Tetracontaoctagon

Правильный четырехугольник
Правильный четырехугольник
Тип	Правильный многоугольник
Ребра и вершины	48
символ Шлефли	{48}, t { 24}, tt {12}, ttt {6}, tttt {3}
Диаграмма Кокстера	.
Группа симметрии	Двугранная (D48), порядок 2 × 48
Внутренний угол (градусов )	172,5 °
Двойной многоугольник	Собственный
Свойства	Выпуклый, циклический, равносторонний, изогональный, изотоксальный

В геометрии, тетраконтаоктагон (или тетраконтакаиоктагон ) или 48-угольник - это сорок -восьмиугольник многоугольник. сумма внутренних углов любого тетраконтаоктагона составляет 8280 градусов.

• 1 Правильный тетраконтаоктагон
  • 1.1 Конструкция
• 2 Симметрия
• 3 Рассечение
• 4 Тетраконтаоктаграмма
• 5 Ссылки

правильный тетраконтаоктагон представлен символом Шлефли {48}, а также может быть построен как усеченный икоситетракон, t {24} или дважды усеченный додекагон, tt {12}, или усеченный в три раза шестиугольник, ttt {6}, или усеченный в четыре раза треугольник, tttt {3}.

Один внутренний угол в правильном тетраконтаоктагоне равен 172 ⁄ 2 °, что означает, что один внешний угол будет 7 ⁄ 2 °.

Площадь правильного четырехугольника: (с t = длина ребра)

$A\; =\; 12\; t\; 2\; кроватка\; \; \pi \; 48\; =\; 12\; t\; 2\; (2\; +\; 3\; +\; 8\; +\; 4\; 3\; +\; 16\; +\; 8\; 3\; +\; 2\; 104\; +\; 60\; 3)\; =\; 12\; t\; 2\; (2\; +\; 3\; +\; (6\; +\; 2)\; +\; 16\; +\; 8\; 3\; +\; 10\; 2\; +\; 6\; 6)\; =\; 12\; t\; 2\; (2\; +\; 3\; +\; (\; 6\; +\; 2)\; +\; 2\; 4\; +\; 2\; 3\; +\; 26\; +\; 15\; 3).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; A\; =\; 12t\; ^\; \{2\}\; \backslash \; cot\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{48\}\}\; \backslash \backslash \; =\; 12t\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{8\; +\; 4\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{16\; +\; 8\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; +\; 2\; \{\backslash \; sqrt\; \{104\; +\; 60\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\}\}\; \}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; =\; 12t\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; +\; (\{\backslash \; sqrt\; \{6\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\})\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{16\; +8\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; +\; 10\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; +\; 6\; \{\backslash \; sqrt\; \{6\}\}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; =\; 12t\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{\; 3\}\}\; +\; (\{\backslash \; sqrt\; \{6\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\})\; +\; 2\; \{\backslash \; sqrt\; \{4\; +\; 2\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{26\; +\; 15\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\; \}\}\}\}\}\}\; \backslash \; right).\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Тетраконтаоктагон появился в приближении многоугольника Архимеда pi вместе с шестиугольником (6- гон), додекагон (12-угольник), икоситетрагон (24-угольник) и эннеаконтагексагон (96-угольник).

Построение

Поскольку 48 = 2 × 3, правильный четырехугольник можно построить с помощью циркуля и линейки. Как усеченный икоситетракон, он может быть построен путем деления ребра пополам правильного икоситетракона.

Симметрии правильного тетраконтаоктагона

Правильный тетраконтаоктагон имеет симметрию Dih 48, порядок 96. Существует девять подгрупп диэдральных симметрий: (Dih 24, Dih 12, Dih 6, Dih 3) и (Dih 16, Dih 8, Dih 4, Dih 2 Dih 1) и 10 симметрий циклической группы : (Z 48, Z 24, Z 12, Z 6, Z 3) и (Z 16, Z 8, Z 4, Z 2, Z 1).

Эти 20 симметрий можно увидеть в 28 различных симметриях на тетраконтаоктагоне. Джон Конвей помечает их буквой и групповым порядком. Полная симметрия правильной формы - r96, и никакая симметрия не помечена как a1 . Двугранные симметрии разделяются в зависимости от того, проходят ли они через вершины (d для диагонали) или ребра (p для перпендикуляров) и i, когда отражательные линии проходят через как ребра, так и вершины. Циклические симметрии в среднем столбце обозначены как g для их центральных порядков вращения.

Симметрия каждой подгруппы допускает одну или несколько степеней свободы для неправильных форм. Только подгруппа g48 не имеет степеней свободы, но может рассматриваться как направленные ребра.

48-угольник с 1104 ромбами

. обычный

. Изотоксальный

Коксетер заявляет, что каждый зоногон (2m-угольник, противоположные стороны которого параллельны и равной длины) может быть разрезан на m (m-1) / 2 параллелограмма. В частности, это верно для правильных многоугольников с равным числом сторон, и в этом случае все параллелограммы являются ромбами. Для правильного четырехугольника m = 24, и его можно разделить на 276: 12 квадратов и 11 наборов по 24 ромба. Это разложение основано на многоугольнике Петри проекции 24-куба.

Примеры

Тетраконтаоктаграмма - это 48-сторонний звездный многоугольник. Существует семь обычных форм, задаваемых символами Шлефли {48/5}, {48/7}, {48/11}, {48/13}, {48/17}, {48/19}, и {48/23}, а также 16 составных звездных фигур с одинаковой конфигурацией вершин.

Правильные звездообразные многоугольники {48 / k}

Изображение	. {48/5}	. {48/7}	. {48/11}	. {48/13}	. {48/17}	. {48/19}	. {48/23}
Внутренний угол	142,5 °	127,5 °	97,5 °	82,5 °	52,5 °	37,5 °	7,5 °

• Именование многоугольников и многогранников