Открытый поток

редактировать

Раздел гидравлики и гидромеханики

Открытый канал, раздел гидравлики и механика жидкости, представляет собой тип потока жидкости в трубопроводе или в канале со свободной поверхностью, известный как канал. Другой тип потока в трубопроводе - поток. Эти два типа течения во многом похожи, но отличаются одним важным аспектом: свободной поверхностью. У потока в открытом канале свободная поверхность, а у потока в трубе - нет.

Проект Центральной Аризоны канал.

Содержание

1 Классификация потока
2 Состояния потока
3 Основные уравнения
- 3.1 Уравнение непрерывности
- 3.2 Уравнение импульса
- 3.3 Уравнение энергии
4 См. Также
5 Ссылки
6 Дополнительная литература
7 Внешние ссылки

Классификации потоков

Поток в открытом канале можно классифицировать и описать различными способами основанный на изменении глубины потока относительно времени и пространства. В гидравлике с открытым каналом используются следующие основные типы потоков:

Время как критерий
- Устойчивый поток
  - Глубина потока не меняется со временем или, если можно предположить, постоянна в течение рассматриваемого интервала времени.
- Нестабильный поток
  - Глубина потока меняется со временем.
Пространство как критерий
- Равномерное течение
  - Глубина потока одинаково на всех участках канала. Равномерный поток может быть постоянным или неустойчивым, в зависимости от того, изменяется ли глубина со временем (хотя неустойчивый равномерный поток встречается редко).
- Различный поток
  - Глубина потока меняется по длине канала. Технически варьируемый поток может быть как постоянным, так и неустойчивым. Изменяющийся поток может быть дополнительно классифицирован как быстро или постепенно изменяющийся:
    - Быстро меняющийся поток
      - Глубина резко изменяется на сравнительно небольшом расстоянии. Быстро меняющийся поток известен как местное явление. Примеры: гидравлический скачок и гидравлический перепад.
    - Постепенно изменяющийся поток
      - Глубина изменяется на большом расстоянии.
- Непрерывный поток
  - Разряд постоянен на протяжении всего участка участка рассматриваемого канала. Это часто бывает при постоянном потоке. Этот поток считается непрерывным и поэтому может быть описан с помощью уравнения неразрывности для непрерывного установившегося потока.
- Пространственно-переменный поток
  - Выпуск установившегося потока неравномерен канал. Это происходит, когда вода входит и / или покидает канал по ходу потока. Примером потока, попадающего в канал, может быть желоб на обочине дороги. Примером потока, выходящего из канала, может быть оросительный канал. Этот поток может быть описан с помощью уравнения непрерывности для непрерывного нестационарного потока, требует учета эффекта времени и включает в себя временной элемент в качестве переменной.

Состояния потока

Поведение потока в открытом канале регулируется за счет воздействия вязкости и силы тяжести по отношению к инерционным силам потока. Поверхностное натяжение имеет незначительный вклад, но в большинстве случаев не играет достаточно значительной роли, чтобы быть определяющим фактором. Из-за наличия свободной поверхности сила тяжести, как правило, является наиболее значимой движущей силой потока в открытом канале; поэтому отношение сил инерции к силам тяжести является наиболее важным безразмерным параметром. Параметр известен как число Фруда и определяется как:

Fr = U g D {\ displaystyle {\ text {Fr}} = {U \ over {\ sqrt {gD}} }}

{\ displaystyle {\ text { Fr}} = {U \ over {\ sqrt {gD}}}}

где

U {\ displaystyle U}

U

- средняя скорость,

D {\ displaystyle D}

D

- характеристическая длина шкала глубины канала, а

g {\ displaystyle g}

g

- ускорение свободного падения. В зависимости от эффекта вязкости по отношению к инерции, представленного числом Рейнольдса, поток может быть либо ламинарным, турбулентным, или переходным. Однако обычно приемлемо предположить, что число Рейнольдса достаточно велико, чтобы можно было пренебречь вязкими силами.

Основные уравнения

Можно сформулировать уравнения, описывающие три закона сохранения для величин, которые полезны в потоке в открытом канале: масса, импульс и энергия. Определяющие уравнения являются результатом рассмотрения динамики скорости потока векторного поля $v {\ displaystyle {\ bf {v}}}$ ${\ displaystyle {\ bf {v}}}$ с компонентами $v = (uvw) T {\ displaystyle {\ bf {v}} = {\ begin {pmatrix} u v w \ end {pmatrix}} ^ {T}}$ ${\ displaystyle {\ bf {v}} = {\ begin {pmatrix} u v w \ end {pmatrix}} ^ { T}}$ . В декартовых координатах эти компоненты соответствуют скорости потока по осям x, y и z соответственно.

Чтобы упростить окончательную форму уравнений, допустимо сделать несколько предположений:

Поток несжимаемый (это не очень хорошее предположение для быстро меняющегося потока)
Число Рейнольдса достаточно велико, так что вязкой диффузией можно пренебречь
Поток одномерный поперек оси x

Уравнение непрерывности

Общее Уравнение неразрывности, описывающее сохранение массы, принимает вид:

∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ v) = 0 {\ displaystyle {\ partial \ rho \ over {\ partial t}} + \ nabla \ cdot (\ rho {\ bf {v}}) = 0}

{\ displaystyle {\ partial \ rho \ over {\ partial t}} + \ nabla \ cdot (\ rho {\ bf {v}}) = 0}

где

ρ {\ displaystyle \ rho}

\ rho

- это жидкость плотность и

∇ ⋅ () {\ displaystyle \ nabla \ cdot ()}

{\ displaystyle \ nabla \ cdot ()}

- оператор расхождения. В предположении несжимаемого потока с постоянным контрольным объемом

V {\ displaystyle V}

V

это уравнение имеет простое выражение

∇ ⋅ v = 0 {\ displaystyle \ nabla \ cdot {\ bf {v}} = 0}

{\ displaystyle \ nabla \ cdot {\ bf {v}} = 0}

. Однако возможно, что площадь поперечного сечения

A {\ displaystyle A}

A

может изменяться как во времени, так и в пространстве в канале. Если мы начнем с интегральной формы уравнения неразрывности:

ddt ∫ V ρ d V = - ∫ V ∇ ⋅ (ρ v) d V {\ displaystyle {d \ over {dt}} \ int _ {V} \ rho \; dV = - \ int _ {V} \ nabla \ cdot (\ rho {\ bf {v}}) \; dV}

{\ displaystyle {d \ over {dt}} \ int _ {V} \ rho \; dV = - \ int _ {V} \ nabla \ cdot (\ rho {\ bf {v}}) \; dV}

можно разложить интеграл объема на поперечное сечение и длину, что приводит к форме:

ddt ∫ x (∫ A ρ d A) dx = - ∫ x [∫ A ∇ ⋅ (ρ v) d A] dx {\ displaystyle {d \ over {dt}} \ int _ {x} \ left (\ int _ {A} \ rho \; dA \ right) dx = - \ int _ {x} \ left [\ int _ {A} \ nabla \ cdot (\ rho {\ bf {v}}) \; dA \ right] dx}

{\ displaystyle {d \ over {dt}} \ int _ {x} \ left (\ int _ {A} \ rho \; dA \ right) dx = - \ int _ {x} \ left [\ int _ {A} \ nabla \ cdot (\ rho {\ bf {v}}) \; dA \ right] dx}

В предположении несжимаемого одномерного потока это уравнение принимает следующий вид:

ddt ∫ x (∫ A d A) dx = - ∫ x ∂ ∂ x ( ∫ A ud A) dx {\ displaystyle {d \ over {dt}} \ int _ {x} \ left (\ int _ {A} dA \ right) dx = - \ int _ {x} {\ partial \ over {\ partial x}} \ left (\ int _ {A} u \; dA \ right) dx}

{\ displaystyle {d \ over {dt}} \ int _ {x} \ left (\ int _ {A} dA \ right) dx = - \ int _ {x} {\ partial \ over {\ partial x}} \ left (\ int _ {A} u \; dA \ right) dx}

Отметив, что

∫ A d A = A {\ displaystyle \ int _ {A} dA = A}

{\ displaystyle \ int _ {A} dA = A}

и определение объемного расхода

Q = ∫ A ud A {\ displaystyle Q = \ int _ {A} u \; dA}

{\ displaystyle Q = \ int _ {A} u \; dA}

, уравнение re связано с:

∫ x ∂ A ∂ tdx = - ∫ x ∂ Q ∂ xdx {\ displaystyle \ int _ {x} {\ partial A \ over {\ partial t}} \; dx = - \ int _ { x} {\ partial Q \ over {\ partial x}} dx}

{\ displaystyle \ int _ {x} {\ partial A \ over {\ partial t}} \ ; dx = - \ int _ {x} {\ partial Q \ over {\ partial x}} dx}

Наконец, это приводит к уравнению неразрывности для несжимаемого одномерного течения в открытом канале:

∂ A ∂ t + ∂ Q ∂ x = 0 {\ displaystyle {\ partial A \ over {\ partial t}} + {\ partial Q \ over {\ partial x}} = 0}

{\ displaystyle { \ partial A \ over {\ partial t}} + {\ partial Q \ over {\ partial x}} = 0}

Уравнение импульса

Уравнение импульса для потока в открытом канале можно найти, исходя из уравнений Навье-Стокса для несжимаемой жидкости :

∂ v ∂ t ⏟ Local Change + v ⋅ ∇ v ⏟ Адвекция ⏞ Инерционное ускорение = - 1 ρ ∇ p ⏟ Градиент давления + ν Δ v ⏟ Диффузия - ∇ Φ ⏟ Гравитация + F ⏟ Внешние силы {\ displaystyle \ overbrace {\ underbrace {\ partial {\ bf {v}} \ over {\ partial t}} _ {\ begin {smallmatrix} {\ text {Local}} \\ {\ text {Change}} \ end {smallmatrix}} + \ underbrace {{\ bf {v}} \ cdot \ nabla {\ bf {v}}} _ {\ text {Advection}}} ^ {\ text {Inertial Acceleration}} = - \ underbrace {{1 \ over {\ rho}} \ nabla p} _ {\ begin {smallmatrix} {\ text {Давление e}} \\ {\ text {Gradient}} \ end {smallmatrix}} + \ underbrace {\ nu \ Delta {\ bf {v}}} _ {\ text {Diffusion}} - \ underbrace {\ nabla \ Phi } _ {\ text {Gravity}} + \ underbrace {\ bf {F}} _ {\ begin {smallmatrix} {\ text {External}} \\ {\ text {Forces}} \ end {smallmatrix}}}

{\ displaystyle \ overbrace {\ underbrace {\ partial {\ bf {v}} \ over {\ partial t}} _ {\ begin {smallmatrix} {\ text {Local}} \\ {\ text {Change}} \ end {smallmatrix}} + \ underbrace {{\ bf {v }} \ cdot \ nabla {\ bf {v}}} _ {\ text {Advection}}} ^ {\ text {Inertial Acceleration}} = - \ underbrace {{1 \ over {\ rho}} \ nabla p} _ {\ begin {smallmatrix} {\ text {Pressure}} \\ {\ text {Gradient}} \ end {smallmatrix}} + \ underbrace {\ nu \ Delta {\ bf {v}}} _ {\ te xt {Diffusion}} - \ underbrace {\ nabla \ Phi} _ {\ text {Gravity}} + \ underbrace {\ bf {F}} _ {\ begin {smallmatrix} {\ text {External}} \\ {\ текст {Силы}} \ end {smallmatrix}}}

, где

p {\ displaystyle p}

p

- это давление,

ν {\ displaystyle \ nu}

\ nu

- кинематика . вязкость,

Δ {\ displaystyle \ Delta}

\ Delta

- это оператор Лапласа, а

Φ = gz {\ displaystyle \ Phi = gz}

{\ displaystyle \ Phi = gz}

- это гравитационный потенциал. Используя предположения о высоком числе Рейнольдса и одномерном потоке, мы получаем уравнения:

∂ u ∂ t + u ∂ u ∂ x = - 1 ρ ∂ p ∂ x + F x - 1 ρ ∂ p ∂ z - g = 0 {\ displaystyle {\ begin {align} {\ partial u \ over {\ partial t}} + u {\ partial u \ over {\ partial x}} = - {1 \ over {\ rho}} {\ частичное p \ over {\ partial x}} + F_ {x} \\ - {1 \ over {\ rho}} {\ partial p \ over {\ partial z}} - g = 0 \ end {выровнено}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ partial u \ over {\ partial t}} + u {\ partial u \ over {\ partial x}} = - {1 \ over {\ rho}} {\ partial p \ over {\ partial x}} + F_ { x} \\ - {1 \ over {\ rho}} {\ partial p \ over {\ partial z}} - g = 0 \ end {align}}}

Второе уравнение подразумевает гидростатическое давление

p = ρ g ζ {\ displaystyle p = \ rho g \ zeta}

{\ displaystyle p = \ rho g \ zeta}

, где глубина канала

η (T, Икс) знак равно ζ (T, Икс) - ZB (Икс) {\ Displaystyle \ eta (т, х) = \ zeta (т, х) -z_ {Ь} (х)}

{\ displaystyle \ eta (t, x) = \ zeta (t, x) -z_ {b} (x)}

- разница между высотой свободной поверхности

ζ {\ displaystyle \ zeta}

\ zeta

и дном канала

zb {\ displaystyle z_ {b}}

{\ displaystyle z_ {b}}

. Подстановка в первое уравнение дает:

∂ u ∂ t + u ∂ u ∂ x + g ∂ ζ ∂ x = F x ⟹ ∂ u ∂ t + u ∂ u ∂ x + g ∂ η ∂ x - g S = F Икс {\ Displaystyle {\ partial u \ over {\ partial t}} + U {\ partial u \ over {\ partial x}} + g {\ partial \ zeta \ over {\ partial x}} = F_ {x } \ подразумевает {\ partial u \ over {\ partial t}} + u {\ partial u \ over {\ partial x}} + g {\ partial \ eta \ over {\ partial x}} - gS = F_ {x }}

{\ displaystyle {\ partial u \ over {\ partial t}} + u {\ partial u \ over {\ partial x}} + g {\ partial \ zeta \ over {\ partial x}} = F_ {x} \ подразумевает {\ partial u \ over {\ partial t}} + u {\ partial u \ over {\ partial x }} + g {\ partial \ eta \ over {\ partial x}} - gS = F_ {x}}

где наклон русла канала

S = - dzb / dx {\ displaystyle S = -dz_ {b} / dx}

{\ displaystyle S = -dz_ {b} / dx}

. Чтобы учесть напряжение сдвига вдоль берегов канала, мы можем определить силовой член следующим образом:

F x = - 1 ρ τ R {\ displaystyle F_ {x} = - {1 \ over {\ rho}} {\ тау \ over {R}}}

{\ displaystyle F_ {x} = - {1 \ over {\ rho}} {\ tau \ over {R }}}

, где

τ {\ displaystyle \ tau}

\ tau

- напряжение сдвига и

R {\ displaystyle R}

R

- гидравлический радиус. Определение угла трения

S f = τ / ρ g R {\ displaystyle S_ {f} = \ tau / \ rho gR}

{\ displaystyle S_ {f} = \ tau / \ rho gR}

, способ количественной оценки потерь на трение, приводит к окончательной форме уравнение импульса:

∂ u ∂ t + u ∂ u ∂ x + g ∂ η ∂ x + g (S f - S) = 0 {\ displaystyle {\ partial u \ over {\ partial t}} + u {\ partial u \ over {\ partial x}} + g {\ partial \ eta \ over {\ partial x}} + g (S_ {f} -S) = 0}

{\ displaystyle {\ partial u \ over {\ partial t}} + u {\ partial u \ over {\ partial x}} + g {\ partial \ eta \ over {\ partial x}} + g (S_ {f} -S) = 0}

Уравнение энергии

Чтобы вывести уравнение энергии, обратите внимание, что член адвективного ускорения $v ⋅ ∇ v {\ displaystyle {\ bf {v}} \ cdot \ nabla {\ bf {v}}}$ ${\ displaystyle {\ bf {v}} \ cdot \ nabla {\ bf {v}}}$ можно разложить как:

v ⋅ ​​∇ v = ω × v + 1 2 ∇ ‖ v ‖ 2 {\ displaystyle {\ bf {v}} \ cdot \ nabla {\ bf {v}} = \ omega \ times {\ bf {v}} + {1 \ over {2}} \ nabla \ | {\ bf {v}} \ | ^ {2}}

{\ displaystyle {\ bf {v}} \ cdot \ nabla {\ bf {v}} = \ omega \ times {\ bf {v}} + {1 \ over {2}} \ nabla \ | {\ bf {v}} \ | ^ {2}}

где

ω {\ displaystyle \ omega}

\ omega

- завихренность потока, а

‖ ⋅ ‖ {\ displaystyle \ | \ cdot \ |}

\ | \ cdot \ |

- евклидова норма. Это приводит к форме уравнения количества движения, игнорируя член внешних сил, задаваемый следующим образом:

∂ v ∂ t + ω × v = - ∇ (1 2 ‖ v ‖ 2 + p ρ + Φ) {\ displaystyle { \ partial {\ bf {v}} \ over {\ partial t}} + \ omega \ times {\ bf {v}} = - \ nabla \ left ({1 \ over {2}} \ | {\ bf { v}} \ | ^ {2} + {p \ over {\ rho}} + \ Phi \ right)}

{\ displaystyle {\ partial {\ bf {v}} \ over {\ partial t}} + \ omega \ times {\ bf {v}} = - \ nabla \ left ({1 \ over {2 }} \ | {\ bf {v}} \ | ^ {2} + {p \ over {\ rho}} + \ Phi \ right)}

Взяв скалярное произведение из

v {\ displaystyle {\ bf {v}}}

{\ displaystyle {\ bf {v}}}

с этим уравнением приводит к:

∂ ∂ t (1 2 ‖ v ‖ 2) + v ⋅ ∇ (1 2 ‖ v ‖ 2 + p ρ + Φ) = 0 {\ Displaystyle {\ partial \ over {\ partial t}} \ left ({1 \ over {2}} \ | {\ bf {v}} \ | ^ {2} \ right) + {\ bf {v} } \ cdot \ nabla \ left ({1 \ over {2}} \ | {\ bf {v}} \ | ^ {2} + {p \ over {\ rho}} + \ Phi \ right) = 0}

{\ displaystyle {\ partial \ over {\ partial t}} \ left ({1 \ over {2}} \ | { \ bf {v}} \ | ^ {2} \ right) + {\ bf {v}} \ cdot \ nabla \ left ({1 \ over {2}} \ | {\ bf {v}} \ | ^ {2} + {p \ over {\ rho}} + \ Phi \ right) = 0}

Это уравнение было получено с использованием тройного скалярного произведения

v ⋅ ​​(ω × v) = 0 {\ displaystyle {\ bf {v}} \ cdot (\ omega \ times {\ bf {v}}) = 0}

{\ displaystyle {\ bf {v}} \ cdot (\ omega \ times {\ bf {v}}) = 0}

. Определите

E {\ displaystyle E}

E

как плотность энергии :

E = 1 2 ρ ‖ v ‖ 2 ⏟ кинетическая энергия + ρ Φ ⏟ потенциальная энергия {\ displaystyle E = \ underbrace {{1 \ over {2}} \ rho \ | {\ bf {v}} \ | ^ {2}} _ {\ begin {smallmatrix} {\ text {Kinetic}} \\ {\ text {Энергия }} \ end {smallmatrix}} + \ underbrace {\ rho \ Phi} _ {\ begin {smallmatrix} {\ text {Potential}} \\ {\ text {Energy}} \ end {smallmatrix}}}

{\ displaystyle E = \ underbrace {{1 \ over {2}} \ rho \ | {\ bf {v}} \ | ^ {2}} _ {\ begin {smallmatrix} {\ text {Kinetic}} \\ {\ text {Energy}} \ end {smallmatrix}} + \ underbrace {\ rho \ Phi} _ {\ begin {smallmatrix} {\ text {Potential}} \\ {\ text {Энергия}} \ end {smallmatrix}}}

Учитывая, что

Φ {\ displaystyle \ Phi}

\ Phi

не зависит от времени, мы приходим к уравнению:

∂ E ∂ t + v ⋅ ∇ (E + p) = 0 {\ displaystyle {\ partial E \ over {\ partial t}} + {\ bf {v}} \ cdot \ nabla (E + p) = 0}

{\ displaystyle {\ partial E \ over {\ partial t} } + {\ bf {v}} \ cdot \ nabla (E + p) = 0}

Предполагая, что плотность энергии не зависит от времени и поток является однократным размерность приводит к упрощению:

E + p = C {\ displaystyle E + p = C}

{\ displaystyle E + p = C}

, где

C {\ displaystyle C}

C

является константой; это эквивалентно принципу Бернулли. Особый интерес в потоке в открытом канале представляет удельная энергия

e = E / ρ g {\ displaystyle e = E / \ rho g}

{\ displaystyle e = E / \ rho g}

, которая используется для вычисления гидравлический напор

h {\ displaystyle h}

h

, который определяется как:

h = e + p ρ g = u 2 2 g + z + p γ { \ Displaystyle {\ begin {align} h = e + {p \ over {\ rho g}} \\ = {u ^ {2} \ over {2g}} + z + {p \ over {\ gamma}} \ end {выравнивается}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} h = e + {p \ over {\ rho g}} \\ = {u ^ {2} \ over {2g}} + z + {p \ over {\ gamma}} \ конец {выровненный}}}

, где

γ = ρ g {\ displaystyle \ gamma = \ rho g}

{\ displaystyle \ gamma = \ rho g}

является удельным весом. Однако реалистичные системы требуют добавления члена потери напора

hf {\ displaystyle h_ {f}}

{\ displaystyle h_ {f}}

для учета энергии рассеивания из-за трение и турбулентность, которые были проигнорированы путем дисконтирования члена внешних сил в уравнении количества движения..

См. Также

Ссылки

^Chow, Ven Te (2008). Гидравлика открытого канала (PDF). Колдуэлл, Нью-Джерси: The Blackburn Press. ISBN 978-1932846188.
^Battjes, Jurjen A.; Лабер, Роберт Ян (2017). Неустойчивый поток в открытых каналах. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN 9781316576878.
^Джобсон, Харви Э.; Froehlich, Дэвид С. (1988). Основные гидравлические принципы потока в открытом канале (PDF). Рестон, Вирджиния: Геологическая служба США.
^ Штурм, Терри В. (2001). Гидравлика открытого канала (PDF). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 2. ISBN 9780073397870.

Дополнительная литература

Nezu, Iehisa; Накагава, Хиродзи (1993). Турбулентность течений в открытом канале. Монография ИАПЧ. Роттердам, Нидерланды: A.A. Балкема. ISBN 9789054101185.
Сызмкевич, Ромуальд (2010). Численное моделирование в гидравлике открытого канала. Библиотека наук о воде и технологиях. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 9789048136735.

Внешние ссылки