В полилинейной алгебре тензорное сжатие - это операция над тензор, который возникает из естественного спаривания конечного размерного векторного пространства и его двойственного. В компонентах это выражается как сумма произведений скалярных компонентов тензора (ов), вызванного применением соглашения о суммировании к паре фиктивных индексов, которые связаны друг с другом в выражении. Сжатие одного смешанного тензора происходит, когда пара литеральных индексов (один - нижний индекс, другой - верхний) тензора устанавливаются равными друг другу и суммируются. В нотации Эйнштейна это суммирование встроено в нотацию. Результатом является другой тензор с порядком, уменьшенным на 2.
Сужение тензорного элемента можно рассматривать как обобщение следа .
Пусть V будет векторным пространством над полем k. Суть операции сжатия и в простейшем случае - это естественное спаривание V с его двойственным векторным пространством V. Спаривание - это линейное преобразование из тензорного произведения из этих двух пробелов в поле k:
, соответствующее билинейной форма
где f находится в V, а v находится в V. Карта C определяет сокращение операция над тензором типа (1, 1), который является элементом . Обратите внимание, что результатом является скаляр (элемент k). Используя естественный изоморфизм между и пространством линейных преобразований из V в V, можно получить безбазисное определение trace.
В общем случае тензор типа (m, n) (с m ≥ 1 и n ≥ 1) является элементом векторного пространства
(где есть m факторов V и n факторы V). Применяя естественное спаривание к k-му V-фактору и l-му V-фактору и используя тождество для всех других факторов, мы определяем операцию сжатия (k, l), которая представляет собой линейное отображение, которое дает тензор типа (m - 1, п - 1). По аналогии со случаем (1, 1) общую операцию сжатия иногда называют следом.
В тензорной индексной нотации базовое сжатие вектора и двойственного вектора обозначается
, что является сокращением для явного суммирования координат
(где v - компоненты v в определенном базисе, а f i - компоненты f в соответствующем двойственном базисе).
Поскольку общий смешанный диадический тензор представляет собой линейную комбинацию разложимых тензоров вида , явная формула для диадического случая: let
- смешанный диадический тензор. Тогда его сжатие будет
Общее сокращение обозначается пометкой одного ковариантного индекса и одного контравариантный индекс с той же буквой, суммирование по этому индексу подразумевается соглашением о суммировании . Полученный сжатый тензор наследует остальные индексы исходного тензора. Например, сжатие тензора T типа (2,2) на втором и третьем индексах для создания нового тензора U типа (1,1) записывается как
Напротив, пусть
- несмешанный диадический тензор. Этот тензор не сжимается; если его базовые векторы отмечены точками, результатом будет контравариантный метрический тензор,
с рангом 2.
Как и в предыдущем примере, сжатие пары индексов, которые либо контравариантны, либо оба ковариантны, невозможно. в общем. Однако при наличии внутреннего продукта (также известного как метрика ) g такие сокращения возможны. Один использует метрику для повышения или понижения одного из индексов по мере необходимости, а затем используется обычная операция сокращения. Комбинированная операция известна как.
Сужение часто применяется к тензорным полям над пробелами (например, евклидово пространство, коллекторы, или схемы ). Поскольку сжатие - чисто алгебраическая операция, его можно поточечно применить к тензорному полю, например если T - (1,1) тензорное поле в евклидовом пространстве, то в любых координатах его сжатие (скалярное поле) U в точке x задается выражением
Поскольку роль x здесь несложная, она часто подавляется, и обозначения для тензорных полей становится идентичным таковому для чисто алгебраических тензоров.
Над римановым многообразием доступна метрика (поле внутренних произведений), и как метрические, так и неметрические сжатия имеют решающее значение для теории. Например, тензор Риччи является неметрическим сжатием тензора кривизны Римана, а скалярная кривизна является уникальным метрическим сжатием тензора Риччи.
Можно также рассматривать сжатие тензорного поля в контексте модулей над соответствующим кольцом функций на многообразии или в контексте пучков модулей над структурным пучком; см. обсуждение в конце статьи.
В качестве приложения сжатия тензорного поля пусть V будет векторным полем на римановом многообразии (например,, Евклидово пространство ). Пусть - ковариантная производная от V (при некотором выборе координат). В случае декартовых координат в евклидовом пространстве можно записать
Затем изменение индекса β на α вызывает пара индексов должна стать связанной друг с другом, так что производная сокращается сама с собой, чтобы получить следующую сумму:
что является дивергенцией div V. Тогда
- это уравнение неразрывности для V.
В общем, можно определить различные операции дивергенции на тензорных полях более высокого ранга следующим образом. Если T - тензорное поле, по крайней мере, с одним контравариантным индексом, то взятие ковариантного дифференциала и сжатие выбранного контравариантного индекса с новым ковариантным индексом, соответствующим дифференциалу, приводит к новому тензору ранга на единицу ниже, чем T.
Операцию сужения ядра (вектор с двойственным вектором) можно обобщить несколько иначе, рассмотрев пару тензоров T и U. тензорное произведение - новый тензор, который, если он имеет хотя бы один ковариантный и один контравариантный индекс, может быть сжат. Случай, когда T - вектор, а U - двойственный вектор, - это в точности основная операция, представленная первой в этой статье.
В обозначении индекса тензора, чтобы свести два тензора друг к другу, их помещают рядом (рядом) как множители одного члена. Это реализует тензорное произведение, в результате чего получается составной тензор. Сжатие двух индексов в этом составном тензоре реализует желаемое сжатие двух тензоров.
Например, матрицы могут быть представлены как тензоры типа (1,1), где первый индекс контравариантен, а второй индекс ковариантен. Пусть - компоненты одной матрицы, и пусть - компоненты второй матрицы. Тогда их умножение дается следующим сжатием, примером сжатия пары тензоров:
Кроме того, предмет интерьера вектора с дифференциальной формой является частным случаем стягивания двух тензоров друг с другом.
Пусть R будет коммутативным кольцом и пусть M будет конечным свободным модулем над R. Тогда сжатие действует на полная (смешанная) тензорная алгебра M точно так же, как и в случае векторных пространств над полем. (Ключевым фактом является то, что в этом случае естественное спаривание все еще идеально.)
В более общем смысле, пусть O X будет пучком коммутативных колец над топологическое пространство X, например O X может быть структурным пучком сложного многообразия, аналитическим пространством или схемой. Пусть M - локально свободный пучок модулей над O X конечного ранга. Тогда двойственный к M по-прежнему хорошо себя ведет, и операции сжатия имеют смысл в этом контексте.