Взаимность Гельмгольца

Принцип в оптике, связывающий световые лучи и их обратные лучи

Принцип взаимности Гельмгольца описывает, как луч света и его обратный луч встречаются в соответствии с оптическими приключениями, такие как отражения, преломления и поглощения в пассивной среде или на границе раздела. Это не относится к движущимся, нелинейным или магнитным носителям.

Например, входящий и исходящий свет можно рассматривать как инверсию друг друга, не влияя на результат функции распределения двунаправленной отражательной способности (BRDF). Если бы свет измерялся датчиком, и этот свет отражался бы на материале с помощью BRDF, который подчиняется принципу взаимности Гельмгольца, можно было бы поменять местами датчик и источник света, и измерение потока осталось бы одинаковым.

В схеме компьютерной графики глобального освещения важен принцип взаимности Гельмгольца, если алгоритм глобального освещения меняет пути света (например, трассировка лучей по сравнению с классической трассировкой пути света).

• 1 Физика
• 2 Приложения
• 3 Ссылки
• 4 См. Также

Принцип обращения Стокса – Гельмгольца и взаимности был частично сформулирован в Стокса (1849) и со ссылкой на поляризацию на странице 169 книги Гельмгольца Handbuch der Physiologischen Optik 1856 года, цитируемой Кирхгофом и Планком <119.>Как цитирует Кирхгоф в 1860 году, принцип переводится следующим образом:

Луч света, исходящий из точки 1, достигает точки 2 после любого количества преломлений, отражений и т. Д. В точке 1 пусть любые две перпендикулярные плоскости a 1, b 1 взяты в направлении луча; и пусть колебания луча разделятся на две части, по одной в каждой из этих плоскостей. Возьмем аналогичные плоскости a 2, b 2 на луче в точке 2; тогда может быть продемонстрировано следующее предложение. Если, когда количество света i, поляризованного в плоскости a 1, исходит из 1 в направлении данного луча, эта часть k света, поляризованного в плоскости a 2, достигает 2, тогда, наоборот, если количество света, поляризованного в a 2, происходит из 2, то же количество света k, поляризованного в 1 [опубликованный текст Кирхгофа здесь исправлен редактором Википедии на согласен с текстом Гельмгольца 1867 г.] получим 1.

Проще говоря, принцип гласит, что источник и точка наблюдения могут переключаться без изменения значения наблюдаемой волновой функции. Другими словами, этот принцип математически доказывает утверждение: «Если я вижу тебя, ты можешь видеть меня». Подобно принципам термодинамики, этот принцип достаточно надежен, чтобы использовать его в качестве проверки правильности проведения экспериментов, в отличие от обычной ситуации, когда эксперименты являются проверкой предложенного закона.

В его авторитетном доказательстве Чтобы убедиться в справедливости закона Кирхгофа о равенстве излучательной способности излучения и поглощающей способности, Планк многократно и существенно использует принцип взаимности Стокса – Гельмгольца. Рэлей сформулировал основную идею взаимности как следствия линейности распространения малых колебаний, света, состоящего из синусоидальных колебаний в линейной среде.

Когда есть магнитные поля на пути луч, принцип не действует. Отклонение оптической среды от линейности также вызывает отклонение от взаимности Гельмгольца, а также наличие движущихся объектов на пути луча.

Взаимность Гельмгольца первоначально относилась к свету. Это особая форма электромагнетизма, которую можно назвать излучением в дальней зоне. Для этого электрическое и магнитное поля не нуждаются в различном описании, потому что они распространяются, питая друг друга равномерно. Таким образом, принцип Гельмгольца - это более просто описанный частный случай электромагнитной взаимности в целом, который описывается различными учетами взаимодействующих электрических и магнитных полей. Принцип Гельмгольца основывается главным образом на линейности и суперпозиции светового поля, и он имеет близкие аналоги в неэлектромагнитных линейных распространяющихся полях, таких как звук. Это было открыто до того, как стала известна электромагнитная природа света.

Теорема взаимности Гельмгольца была строго доказана множеством способов, в основном с использованием квантово-механической симметрии обращения времени. Поскольку эти более сложные с математической точки зрения доказательства могут умалить простоту теоремы, Погани и Тернер доказали ее всего за несколько шагов, используя ряд Борна. Предполагая, что источник света находится в точке A и точке наблюдения O, с различными точками рассеяния $r\; 1,\; r\; 2,...\; r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{1\},\; r\_\; \{2\},...\; r\}$между ними, уравнение Шредингера может использоваться для представления результирующей волновой функции в пространстве:

$(▽\; 2\; +\; 4\; \pi \; К\; 2)\; \Psi \; (r,\; r\; A)\; =\; -\; 4\; \pi \; K\; 2\; V\; (r)\; \Psi \; (r,\; r\; A)\; +\; \delta \; (r\; -\; r\; A)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; bigtriangledown\; ^\; \{2\}\; +4\; \backslash \; pi\; K\; ^\; \{2\})\; \backslash \; Psi\; (\backslash \; mathbf\; \{r,\; r\_\; \{A\}\})\; =\; -\; 4\; \backslash \; pi\; K\; ^\; \{2\}\; V\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; \backslash \; Psi\; (\backslash \; mathbf\; \{r,\; r\_\; \{A\}\})\; +\; \backslash \; delta\; (\backslash \; mathbf\; \{r-r\_\; \{A\}\})\}$

Применяя функцию Грина, указанное выше уравнение может быть решено для волновой функции в интегральной (и, следовательно, итеративной) форме:

$\Psi \; (r,\; r\; A)\; =\; G\; (r,\; r\; A)\; -\; 4\; \pi \; 2\; \int \; G\; (r,\; r\; \prime \; V\; (r\; \prime \; \Psi \; (r\; \prime ,\; r\; A))\; dr\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Psi\; (\backslash \; mathbf\; \{r,\; r\_\; \{A\}\})\; =\; G\; (\backslash \; mathbf\; \{r,\; r\_\; \{A\}\})\; -4\; \backslash \; pi\; ^\; \{2\}\; \backslash \; int\; G\; (\backslash \; mathbf\; \{r,\; r\; \text{'}\}\; V\; (\backslash \; mathbf\; \{r\text{'}\}\; \backslash \; Psi\; (\backslash \; mathbf\; \{r\; \text{'},\; r\_\; \{A\}\})\; d\; \backslash \; mathbf\; \{r\text{'}\}\}$

где

$G\; (r,\; r\; \text{'})\; =\; -\; ехр\; (2\; \pi \; я\; К\; |\; р\; -\; r\; \text{'}|)\; |\; г\; -\; r\text{'}\; |\; \{\backslash \; Displaystyle\; G\; (\backslash \; mathbf\; \{r,\; r\; \text{'}\})\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{exp\; (2\; \backslash \; pi\; iK\; |\; \backslash \; mathbf\; \{\; r-r\; \text{'}\}\; |)\}\; \{|\; \backslash \; mathbf\; \{r-r\text{'}\}\; |\}\}\}$.

Далее, допустимо принять решение внутри t Рассеивающая среда в точке O может быть аппроксимирована борновским рядом, используя борновское приближение в теории рассеяния. При этом ряд можно повторять обычным способом, чтобы получить следующее интегральное решение:

$\Psi \; (r\; O,\; r\; A)\; =\; G\; (r\; O,\; r\; A)\; -\; 4\; \pi \; 2\; \int \; G\; (r\; O\; р\; 1)\; В\; (р\; 1)\; г\; (р\; 1,\; р\; А)\; dr\; 1\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Psi\; (\backslash \; mathbf\; \{r\_\; \{O\},\; r\_\; \{A\}\})\; =\; G\; (\backslash \; mathbf\; \{r\_\; \{O\},\; r\_\; \{A\}\})\; -4\; \backslash \; pi\; ^\; \{2\}\; \backslash \; int\; G\; (\backslash \; mathbf\; \{r\_\; \{O\},\; r\_\; \{1\}\})\; V\; (\backslash \; mathbf\; \{r\_\; \{1\}\})\; G\; (\backslash \; mathbf\; \{r\_\; \{\; 1\},\; r\_\; \{A\}\})\; d\; \backslash \; mathbf\; \{r\_\; \{1\}\}\}$

$+\; (-\; 4\; \pi \; 2)\; 2\; \int \; dr\; 1\; \int \; G\; (r\; O,\; r\; 1)\; G\; (r\; 1,\; r\; 2)\; В\; (р\; 1)\; В\; (р\; 2)\; г\; (р\; 2,\; р\; А)\; д-р\; 2\; \{\backslash \; Displaystyle\; +\; (-\; 4\; \backslash \; pi\; ^\; \{2\})\; ^\; \{2\}\; \backslash \; int\; d\; \backslash \; mathbf\; \{r\_\; \{1\}\}\; \backslash \; int\; G\; (\backslash \; mathbf\; \{r\_\; \{O\},\; r\_\; \{1\}\})\; G\; (\backslash \; mathbf\; \{r\_\; \{1\},\; r\_\; \{2\}\})\; V\; (\backslash \; mathbf\; \{r\_\; \{1\}\})\; V\; (\backslash \; mathbf\; \{r\_\; \{2\}\})\; G\; (\backslash \; mathbf\; \{r\_\; \{2\},\; r\_\; \{A\}\})\; d\; \backslash \; mathbf\; \{r\_\; \{2\}\}\}$

$+\; (-\; 4\; \pi \; 2)\; 3\; \int \; dr\; 1\; \int \; dr\; 2\; \int \; G\; (r\; O,\; r\; 1)\; G\; (r\; 1,\; r\; 2)\; G\; (r\; 2,\; r\; 3)\; V\; (r\; 1)\; V\; (r\; 2)\; V\; (r\; 3)\; G\; (r\; 3,\; r\; A)\; dr\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; +\; (-\; 4\; \backslash \; pi\; ^\; \{2\})\; ^\; \{3\}\; \backslash \; int\; d\; \backslash \; mathbf\; \{r\_\; \{1\}\}\; \backslash \; int\; d\; \backslash \; mathbf\; \{r\_\; \{2\}\}\; \backslash \; int\; G\; (\backslash \; mathbf\; \{r\_\; \{O\},\; r\_\; \{1\}\})\; G\; (\backslash \; mathbf\; \{r\_\; \{1\},\; r\_\; \{2\}\})\; G\; (\backslash \; mathbf\; \{r\_\; \{2\},\; r\_\; \{3\}\})\; V\; (\backslash \; mathbf\; \{r\_\; \{1\}\})\; V\; (\backslash \; mathbf\; \{r\_\; \{2\}\})\; V\; (\backslash \; mathbf\; \{r\_\; \{3\}\})\; G\; (\backslash \; mathbf\; \{r\_\; \{3\},\; r\_\; \{A\}\})\; d\; \backslash \; mathbf\; \{r\_\; \{3\}\}\}$

$+...\; \{\backslash \; displaystyle\; +...\}$

Снова отмечая форму функции Грина, очевидно, что переключение $r\; A\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{r\_\; \{A\}\}\}$и $r\; O\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{r\_\; \{O\}\}\}$в приведенной выше форме не изменит результат; то есть $\Psi \; (р\; A,\; р\; O)\; =\; \Psi \; (р\; O,\; р\; A)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Psi\; (\backslash \; mathbf\; \{r\_\; \{A\},\; r\_\; \{O\}\})\; =\; \backslash \; Psi\; (\backslash \; mathbf\; \{r\_\; \{O\},\; r\_\; \{A\}\})\}$, который является математическим утверждением теоремы взаимности: переключение источника света A и точки наблюдения O не изменяет наблюдаемую волновую функцию.

Одно простое, но важное следствие этого принципа взаимности состоит в том, что любой свет, направленный через линзу в одном направлении (от объекта к плоскости изображения), оптически равен его сопряженному, т.е. направлен через ту же установку, но в противоположном направлении. Электрон, фокусируемый через какой-либо ряд оптических компонентов, не «заботится», с какого направления он приходит; до тех пор, пока с ним происходят одни и те же оптические события, результирующая волновая функция будет такой же. По этой причине этот принцип имеет важные приложения в области просвечивающей электронной микроскопии (ПЭМ). Представление о том, что сопряженные оптические процессы дают эквивалентные результаты, позволяет пользователю микроскопа глубже понимать и иметь значительную гибкость в методах, включающих дифракцию электронов, узоры Кикучи, темные -полевые изображения и другие.

Важно отметить, что в ситуации, когда электроны теряют энергию после взаимодействия с рассеивающей средой образца, симметрия относительно обращения времени отсутствует. Следовательно, взаимность действительно применима только в ситуациях упругого рассеяния. В случае неупругого рассеяния с небольшими потерями энергии можно показать, что взаимность может использоваться для аппроксимации интенсивности (а не амплитуды волны). Таким образом, в очень толстых образцах или образцах, в которых преобладает неупругое рассеяние, преимущества использования взаимности для ранее упомянутых приложений ПЭМ больше не действуют. Кроме того, экспериментально было продемонстрировано, что взаимность действительно применяется в ПЭМ при правильных условиях, но физика, лежащая в основе принципа, диктует, что взаимность может быть действительно точной только в том случае, если передача луча происходит только через скалярные поля, то есть без магнитных полей. Таким образом, мы можем сделать вывод, что искажения взаимности из-за магнитных полей электромагнитных линз в ПЭМ можно игнорировать в типичных условиях эксплуатации. Однако пользователи должны быть осторожны, чтобы не применять взаимность к методам магнитного изображения, ПЭМ ферромагнитных материалов или посторонним ситуациям ПЭМ без тщательного рассмотрения. Обычно полюсные наконечники для ПЭМ конструируются с использованием анализа методом конечных элементов генерируемых магнитных полей для обеспечения симметрии.

Магнитные линзы объектива использовались в ПЭМ для достижения разрешения в атомном масштабе при сохранении среды, свободной от магнитного поля в плоскости образца, но для этого метода по-прежнему требуется большое магнитное поле выше (и ниже) образец, тем самым сводя на нет любые ожидаемые эффекты усиления взаимности. Эта система работает, помещая образец между передним и задним полюсными наконечниками линз объектива, как в обычном ПЭМ, но эти два полюсных наконечника сохраняются в точной зеркальной симметрии относительно плоскости образца между ними. Между тем полярности их возбуждения прямо противоположны, создавая магнитные поля, которые почти идеально компенсируются в плоскости образца. Однако, поскольку они не сокращаются где-либо еще, траектория электрона все еще должна проходить через магнитные поля.

Взаимность также может быть использована для понимания основного различия между ПЭМ и сканирующей просвечивающей электронной микроскопией (STEM), которая в принципе характеризуется переключением положения источника электронов и точки наблюдения. Это фактически то же самое, что реверсирование времени в ПЭМ, так что электроны движутся в противоположном направлении. Следовательно, при соответствующих условиях (в которых действительно применяется взаимность) знание изображений с помощью ПЭМ может быть полезно при получении и интерпретации изображений с помощью STEM.

• Взаимность (электромагнетизм)