Кристаллографическая точечная группа

редактировать

В кристаллографии кристаллографическая точечная группа представляет собой набор операции симметрии, соответствующие одной из точечных групп в трех измерениях, так что каждая операция оставит структуру кристалла неизменной, т.е. атомы того же типа будут размещены в тех же положениях, что и до трансформация. Например, в примитивной кубической кристаллической системе поворот элементарной ячейки на 90 градусов вокруг оси, перпендикулярной двум параллельным граням куба, пересекающимся в его центре, является операцией симметрии, которая проецирует каждый атом к местоположению одного из его соседей, не затрагивая общую структуру кристалла.

При классификации кристаллов каждая точечная группа определяет так называемый (геометрический) класс кристаллов . Существует бесконечно много трехмерных точечных групп. Однако кристаллографическое ограничение на общие точечные группы приводит к тому, что существует только 32 кристаллографические точечные группы. Эти 32 точечные группы являются одними и теми же 32 типами морфологических (внешних) кристаллических симметрий, выведенными в 1830 г. Иоганном Фридрихом Христианом Гесселем из рассмотрения наблюдаемых кристаллических форм.

Точечная группа кристалла определяет, среди прочего, изменение физических свойств по направлению, обусловленное его структурой, включая оптические свойства, такие как двойное лучепреломление или электрооптические функции, такие как эффект Поккельса. Для периодического кристалла (в отличие от квазикристалла ) группа должна поддерживать трехмерную трансляционную симметрию, которая определяет кристалличность.

Содержание
  • 1 Обозначение
    • 1.1 Обозначение Шенфлиса
    • 1.2 Обозначение Германа – Могена
    • 1.3 Соответствие между различными обозначениями
  • 2 Изоморфизмы
  • 3 Получение кристаллографической точечной группы (кристаллический класс) из пространственной группы
  • 4 См. также
  • 5 Ссылки
  • 6 Внешние ссылки
Обозначение

Группы точек названы в соответствии с симметрией их компонентов. Кристаллографы, минералоги и физики.

используют несколько стандартных обозначений. Соответствие двух систем ниже см. В системе кристаллов.

нотации Шенфлиса

В системе обозначений Schoenflies точечные группы обозначаются буквенным символом с нижним индексом. Символы, используемые в кристаллографии, означают следующее:

  • Cn(для циклический ) указывает, что группа имеет n-кратную ось вращения. C nh представляет собой C n с добавлением плоскости зеркала (отражения), перпендикулярной оси вращения. C nv - это C n с добавлением n зеркальных плоскостей, параллельных оси вращения.
  • S2n(для Spiegel, немецкий язык для mirror ) означает группа только с 2n-кратной осью вращения-отражения.
  • Dn(для двугранной или двусторонней) указывает, что группа имеет n-кратную ось вращения плюс n двумерных осей, перпендикулярных этой ось. D nh имеет, кроме того, плоскость зеркала, перпендикулярную оси n-го порядка. D nd имеет, в дополнение к элементам D n, зеркальные плоскости, параллельные оси n-кратности.
  • Буква T (для тетраэдр ) указывает, что группа имеет симметрию тетраэдра. T d включает неправильные операции поворота, T исключает неправильные операции поворота, а T h - это T с добавлением инверсии.
  • буква O (для октаэдра ) указывает, что группа имеет симметрию октаэдра (или куба ) с (O h) или без (O) несоответствующей операции (те, которые изменяют ручку).

Из-за теоремы кристаллографического ограничения n = 1, 2, 3, 4 или 6 в 2- или 3-мерном пространстве.

n12346
CnC1C2C3C4C6
CnvC1v=C1hC2vC3vC4vC6v
CnhC1hC2hC3hC4hC6h
DnD1=C2D2D3D4D6
DnhD1h=C2vD2hD3hD4hD6h
DndD1d=C2hD2dD3dD4dD6d
S2nS2S4S6S8S12

D4dи D 6d фактически запрещены, потому что они содержат неправильные вращения с n = 8 и 12 соответственно. 27 точечных групп в таблице плюс T, T d, T h, O и O h составляют 32 кристаллографические точечные группы.

Нотация Германа – Могена

Сокращенная форма нотации Германа – Могена, обычно используемая для пространственных групп, также служит для описания кристаллографических точечных групп. Имена групп:

КлассИмена группОтношения группа-подгруппа (3D).png
Кубическая 23m343243mm3m
Гексагональная 66⁄m6226мм6м26 / ммм
Тригональный 33323m3m
Тетрагональный 44⁄m4224мм42м4 / ммм
Орторомбическая 222мм2ммм
Моноклиническая 2⁄mm
Триклиническая 11Отношения подгрупп 32 кристаллографических точечных групп. (строки представляют порядки групп из снизу вверх как: 1,2,3,4,6,8,12,16,24 и 48.)

Соответствие между разными обозначениями

Кристаллическая система Герман-Моген ШубниковSchoenflies Orbifold Coxeter Order
(полный)(короткий)
Triclinic 111 {\ displaystyle 1 \}1 \ C111[]1
112 ~ {\ displaystyle {\ tilde {2}}}\ tilde {2} Ci= S 2×[2,2]2
Моноклинический 222 {\ displaystyle 2 \}2 \ C222[2]2
mmm {\ displaystyle m \}m \ Cs= C 1h*[]2
2 m {\ displaystyle {\ tfrac {2} {m}}}\ tfrac {2} {m} 2 / m2: m {\ Displaystyle 2: м \}2: m \ C2h2*[2,2 ]4
Орторомбический 2222222: 2 {\ Displaystyl е 2: 2 \}2: 2 \ D2= V222[2,2]4
мм2мм22 ⋅ м {\ displaystyle 2 \ cdot m \}2 \ cdot m \ C2v*22[2]4
2 м 2 м 2 м {\ displaystyle {\ tfrac {2} {m}} {\ tfrac {2} {m} } {\ tfrac {2} {m}}}\tfrac{2}{m}\tfrac{2}{m}\tfrac{2}{m}мммm ⋅ 2: m {\ displaystyle m \ cdot 2: m \}m \ cdot 2: m \ D2h= V h* 222[2,2]8
Тетрагональный 444 {\ displaystyle 4 \}4 \ C444[4]4
444 ~ {\ displaystyle {\ tilde {4}}}\tilde{4}S4[2,4]4
4 м {\ displaystyle {\ tfrac {4} {m}}}\tfrac{4}{m}4 / м4: m {\ displaystyle 4: m \}4: m \ C4h4*[2,4]8
4224224: 2 {\ displaystyle 4: 2 \}4: 2 \ D4422[4,2 совершено8
4 мм4 мм4 ⋅ м {\ displaystyle 4 \ cdot m \}4 \ cdot m \ C4v*44[4 impression8
42m42m4 ~ ⋅ m {\ displaystyle {\ тильда {4}} \ cdot m}\ tilde {4} \ cdot m D2d= V d2 * 2[2,4]8
4 m 2 m 2 m {\ displaystyle {\ tfrac {4} { m}} {\ tfrac {2} {m}} {\ tfrac {2} {m}}}\tfrac{4}{m}\tfrac{2}{m}\tfrac{2}{m}4 / мммm ⋅ 4: m {\ displaystyle m \ cdot 4: m \}m \ cdot 4: m \ D4h* 422[4,2]16
Тригональный 333 {\ displaystyle 3 \}3 \ C333[3]3
336 ~ {\ displaystyle {\ tilde {6}}}\ tilde {6} C3i= S 6[2,6]6
32323: 2 {\ displaystyle 3: 2 \}3: 2 \ D3322[3,2]6
3m3m3 ⋅ m {\ displaystyle 3 \ cdot m \}3 \ cdot m \ C3v*33[3]6
32 м {\ displaystyle {\ tfrac {2} {m}}}\ tfrac {2} {m} 3m6 ~ ⋅ m {\ displaystyle {\ tilde {6 }} \ cdot m}\ tilde {6} \ cdot m D3d2*3[2,6 ]12
Гексагональный 666 {\ displaystyle 6 \}6 \ C666[6]6
663: m {\ displaystyle 3: m \}3: м \ C3h3*[2,3]6
6 m {\ displaystyle {\ tfrac {6} {m}}}\ tfrac {6 } {m} 6 / m6: m {\ displaystyle 6: m \}6: m \ C6h6*[2,6 visible12
6226226: 2 {\ displaystyle 6: 2 \ }6: 2 \ D6622[6,2 посетителей12
6мм6мм6 ⋅ м {\ displaystyle 6 \ cdot m \}6 \ cdot m \ C6v* 66[6]12
6m26m2m ⋅ 3: m {\ displaystyle m \ cdot 3: m \}m \ cdot 3: m \ D3h*322[3,2 ]12
6 м 2 м 2 м {\ displaystyle {\ tfrac {6} {m}} {\ tfrac {2 } {m}} {\ tfrac {2} {m}}}\tfrac{6}{m}\tfrac{2}{m}\tfrac{2}{m}6 / мммm ⋅ 6: m {\ displaystyle m \ cdot 6: m \}m \ cdot 6: m \ D6h* 622[6,2]24
Кубический 23233/2 {\ displaystyle 3/2 \}3/2 \ T332[3,3]12
2 м {\ display стиль {\ tfrac {2} {m}}}\ tfrac {2} {m} 3m36 ~ / 2 {\ displaystyle {\ tilde {6}} / 2}\tilde{6}/2Th3*2[3,4]24
4324323/4 {\ displaystyle 3/4 \}3/4 \ O432[4,3]24
43m43m3/4 ~ {\ displaystyle 3 / {\ tilde {4}}}3 / \ tilde {4} Td*332[3,3]24
4 м {\ displaystyle {\ tfrac {4} {m}}}\tfrac{4}{m}32 м {\ displaystyle {\ tfrac {2} {m}}}\ tfrac {2} {m} м3 м6 ~ / 4 {\ displaystyle {\ tilde {6}} / 4}\tilde{6}/4Oh*432[4,3 impression48
Изоморфизмы

Многие кристаллографические точечные группы имеют одинаковую внутреннюю структуру. Например, точечные группы 1, 2 и m содержат различные операции геометрической симметрии (инверсия, поворот и отражение, соответственно), но все они имеют структуру циклической группы Z2. Все изоморфные группы имеют один и тот же порядок, но не все группы одного и того же порядка изоморфны. Изоморфные точечные группы показаны в следующей таблице:

Герман-Моген Шенфлис Порядок Абстрактная группа
1C11Z1
1Ci= S 22Z2
2C22
mCs= C 1h2
3C33Z3
4C44Z4
4S44
2 / mC2h4D2 = Z 2 × Z 2
222D2= V4
мм2C2v4
3C3i= S 66Z6
6C66
6C3h6
32D36D3
3mC3v6
мммD2h= V h8D2× Z 2
4 / мC4h8Z4× Z 2
422D48D4
4 ммC4v8
42 мD2d= V d8
6 / мC6h12Z6× Z 2
23T12A4
3mD3d12D6
622D612
6 ммC6v12
6м2D3h12
4 / мммD4h16D4× Z 2
6 / мммD6h24D6× Z 2
m3Th24A4× Z 2
432O24S4
43мTd24
м3мOh48S4× Z 2

В этой таблице используются циклические группы (Z1, Z 2, Z 3, Z 4, Z 6), диэдральные группы (D2, D 3, D 4, D 6), один из чередующиеся группы (A4) и одна из симметричных групп (S4). Здесь символ «×» указывает на прямое произведение.

Получение кристаллографической точечной группы (кристаллический класс) из пространственной группы
  1. Без типа Браве
  2. Преобразование всех элементов симметрии с трансляционными компонентами в соответствующие элементы симметрии без трансляционной симметрии (плоскости скольжения преобразуются в простые зеркальные плоскости; винтовые оси преобразуются в простые оси вращения)
  3. Оси вращения, оси вращения и зеркальные плоскости остаются неизменными.
См. также
Ссылки
  1. ^«Архивная копия». Архивировано с оригинального 04.07.2013. Проверено 25 ноября 2011 г. CS1 maint: заархивированная копия в виде заголовка (ссылка )
  2. ^Новак, I (1995-07-18). "Molecular isomorphism". European Journal of Physics. IOP Publishing. 16 (4): 151–153. doi : 10.1088 / 0143-0807 / 16/4/001. ISSN 0143-0807.
Внешние ссылки
Викискладе есть средства массовой информации, связанные с точечными группами.
Последняя правка сделана 2021-05-16 10:29:52
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте