Взаимность (электромагнетизм)

редактировать

Эта страница посвящена теоремам взаимности в классическом электромагнетизме. См. Также теорему взаимности (значения) для несвязанных теорем взаимности и Взаимность (значения) для более общего использования термина.

В классическом электромагнетизме, взаимность относится к множеству связанных теорем, включающих обмен во времени - гармоническим электрическим плотностями тока (источники) и результирующими электромагнитными полями в уравнениях Максвелла для ввода во времени линейных сред при определенных ограничениях. Взаимность связи с концепцией эрмитовых операторов из линейной алгебры, применяемой к электромагизму.

Возможно, наиболее распространенной и общей из таких теорем является лоренцевская взаимность (и ее различные частные случаи, такие как взаимность Рэлея-Карсона ), названная в честь работы Хендрик Лоренц в 1896 г. после аналогичных результатов относительно звука лорда Рэлея и света Гельмгольца (Поттон, 2004). В общих чертах он заявляет, что взаимосвязь между колеблющимся током и результирующим полем электрический полем не меняется, если поменять местами точки, в которых ток и где измеряется поле. Для конкретного случая электрической сети это иногда формулируется как утверждение, что напряжение и токи в разных точках сети могут быть заменены местами. Как следует из этой точки зрения, сопротивление первой цепи из-за второй такой же, как взаимное сопротивление второй цепи из-за первой цепи.

Взаимность полезна в оптике, которая (помимо квантовых эффектов) может быть выражена в терминах классического электромагнетизма, а также в терминах радиомет.

. аналогичная теорема в электростатике, связывающая взаимообмен электрическая сила и плотность электрического заряда.

Формы теоремы взаимности используется во многих электромагнитных приложениях, таких как анализ электрических сетей и антенных систем. Например, взаимность подразумевает, что антенны работают одинаково хорошо, как передатчики или приемники, в частности, излучение антенны и диаграммы приема идентичны. Взаимность также является основной леммой, которая используется для доказательства других теорем об электромагнитных системах, как симметрия матрицы импеданса и матрицы рассеяния, симметрии функций Грина для использования в вычислительных методов граничного элемента и матрицы переноса, а также свойства ортогональности гармонических мод в волноводных системах (в качестве альтернативы доказательству этих свойств непосредственно из симметрии собственные операторы ).

Содержание

1 Лоренцевская взаимность
2 Взаимность для электрических сетей
3 Условия и доказательство лоренцевой взаимности
- 3.1 Поверхностное аннулирование
- 3.2 Взаимность и функция Грина
- 3.3 Магнето без -оптические материалы
- 3.4 Обобщение на несимметричные материалы
- 3.5 Исключения из взаимности
4 Взаимность Фельда-Тая
5 Оптическая взаимность в радиометрических терминах
6 Взаимность Грина
7 Ссылки
8 цитат

лоренцевская взаимность

В частности, предположим, что у человека есть плотность тока $J 1 {\ displaystyle \ mathbf {J} _ {1}}$ ${\ mathbf {J}} _ {1}$ , которая дает электрическое поле $E 1 {\ displaystyle \ mathbf {E} _ {1}}$ ${\ mathbf {E}} _ {1}$ и магнитное поле $H 1 {\ displaystyle \ mathbf { H} _ {1}}$ ${\ mathbf {H}} _ {1}$ , где все три используются периодические функции времени с угловой частотой ω, и, в частности, они имеют временную зависимость $exp ⁡ (- я ω Т) {\ Displaystyle \ ехр (-i \ omega t)}$ $\ exp (-i \ omega t)$ . Предположим, что у нас аналогично есть ток $J 2 {\ displaystyle \ mathbf {J} _ {2}}$ ${\ mathbf {J}} _ {2}$ с той же стороной ω второй, которая (сама по себе) создает поля $Е 2 {\ Displaystyle \ mathbf {E} _ {2}}$ ${\ mathbf {E}} _ {2}$ и $H 2 {\ displaystyle \ mathbf {H} _ {2}}$ ${\ mathbf {H}} _ {2}$ . Затем теорема Лоренца утверждает, что для произвольной поверхности S, охватывающий объем V:

∫ V [J 1 ⋅ E 2 - E 1 ⋅ J 2] d V = S [ E 1 × H 2 - E 2 × H 1] ⋅ d S. {\ displaystyle \ int _ {V} \ left [\ mathbf {J} _ {1} \ cdot \ mathbf {E} _ {2} - \ mathbf {E} _ {1} \ cdot \ mathbf {J} _ {2} \ right] dV = \ oint _ {S} \ left [\ mathbf {E} _ {1} \ times \ mathbf {H} _ {2} - \ mathbf {E} _ {2} \ times \ mathbf {H} _ {1} \ right] \ cdot \ mathbf {dS}.}

\ int _ {V} \ left [{\ mathbf {J}} _ {1} \ cdot {\ mathbf {E}} _ {2} - {\ mathbf {E}} _ {1} \ cdot {\ mathbf {J}} _ {2} \ right] dV = \ oint _ {S} \ left [{\ mathbf {E}} _ {1} \ times {\ mathbf {H}} _ {2} - {\ mathbf {E}} _ {2} \ times {\ mathbf {H}} _ {1} \ right] \ cdot {\ mathbf {dS}}.

Эквивалентно, в разной форме (по теореме о расходимости ):

J 1 ⋅ E 2 - E 1 ⋅ J 2 = ∇ ⋅ [E 1 × H 2 - E 2 × H 1]. {\ displaystyle \ mathbf {J} _ {1} \ cdot \ mathbf {E} _ {2} - \ mathbf {E} _ {1} \ cdot \ mathbf {J} _ {2} = \ nabla \ cdot \ left [\ mathbf {E} _ {1} \ times \ mathbf {H} _ {2} - \ mathbf {E} _ {2} \ times \ mathbf {H} _ {1} \ right].}

{\ mathbf {J}} _ {1} \ cdot {\ mathbf {E}} _ {2} - {\ mathbf { E}} _ {1} \ cdot {\ mathbf {J}} _ {2} = \ nabla \ cdot \ left [{\ mathbf {E}} _ {1} \ times {\ mathbf {H}} _ { 2} - {\ mathbf {E}} _ {2} \ times {\ mathbf {H}} _ {1} \ right].

Эта форма обычно упрощается для ряда частных случаев. В частности, обычно считается, что $J 1 {\ displaystyle \ mathbf {J} _ {1}}$ ${\ mathbf {J}} _ {1}$ и $J 2 {\ displaystyle \ mathbf {J} _ {2}}$ ${\ mathbf {J}} _ {2}$ локализованы (т. Е. Имеют компактную опору ), и что нет приходящих волн бесконечно удаленно. В этом случае, если интегрировать по всему пространству, то члены поверхностного интеграла сокращаются (см. Ниже), и получается:

∫ J 1 ⋅ E 2 d V = ∫ E 1 ⋅ J 2 d V. {\ displaystyle \ int \ mathbf {J} _ {1} \ cdot \ mathbf {E} _ {2} \, dV = \ int \ mathbf {E} _ {1} \ cdot \ mathbf {J} _ {2} \, dV. }

\ int {\ mathbf {J}} _ {1} \ cdot {\ mathbf {E}} _ {2} \, dV = \ int {\ mathbf {E}} _ {1} \ cdot {\ mathbf {J}} _ {2} \, dV.

Этот результат иногда называют теоремой взаимности Рэлея-Карсона, после работы лорда Рэлея по звуковым волнам и расширения Джона Р. Карсон (1924; 1930) к приложения радиочастотных антенн. Это соотношение еще больше упрощают, рассматривая точечные дипольные источники, и в этом случае интегралы исчезают, и мы просто имеем электрическое поле с дипольными моментами токов. Или, для проводов пренебрежимо малой толщины, получают приложенный ток в одном проводе, умноженный на результирующее напряжение на другом, и наоборот; см. также ниже.

Другой частный случай теоремы взаимности Лоренца, когда объем V полностью содержит оба локализованных источника (или альтернативно, если V не пересекает ни один из источников). В этом случае:

∮ S (E 1 × H 2) ⋅ d S = ∮ S (E 2 × H 1) ⋅ d S. {\ displaystyle \ oint _ {S} (\ mathbf {E} _ { 1} \ times \ mathbf {H} _ {2}) \ cdot \ mathbf {dS} = \ oint _ {S} (\ mathbf {E} _ {2} \ times \ mathbf {H} _ {1}) \ cdot \ mathbf {dS}.}

\ oint _ {S} ({\ mathbf {E}} _ {1} \ times {\ mathbf {H}} _ {2}) \ cdot {\ mathbf {dS}} = \ oint _ {S} ({\ mathbf {E}} _ {2} \ times {\ mathbf {H}} _ {1}) \ cdot {\ mathbf {dS}}.

Взаимность для электрических сетей

Выше взаимность Лоренца была выражена в терминах внешнего источника тока и результирующее поле. Часто, особенно для электрических сетей, вместо этого предпочитают думать о внешнем напряжении и больших токах. Теорема взаимности Лоренца также этот случай, предполагаемая омические материалы (то есть токи, которые линейно реагируют на приложенное поле) с матрицей σ проводимости 3 × 3 , которая должна быть симметричный, что подразумевается другими условиями ниже. Чтобы описать эту ситуацию, нужно тщательно различать поля, приложенные извне (от управляющих напряжений) и полные поля, которые возникают в результате правильно (Кинг, 1963).

Более конкретно, $J {\ displaystyle \ mathbf {J}}$ $\ mathbf {J}$ выше состоял только из внешних «исходных» терминов, введенных в уравнения Максвелла. Теперь мы обозначим это как $J (e) {\ displaystyle \ mathbf {J} ^ {(e)}}$ ${\ mathbf {J}} ^ {{(e)}}$ , чтобы отличить его от общего тока, производимого как устройство, так и результирующим электрическим поля в материалах. Если этот внешний ток находится в материале с проводимостью σ, то он соответствует приложенному извне электрическому полюсу $E (e) {\ displaystyle \ mathbf {E} ^ {(e)}}$ ${\ mathbf {E}} ^ {{(e)}}$ где по определению σ :

J (e) = σ E (e). {\ displaystyle \ mathbf {J} ^ {(e)} = \ sigma \ mathbf {E} ^ {(e)}.}

{\ mathbf {J}} ^ {{(e)}} = \ sigma {\ mathbf {E}} ^ {{(e)}}.

Кроме того, электрическое поле $E {\ displaystyle \ mathbf {E} }$ $\ mathbf {E}$ выше состоял только из ответа на этот ток и не включал «внешнее» поле $E (e) {\ displaystyle \ mathbf {E} ^ {(e)}}$ ${\ mathbf {E}} ^ {{(e)}}$ . Следовательно, теперь мы обозначаем поле из предыдущего как $E (r) {\ displaystyle \ mathbf {E} ^ {(r)}}$ ${\ mathbf {E}} ^ {{(r)}}$ , где общее поле задается как $E = E ( e) + E (r) {\ displaystyle \ mathbf {E} = \ mathbf {E} ^ {(e)} + \ mathbf {E} ^ {(r)}}$ ${\ mathbf {E}} = {\ mathbf {E} } ^ {{(e)}} + {\ mathbf {E}} ^ {{(r)}}$ .

Теперь уравнение в левой части теоремы взаимности Лоренца можно переписать, переместив σ из члена внешнего тока $J (e) {\ displaystyle \ mathbf {J} ^ {(e)}}$ ${\ mathbf {J}} ^ {{(e)}}$ к условиям поля ответа $E (r) { \ displaystyle \ mathbf {E} ^ {(r)}}$ ${\ mathbf {E}} ^ {{(r)}}$ , а также добавление и вычитание $σ E 1 (e) E 2 (e) {\ displaystyle \ sigma \ mathbf {E} _ {1} ^ {(e)} \ mathbf {E} _ {2} ^ {(e)}}$ $\ sigma {\ mathbf {E}} _ {1} ^ {{(д)}} {\ mathbf {E}} _ {2} ^ {{(e)}}$ термин, чтобы получить внешнее поле, умноженное на общий ток $J = σ E {\ Displaystyle \ mathbf {J} = \ sigma \ mathbf {E}}$ ${\ mathbf {J} } = \ sigma {\ mathbf {E}}$ :

∫ V [J 1 (e) ⋅ E 2 (r) - E 1 (r) ⋅ J 2 (e)] d V = ∫ V [σ E 1 (e) ⋅ (E 2 (r) + E 2 (e)) - (E 1 (r) + E 1 (e)) ⋅ σ E 2 (e)] d V = ∫ V [E 1 (e) ⋅ J 2 - J 1 ⋅ E 2 (e)] d V. {\ Displaystyle {\ begin {align} \ int _ {V} \ left [\ mathbf {J} _ {1} ^ {(e)} \ cdot \ mathbf {E} _ {2} ^ {(r)} - \ mathbf {E} _ {1} ^ {(r) } \ cdot \ mathbf {J} _ {2} ^ {(e)} \ right] dV \\ = {} \ int _ {V} \ left [\ sigma \ mathbf {E} _ {1} ^ { (e)} \ cdot \ left (\ mathbf {E} _ {2} ^ {(r)} + ​​\ mathbf {E} _ {2} ^ {(e)} \ right) - \ left (\ mathbf {E} _ {1} ^ {(r)} + ​​\ mathbf {E} _ {1} ^ {(e)} \ right) \ cdot \ sigma \ mathbf {E} _ {2} ^ { (e)} \ right] dV \\ = {} \ int _ {V} \ left [\ mathbf {E} _ {1} ^ {(e)} \ cdot \ mathbf {J} _ {2} - \ mathbf {J} _ {1} \ cdot \ mathbf {E} _ {2} ^ {(e)} \ right] dV. \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {V} \ left [\ mathbf {J} _ {1} ^ {(e)} \ cdot \ mathbf {E} _ {2} ^ {(r)} - \ mathbf {E} _ {1} ^ {(r)} \ cdot \ mathbf {J} _ {2} ^ {(e)} \ right] dV \\ = {} \ int _ {V} \ left [\ sigma \ mathbf {E} _ { 1} ^ {(e)} \ cdot \ left (\ mathbf {E} _ {2} ^ {(r)} + ​​\ mathbf {E} _ {2} ^ {(e)} \ right) - \ влево (\ mathbf {E} _ {1} ^ {(r)} + ​​\ mathbf {E} _ {1} ^ {(e)} \ right) \ cdot \ sigma \ mathbf {E} _ {2} ^ {( e)} \ right] dV \\ = {} \ int _ {V} \ left [\ mathbf {E} _ {1} ^ {(e)} \ cdot \ mathbf {J} _ {2} - \ mathbf {J} _ {1} \ cdot \ mathbf {E} _ {2} ^ {(e)} \ right] dV. \ end {align}}}

Для предела тонких проводов это произведение приложенного извне напряжения (1), умноженного на результирующий общий ток (2) и наоборот. В частности, теорема взаимности Рэлея-Карсона превращается в простое суммирование:

∑ n V 1 (n) I 2 (n) = ∑ n V 2 (n) I 1 (n) {\ displaystyle \ sum _ {n} V_ {1} ^ {(n)} I_ {2} ^ {(n)} = \ sum _ {n} V_ {2} ^ {(n)} I_ {1} ^ {(n)} \! }

\ sum _ {n} V_ {1} ^ {{(n)}} I_ {2} ^ {{(n)}} = \ sum _ {n} V_ {2} ^ {{(n) }} Я_ {1} ^ {{(n)}} \!

где V и I обозначают комплексные амплитуды приложенных напряжений переменного тока и результирующие токи, соответственно, в наборе элементов схемы (индексированных n) для двух значений набора напряжений $V 1 {\ displaystyle V_ {1}}$ $V_ {1}$ и $V 2 {\ displaystyle V_ {2}}$ $V_{2}$ .

Все это упрощается до случая, когда каждая система имеет один источник напряжения V, при $V 1 (1) = V {\ Displaystyle V_ {1} ^ {(1)} = V}$ $V_ {1} ^ {{( 1)}} = V$ и $V 2 (2) = В {\ Displaystyle V_ {2} ^ {(2)} = V}$ $V_ {2} ^ {{(2)}} = V$ . Тогда теорема становится просто

I 1 (2) = I 2 (1) {\ displaystyle I_ {1} ^ {(2)} = I_ {2} ^ {(1)}}

{\ Displaystyle I_ {1} ^ {(2)} = I_ {2} ^ {(1)}}

или прописью:

Ток в позиции (1) от напряжения в (2) идентичен току в (2) от того же напряжения в (1).

Условия и доказательство лоренцевой взаимности

Теорема Лоренца о взаимности - это просто отражение того факта, что линейный оператор $O ^ {\ displaystyle {\ hat {O}}}$ ${\ hat {O}}$ , относящийся к $J {\ displaystyle \ mathbf {J}}$ $\ mathbf {J}$ и $E {\ displaystyle \ mathbf {E}}$ $\ mathbf {E}$ с фиксированным размером $ω { \ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ (в линейная среда):

J = 1 я ω [1 μ (∇ × ∇ ×) - ω 2 ε] E ≡ O ^ E {\ displaystyle \ mathbf { J} = {\ frac {1} {i \ omega}} \ left [{\ frac {1} {\ mu}} \ left (\ nabla \ times \ nabla \ times \ right) - \; \ omega ^ {2} \ varepsilon \ right] \ mathbf {E} \ Equiv {\ hat {O}} \ mathbf {E}}

{\ displaystyle \ mathbf {J} = {\ frac {1} {я \ omega}} \ left [{\ frac {1} {\ mu}} \ left (\ nabla \ times \ nabla \ times \ right) - \; \ omega ^ {2} \ varepsilon \ right] \ mathbf {E} \ Equiv {\ hat {O}} \ mathbf {E}}

обычно является симметричным оператором под "внутренним произведением " $(F, G) = ∫ F ⋅ d В {\ Displaystyle (\ mathbf {F}, \ mathbf {G}) = \ int \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {G } \, dV}$ $({\ mathbf {F}}, {\ mathbf {G}}) = \ int {\ mathbf {F}} \ cdot {\ mathbf {G}} \, dV$ для векторных полей $F {\ displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf {F}$ и $G {\ displaystyle \ mathbf { G}}$ $\ mathbf {G}$ . (Технически эта неконъюгированная форма не является истинным внутренним продуктом, потому что она не имеет действительного значения для комплекснозначных полей, но здесь это не проблема.) Это верно, когда диэлектрическая проницаемость ε и магнитная проницаемость μ при данном ω являются симметричными матрицами 3 × 3 (симметричные тензоры ранга 2) - это включает в себя общий случай, когда они являются скалярами (для изотропных сред), конечно. Они не обязательно должны быть действительными - комплексные значения соответствуют материалам с потерями, таким как проводники с конечной проводимостью σ (которая включается в ε через $ε → ε + i σ / ω {\ displaystyle \ varepsilon \ rightarrow \ varepsilon + i \ sigma / \ omega}$ $\ varepsilon \ rightarrow \ varepsilon + я \ сигма / \ о мега$ ) - и поэтому теорема взаимности не требует инвариантности обращения времени. Условие симметричности матриц ε и μ почти всегда выполняется; см. исключение ниже.

Для любого эрмитовского оператора $O ^ {\ displaystyle {\ hat {O}}}$ ${\ hat {O}}$ под внутренним продуктом $(f, g) {\ displaystyle (f, ж) \!}$ $(е, г) \!$ , имеем $(f, O ^ g) = (O ^ f, g) {\ displaystyle (f, {\ hat {O}} g) = ({\ hat {O}} f, g)}$ $(f, {\ hat {O}} g) = ({\ hat {O}} f, g)$ по определению, а теорема взаимности Рэлея-Карсона - это просто версия этого утверждения для этого конкретного оператора $J = O ^ E {\ displaystyle \ mathbf {J } = {\ hat {O}} \ mathbf {E}}$ ${\ mathbf {J}} = {\ hat {O}} {\ mathbf {E}}$ : то есть $(E 1, O ^ E 2) = (O ^ E 1, E 2) {\ displaystyle ( \ mathbf {E} _ {1}, {\ hat {O}} \ mathbf {E} _ {2}) = ({\ hat {O}} \ mathbf {E} _ {1}, \ mathbf {E } _ {2})}$ $({\ mathbf {E}} _ {1 }, {\ hat {O}} {\ mathbf {E}} _ {2}) = ({\ hat {O}} {\ mathbf {E}} _ {1}, {\ mathbf {E}} _ {2})$ . Эрмитовское свойство оператора здесь может быть получено интегрированием по частям. Для конечного объема интегрированной поверхности, приведенной выше, дают общую теорему интегрирования поверхности. В частности, ключевым фактом является то, что для векторных полей $F {\ displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf {F}$ и $G {\ displaystyle \ mathbf {G}}$ $\ mathbf {G}$ , интегрирование по частям (или теорема о расходимости ) по объему V, окруженному поверхности S, дает тождество:

∫ VF ⋅ (∇ × G) d V ≡ ∫ V (∇ × F) ⋅ G d В - ∮ S (F × G) ⋅ d A. {\ Displaystyle \ int _ {V} \ mathbf {F} \ cdot (\ nabla \ times \ mathbf {G}) \, dV \ Equiv \ int _ {V} (\ nabla \ times \ mathbf {F}) \ cdot \ mathbf {G} \, dV- \ oint _ {S} (\ mathbf {F} \ times \ mathbf {G}) \ cdot \ mathbf { dA}.}

{\ Displaystyle \ int _ {V} \ mathbf {F} \ cdot (\ nabla \ times \ mathbf {G}) \, dV \ Equiv \ int _ {V} (\ nabla \ times \ mathbf {F}) \ cdot \ mathbf {G} \, dV- \ oint _ {S} (\ mathbf {F} \ times \ mathbf {G}) \ cdot \ mathbf {dA}.}

затем использовать этот метод применяемого к $(E 1, O ^ E 2) {\ displaystyle (\ mathbf {E} _ {1}, {\ hat {O}} \ mathbf {E } _ {2})}$ $({\ mathbf {E}} _ {1}, {\ шляпа {O}} {\ mathbf {E}} _ {2})$ на выход $(O ^ E 1, E 2) {\ displaystyle ({\ hat {O}} \ mathbf {E} _ {1}, \ mathbf {E} _ {2})}$ $({\ hat {O}} {\ mathbf {E}} _ {1}, {\ mathbf {E}} _ {2})$ плюс поверхностный член, дающий соотношение взаимности Лоренца.

Условия и доказательства лоренцевской взаимности с использованием формул Максвелла и векторных операций

Докажем общую форму электромагнитной теоремы взаимности Лоренца, которая утверждает, что поля $E 1, H 1 {\ displaystyle \ mathbf {E} _ { 1}, \ mathbf {H} _ {1}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E} _ {1}, \ mathbf {H} _ {1}}$ и $E 2, H 2 {\ displaystyle \ mathbf {E} _ {2}, \ mathbf {H} _ {2} }$ ${\ displaystyle \ mathbf {E} _ {2}, \ mathbf {H} _ {2}}$ генерируется двумя плотностями синусоидального тока соответственно $J 1 {\ displaystyle \ mathbf {J} _ {1}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {J} _ { 1}}$ и $J 2 {\ displaystyle \ mathbf { J} _ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {J} _ {2}}$ той же частоты, удовлетворяют условию $∫ V [J 1 ⋅ E 2 - E 1 ⋅ J 2] d V = ∮ S [E 1 × H 2 - E 2 × H 1] ⋅ d S. {\ displaystyle \ int _ {V} \ left [\ mathbf {J} _ {1} \ cdot \ mathbf {E} _ {2} - \ mathbf {E} _ {1 } \ cdot \ mathbf {J} _ {2} \ right] dV = \ oint _ {S} \ left [\ mathbf {E} _ {1} \ times \ mathbf {H} _ {2} - \ mathbf { E} _ {2} \ times \ mathbf {H} _ {1} \ right] \ cdot \ mathbf {dS}.}$ $\ int _ {V} \ left [{\ mathbf {J}} _ {1} \ cdot {\ mathbf {E}} _ {2} - {\ mathbf {E}} _ {1} \ cdot {\ mathbf {J}} _ {2} \ right] dV = \ oint _ {S} \ left [{\ mathbf {E}} _ {1} \ times {\ mathbf {H}} _ {2} - {\ mathbf {E}} _ {2} \ times {\ mathbf {H}} _ {1} \ right] \ cdot {\ mathbf {dS}}.$

Давайте возьмем область, в к оторой диэлектрическая проницаемость и проницаемость функции положения, но не времени. Уравнения Максвелла, записанные в терминах полных полей, токов и зарядов области, описанные электромагнитное поведение области. Два уравнения ротора:

$∇ × E = - ∂ B ∂ t, ∇ × H = J + ∂ D ∂ t. {\ displaystyle {\ begin {array} {ccc} \ nabla \ times \ mathbf {E} = - {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}}, \\\ nabla \ times \ mathbf {H} = \ mathbf {J} + {\ frac {\ partial \ mathbf {D}} {\ partial t}}. \ end {array}}$ ${\ displaystyle {\ begin {array} {ccc} \ nabla \ times \ mathbf {E} = - {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}}, \\ \ nabla \ times \ mathbf {H} = \ mathbf {J} + {\ frac {\ partial \ mathbf {D}} {\ partial t}}. \ конец {массив}}}$

В условиях постоянной частоты мы получаем из двух уравнений ротора уравнения Максвелла для период по времени случая:

$∇ × E = - j ω B, ∇ × H = J + j ω D. {\ displaystyle {\ begin {array} {ccc} \ nabla \ times \ mathbf {E} = - j \ omega \ mathbf {B}, \\\ nabla \ times \ mathbf {H} = \ mathbf {J} + j \ omega \ mathbf {D}. \ End {array}}$ ${\ displaystyle {\ begin {array } {ccc} \ nabla \ times \ mathbf {E} = - j \ omega \ mathbf {B}, \\\ nabla \ times \ mathbf {H} = \ mathbf {J} + j \ omega \ mathbf {D}. \ конец {массив}}}$

Следует понимать, что символы в уравнениях этой статьи включают комплексные множители $ej ω t {\ displaystyle e ^ {j \ omega t}}$ ${\ displaystyle e ^ {j \ omega t}}$ , с указанием синфазной и не синфазной частей по отношению к выбранному эталону. Комплексные технологии умножители $e j ω t {\ displaystyle e ^ {j \ omega t}}$ ${\ displaystyle e ^ {j \ omega t}}$ могут быть названы векторными фазорами по аналогии с комплексными скалярными величинами, которые обычно называются фазорами.

Эквивалентность векторных операций показывает, что

$H ⋅ (∇ × E) - E ⋅ (∇ × H) = ∇ ⋅ (E × H) {\ displaystyle \ mathbf {H} \ cdot (\ nabla \ times \ mathbf {E}) - \ mathbf {E} \ cdot (\ nabla \ times \ mathbf {H}) = \ nabla \ cdot (\ mathbf {E} \ times \ mathbf {H})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {H} \ cdot (\ nabla \ times \ mathbf {E}) - \ mathbf {E} \ cdot (\ nabla \ times \ mathbf {H}) = \ nabla \ cdot (\ mathbf {E} \ times \ mathbf {H})}$ для всех векторов $E {\ displaystyle \ mathbf {E}}$ $\ mathbf {E}$ и $H {\ displaystyle \ mathbf {H}}$ $\ mathbf {H}$ .

Если мы применимы эту эквивалентность к $E 1 {\ displaystyle \ mathbf {E} _ {1}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E} _ {1}}$ и $H 2 {\ displaystyle \ mathbf {H} _ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {H} _ {2}}$ мы получить :

$H 2 ⋅ (∇ × E 1) - E 1 ⋅ (∇ × H 2) = ∇ ⋅ (E 1 × H 2) {\ displaystyle \ mathbf {H} _ {2} \ cdot (\ набла \ times \ mathbf {E} _ {1}) - \ mathbf {E} _ {1} \ cdot (\ nabla \ times \ mathbf {H} _ {2}) = \ nabla \ cdot (\ mathbf {E} _ {1} \ times \ mathbf {H} _ {2})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {H} _ {2} \ cdot (\ nabla \ times \ mathbf {E} _ {1}) - \ mathbf {E} _ {1} \ cdot (\ nabla \ times \ mathbf {H} _ {2}) = \ nabla \ cdot (\ mathbf {E} _ {1} \ times \ mathbf {H} _ {2})}$ .

Если продукты в периодических уравнениях взяты, как указано в этой последней эквивалентности, и добавлены,

$- H 2 ⋅ j ω В 1 - E 1 ⋅ J ω D 2 - E 1 ⋅ J 2 знак равно ∇ ⋅ (E 1 × H 2) {\ displaystyle - \ mathbf {H} _ {2} \ cdot j \ omega \ mathbf {B} _ {1} - \ mathbf {E} _ {1} \ cdot j \ omega \ mathbf {D} _ {2} - \ mathbf {E} _ {1} \ cdot \ mathbf {J} _ {2} = \ nabla \ cdot (\ mathbf {E} _ {1} \ times \ mathbf {H} _ {2})}$ ${\ displaystyle - \ mathbf {H} _ {2} \ cdot j \ omega \ mathbf {B} _ {1} - \ mathbf {E} _ {1} \ cdot j \ omega \ mathbf {D} _ {2} - \ mathbf {E} _ {1} \ cdot \ mathbf {J} _ {2} = \ nabla \ cdot (\ mathbf {E} _ {1} \ times \ mathbf {H} _ {2})}$ .

Теперь это можно интегрировать по объему вызывающему озабоченность,

$∫ V (ЧАС 2 ⋅ J ω B 1 + E 1 ⋅ J ω D 2 + E 1 J 2) d V знак равно - ∫ V ∇ ⋅ (E 1 × H 2) d V {\ displaystyle \ int _ {V} (\ mathbf {H} _ {2} \ cdot j \ omega \ mathbf {B} _ {1} + \ mathbf {E} _ {1} \ cdot j \ omega \ mathbf {D} _ {2} + \ mathbf {E} _ {1} \ mathbf {J} _ {2}) dV = - \ int _ {V} \ nabla \ cdot (\ mathbf {E} _ {1} \ times \ mathbf {H} _ {2}) dV}$ ${\ displaystyle \ int _ {V} (\ mathbf {H} _ {2} \ cdot j \ omega \ mathbf {B} _ {1} + \ mathbf {E} _ {1} \ cdot j \ omega \ mathbf {D} _ {2} + \ mathbf {E} _ {1} \ mathbf {J} _ {2}) dV = - \ int _ {V} \ nabla \ cdot (\ mathbf {E} _ { 1} \ times \ mathbf {H} _ {2}) dV}$ .

Из теоремы о расходимости интеграл объема $div (E 1 × H 2) {\ displaystyle div (\ mathbf {E} _ {1} \ times \ mathbf {H} _ {2})}$ ${\ displaystyle div (\ mathbf {E} _ {1} \ times \ mathbf {H} _ {2})}$ равняется интегралу поверхности $E 1 × H 2 {\ displaystyle \ mathbf {E} _ {1} \ times \ mathbf {H} _ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E} _ {1} \ times \ mat hbf {H} _ {2}}$ за границу.

$∫ В (ЧАС 2 ⋅ J ω B 1 + E 1 ⋅ J ω D 2 + E 1 ⋅ J 2) d V = - ∮ S (E 1 × H 2) ⋅ d S ^ {\ Displaystyle \ int _ {V} (\ mathbf {H} _ {2} \ cdot j \ omega \ mathbf {B} _ {1} + \ mathbf {E} _ {1} \ cdot j \ omega \ mathbf {D} _ { 2} + \ mathbf {E} _ {1} \ cdot \ mathbf {J} _ {2}) dV = - \ oint _ {S} (\ mathbf {E} _ {1} \ times \ mathbf {H} _ {2}) \ cdot {\ widehat {dS}}}$ ${\ displaystyle \ int _ {V} (\ mathbf {H} _ {2} \ cdot j \ omega \ mathbf {B} _ {1} + \ mathbf {E} _ {1} \ cdot j \ omega \ mathbf {D} _ {2} + \ mathbf {E} _ {1} \ cdot \ mathbf {J } _ {2}) dV = - \ oint _ {S} (\ mathbf {E} _ {1} \ times \ mathbf {H} _ {2}) \ cdot {\ widehat {dS}}}$ .

Эта форма действительна для обычных сред, но в общем случае линейных, изотропных, неизменных во времени материалов, $ϵ {\ displaystyle \ epsilon}$ $\ epsilon$ - скаляр, не зависящий от времени. Тогда обычно как физические величины $D = ϵ E {\ displaystyle \ mathbf {D} = \ epsilon \ mathbf {E}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {D} = \ epsilon \ mathbf {E}}$ и $B = μ H {\ displaystyle \ mathbf {B } = \ mu \ mathbf {H}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B} = \ mu \ mathbf {H}}$ .

Тогда последнее уравнение принимает вид

$∫ V (H 2 ⋅ j ω μ H 1 + E 1 ⋅ j ω ϵ E 2 + E 1 ⋅ J 2) d V Знак равно - ∮ S (E 1 × H 2) ⋅ d S ^ {\ Displaystyle \ int _ {V} (\ mathbf {H} _ {2} \ cdot j \ omega \ mu \ mathbf {H} _ {1} + \ mathbf {E} _ {1} \ cdot j \ omega \ epsilon \ mathbf { E} _ {2} + \ mathbf {E} _ {1} \ cdot \ mathbf {J} _ {2}) dV = - \ oint _ {S} (\ mathbf {E} _ {1} \ times \ mathbf {H} _ {2}) \ cdot {\ widehat {dS}}}$ ${\ Displaystyle \ int _ {V} (\ mathbf {H} _ {2} \ cdot j \ omega \ mu \ mathbf {H} _ {1} + \ mathbf {E} _ {1} \ cdot j \ omega \ epsilon \ mathbf {E} _ {2} + \ mathbf {E} _ {1} \ cdot \ mathbf {J} _ {2}) dV = - \ oint _ {S } (\ mathbf {E} _ {1} \ times \ mathbf {H} _ {2}) \ cdot {\ widehat {dS}}}$ .

Точно аналогичным образом получаем для векторов $E 2 {\ displaystyle \ mathbf {E} _ {2}}$ ${\ mathbf {E}} _ {2}$ и $H 1 {\ displaystyle \ mathbf {H} _ {1}}$ ${\ mathbf {H}} _ {1}$ следующее выражение:

$∫ В (ЧАС 1 ⋅ J ω μ ЧАС 2 + E 2 ⋅ J ω ϵ E 1 + E 2 ⋅ J 1) d V знак равно - ∮ S (E 2 × H 1) ⋅ d S ^ {\ Displaystyle \ int _ {V} (\ mathbf {H} _ {1} \ cdot j \ omega \ mu \ mathbf {H} _ {2} + \ mathbf {E} _ {2} \ c точка j \ omega \ epsilon \ mathbf {E} _ {1} + \ mathbf {E} _ {2} \ cdot \ mathbf {J} _ {1}) d V = - \ oint _ {S} (\ mathbf {E} _ {2} \ times \ mathbf {H} _ {1}) \ cdot {\ widehat {dS }}}$ ${\ displaystyle \ int _ {V} (\ mathbf {H} _ {1} \ cdot j \ omega \ mu \ mathbf {H} _ {2} + \ mathbf {E} _ {2} \ cdot j \ omega \ epsilon \ mathbf {E} _ {1} + \ mathbf {E} _ {2} \ cdot \ mathbf {J} _ {1}) dV = - \ oint _ {S} (\ mathbf {E} _ {2} \ times \ mathbf {H} _ {1}) \ cdot {\ widehat {dS}}}$ .

Вычитая два последних уравнения на члены, мы получаем

$∫ V [J 1 ⋅ E 2 - E 1 ⋅ J 2] d V знак равно ∮ S [E 1 × H 2 - E 2 × H 1 ] ⋅ d S. {\ displaystyle \ int _ {V} \ left [\ mathbf {J} _ {1} \ cdot \ mathbf {E} _ {2} - \ mathbf {E} _ {1} \ cdot \ mathbf {J} _ {2 } \ right] dV = \ oint _ {S} \ left [\ mathbf {E} _ {1} \ times \ mathbf {H} _ {2} - \ mathbf {E} _ {2} \ times \ mathbf { H} _ {1} \ right] \ cdot \ mathbf {dS}.}$ $\ int _ {V} \ left [{\ mathbf {J}} _ {1} \ cdot {\ mathbf {E}} _ {2} - {\ mathbf {E}} _ {1} \ cdot {\ mathbf {J}} _ {2} \ right] dV = \ oint _ {S} \ left [{\ mathbf {E}} _ {1} \ times {\ mathbf {H}} _ {2} - {\ mathbf {E}} _ {2} \ times {\ mathbf {H}} _ {1} \ right] \ cdot {\ mathbf {dS}}.$

и эквивалентно в дифференциальной

$J 1 ⋅ E 2 - E 1 ⋅ J 2 = ∇ ⋅ [E 1 × H 2 - E 2 × H 1] {\ displaystyle \ mathbf {J} _ {1} \ cdot \ mathbf {E} _ {2} - \ mathbf {E} _ {1} \ cdot \ mathbf {J} _ {2} = \ nabla \ cdot \ left [\ mathbf {E} _ {1} \ times \ mathbf {H} _ {2} - \ mathbf {E} _ {2} \ times \ mathbf {H} _ {1} \ right]}$ ${\ displaystyle \ mathbf {J} _ {1} \ cdot \ mathbf {E} _ {2} - \ mathbf {E} _ {1} \ cdot \ mathbf {J} _ {2} = \ nabla \ cdot \ left [\ mathbf {E} _ {1} \ times \ mathbf {H} _ {2} - \ mathbf {E} _ {2} \ times \ mathbf {H} _ {1} \ right]}$ qed

Сокращение поверхностных членов ов

Сокращение поверхностных элементов в правой части теоремы взаимности Лоренца для интегрирования по всему пространству не совсем очевидно, но может быть получено несколько способов.

. квадратом расстояния, поэтому две скорости уравновешивают друг друга в интеграле.

Вместо этого обычно (например, King, 1963) предполагают, что среда однородна и изотропна на достаточно большом расстоянии. В этом случае излучаемое поле асимптотически принимает форму плоских волн, распространяющихся радиально наружу (в $r ^ {\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {r}}}}$ ${\ hat {\ mathbf {r}}}$ direction) с $r ^ ⋅ E = 0 {\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {r}}} \ cdot \ mathbf {E} = 0}$ ${\ hat {{\ mathbf {r}}}} \ cdot {\ mathbf {E}} = 0$ и $H = r ^ × E / Z {\ displaystyle \ mathbf {H} = {\ hat {\ mathbf {r}}} \ times \ mathbf {E} / Z}$ ${\ mathbf { H}} = {\ hat {{\ mathbf {r}}}} \ times {\ mathbf {E}} / Z$ , где Z - импеданс $μ / ϵ {\ displaystyle {\ sqrt {\ mu / \ epsilon}}}$ ${\ sqrt {\ mu / \ epsilon}}$ окружающей среды. Отсюда следует, что $E 1 × H 2 = E 1 × r ^ × E 2 / Z {\ displaystyle \ mathbf {E} _ {1} \ times \ mathbf {H} _ {2} = \ mathbf { E} _ {1} \ times {\ hat {\ mathbf {r}}} \ times \ mathbf {E} _ {2} / Z}$ ${\ mathbf {E}} _ {1} \ times {\ mathbf {H}} _ {2} = {\ mathbf {E}} _ { 1} \ times {\ hat {{\ mathbf {r}}}} \ times {\ mathbf {E}} _ {2} / Z$ , что с помощью простого соединения тождества равно $r ^ (E 1 ⋅ E 2) / Z {\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {r}}} (\ mathbf {E} _ {1} \ cdot \ mathbf {E} _ { 2}) / Z}$ ${\ hat {{\ mathbf {r}}}} ({\ mathbf {E}} _ {1} \ cdot {\ m athbf {E}} _ {2}) / Z$ . Точно так же $E 2 × H 1 = r ^ (E 2 ⋅ E 1) / Z {\ displaystyle \ mathbf {E} _ {2} \ times \ mathbf {H} _ {1} = {\ hat {\ mathbf {r}}} (\ mathbf {E} _ {2} \ cdot \ mathbf {E} _ {1}) / Z}$ ${\ mathbf {E}} _ {2} \ times {\ mathbf {H}} _ {1} = {\ hat {{\ mathbf {r}}}} ({\ mathbf {E}} _ {2} \ cdot {\ mathbf {E}} _ {1}) / Z$ и два терминации отменяют друг друга.

Приведенный выше аргумент явно показывает, почему поверхностные термины могут отменяться, но не имеет общности. В качестве альтернативы можно рассматривать случай окружающих без потерь, взяв предел, когда (мнимая часть ε) стремятся к нулю. При ненулевых потерях поля экспоненциально затухают с расстояниями, и поверхностный интеграл любых препятствий обращается в нуль, независимо от того, ли среда однородной. Временная левая часть теоремы взаимности Лоренца обращается в нуль при интегрировании по всему пространству с любыми ненулевыми потерями, когда потери стремятся к нулю.

Взаимодействие функция Грина 369>
Оператор, обратный $O ^ {\ displaystyle {\ hat {O}}}$ ${\ hat {O}}$ , т.е. в $E = O ^ - 1 J {\ displaystyle \ mathbf {E} = {\ hat {O}} ^ {- 1} \ mathbf {J}}$ ${\ mathbf {E}} = {\ hat {O}} ^ {{- 1}} {\ mathbf {J}}$ (что требует указания граничных условий на бесконечности в системе без потерь), имеет ту же симметрию, что и $O ^ {\ displaystyle {\ hat {O}}}$ ${\ hat {O}}$ и по сути является функцией Грина сверткой. Итак, другая точка зрения на лоренцеву взаимность заключается в том, что она отражает тот факт, что свертка с электромагнитной функцией Грина является комплексно-симметричной (или антиэрмитовой, ниже) линейной операцией при соответствующих условиях на ε и μ. Более конкретно, функцию Грина можно записать как $G nm (x ′, x) {\ displaystyle G_ {nm} (\ mathbf {x} ', \ mathbf {x})}$ $G_{{nm}}({\mathbf {x}}',{\mathbf {x}})$ , что дает n-й компонент $E {\ displaystyle \ mathbf {E}}$ $\ mathbf {E}$ в $x ′ {\ displaystyle \ mathbf {x} '}$ $\mathbf {x} '$ из точки дипольный ток в m-м направление в $x {\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf {x}$ (по сути, $G {\ displaystyle G}$ $G$ дает матричные элементы $O ^ - 1 {\ displaystyle {\ hat {O}} ^ {- 1}}$ ${\ hat {O}} ^ {{- 1}}$ ), а взаимность Рэлея-Карсона эквивалентна утверждению, что $G нм (x ′, Икс) знак равно G mn (x, x ′) {\ displaystyle G_ {nm} (\ mathbf {x} ', \ mathbf {x}) = G_ {mn} (\ mathbf {x}, \ mathbf {x}')}$ $G_{{nm}}({\mathbf {x}}',{\mathbf {x}})=G_{{mn}}({\mathbf {x}},{\mathbf {x}}')$ . В отличие от $O ^ {\ displaystyle {\ hat {O}}}$ ${\ hat {O}}$ , обычно невозможно дать явную формулу для функций Грина (за исключением особых случаев, таких как однородная среда), но он обычно вычисляется численными методами.

Магнитооптические материалы без потерь

Один случай, когда ε не является симметричной матрицей, относится к магнитооптическим материалом, и в этом случае обычное утверждение лоренцевой взаимности не выполнено (однако, см. обобщение ниже). Если мы допустим магнитооптические материалы, но ограничимся ситуацией, когда поглощение материала незначительно, то ε и μ, как правило, уменьшит себя комплексные 3 × 3 эрмитовы матрицы. В этом случае оператор $1 μ (∇ × ∇ ×) - ω 2 c 2 ε {\ displaystyle {\ frac {1} {\ mu}} \ left (\ nabla \ times \ nabla \ times \ right) - {\ frac {\ omega ^ {2}} {c ^ {2}}} \ varepsilon}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ mu }} \ left (\ nabla \ times \ nabla \ times \ right) - {\ frac {\ omega ^ {2}} {c ^ {2}}} \ varepsilon}$ эрмитово относительно сопряженного скалярного произведения $(F, G) = ∫ F ∗ ⋅ G d V { \ displaystyle (\ mathbf {F}, \ mathbf {G}) = \ int \ mathbf {F} ^ {*} \ cdot \ mathbf {G} \, dV}$ $({\ mathbf {F}}, {\ mathbf {G}}) = \ int {\ mathbf {F}} ^ {*} \ cdot {\ mathbf {G}} \, dV$ и остается в силе вариант теоремы взаимности:

- ∫ В [J 1 ∗ + E 2 + E 1 ∗ ⋅ J 2] d V = S [E 1 ∗ × H 2 + E 2 × H 1 ∗] ⋅ d A {\ displaystyle - \ int _ {V} \ left [\ mathbf {J} _ {1} ^ {*} \ cdot \ mathbf {E} _ {2} + \ mathbf {E} _ {1} ^ {*} \ cdot \ mathbf {J} _ {2} \ right] dV = \ oint _ {S} \ left [\ mathbf {E} _ {1} ^ {*} \ times \ mathbf {H} _ {2} + \ mathbf {E } _ {2} \ times \ mathbf {H} _ {1} ^ {*} \ right] \ cdot \ mathbf {dA}}

- \ int _ {V} \ left [{\ mathbf {J}} _ {1} ^ {*} \ cdot {\ mathbf {E}} _ {2} + {\ mathbf {E}} _ {1} ^ {*} \ cdot {\ mathbf {J}} _ {2} \ right] dV = \ oint _ {S} \ left [{\ mathbf {E}} _ {1} ^ {*} \ times {\ mathbf {H}} _ {2} + {\ mathbf {E}} _ {2} \ times {\ mathbf {H}} _ {1} ^ {*} \ right] \ cdot {\ mathbf {dA}}

где изменение знака происходит от $1 / i ω {\ displaystyle 1 / i \ omega}$ $1 / i \ omega$ в приведенном выше уравнении, что делает оператор $O ^ {\ displa ystyle {\ hat {O}}}$ ${\ hat {O}}$ анти- -Эрмитов (без учета поверхностных терминов). Для особого случая $J 1 = J 2 {\ displaystyle \ mathbf {J} _ {1} = \ mathbf {J} _ {2}}$ ${\ mathbf {J}} _ {1} = {\ mathbf {J}} _ {2}$ это дает повторное выражение сохранение энергии или Теорема Пойнтинга (здесь мы предполагали материалы без потерь, в отличие от вышеупомянутого): средняя по времени скорость работы, выполняемой током (заданная действительная часть $- J ∗ ⋅ E {\ displaystyle - \ mathbf {J} ^ {*} \ cdot \ mathbf {E}}$ $- {\ mathbf {J} } ^ {*} \ cdot {\ mathbf {E}}$ ) равно среднему по времени внешнему потоку мощности (интеграл от вектор Пойнтинга ). К тому же, однако, интегрировать по всему пространству для этого варианта взаимности, поэтому форма Рэлея-Карсона не выполняется без дополнительных предположений.

Тот факт, что магнитооптические материалы нарушают взаимность Рэлея-Карсона, является ключом к таким устройствам, как изоляторы Фарадея и циркуляторы. Ток на одной стороне изолятора Фарадея создает поле на другую сторону, но не наоборот.

Обобщение на несимметричные материалы

Для комбинации материалов с потерями и магнитооптических материалов и в целом, когда тензоры ε и μ не являются ни симметричными, ни эрмитовыми матрицами, все еще можно получить обобщенную версию лоренцевой взаимности с учетом $(J 1, E 1) {\ displaystyle (\ mathbf {J} _ {1}, \ mathbf {E} _ {1})}$ $({\ mathbf {J}} _ {1}, {\ mathbf {E}} _ {1})$ и $(J 2, E 2) {\ displaystyle (\ mathbf {J} _ {2}, \ mathbf {E} _ {2})}$ $({\ mathbf {J}} _ {2}, {\ mathbf {E}} _ {2})$ в разных системах.

В частности, если $(J 1, E 1) {\ displaystyle (\ mathbf {J} _ {1}, \ mathbf {E} _ {1})}$ $({\ mathbf {J}} _ {1}, {\ mathbf {E}} _ {1})$ удовлетворяют требованиям Максвелла в ω для системы с материалами $(ε 1, μ 1) {\ displaystyle (\ varepsilon _ {1}, \ mu _ {1})}$ $(\ varepsilon _ {1}, \ mu _ {1})$ и $( J 2, E 2) {\ displaystyle (\ mathbf {J} _ {2}, \ mathbf {E} _ {2})}$ $({\ mathbf {J}} _ {2}, {\ mathbf {E}} _ {2})$ удовлетворяют уравнениям Максвелла в ω для системы с материалами $( ε 1 T, μ 1 T) {\ displaystyle \ left (\ varepsilon _ {1} ^ {T}, \ mu _ {1} ^ {T} \ right)}$ ${\ displaystyle \ left (\ varepsilon _ {1} ^ {T}, \ mu _ {1} ^ {T} \ справа)}$ , где T обозначает транспонировать, тогда выполняется уравнение лоренцевой взаимности. В этом случае можно обобщить на бианизотропные материалы путем транспонирования полного тензора восприимчивости 6 × 6.

Исключения для взаимности

Для нелинейных сред, в общем случае теорема взаимности не выполняется. Взаимность также обычно не применяется к изменяющимся во времени («активным») средам; например, когда ε модулируется во времени каким-то новым процессом. (В обоих случаях частота обычно не является сохраняющейся величиной.)

Взаимность Фельда-Тай

Тесно связанная теорема взаимности была независимо сформулирована Я.А. Фельдом и К.Т. Тай в 1992 году. и известна как взаимность Фельда-Тай или лемма Фельда-Тай . Он связывает два локализованных источника тока с гармоникой во времени и результирующие магнитные поля :

J 1 ⋅ H 2 d V = H 1 ⋅ J 2 d V. {\ displaystyle \ int \ mathbf {J} _ {1} \ cdot \ mathbf {H} _ {2} \, dV = \ int \ mathbf {H} _ {1} \ cdot \ mathbf {J} _ {2} \, dV.}

\ int {\ mathbf {J}} _ {1} \ cdot {\ mathbf {H}} _ {2} \, dV = \ int {\ mathbf {H}} _ { 1} \ cdot {\ mathbf {J}} _ {2} \, dV.

Однако лемма Фельда-Тая верна только при гораздо более строгих условиях, чем лоренцевская взаимность. Обычно для этого требуются постоянные во времени линейные среды с изотропным однородным импедансом, то есть постоянным скалярным отношением μ / ε, за возможное использование из идеально проводящего материала.

Точнее, взаимность Фельда-Тай требует эрмитовой (или, скорее, комплексно-симметричной) симметрии электромагнитных операторов, как указано выше, но также основывается на предположении, что оператор, связывающий $E {\ displaystyle \ mathbf {E}}$ $\ mathbf {E}$ и $i ω J {\ displaystyle i \ omega \ mathbf {J}}$ $я \ omega {\ mathbf { J}}$ - постоянное скалярное кратное оператора, связывающего $H {\ displaystyle \ mathbf {H}}$ $\ mathbf {H}$ и $∇ × (J / ε) {\ displaystyle \ nabla \ times (\ mathbf {J} / \ varepsilon)}$ $\ nabla \ times ({\ mathbf {J}} / \ varepsilon)$ , что верно, когда ε является постоянным скалярным кратным μ (два оператора обычно отличаются заменой ε и μ). Как и выше, можно также построить более общую формулировку интегралов по конечному объему.

Оптическая взаимность в радиометрических терминах

Помимо квантовых эффектов, классическая теория охватывает электрические и магнитные явления ближнего, среднего и дальнего полей с произвольным течением времени. Оптика относится к почти синусоидальным колебательным электромагнитным эффектам в дальней зоне. Вместо парных электрических и магнитных переменных, оптика, включая оптическую взаимность, может быть выражена парными радиометрическими переменными поляризацией, такими как спектральная яркость, традиционно называемая удельной интенсивностью.

В 1856 году Герман фон Гельмгольц писал:

«Луч света, исходящий из точки А, достигает точки В после любого количества преломлений, отражений и т. Д. В точке А пусть любые две перпендикулярные плоскости a 1, a 2 взяты в направлении луча; и пусть колебания луча будут разделены на две части, по одной в каждой из этих плоскостей. Возьмем одинаковые плоскости b 1, b 2 в луче в точке B; тогда может быть продемонстрировано следующее утверждение. Если, когда количество света J поляризовано в плоскости a 1 исходит из A в направлении данного луча, часть K его света, поляризованного в b 1, достигает B, тогда, наоборот, если количество света J, поляризованного в b 1 выручка из B то же самое количество света K, поляризованного в 1, достигнет A. "

Это иногда называют принципом взаимности (или реверсии) Гельмгольца. Когда волна распространяется через материал, на который действует приложенное магнитное поле, взаимность может быть нарушена, поэтому этот принцип неприменим. Точно так же, когда на пути луча есть движущиеся объекты, этот принцип может быть совершенно неприменим. Исторически сложилось так, что в 1849 году сэр Джордж Стоукс изложил свой принцип оптической реверсии, не обращая внимания на поляризацию.

Подобно принципам термодинамики, этот принцип достаточно надежен, чтобы использовать его в качестве проверки правильности работы. экспериментов, в отличие от обычной ситуации, в которой эксперименты являются проверкой предложенного закона.

Простейшее утверждение принципа: «Если я вижу вас, то вы можете видеть меня». Этот принцип был использован Густавом Кирхгофом при выводе своего закона теплового излучения и Максом Планком при анализе его закона теплового излучения..

Для алгоритмов трассировки лучей глобального освещения входящий и исходящий свет можно рассматривать как инверсию друг друга, не влияя на результат функции двунаправленного распределения отражательной способности (BRDF).

Взаимность Грина

Тогда как приведенные выше теоремы взаимности для осциллирующих полей взаимность Грина являются аналогичной теоремой для электростатики с фиксированным распределением электрический заряд (Panofsky and Phillips, 1962).

В частности, пусть $ϕ 1 {\ displaystyle \ phi _ {1}}$ $\ phi _ {1}$ обозначает способность, развивающую в результате общей плотности заряда $ρ 1 {\ displaystyle \ ро _ {1}}$ $\ rho _ {1}$ . Электрический потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона, $- ∇ 2 ϕ 1 = ρ 1 / ε 0 {\ displaystyle - \ nabla ^ {2} \ phi _ {1} = \ rho _ {1} / \ varepsilon _ {0}}$ $- \ nabla ^ {2} \ phi _ {1} = \ rho _ {1} / \ varepsilon _ {0}$ , где $ε 0 {\ displaystyle \ varepsilon _ {0}}$ $\ varepsilon _ {0}$ - диэлектрическая проницаемость вакуума. Аналогично пусть $ϕ 2 {\ displaystyle \ phi _ {2}}$ $\ phi _ {2 }$ обозначает потенциал, обеспечивающий в результате общей плотности заряда $ρ 2 {\ displaystyle \ rho _ {2}}$ $\ rho _ {2}$ , удовлетворяющий $- ∇ 2 ϕ 2 = ρ 2 / ε 0 {\ displaystyle - \ nabla ^ {2} \ phi _ {2} = \ rho _ {2} / \ varepsilon _ {0 }}$ $- \ nabla ^ {2} \ phi _ {2} = \ rho _ {2} / \ varepsilon _ {0}$ . В обоих случаях мы предполагаем, что распределение заряда локализованы, так что потенциалы могут быть выбраны так, чтобы стремиться к нулю на бесконечности. Тогда теорема взаимности Грина утверждает, что для интегралов по всему пространству:

∫ ρ 1 ϕ 2 d V = ρ 2 ϕ 1 d V. {\ displaystyle \ int \ rho _ {1} \ phi _ {2} dV = \ int \ rho _ {2} \ phi _ {1} dV.}

\ int \ rho _ {1} \ phi _ {2} dV = \ int \ rho _ {2} \ phi _ {1 } dV.

Эта теорема легко доказывается из секунды Грина личность. Эквивалентно, это утверждение, что $∫ ϕ 2 (∇ 2 ϕ 1) d V = ∫ ϕ 1 (∇ 2 ϕ 2) d V {\ displaystyle \ int \ phi _ {2} (\ nabla ^ {2} \ phi _ {1}) dV = \ int \ phi _ {1} (\ nabla ^ {2} \ phi _ {2}) dV}$ $\ int \ phi _ {2} (\ nabla ^ {2} \ phi _ { 1}) dV = \ int \ phi _ {1} (\ nabla ^ {2} \ phi _ {2}) dV$ , то есть, что $∇ 2 { \ displaystyle \ nabla ^ {2}}$ $\ nabla ^ {2}$ является эрмитовым оператором (как показано путем двукратного интегрирования по частям).

Ссылки

L. Д. Ландау, Э. М. Лифшиц, Электродинамика сплошных сред (Addison-Wesley: Reading, MA, 1960). §89.
Ронольд У. П. Кинг, Фундаментальная электромагнитная теория (Дувр: Нью-Йорк, 1963). §IV.21.
С. Альтман и К. Сой, Взаимность, пространственное отображение и обращение времени в электромагнетизме (Kluwer: Dordrecht, 1991).
H. А. Лоренц, «Теорема Пойнтинга об энергии в электромагнитном поле и двух общих положениях, распространении света», Амстердамская академия дер-Ветеншаппен 4 с. 176 (1896 г.).
Р. Дж. Поттон, «Взаимность в оптике», Докл. О достижениях физики 67, 717-754 (2004). (Обзорная статья по истории этой темы.)
Дж. Р. Карсон, «Обобщение теоремы взаимности», Bell System Technical Journal 3 (3), 393-399 (1924). Также Дж. Р. Карсон, «Теорема взаимной энергии», там же. 9 (4), 325-331 (1930).
Я. Фельд Н. К квадратичной лемме в электродинамике // Докл. Phys - Докл. 37, 235-236 (1992).
С.-Т. Тай, "Дополнительные теоремы взаимности в теории электромагнетизма", IEEE Trans. Антенны Prop. 40 (6), 675-681 (1992).
Вольфганг К. Х. Панофски и Мельба Филлипс, Классическое электричество и магнетизм (Addison-Wesley: Reading, MA, 1962).
Виктор Асадчи, Мохаммад С. Мирмуза, Ана Диас-Рубио, Шанхой Фан, Сергей А. Третьяков, Учебное пособие по электромагнитной невзаимности и ее истокам, arXiv: 2001.04848 (2020).

Цитаты

^Рамо, Виннери, Ван Дузер: поля и волны в коммуникационной электронике, Wiley International Edition (1965)
^Джин Ау Конг, Теоремы о бианизотропных средах, Proceedings of the IEEE vol... 60, нет. 9. С. 1036–1046 (1972).
^ Гельмгольц, Х. фон (1856 г.). Handbuch der Physiologischen Optik, первое издание, Леопольд Восс, Лейпциг, том 1, стр. 169, цитируется Планком. Перевод здесь основан на переводе Гатри, Ф., Фил. Mag. Серии 4, 20 : 2–21. Второе издание (1867 г.) в [1]
^Миннаерт, М. (1941). Принцип взаимности в лунной фотометрии, Astrophysical Journal 93 : 403-410. [2]
^Чандрасекхар, С. (1950). Перенос излучения, Oxford University Press, Oxford, страницы 20-21, 171-177, 182.
^Тингвальдт, К.П. (1952). Über das Helmholtzsche Reziprozitätsgesetz in der Optik, Optik, 9 (6): 248-253.
^Леви, Л. (1968). Прикладная оптика: руководство по проектированию оптических систем, 2 тома, Wiley, New York, том 1, страница 84.
^Кларк, Ф.Дж., Парри, Д.Дж. (1985). Взаимность Гельмгольца: его обоснованность и применение в рефлектометрии, Lighting Research Technology, 17 (1): 1-11.
^Борн М., Вольф Э. (1999). Принципы оптики: Электромагнитная теория распространения, интерференции и дифракции света, 7-е издание, Cambridge University Press, ISBN 0-521-64222-1, стр. 423.
^Стокса, ГГ (1849). О совершенной черноты центрального пятна в кольцах Ньютона и проверке формул Френеля для интенсивных отраженных и преломленных лучей, Cambridge and Dublin Mathematical Journal, новая серия, 4 : 1-14.
^Махан, А. (1943). Математическое доказательство принципа обратимости Стокса, J. Opt. Soc. Am., 33 (11): 621-626.
^Лекнер, Дж. (1987). Теория отражения электромагнитных волн и волн от частиц, Мартинус Нийхофф, Дордрехт, ISBN 90-247-3418-5, страницы 33-37. [3]
^Рэйли, Лорд (1900). О законе взаимности в диффузном отражении, Фил. Mag. серия 5, 49 : 324-325.
^ Хапке, Б. (1993). Теория спектроскопии отражения и излучения, Cambridge University Press, Cam bridge UK, ISBN 0-521-30789-9, раздел 10C, страницы 263-264.