Войти
Пример Z-отношения на двух наборах высоты звука, которые можно анализировать как Z17 или выводить из него (Schuijer 2008, 99), с интервалами между классами высоты тона, помеченными для облегчения сравнения между двумя наборами и их общим вектором интервалов, 212320. 
Набор 3-1 имеет три возможных поворота / инверсии, нормальная форма который является наименьшим пирогом или наиболее компактной формой Теория музыкального множества предоставляет концепции для классификации музыкальных объектов и описания их взаимосвязей. Ховард Хансон первым разработал многие концепции для анализа тональной музыки (Hanson 1960). Другие теоретики, такие как Аллен Форте, продолжили развитие теории анализа атональной музыки (Forte 1973), опираясь на двенадцатитональный теория Милтона Бэббита. Концепции теории музыкальных множеств являются очень общими и могут применяться к тональным и атональным стилям в любой системе настройки одинаковой темперации, а в некоторой степени и в более общем плане.
Одна ветвь теории музыкальных множеств имеет дело с коллекциями (сетами и перестановками ) высот и классов высоты звука ( теория множеств классов тона ), которые могут быть упорядоченными или неупорядоченными и могут быть связаны с помощью музыкальных операций, таких как транспонирование, мелодическая инверсия и дополнение. Некоторые теоретики применяют методы теории музыкальных множеств и для анализа ритма.
Хотя часто считается, что теория музыкальных множеств включает в себя применение математическая теория множеств в музыке, существует множество различий между методами и терминологией этих двух. Например, музыканты используют термины транспонирование и инверсия, где математики использовали бы перевод и отражение. Более того, там, где теория музыкальных множеств относится к упорядоченным множествам, математика обычно относится к кортежам или последовательностям (хотя математика действительно говорит о упорядоченных множествах, и хотя можно увидеть, что они в некотором смысле включают музыкальный вид, они гораздо более вовлечены).
Более того, теория музыкальных множеств более тесно связана с теорией групп и комбинаторикой, чем с математической теорией множеств, которая занимается такими вопросами, как, например, различные размеры бесконечно больших множеств. В комбинаторике неупорядоченное подмножество nобъектов, такое как классы основного тона, называется комбинацией, а упорядоченное подмножество - перестановкой. Теорию музыкальных множеств лучше всего рассматривать как область, которая не столько связана с математической теорией множеств, сколько приложение комбинаторики к теории музыки со своим собственным словарем. Основная связь с математической теорией множеств - это использование словаря теории множеств для разговора о конечных множествах.
Фундаментальным понятием теории музыкальных множеств является (музыкальный) набор, который представляет собой неупорядоченный набор классов высоты звука (Rahn 1980, 27). Точнее, набор классов основного тона - это числовое представление, состоящее из различных целых чисел (т. Е. Без дубликатов) (Forte 1973, 3). Элементы набора могут проявляться в музыке как одновременные аккорды, последовательные тоны (как в мелодии) или и то, и другое. Обозначения меняются от автора к автору, но наборы обычно заключаются в фигурные скобки: {} (Rahn 1980, 28) или квадратные скобки: (Forte 1973, 3).
Некоторые теоретики используют угловые скобки ⟨⟩ для обозначения упорядоченных последовательностей (Rahn 1980, 21 134), в то время как другие различают упорядоченные множества, разделяя числа пробелами (Forte 1973, 60–61). Таким образом, можно обозначить неупорядоченный набор классов основного тона 0, 1 и 2 (соответствующих в данном случае C, C♯ и D) как {0,1,2}. Упорядоченная последовательность C-C♯-D будет обозначена как ⟨0,1,2⟩ или (0,1,2). Хотя в этом примере C считается нулевым, это не всегда так. Например, произведение (тональное или атональное) с четким центром высоты тона F может быть наиболее полезно проанализировано с F, установленным на ноль (в этом случае {0,1,2} будет представлять F, F♯ и G. (Для использование чисел для обозначения нот, см. класс высоты тона.)
Хотя теоретики множеств обычно рассматривают наборы классов высоты тона с одинаковым темпом, можно рассматривать наборы звуков, не равных классы высоты тона, ритмические начала или "классы ритма" (Warburton 1988, 148; Cohn 1992, 149).
Двухэлементные наборы называются диады, трехэлементные наборы трихорды (иногда «триады», хотя это легко спутать с традиционным значением слова триада ). называемые тетрахордами (или тетрадами), пентахордами (или пентадами), гексахордами (или гексадами), гептахордами (гептадами или, иногда, смешение латинских и греческих корней, «септахорды» - например, Rahn 1980, 140), octachords (octads), неаккорды (нонад), декахорды (декады), ундеакхорды и, наконец, додекахорд.
Шаг инверсия класса: 234te, отраженный вокруг 0, становится t9821 . Основные операции, которые могут выполняться над набором, - это транспонирование и инверсия. Наборы, связанные транспонированием или инверсией, называются связанными транспозиционно или инверсионно связанными и принадлежат к одному и тому же классу наборов . Поскольку транспозиция и инверсия являются изометрией пространства питч-класса, они сохраняют интервальную структуру набора, даже если они не сохраняют музыкальный характер (то есть физическую реальность) элементов набора. Это можно считать центральным постулатом теории музыкальных множеств. На практике теоретико-множественный музыкальный анализ часто заключается в выявлении неочевидных транспозиционных или инверсионных отношений между наборами, встречающимися в произведении.
Некоторые авторы также рассматривают операции дополнения и умножения. Дополнением к набору X является набор, состоящий из всех классов высоты тона, не содержащихся в X (Forte 1973, 73–74). Произведение двух классов основного тона является произведением их чисел класса основного тона по модулю 12. Поскольку дополнение и умножение не являются изометриями пространства класса основного тона, они не обязательно сохраняют музыкальный характер объектов, которые они преобразовывают.. Другие авторы, такие как Аллен Форте, подчеркнули Z-отношение, которое получается между двумя наборами, которые имеют одно и то же общее содержимое интервала, или вектор интервала, но не транспозиционно или инверсионно эквивалент (Forte 1973, 21). Другое название этой связи, используемое Говардом Хэнсоном (1960, 22), - «изомерная» (Коэн 2004, 33).
Операции с упорядоченными последовательностями классов высоты тона также включают транспонирование и инверсию, а также ретроградное и вращение. При ретроградации упорядоченной последовательности порядок ее элементов меняется на обратный. Вращение упорядоченной последовательности эквивалентно циклической перестановке.
Транспонирование и инверсия могут быть представлены как элементарные арифметические операции. Если xявляется числом, представляющим класс высоты тона, его транспонирование на nполутонов записывается как T n= x+ nmod 12. Инверсия соответствует отражению вокруг некоторой фиксированной точки. в пространстве классов питча. Если xявляется классом основного тона, инверсия с номером индекса nзаписывается I n= n- xmod 12.
«Для отношение в множестве S должно быть отношением эквивалентности [в алгебре ], оно должно удовлетворять трем условиям: оно должно быть рефлексивным..., симметричный... и переходный... "(Schuijer 2008, 29–30). «Действительно, неформальное понятие эквивалентности всегда было частью теории и анализа музыки. Однако теория множеств ПК придерживалась формальных определений эквивалентности» (Schuijer 2008, 85).
Говорят, что два транспозиционно связанных множества принадлежат одному и тому же классу транспозиционных множеств (T n). Говорят, что два набора, связанные транспонированием или инверсией, принадлежат к одному и тому же классу транспозиционных / инверсионных множеств (инверсия обозначается как T nI или I n). Наборы, принадлежащие к одному классу транспозиционных наборов, очень похожи по звучанию; в то время как множества, принадлежащие к одному и тому же классу транспозиционных / инверсионных множеств, имеют довольно похожее звучание. По этой причине теоретики музыки часто считают классы множеств основными объектами музыкального интереса.
Существует два основных соглашения об именах классов наборов с одинаковым темпом. Один, известный как номер Форте, происходит от Аллена Форте, чья «Структура атональной музыки» (1973) является одной из первых работ по теории музыкальных множеств. Forte предоставил каждому классу набора номер вида c–d, где cуказывает количество элементов набора, а d- порядковый номер (Forte 1973, 12). Таким образом, хроматический трихорд {0, 1, 2} принадлежит классу набора 3-1, что указывает на то, что это первый класс набора из трех нот в списке Forte (Forte 1973, 179–81). Расширенный трихорд {0, 4, 8} получает метку 3-12, которая оказывается последним трихордом в списке Forte.
Основные критические замечания по номенклатуре Forte: (1) метки Forte произвольны и трудны для запоминания, а на практике часто проще просто перечислить элемент заданного класса; (2) Система Forte предполагает одинаковый темперамент и не может быть легко расширена за счет включения диатонических наборов, наборов высоты тона (в отличие от наборов класса высоты звука), мультимножеств или наборов в других системах настройки; (3) Исходная система Forte считает, что инверсионно связанные множества принадлежат одному и тому же классу множеств. Это означает, что, например, мажорное трезвучие и минорное трезвучие считаются одним и тем же набором.
Западная тональная музыка на протяжении веков считала мажор и минор, а также инверсии аккордов существенно разными. Они действительно создают совершенно разные физические объекты. Игнорирование физической реальности звука - очевидное ограничение атональной теории. Тем не менее, было высказано мнение, что теория не была создана для заполнения вакуума, в котором существующие теории неадекватно объясняли тональную музыку. Скорее, теория Форте используется для объяснения атональной музыки, когда композитор изобрел систему, в которой проводится различие между {0, 4, 7} (называемым «мажорным» в тональной теории) и его инверсией {0, 8, 5} (называемой 'минор' в тональной теории) может не иметь значения.
Метки второй системы обозначений задаются в терминах их нормальной формы, которая зависит от концепции нормального порядка. Чтобы расположить набор в обычном порядке, закажите его по возрастающей шкале в пространстве класса высоты тона, которое охватывает меньше октавы. Затем переставляйте его циклически, пока его первая и последняя ноты не будут как можно ближе друг к другу. В случае завязки минимизируйте расстояние между первой и предпоследней нотой. (В случае совпадений здесь минимизируйте расстояние между первой и предпоследней заметкой и т. Д.) Таким образом, {0, 7, 4} в нормальном порядке это {0, 4, 7}, а {0, 2, 10} в обычном порядке - это {10, 0, 2}. Чтобы привести набор в нормальную форму, сначала разместите его в обычном порядке, а затем транспонируйте его так, чтобы его первый класс высоты тона был равен 0 (Rahn 1980, 33–38). Математики и компьютерные ученые чаще всего упорядочивают комбинации, используя либо алфавитный порядок, либо двоичный (по основанию два) порядок, либо кодировку Грея, каждая из которых приводит к различным, но логическим нормальным формам.
Поскольку транспозиционно связаны наборы имеют одну и ту же нормальную форму, нормальные формы могут использоваться для обозначения классов набора T n.
Чтобы определить класс набора T n/In:
Результирующий набор помечает класс набора T n/Inисходного набора.
Количество различных операций в системе, отображающих набор в себя, является степенью симметрии набора (Rahn 1980, 90). Степень симметрии «определяет количество операций, которые сохраняют неупорядоченные компьютерные наборы раздела; она сообщает степень, в которой наборы классов высоты тона этого раздела отображают друг друга (или друг на друга) при транспонировании или инверсии» (Alegant 2001, 5). Каждый набор имеет по крайней мере одну симметрию, поскольку он отображается на себя с помощью операции тождества T 0(Rahn 1980, 91). Транспозиционно симметричные множества отображаются сами на себя для T n, где nне равно 0 (mod 12). Инверсионно-симметричные множества отображаются сами на себя при T nI. Для любого заданного типа T n/TnI все множества имеют одинаковую степень симметрии. Количество различных наборов в типе равно 24 (общее количество операций, транспонирования и инверсии для n = от 0 до 11), деленное на степень симметрии типа T n/TnI.
Транспозиционно-симметричные наборы либо равномерно делят октаву, либо могут быть записаны как объединение наборов одинакового размера, которые сами равномерно делят октаву. Инверсионно-симметричные хорды инвариантны относительно отражений в пространстве высотных классов. Это означает, что аккорды можно упорядочивать циклически, так что последовательность интервалов между последовательными нотами одинакова при чтении вперед или назад. Например, при циклическом упорядочивании (0, 1, 2, 7) интервал между первой и второй нотами равен 1, интервал между второй и третьей нотами равен 1, интервал между третьей и четвертой нотами равен 5, а интервал между четвертой и первой нотами равен 5 (Rahn 1980, 148).
Можно получить ту же последовательность, если начать с третьего элемента ряда и двигаться назад: интервал между третьим элементом ряда и вторым равен 1; интервал между вторым элементом ряда и первым равен 1; интервал между первым элементом ряда и четвертым - 5; а интервал между последним элементом ряда и третьим элементом равен 5. Таким образом, симметрия обнаруживается между T 0 и T 2 I, и в T n/TnI класс эквивалентности (Rahn 1980, 148).
