyle {\ frac { 1} {2 \ pi i}} \ oint _ {\ gamma} {\ frac {dz} {z}}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi i} } \ oint _ {\ gamma} {\ frac {dz} {z}}}

В более общем случае, если $γ {\ displaystyle \ gamma}$ $\ gamma$ является замкнутой кривой, параметризованной $t ∈ [α, β] {\ displaystyle t \ in [\ alpha, \ beta]}$ ${\ displaystyle t \ in [\ alpha, \ beta]}$ , числом витков $γ {\ displaystyle \ gamma }$ $\ gamma$ примерно $z 0 {\ displaystyle z_ {0}}$ $z_{0}$ , также известный как индекс $z 0 {\ displaystyle z_ {0}}$ $z_{0}$ относительно $γ {\ displaystyle \ gamma}$ $\ gamma$ , определяется для комплекса $z 0 ∉ γ ([α, β]) {\ displaystyle z_ {0} \ notin \ gamma ([\ alpha, \ beta])}$ ${\ displaystyle z_ {0} \ notin \ gamma ([\ alpha, \ beta])}$ as

I nd γ (z 0) = 1 2 π i ∮ γ ⁡ d ζ ζ - z 0 = 1 2 π i ∫ α β γ ′ (t) γ (т) - z 0 dt {\ displaystyle \ mathrm {Ind} _ {\ gamma} (z_ {0}) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ oint _ {\ gamma} {\ frac {d \ zeta} {\ zeta -z_ {0}}} = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {\ alpha} ^ {\ beta} {\ frac {\ gamma '( t)} {\ gamma (t) -z_ {0}}} dt}

\mathrm {Ind} _{\gamma }(z_{0})={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {d\zeta }{\zeta -z_{0}}}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\alpha }^{\beta }{\frac {\gamma '(t)}{\gamma (t)-z_{0}}}dt

Это частный случай известной интегральной формулы Коши.

Некоторые из основных свойств числа витков в комплексе плоскости задаются следующей теоремой:

Теорема. Пусть $γ: [α, β] → C {\ displaystyle \ gamma: [\ alpha, \ beta] \ to \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ gamma: [\ alpha, \ beta] \ to \ mathbb {C}}$ будет замкнутым путем, и пусть $Ω {\ displaystyle \ Omega}$ $\ Omega$ будет заданным дополнением изображения $γ {\ displaystyle \ gamma}$ $\ gamma$ , то есть $Ω: = C ∖ γ ([α, β]) {\ displaystyle \ Omega: = \ mathbb {C} \ setminus \ gamma ([\ alpha, \ beta])}$ ${\ displaystyle \ Omega : = \ mathbb {C} \ setminus \ gamma ([\ alpha, \ beta])}$ . Тогда индекс $z {\ displaystyle z}$ $z$ по отношению к $γ {\ displaystyle \ gamma}$ $\ gamma$ ,

$I nd γ: Ω → C, z ↦ 1 2 π i ∮ γ ⁡ d ζ ζ - z {\ displaystyle \ mathrm {Ind} _ {\ gamma}: \ Omega \ to \ mathbb {C}, \ \ z \ mapsto {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ oint _ {\ gamma} {\ frac {d \ zeta} {\ zeta -z}}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Ind} _ {\ gamma}: \ Omega \ to \ mathbb {C}, \ \ z \ mapsto {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ oint _ {\ gamma} {\ frac {d \ zeta} {\ zeta -z}}}$ ,

является (i) целочисленным, т.е. $I nd γ (z) ∈ Z {\ displaystyle \ mathrm {Ind} _ {\ gamma} (z) \ in \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Ind} _ {\ gamma} (z) \ in \ mathbb {Z}}$ для всех $z ∈ Ω {\ displaystyle z \ in \ Omega}$ ${\ displaystyle z \ in \ Omega}$ ; (ii) константа по каждому компоненту (т. е. максимальное связное подмножество) $Ω {\ displaystyle \ Omega}$ $\ Omega$ ; и (iii) ноль, если $z {\ displaystyle z}$ $z$ находится в неограниченном компоненте $Ω {\ displaystyle \ Omega}$ $\ Omega$ .

. Как непосредственное следствие, эта теорема дает обмотку число кругового пути $γ {\ displaystyle \ gamma}$ $\ gamma$ вокруг точки $z {\ displaystyle z}$ $z$ . Как и ожидалось, число витков учитывает количество петель (против часовой стрелки). $γ {\ displaystyle \ gamma}$ $\ gamma$ составляет около $z {\ displaystyle z}$ $z$ :

Следствие. Если $γ {\ displaystyle \ gamma}$ $\ gamma$ - это путь, определенный как $γ (t) = a + reint, 0 ≤ t ≤ 2 π, n ∈ Z {\ displaystyle \ gamma (t) = a + re ^ {int}, \ \ 0 \ leq t \ leq 2 \ pi, \ \ n \ in \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle \ gamma (t) = a + re ^ { int}, \ \ 0 \ leq t \ leq 2 \ pi, \ \ n \ in \ mathbb {Z}}$ , затем $I nd γ (z) = {n, | г - а | < r ; 0, | z − a |>р. {\ displaystyle \ mathrm {Ind} _ {\ gamma} (z) = {\ begin {cases} n, | za | r. \ end {cases}}}$ $\mathrm {Ind} _{\gamma }(z)={\begin{cases}n,|z-a|<r;\\0,|z-a|>r. \ end {cases }}$

Топология

В топологии номер обмотки является альтернативным термином для степени непрерывного отображения. В физике номера обмоток часто называется топологическими квантовыми числами. В обоих случаях применяется одна и та же концепция.

Приведенный выше пример кривой, огибающей точку, имеет простую топологическую интерпретацию. Дополнение точки на плоскости гомотопически эквивалентен кругу круг, так что отображение круга на себя - это все, что нужно учитывать. Можно показать, что каждое такое отображение можно непрерывно деформировать до ( гомотопно) одному из стандартных отображений $S 1 → S 1: s ↦ sn {\ displaystyle S ^ {1} \ to S ^ {1}: s \ mapsto s ^ {n}}$ $S ^ 1 \ to S ^ 1: s \ mapsto s ^ n$ , где умножение в круге определяется отождествлением его со сложным единичным кругом. Набор гомотопических классов отображений круга в топологическое пространство образуют группу, которая называется первой гомотопической группой или фундаментальная группа этого пространства. Основная группа круга - это группа целых чисел, Z; а число витков комплексной кривой - это просто ее гомотопический класс.

Карты из 3-сферы в себя также классифицируются целым числом, которое также называется числом витков или иногда индексом Понтрягина.

Полигоны

Граница регулярной эннеаграммы {9/4} оборачивается вокруг своего центра 4 раза, поэтому его плотность равна 4.

В многоугольниках число витков обозначается как плотность полигонов. Для выпуклых многоугольников и в более общем смысле простых многоугольников (не самопересекающихся) плотность равна 1 по теореме о кривой Жордана. Напротив, для правильного многоугольника звезды {p / q} плотность равна q.

Число поворота

Можно также учитывать число витков пути по отношению к касательной к самому пути. В качестве пути, пройденного во времени, это будет число витков относительно начала вектора скорости. В этом случае пример, проиллюстрированный в начале этой статьи, имеет номер витка 3, потому что маленькая петля считается.

Это определено только для погруженных путей (т. Е. Для дифференцируемых путей с нигде не исчезающими производными) и является степенью касательной карты Гаусса.

Это называется числом поворота, и может быть вычислена как общая кривизна, деленная на 2π.

Число обмоток и уравнения ферромагнетика Гейзенберга

Число обмоток тесно связано с (2 + 1) -мерными непрерывными уравнениями ферромагнетика Гейзенберга и его интегрируемыми расширениями: уравнением Ишимори и т. д. Решения последних уравнений классифицируются по номеру намотки или топологическому заряду (топологический инвариант и / или топологическое квантовое число ).

См. Также

Ссылки

Внешние ссылки

Номер витка на PlanetMath.org.