Звездчатый октаэдр

Звездчатый октаэдр
. Представлен как соединение двух правильных тетраэдров (красного и желтого)
Тип	Правильное соединение
символ Кокстера	{4,3} [2 {3,3}] {3,4}
символы Шлефли	{{3,3}}. a {4, 3}. ß {2,4}. ßr {2,2}
Диаграммы Кокстера	∪ . . .
Звездчатое ядро ​​ ядро ​​	Октаэдр
Выпуклая оболочка	Куб
Индекс	UC4, W19
Многогранники	2 тетраэдры
Грани	8 треугольники
Ребра	12
Вершины	8
Двойные	Самодвойственные
Группа симметрии. Группа Кокстера	Oh, [4,3], порядок 48. D4h, [4,2], порядок 16. D2h, [2,2], порядок 8. D3d, [2,6], порядок 12
Подгруппа, ограничивающая. одним компонентом	Td, [3,3], порядок 24. D2d, [2,4], порядок 8. D2, [2,2], порядок 4. C3v, [3], порядок 6

звездчатый октаэдр - единственная звездчатая в октаэдре. Его также называют stella octangula (по-латыни «восьмиконечная звезда»), имя, данное ему Иоганном Кеплером в 1609 году, хотя оно было известно ранее Геометры. Он был изображен в De Divina Proportione Пачоли, 1509.

Это простейшее из пяти правильных полиэдральных соединений и единственное правильное соединение два тетраэдра. Это также наименее плотное из обычных полиэдрических соединений, имеющее плотность 2.

Его можно рассматривать как трехмерное расширение гексаграммы : гексаграмма представляет собой двумерную форму. сформированный из двух перекрывающихся равносторонних треугольников, центрально симметричных друг другу, и таким же образом звездчатый октаэдр может быть образован из двух центрально-симметричных перекрывающихся тетраэдров. Это можно обобщить на любое желаемое количество более высоких измерений; четырехмерная эквивалентная конструкция - это соединение двух 5-ячеек. Это также можно рассматривать как один из этапов создания трехмерной снежинки Коха, фрактальной формы, образованной повторным присоединением меньших тетраэдров к каждой треугольной грани большей фигуры. Первый этап построения Снежинки Коха - это единственный центральный тетраэдр, а второй этап, образованный добавлением четырех меньших тетраэдров к граням центрального тетраэдра, - это звездчатый октаэдр.

• 1 Строительство
• 2 Понятия, связанные с данным
• 3 В популярной культуре
• 4 Галерея
• 5 Ссылки
• 6 Внешние ссылки

Декартово координаты звездчатого октаэдра следующие: (± 1/2, ± 1/2, 0) (0, 0, ± 1 / √2) (± 1, 0, ± 1 / √2) (0, ± 1, ± 1 / √2)

Звездчатый октаэдр может быть построен несколькими способами:

• Это звездчатая форма правильного октаэдра, имеющая то же торцевые плоскости. (См. модель Веннингера W 19.)

. В перспективе

. Звездчатая плоскость

Единственная звездчатая форма правильного октаэдра с одной звездчатой ​​плоскостью желтого цвета.

• Это также правильная соединение многогранника, когда оно построено как объединение двух правильных тетраэдров (правильный тетраэдр и его двойственный тетраэдр ).
• Оно может быть получено как увеличение правильный октаэдр, добавив тетраэдрические пирамиды на каждой грани. В этой конструкции он имеет ту же топологию, что и выпуклое каталонское твердое тело, триакис-октаэдр, который имеет гораздо более короткие пирамиды.
• Это фасетирование куба , разделяющее расположение вершин.
• . Его можно рассматривать как {4/2} антипризма ; когда {4/2} представляет собой тетраграмму, соединение двух двойных двуугольников, и тетраэдр рассматривается как двуугольная антипризма, это можно увидеть как соединение двух дигональных антипризм.
• Его можно рассматривать как сеть четырехмерного oc тахэдральная пирамида, состоящая из центрального октаэдра, окруженного восемью тетраэдрами.

. Фасетирование куба

. Одиночная грань диагонального треугольника, выделенная красным цветом

Звездчатый октаэдр - это первая итерация Трехмерный аналог снежинки Коха.

Можно построить соединение двух сферических тетраэдров, как показано.

Два тетраэдра в составном виде звездчатого октаэдра являются «десмическими», что означает, что (при интерпретации как линия в проективном пространстве ) каждый край одного тетраэдра пересекает два противоположных края другой тетраэдр. Одно из этих двух пересечений видно в звездчатом октаэдре; другое пересечение происходит в бесконечно удаленной точке проективного пространства между двумя параллельными ребрами двух тетраэдров. Эти два тетраэдра могут быть дополнены до десмической системы из трех тетраэдров, где третий тетраэдр имеет в качестве своих четырех вершин три точки пересечения на бесконечности и центр тяжести двух конечных тетраэдров. Те же двенадцать вершин тетраэдра также образуют точки конфигурации Рея.

числа октангулы стелы - это фигуральные числа, которые подсчитывают количество шариков, которые могут быть расположены в форме. звездчатого октаэдра. Это

0, 1, 14, 51, 124, 245, 426, 679, 1016, 1449, 1990,.... (последовательность A007588 в OEIS )

Как сферическая мозаика, объединенные ребра в соединении двух тетраэдров образуют ромбический додекаэдр.

Звездчатый октаэдр появляется вместе с несколькими другими многогранниками и многогранными соединениями в Гравюра М.С. Эшера «Звезды » и представляет собой центральную форму в «Двойном планетоиде» Эшера (1949).

Некоторые современные мистики связывают эту форму с «меркабой», что, по их мнению, является «вращающимся в противоположных направлениях энергетическим полем», названным от древнеегипетского слова. Однако слово «меркаба» на самом деле иврит, а точнее относится к колеснице в видениях Иезекииля. Сходство между этой формой и двумерной звездой Давида также часто отмечалось.

Звездчатый октаэдр также является общим форма беспилотного летательного аппарата «Призрак», найденного в видеоигре Des tiny.

На Викискладе есть медиафайлы, связанные с Звездчатый октаэдр.

• Вайсштейн, Эрик У. "Стелла" Octangula ". MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик У. «Соединение двух тетраэдров». MathWorld.
• Клитцинг, Ричард. "Трехмерное соединение".