Упорядоченное векторное пространство

Точка x в R и установить всех y таким образом, что x ≤ y (красным). Порядок здесь x ≤ y тогда и только тогда, когда x 1 ≤ y 1 и x 2 ≤ y 2.

В математике, упорядоченное векторное пространство или частично упорядоченное векторное пространство - это векторное пространство, снабженное частичным порядком, которое совместимо с векторным пространством операции.

• 1 Определение
• 2 Положительные конусы и их эквивалентность порядку
• 3 Примеры
  • 3.1 Точечный порядок
• 4 Интервалы и двойственная граница порядка
  • 4.1 Примеры
• 5 Свойства
• 6 Пространства линейных отображений
  • 6.1 Положительные функционалы и двойственные по порядку
• 7 Специальные типы упорядоченных векторных пространств
• 8 Подпространства, частные и произведения
• 9 Примеры
• 10 См. Также
• 11 Ссылки
• 12 Библиография

Учитывая векторное пространство X над действительными числами Rи предварительный порядок ≤ на set X, пара (X, ≤) называется предварительно упорядоченным векторным пространством, и мы говорим, что предварительный порядок ≤ совместим со структурой векторного пространства X и вызываем ≤ a векторный предварительный порядок на X, если для всех x, y, z в X и 0 ≤ λ в $R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$следующие две аксиомы выполнено

1. x ≤ y подразумевает x + z ≤ y + z
2. y ≤ x подразумевает λy ≤ λx.

Если ≤ является частичным порядком, совместимым с вектором s Если структура X, то (X, ≤) называется упорядоченным векторным пространством, а ≤ называется векторным частичным порядком на X. Две аксиомы подразумевают, что translations и положительные гомотетии являются автоморфизмами упорядоченной структуры, а отображение x ↦ −x является изоморфизмом в структуру двойного порядка. Упорядоченные векторные пространства - это упорядоченные группы при их операции сложения. Обратите внимание, что x ≤ y тогда и только тогда, когда −y ≤ −x.

A подмножество C векторного пространства X называется конусом, если для всех вещественных r>0, rC ⊆ C. Конус называется заостренным, если он содержит начало координат. Конус C является выпуклым тогда и только тогда, когда C + C ⊆ C. пересечение любого непустого семейства конусов (соответственно выпуклых конусов) снова является конусом (соответственно. выпуклый конус); то же самое верно для union возрастающего (при включении множества ) семейства конусов (соответственно выпуклых конусов). Конус C в векторном пространстве X называется порождающим, если X = C - C. Положительный конус порождает тогда и только тогда, когда он является направленным множеством при ≤.

Учитывая предварительно упорядоченное векторное пространство X, подмножество X всех элементов x в (X, ≤), удовлетворяющих x ≥ 0, представляет собой заостренный выпуклый конус с вершиной 0 (т. Е. Содержит 0) называется положительным конусом X и обозначается $PosCone\; \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{PosCone\}\; X\}$. Элементы положительного конуса называются положительным . Если x и y являются элементами предварительно упорядоченного векторного пространства (X, ≤), то x ≤ y тогда и только тогда, когда y - x ∈ X. Для любого заостренного выпуклого конуса C с вершиной 0 можно определить предпорядок ≤ на X, совместим со структурой векторного пространства X, объявив для всех x и y в X, что x ≤ y тогда и только тогда, когда y - x ∈ C; положительный конус этого результирующего предварительно упорядоченного векторного пространства равен C. Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между заостренными выпуклыми конусами с вершиной 0 и векторными предпорядками на X. Если X предварительно упорядочен, то мы можем сформировать отношение эквивалентности на X путем определения x эквивалентно y тогда и только тогда, когда x ≤ y и y ≤ x; если N является классом эквивалентности, содержащим начало координат, тогда N является векторным подпространством X, а X / N - упорядоченным векторным пространством в отношении: A ≤ B тогда и только тогда, когда существуют a в A и b в B такой, что a ≤ b.

Подмножество C векторного пространства X называется собственным конусом, если это выпуклый конус с вершиной 0, удовлетворяющий C ∩ (-C) = {0}. Явно C является собственным конусом, если (1) C + C ⊆ C, (2) rC ⊆ C для всех r>0 и (3) C ∩ (−C) = {0}. Пересечение любого непустого семейства собственных конусов снова является собственным конусом. Каждый собственный конус C в реальном векторном пространстве индуцирует порядок в векторном пространстве, определяя x ≤ y тогда и только тогда, когда y - x ∈ C, и, кроме того, положительный конус этого упорядоченного векторного пространства будет C. Следовательно, существует взаимно однозначное соответствие между собственными выпуклыми конусами X и частичными порядками векторов на X.

Под полным векторным упорядочением на X мы подразумеваем полный порядок на X, которая совместима со структурой векторного пространства X. Семейство полных векторных порядков на векторном пространстве X находится во взаимно однозначном соответствии с семейством всех собственных конусов, которые максимальны при включении множества. Общий векторный порядок не может быть архимедовым, если его размерность, рассматриваемая как векторное пространство над вещественными числами, больше 1.

Если R и S равны двум упорядочения векторного пространства с положительными конусами P и Q соответственно, тогда мы говорим, что R тоньше, чем S, если P ⊆ Q.

Действительные числа с обычным порядком образуют полностью упорядоченное векторное пространство. Для всех целых чисел n ≥ 0, евклидово пространство ℝ, рассматриваемое как векторное пространство над вещественными числами с лексикографическим порядком, образует предварительно упорядоченное векторное пространство, порядок которого Архимед тогда и только тогда, когда n = 0 или 1.

Точечный порядок

Если S - любое множество и если X - векторное пространство (над вещественными числами) вещественных чисел. со значениями функций на S, то поточечный порядок на X задается следующим образом: для всех f, g ∈ X, f ≤ g тогда и только тогда, когда f (s) ≤ g (s) для всех s в S.

Пробелы, которые обычно назначаются в этом порядке, включают:

• пробел 𝓁 ∞ (S, ℝ) ограниченного вещественного- отображает на S.
• пространство c 0 (ℝ) вещественнозначных последовательностей, которые сходятся к 0.
• пространство C (S, ℝ) непрерывных вещественнозначных функций на топологическом пространстве S.
• для любого неотрицательного целого числа n, евклидово пространство ℝ, рассматриваемое как пространство C ({1,..., n}, ℝ), где S = {1,..., n} задана дискретной топологией.

Расстояние е $L\; \infty \; (R,\; R)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbb\; \{R\},\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; \backslash \; right)\}$всех измеримых почти всюду ограниченных вещественнозначных отображений на ℝ, где предпорядок определен для всех f, g ∈ $L\; \infty \; (R,\; R)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\; \}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbb\; \{R\},\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; \backslash \; right)\}$by f ≤ g тогда и только тогда, когда f (s) ≤ g (s) почти всюду.

Интервал порядка в предварительно упорядоченном векторном пространстве задается в виде

[a, b] = {x: a ≤ x ≤ b},

[a, b [= {x: a ≤ x < b},

] a, b] = {x: a < x ≤ b}, or

] a, b [= {x: a < x < b}.

Из аксиом 1 и 2 выше следует, что x, y ∈ [a, b] и 0 < λ < 1 implies λx + (1 − λ)y in [a, b]; thus these order intervals are convex. A subset is said to be ограниченный порядок, если он содержится в некотором интервале порядка. В предварительно упорядоченном вещественном векторном пространстве, если для x ≥ 0, то интервал формы [−x, x] является сбалансированным. единица порядка предварительно упорядоченного векторного пространства - это любой элемент x, такой что набор [−x, x] поглощает.

Набор всех линейных функционалы в предварительно упорядоченном векторном пространстве X, которые отображают каждый интервал порядка в ограниченное множество, называются связанным двойственным порядком X и обозначаются X. Если пространство упорядочено, то его дуальное по порядку двойственное пространство является векторным подпространством его алгебраического двойственного.

Подмножество A упорядоченного векторного пространства X называется полным порядком, если для каждого непустого подмножества B ⊆ A такой, что B ограничен по порядку в A, как $sup\; B\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sup\; B\}$, так и $inf\; B\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; inf\; B\}$существуют и являются элементами A. Мы говорим, что упорядоченное векторное пространство X является полным порядком is X является подмножеством полного порядка X.

Примеры

If (X, ≤) является предварительно упорядоченным векторным пространством над вещественными числами с порядковой единицей u, тогда карта $p\; (x):\; =\; inf\; \{t\; \in \; R:\; x\; \le \; tu\}\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; (x):\; =\; \backslash \; inf\; \backslash \; слева\; \backslash \; \{t\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}:\; x\; \backslash \; leq\; tu\; \backslash \; right\; \backslash \}\}$- сублинейный функционал.

Если X - предварительно упорядоченное векторное пространство, то для всех x, y ∈ X,

• x ≥ 0 и y ≥ 0 влекут x + y ≥ 0.
• x ≤ y тогда и только тогда, когда −y ≤ −x.
• x ≤ y и r < 0 imply rx ≥ ry.
• x ≤ y тогда и только тогда, когда y = sup {x, y} тогда и только тогда, когда x = inf {x, y}.
• sup {x, y} существует тогда и только тогда, когда inf {−x, −y} существует, и в этом случае inf {−x, −y} = −sup {x, y}.
• sup {x, y} существует тогда и только тогда, когда inf {x, y} существует, и в этом случае для всех z ∈ X
  • sup {x + z, y + z} = z + sup {x, y} и
  • inf {x + z, y + z} = z + inf {x, y}
  • x + y = inf {x, y} + sup {x, y}.
• X - вектор решетка тогда и только тогда, когда sup {0, x} существует для всех x в X.

Говорят, что конус C порождает, если C - C равно всему векторному пространству. Если X и W - два нетривиальных упорядоченных векторных пространства с соответствующими положительными конусами P и Q, то P порождает в X тогда и только тогда, когда множество $C\; =\; \{u\; \in \; L\; (X;\; W):\; u\; (P)\; \subseteq \; Q\}\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{u\; \backslash \; in\; L\; (X;\; W):\; u\; (P)\; \backslash \; substeq\; Q\; \backslash \; right\; \backslash \}\}$- собственный конус в L (X; W), которое является пространством всех линейных отображений из X в W. В этом случае порядок, определяемый C, называется каноническим порядком L (X; W). В более общем смысле, если M - любое векторное подпространство L (X; W) такое, что C ∩ M - собственный конус, порядок, определенный C ∩ M, называется каноническим порядком в M.

Положительные функционалы и порядковая двойственная

A линейная функция f на предварительно упорядоченном векторном пространстве называется положительной, если она удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:

1. x ≥ 0 влечет f (x) ≥ 0.
2. если x ≤ y, то f (x) ≤ f (y).

Множество всех положительных линейных форм на векторном пространстве с положительным конусом C, называемое двойной конус и обозначенный $C\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; C\; ^\; \{*\}\}$, представляет собой конус, равный полярному -C. Предпорядок, индуцированный двойственным конусом на пространстве линейных функционалов на X, называется двойным предпорядком .

. Двойственный порядок упорядоченного векторного пространства X - это множество, обозначается $X\; +\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; ^\; \{+\}\}$, определяется как $X\; +:\; =\; C\; \ast \; -\; C\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; X\; ^\; \{+\}:\; =\; C\; ^\; \{*\}\; -\; C\; ^\; \{*\}\}$. Хотя $X\; +\; \subseteq \; X\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; ^\; \{+\}\; \backslash \; substeq\; X\; ^\; \{b\}\}$, существуют упорядоченные векторные пространства, для которых равенство множеств не выполняется.

Пусть X - упорядоченное векторное пространство. Мы говорим, что упорядоченное векторное пространство X упорядочено по архимеду и что порядок X является архимедовым, если всякий раз, когда x в X таков, что $\{nx\; :\; n\; \in \; N\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; \{nx:\; n\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\; \backslash \; right\; \backslash \}\}$является мажоризованным (т.е. существует некоторый y в X такой, что nx ≤ y для всех $n\; \in \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}$), тогда x ≤ 0. A топологическое векторное пространство (TVS), которое является упорядоченным векторным пространством, обязательно является архимедовым, если его положительный конус замкнут.

Мы говорим, что предварительно упорядоченное векторное пространство X регулярно упорядочено и что его порядок обычный, если он упорядочен по архимеду и X различает точки в X. Это свойство гарантирует, что существует достаточно много положительных линейных форм, чтобы можно было успешно использовать инструменты двойственность для изучения упорядоченных векторных пространств.

Упорядоченное векторное пространство называется векторной решеткой, если для всех элементов x и y supremum sup (x, y) и infimum inf (x, y) существуют.

Пусть X будет предварительно упорядоченное векторное пространство с положительным конусом C.

Подпространства

Если M - векторное подпространство в X, то канонический порядок на M, индуцированный положительным конусом C X, является частичным порядком, индуцированным заостренным выпуклым конусом C ∩ M, где этот конус правильный, если C собственно.

Факторное пространство

Пусть M - векторное подпространство упорядоченного векторного пространства X, $\pi :\; X\; \to \; X\; /\; M\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi:\; X\; \backslash \; to\; X\; /\; M\}$- каноническая проекция, и пусть $C\; ^:\; =\; \pi \; (C)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{C\}\}:\; =\; \backslash \; pi\; (C)\}$. Тогда $C\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{C\}\}\}$является конусом в X / M, который индуцирует канонический предварительный порядок в факторном пространстве X / M. Если $C\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{C\}\}\}$является правильным конусом в X / M, то $C\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{C\}\}\}$превращает X / M в упорядоченное векторное пространство. Если M насыщен C, тогда $C\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{C\}\}\}$определяет канонический порядок X / M. Обратите внимание, что $X\; =\; R\; 0\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; =\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; \_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\}$предоставляет пример упорядоченного векторного пространства, где $\pi \; (C)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; (C)\}$не является правильным конусом.

Если X также является топологическим векторным пространством (TVS) и если для каждой окрестности V точки 0 в X существует окрестность U точки 0 такая, что [( U + N) ∩ C] ⊆ V + N, тогда $C\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{C\}\}\}$является нормальным конусом для факторной топологии.

Если X - топологическая векторная решетка , а M - замкнутая сплошная подрешетка X, то X / L также является топологической векторной решеткой.

Произведение

Если S - произвольное множество, то пространство X всех функций из S в X канонически упорядочено собственным конусом $\{f\; \in \; XS:\; f\; (s)\; \in \; C\; для\; всех\; s\; \in \; S\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; \{f\; \backslash \; in\; X\; ^\; \{S\}:\; f\; (s)\; \backslash \; in\; C\; \{\backslash \; text\; \{для\; всех\}\}\; s\; \backslash \; in\; S\; \backslash \; right\; \backslash \}\}$.

Предположим, что $\{X\; \alpha :\; \alpha \; \in \; A\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; \{X\; \_\; \{\backslash \; alpha\}:\; \backslash \; alpha\; \backslash \; in\; A\; \backslash \; right\; \backslash \}\}$- это семейство предварительно упорядоченных векторных пространств, и что положительный конус $X\; \alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\}$равно $C\; \alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; C\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\}$. Тогда $C:\; =\; \prod \; \alpha \; C\; \alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{C:\; =\; \backslash \; prod\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; C\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\}\}$- заостренный выпуклый конус в $\prod \; \alpha \; Икс\; \alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{\backslash \; prod\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; X\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\}\}$, который определяет канонический порядок на $\prod \; \alpha \; X\; \alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{\backslash \; prod\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; X\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\}\}$; C является правильным конусом, если все $C\; \alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; C\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\}$являются правильными конусами.

Алгебраическая прямая сумма

Алгебраическая прямая сумма $⨁\; \alpha \; Икс\; \alpha \; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{\backslash \; bigoplus\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; X\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\}\}$из $\{X\; \alpha :\; \alpha \; \in \; A\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; \{X\; \_\; \{\backslash \; alpha\}:\; \backslash \; alpha\; \backslash \; in\; A\; \backslash \; right\; \backslash \}\}$- векторное подпространство в $\prod \; \alpha \; X\; \alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{\backslash \; prod\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; X\_\; \{\backslash \; alpha\}\}\}$с каноническим порядком подпространств, унаследованным от $\prod \; \alpha \; X\; \alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{\backslash \; prod\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; X\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\}\}$. Если X 1,..., X n являются упорядоченными векторными подпространствами упорядоченного векторного пространства X, то X является упорядоченной прямой суммой этих подпространств, если канонический алгебраический изоморфизм X на $\prod \; \alpha \; Икс\; \alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{\backslash \; prod\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; X\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\}\}$(с каноническим порядком продуктов) - это изоморфизм порядка .

• вещественные числа с обычным порядком - это упорядоченное векторное пространство.
• R- это упорядоченное векторное пространство с отношением ≤, определенным любым из следующих способов (в порядке возрастания силы, т. Е., убывающие наборы пар):
  • Лексикографический порядок : (a, b) ≤ (c, d) тогда и только тогда, когда < c or (a = c and b ≤ d). This is a общий порядок. Положительный конус задается выражением x>0 или (x = 0 и y ≥ 0), т. Е. В полярных координатах набор точек с угловой координатой, удовлетворяющей −π / 2 < θ ≤ π/2, together with the origin.
  • (a, b) ≤ (c, d) тогда и только тогда, когда a ≤ c и b ≤ d (заказ продукта двух копий R с «≤»). Это частичный заказ. Положительный конус задается формулами x ≥ 0 и y ≥ 0, т. Е. В полярных координатах 0 ≤ θ ≤ π / 2 вместе с началом координат.
  • (a, b) ≤ (c, d), если и только если (< c and b < d) or (a = c and b = d) (the reflexive closure of the прямое произведение двух копий R с «<"). This is also a partial order. The positive cone is given by (x>0 и y>0) или (x = y = 0), то есть в полярных координатах, 0 < θ < π/2, together with the origin.

Только второй порядок, как подмножество R, закрыт; см. частичные порядки в топологических пространствах.

Для третьего порядка двумерные "интервалы "p < x < q are открытые наборы, которые генерируют топологию.

• R- это упорядоченное векторное пространство с аналогичным определением отношения ≤. Например, для второго порядка, упомянутого выше:
  • x ≤ y тогда и только тогда, когда x i ≤ y i для i = 1,..., n.
• A пространство Рисса - это упорядоченное векторное пространство, в котором порядок дает поднимаются до решетки.
• Пространство непрерывных функций на [0, 1], где f ≤ g тогда и только тогда, когда f (x) ≤ g (x) для всех x в [0, 1].

• Упорядоченное топологическое векторное пространство
• Упорядоченная топология (функциональный анализ)
• Частично упорядоченное пространство
• Пространство Рисса
• Топологическая векторная решетка
• Векторная решетка
• Заказ продукции

• Алипрантис, Хараламбос D ; Буркиншоу, Оуэн (2003). Локально твердые пространства Рисса с приложениями к экономике (Второе изд.). Провиденс, Р. И.: Американское математическое общество. ISBN 0-8218-3408-8.
• Бурбаки, Николас ; Элементы математики: топологические векторные пространства ; ISBN 0-387-13627-4.
• ; (2011). Топологические векторные пространства. Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
• Шефер, Гельмут Х. ; (1999). Топологические векторные пространства. GTM. 8(Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
• Вонг (1979). Пространства Шварца, ядерные пространства и тензорные произведения. Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09513-6. OCLC 5126158.