Войти
A Кристалл кальцита уложен на миллиметровую бумагу с синими линиями, показывающими двойное лучепреломление 
Флуоресценция в кальците кристалл и двойное лучепреломление, поскольку лазерный луч разделяется надвое при движении направо Двулучепреломление - это оптическое свойство материала, имеющего показатель преломления, который зависит от поляризация и распространение света. Эти оптически анизотропные материалы называются двулучепреломляющими (или двулучепреломляющими ). Двулучепреломление часто определяет как максимальную разницу между показателями преломления материала. Кристаллы с некубической структурой кристаллической структурой часто обладают двойным лучепреломлением, как и пластмассы при механическом напряжении.
Двулучепреломление причиной состояния двойное лучепреломление, посредством которого луч света, падая на материал с двойным лучепреломлением, разделяется поляризацией на двача, идущих по нескольким разным траекториям. Этот эффект был впервые описан датским ученым Расмусом Бартолином в 1669 году, который наблюдал его в кальците, кристалле с одним из самых сильных двулучепреломлений. Только в 19 веке Огюстен-Жан Френель описал это явление в терминах поляризации, понимая свет как волну с компонентами поляризационной поляризации (перпендикулярной направления волнового вектора).
Входящий свет в параллельной (p) поляризации видит другой эффективный индекс преломление, чем свет в перпендикулярной (-ых) поляризации, и, таким образом, преломляется под другим углом. 
Двукратно преломленное изображение, видимое через кристалл кальцита, видимое через вращающийся поляризационный фильтр, иллюстрирующее противоположные состояния поляризации двух изображений. Математическое описание распространения волн в двулучепреломляющей среде представлено ниже. Ниже представлено качественное объяснение явления.
Простейший тип двулучепреломления описывается как одноосное, что означает, что существует одно направление, определяющее оптическую анизотропию, тогда как все направления перпендикулярны ему (или под заданным углом к нему) оптически эквивалентны. Таким образом, вращение материала вокруг этой оси не меняет его оптических свойств. Это особое направление известно как оптическая ось материала. Свет, распространяющаяся линия оптической оси (чья поляризация всегда перпендикулярной оптической оси), регулируется показателем преломления n o (для «обычного») независимо от его настройки поляризации. Для лучей с любым другим направлением распространения существует одна линейная поляризация, которая будет перпендикулярной оптической оси, и луч с такой поляризацией называется обычным лучом и определяется тем же значением показателя преломления n o. Для луча, распространяющегося в том же направлении, но с поляризацией, перпендикулярной поляризации обычного луча, направление поляризации будет частично совпадать с направлением оптической оси, и этот необычный луч будет управляться другим, зависящим от направления показателя преломления. Показатель преломления зависит от поляризации, когда неполяризованный свет входит в одноосный двулучепреломляющий материал, он разделяется на два луча, которые используются в разных направлениях, один из которых имеет поляризацию обычного луча, а другой - поляризацию необычного луча. Обычный луч всегда будет иметь показатель преломления n o, тогда как показатель преломления необычного луча будет находиться между n o и n e, в зависимости от направления луча, как описанным эллипсоидом . Величина разницы определяется двойным лучепреломлением:
Распространение (а также коэффициент отражения ) обычного луча просто описывается n или, как если бы не было задействованного двулучепреломления. Однако необычный луч, как следует из названия, включает отличие от любой волны в изотропном оптическом материале. Его преломление (и отражение) на поверхности можно понять с помощью показателя преломления (значения n o и n e). Однако его поток мощности (заданный вектор Пойнтинга ) не совпадает с направленным волновым движением . Это вызывает дополнительный сдвиг в этом луче, даже когда он запускается при нормальном падении, что обычно наблюдается при использовании кристалла кальцита, как показано выше. Вращение кристалла обычного обычного луча, которое остается фиксированным, одно из двух изображений, изображение необычного луча, остается фиксированным.
Когда свет распространяется вдоль или перпендикулярно оптической оси, такого бокового смещения не происходит. В первом случае обе поляризации перпендикулярны оптической оси и имеют одинаковый эффективный показатель преломления, поэтому такого луча нет. Во втором случае необычный луч распространяется с другой фазовой формой (n e), но по-прежнему имеет поток энергии в направлении волнового вектора . Кристалл с оптической осью в этой ориентации, параллельной оптической поверхности, можно использовать для создания волновой пластины , в которой нет искажения изображения, а есть преднамеренное изменение состояния поляризации падающая волна. Например, четвертьволновая пластинка обычно используется для создания круговой поляризации из линейно поляризованного источника.
Случай так называемых двухосных кристаллов значительно сложнее. Они характеризуются тремя показателями преломления. Для перспективных лучей обе поляризации можно классифицировать как необычные лучи, но с разными эффективными показателями преломления. Однако, это необычное направление потока мощности не идентично волнового вектора в любом случае.
Два показателя преломления могут быть использованы с использованием эллипсоидов показателя для заданных направлений поляризации. Обратите внимание, что для двухосных кристаллов эллипсоид показателя преломления не будет эллипсоидом вращения («сфероид »), но описывается тремя неравными показателями преломления n α, n β и n γ. Таким образом, не существует оси, вокруг которой вращение задается оптическими свойствами (как в случае одноосных кристаллов, эллипсоид показателей сфероидом).
Несмотря на отсутствие оси симметрии, существуют две оптические оси или бинормали, которые определяют как направления, вдоль свет может распространяться без двойного лучепреломления, то есть направления, вдоль длина волны не зависит от поляризации. По этой причине двулучепреломляющие материалы с различными показателями преломления называются двухосными. Кроме того, есть две оси, известные как оси оптических лучей или бирадиалы, вдоль которых групповая скорость света не зависит от поляризации.
Когда произвольный луч света падает на поверхность двулучепреломляющего материала, поляризации, соответствующих обычным и необычным лучам, обычно имеют несколько разных путей. Неполяризованный свет имеет некоторую энергию в любых двух ортогональных поляризациях, и поляризованный свет (даже за особые случаи) будет иметь некоторую энергию в каждой из этих поляризаций. Согласно закону Снеллиуса, угол преломления будет определяться эффективным показателем преломления, который различается между этими двумя поляризациями. Это ясно видно, например, в призме Волластона, которая предназначена для разделения падающего света на две линейные поляризации с использованием материала с двойным лучепреломлением, как кальцит.
. Различные углы преломления для двух Компоненты поляризации показаны на рисунке вверху страницы, причем оптическая ось расположена вдоль поверхности (и перпендикулярной плоскости падения ), так что угол преломления для p-поляризации различен («обыкновенный луч» в данном случае, имеющий свой электрический вектор, перпендикулярный оптической оси) и s-поляризацию («необычный луч» с компонентом поляризации вдоль оптической оси). Кроме того, отчетливая форма двойного лучепреломления возникает в тех случаях, когда оптическая ось не проходит вдоль преломляющей поверхности (и не точно перпендикулярна ей); в этом случае di электрическая поляризация двулучепреломляющего материала не находится точно в направлении электрическое поле волны для необычного луча. Направление потока мощности (заданное вектором Пойнтинга ) для этого находится под конечным углом от направления волнового вектора , что приводит к дополнительному разделению между этими лучами. Таким образом, даже в случае нормального падения, когда угол преломления равен нулю (согласно закону Снеллиуса, независимо от эффективного показателя преломления), энергия необыкновенного луча может распространяться под углом. Это обычно наблюдается при использовании куска кальцита, относительного его оптической оси, помещенного над бумагой с надписью, как на двух фотографиях выше.
Сравнение положительного и отрицательного двулучепреломления. При отрицательном двулучепреломлении (1) поляризация, параллельная (p) оптической оси A, является быстрым лучом (F), а перпендикулярная поляризация (s) - медленным лучом (S). В случае положительного двулучепреломления (2) все наоборот. Большая часть работ, связанная с поляризацией, предшествовала пониманию света как поперечной электромагнитной волны, и это повлияло на некоторые используемые термины. Изотропные материалы обладают симметрией во всех направлений, а показатель преломления одинаков для любого направления поляризации. Анизотропный материал называется «двулучепреломляющим», потому что он обычно преломляет один входящий луч в двух направлениях, которые, как мы теперь понимаем, соответствуют двум разным поляризациям. Это верно как для одноосного, так и для двухосного материала.
В одноосном материале один луч соответствует нормальному режиму преломления (обычному показателю преломления), поэтому входящий луч при нормальном падении остается нормальным к преломляющей поверхности. Однако, как объяснялось выше, другая форма отклонения от нормального падения. Таким образом, он стал известен как необычный луч. Термины «обычный» и «необычный» по-прежнему применяются к компонентам поляризации, перпендикулярным и не перпендикулярным оптическим компонентам соответственно, даже в тех случаях, когда отсутствует двойное лучепреломление.
Материал называется одноосным, если его оптические свойства имеют единственное направление, которое мы называем оптической осью. Это также ось симметрии эллипсоида индекс (данный в случае сфероида). Эллипсоид показателей по-прежнему может быть описан в соответствии с показателями преломления n α, n β и n γ по трем координатным осям, однако в данном случае две равны. Итак, если n α = n β, соответствующий осям x и y, то необычный индекс равенства n γ, соответствующий оси z, который также называется оптической ось в этом случае.
Однако материалы, у которых все три показателя преломления различаются, называются двухосными, и происхождение этого термина более сложно и часто неправильно понимается. В одноосном кристалле разные поляризационные компоненты луча будут двигаться с разными фазовыми скоростями, за исключением лучей в направлении, которое мы называем оптической осью. Таким образом, оптическая ось обладает особым свойством, заключающимся в том, что лучи в этом направлении не проявляют двойного лучепреломления, при этом все поляризации в таком луче имеют один и тот же показатель преломления. Совсем другое дело, когда все три основных показателя преломления различны; тогда входящий луч в любом из основных направлений по-прежнему будет иметь два показателя преломления. Но оказывается, что есть два особых направления (под углом всем трем осям), где показатели преломления для разных поляризаций снова равны. По этой причине эти кристаллы были обозначены как двухосные, причем две «оси» в данном случае к направлениям лучей, в которых при распространении луча не наблюдается двойногочепреломления.
В двулучепреломляющем материале волна состоит из двух компонентов поляризации, которые обычно эффективными показателями преломления. Так называемый медленный луч - это называемый компонент, для которого материал имеет более высокий эффективный показатель преломления (более медленную фазовую скорость), быстрый луч - это тот, у которого более низкий эффективный показатель преломления. Когда луч падает на такой материал из воздуха (или любой материал с более низким показателем преломления), медленный луч, таким образом, преломляется больше к нормали, чем быстрее луч. На рисунке вверху страницы видно, что преломленный луч с s-поляризацией (с его электрическими колебаниями в направлении оптической оси таким образом, необычный луч) в данном случае является медленным лучом.
Используя тонкую пластину из этого материала при нормальном падении, можно реализовать волновую пластину. В этом случае отсутствует пространственное разделение между поляризацией, однако фаза волны в параллельной поляризации (медленный луч) будет запаздывать по отношению к перпендикулярной поляризации. Таким образом, эти пластины известны как медленная ось и быстрая ось волной.
Одноосное двулучепреломление классифицируется как положительное, если необычный показатель преломления n e больше, чем обычный показатель n o. Отриц двулучепреломление означает, что Δn = n e - n o меньше нуля. Другими словами, поляризация быстрой (или медленной) волны перпендикулярной оптической оси, когда двулучепреломление кристалла положительно (или отрицательно, соответственно). В случае двухосных кристаллов все три главные оси имеют показатели преломления, поэтому это обозначение не используется. Для любого заданного направления луча можно точно так же обозначить быстрые и медленные поляризации лучей.
Хотя двулучепреломление обычно достигается с использованием анизотропного кристалла, оно может быть результатом оптически изотропного материалов, обработанных путем:
Поляризация света, показанная на столовых приборах из прозрачного полистирола между скрещенными поляризаторами Двулучепреломляющие материалы лучше всего охарактеризованы: кристаллы. Благодаря их специфическим кристаллическим структурам их показатели преломления хорошо определены. В зависимости от симметрии кристаллической структуры (определяемой одной из 32 возможных точечных кристаллографических групп ) кристаллы в этой группе могут быть изотропными (не двулучепреломляющими), иметь одноосную симметрию или не иметь ни одной из них. в этом случае это двухосный кристалл. Кристаллические структуры, допускающие одноосное и двухосное двулучепреломление, указаны в двух таблицах ниже, в которых перечислены два или три основных показателя преломления (при длине волны 590 нм) некоторых более известных кристаллов.
Многие пластмассы обладают двойным лучепреломлением, потому что их молекулы «заморожены» в растянутой форме, когда пластик формуют или экструдируют. Например, обычный целлофан обладает двойным лучепреломлением. Поляризаторы обычно используются для определения напряжения в пластмассах, таких как полистирол и поликарбонат.
Хлопковое волокно обладает двойным лучепреломлением из-за высокого содержания целлюлозного материала во вторичной обмотке волокна. клеточная стенка.
Микроскопия в поляризованном свете широко используется в биологических тканях, поскольку многие биологические материалы обладают двойным лучепреломлением. Коллаген, обнаруженный в хрящах, сухожилиях, костях, роговице и некоторых других областях тела, обладает двойным лучепреломлением и обычно исследуется с помощью микроскопии в поляризованном свете. Некоторые белки также обладают двойным лучепреломлением, проявляя двойное лучепреломление.
Неизбежные производственные дефекты в оптическом волокне приводят к двойному лучепреломлению, которое является одной из причин уширения импульса в волокне -оптическая связь. Такие дефекты могут быть геометрическими (отсутствие круговой симметрии) из-за напряжения, приложенного к оптическому волокну, и / или из-за изгиба волокна. Двулучепреломление намеренно вводится (например, путем создания эллиптического поперечного сечения) для создания оптических волокон с сохранением поляризации.
В дополнение к анизотропии электрической поляризуемости (электрическая восприимчивость ), анизотропия магнитной поляризуемости (магнитная проницаемость ) также может вызывать двойное лучепреломление. Однако на оптических частотах значения магнитной проницаемости для природных материалов существенно не отличаются от µ0, поэтому на практике это не является источником оптического двойного лучепреломления.
|
|
Двулучепреломление и другие поляризационные оптические эффекты (например, оптическое вращение и линейный или круговой дихроизм ) можно измерить путем измерения изменений поляризации света, проходящего через материал. Эти измерения как известны поляриметрия. Поляризованные световые микроскопы, которые содержат два поляризатора, расположенные под углом 90 ° друг к другу по обе стороны от образца, используются для визуализации двойногочепреломления. Добавление четвертьволновых пластинок позволяет исследовать свет с круговой поляризацией. Измерения двойного лучепреломления были выполнены с помощью систем с фазовой модуляцией для изучения поведения переходного потока текучих сред.
Двулучепреломление липидных бислоев можно измерить с помощью интерферометрии с двойной поляризацией. Это представляет собой представление о порядке внутри этих жидких слоев крови и о том, как нарушается этот порядок с другими биомолекулами.
Отражающий дисплей с витым нематиком на жидких кристаллах. Свет, отраженная подсветка (6) (или исходящий от заднейки ), имеет горизонтальную поляризацию (5) и проходит через жидкокристаллический модулятор (3), расположенный между прозрачными слоями (2, 4), содержащими электроды.. Горизонтально поляризованный свет блокируется вертикально ориентированным поляризатором (1), за исключением случаев, когда его поляризация была повернута жидким кристаллом (3). Двулучепреломление используется во многих оптических устройствах. Жидкокристаллические дисплеи, наиболее распространенный вид плоских дисплеи, заставляют их пиксели становиться светлее или темнее из-за вращения поляризации (круговое двойное лучепреломление) линейно поляризованного света при просмотре через листовой поляризатор на поверхности экрана. Точно так же модуляторы света модулируют интенсивность света посредством электрически индуцированного двулучепреломления поляризованного света, за которым следует поляризатор. Фильтр Лио - это специализированный узкополосный спектральный фильтр, использующий зависимость двулучепреломления от длины волны. Волновые пластины представляют собой тонкие двулучепреломляющие пластины, широко используемые в определенном оптическом оборудовании для изменения состояния поляризации проходящего через света.
Двулучепреломление также играет важную роль в генерации второй гармоники и других нелинейных оптических компонентов, поскольку кристаллы, используемые для этой цели, почти всегда обладают двойным лучепреломлением. Регулирующий угол падения, можно настроить эффективный показатель преломления необычного луча для достижения согласования фаз, которое требуется для эффективной работы этих устройств.
Двулучепреломление используется в медицинской диагностике. Одним из мощных аксессуаров, используемых с оптическими микроскопами, является пара скрещенных поляризационных фильтров. Свет от источника поляризуется в x после прохождения через первый поляризатор, но перед этим образцом поляризатор (так называемый анализатор), ориентированный в направлении y. Следовательно, анализатор не будет принимать свет от источника, и поле будет темным. Однако области образца, обладающие двойным лучепреломлением, обычно будут связывать часть х-поляризованного света с у-поляризацией; эти области яркими на темном фоне. Модификации этого основного принципа позволяют различать положительное и отрицательное двулучепреломление.
Кристаллы уратов, обладающие большим показателем преломления параллелен длинной оси кристалла, рассматриваются как аддитивный (синий цвет задержки), когда они выровнены параллеленному медленному направлению красного компенсатора. Кристаллы, ориентированные быстрым лучом потока медленного вида компенсатора, выглядят как желтые цвета замедления и таким образом, являются субтрактивными. Например, игольчатая аспирация жидкости из подагрического сустава покажет отрицательное двулучепреломление мононатрия. уратные кристаллы. Кристаллы пирофосфата кальция, напротив, демонстрируют слабое положительное двулучепреломление. Кристаллы уратов выглядят желтыми, а кристаллы пирофосфата кальция выглядят синими, если их длинные оси выровнены по оси красного компенсаторного фильтра или если к образцу для сравнения добавлен кристалл с известным двулучепреломлением.
Двулучепреломление может наблюдаться в амилоидных бляшках, таких как обнаруженные в мозге пациентов с болезнью Альцгеймера, при окрашивании красителем, таким как Конго Красный. Модифицированные белки, такие как легкие цепи иммуноглобулина , аномально накапливаются между клетками, образуя фибриллы. Множественные складки этих волокон выстраиваются в линию и принимают форму бета-гофрированного листа . Конго красный краситель вставляется между складками и при наблюдении в поляризованном свете вызывает двойноечепреломление.
В офтальмологии бинокулярный скрининг на двойное лучепреломление сетчатки Генле (аксоны фоторецепторов, идущие радиально наружу от ямки) обеспечивает надежное обнаружение косоглазия и, возможно, также анизометропической амблиопии. Кроме того, сканирующая лазерная поляриметрия использует двулучепреломление волоконного слоя зрительного нерва для определения количественного определения его толщины, что используется при оценке и мониторинге глаукомы.
двулучепреломления. Характеристики в головках сперматозоидов позволяют выбирать сперматозоиды для внутрицитоплазматической инъекции сперматозоидов. Аналогичным образом, визуализация зоны использует двулучепреломление на ооцитах, чтобы выбрать те, которые имеют самые высокие шансы на успешную беременность. Двойное лучепреломление частиц, взятых при биопсии из легочных узлов, указывает на силикоз.
Дерматологи используютматоскопы для осмотра кожных повреждений. Дермоскопы используют поляризованный свет, позволяя пользователю видеть структурные структуры, соответствующие дермальному коллагену в коже. Эти могут формироваться как блестящие белые линии или формы розеток и видны только при поляризованной дерматоскопии.
Цветной узор пластиковой коробки с «замороженным» механическим напряжением помещенный между двумя скрещенными поляризаторами Изотропные твердые тела не проявляют двойного лучепреломления. Однако когда они подвергаются механическому напряжению, возникает двойное лучепреломление. Напряжение может быть приложено извне или «заморожено» после охлаждения двулучепреломляющего пластикового изделия после его изготовления с использованием литья под давлением. Когда такой образец помещается между двумя скрещенными поляризаторами, можно наблюдать цветные узоры, потому что поляризация светового луча поворачивается после прохождения через двулучепреломляющий материал, а величина вращения зависит от длины волны. Экспериментальный метод под названием фотоупругость, используется для анализа распределения напряжений в твердых телах, основан на том же принципе. Недавно было проведено исследование использования индуцированного напряженного состояния двулучепреломления в стеклянной пластине для создания оптического вихря и полных пучков Пуанкаре (оптических пучков, которые имеют все возможные состояния поляризации по поперечному сечению).
Двулучепреломление рутил, наблюдаемое в различных поляризациях с использованием вращающегося поляризатора (или анализатора) Двулучепреломление наблюдаемых взотропных эластичных материалов. В этих материалах две поляризации разделяются в соответствии с их эффективными показателями преломления, которые также чувствительны к нагрузкам.
Изучение двулучепреломления в поперечных волнах, распространяющихся через твердую Землю (жидкое ядро Земли не поддерживает поперечные волны), широко используется в сейсмологии..
Двулучепреломление широко в минералогии для идентификации горных пород, минералов и драгоценных камней.
Поверхность разрешенных векторов k для фиксированной частоты для двухосного кристалла (см. уравнение 7 ).В изотропной среде (включая свободное пространство) так называемое электрическое смещение (D) прямо пропорционально электрическому полюсу (E ) согласно D = ɛ E, где диэлектрическая проницаемость ε материала просто скаляром (и равным n ε0, где n - показатель преломления ). Однако в анизотропном материале, проявляющем двойное лучепреломление, соотношение между D и E теперь должно быть описано с помощью уравнений тензора :
 | (1) |
где ε теперь является тензором диэлектрической проницаемости 3 × 3. Мы предполагаем линейность и отсутствие магнитной проницаемости в среде: μ = μ0. Электрическое поле плоской волны угловой частоты ω можно записать в общем виде:
 | (2) |
где r - вектор положения, t - время, а E0- вектор, описывающий электрическое поле при r = 0, t = 0. Затем мы найдем возможные волновые изображения k. Комбинируя уравнения Максвелла для ∇ × E и ∇ × H, мы можем исключить H = 1 / μ 0B, чтобы получить :
 | (3a) |
При отсутствии зарядов уравнение Максвелла для расходимости D исчезает:
 | (3b) |
Мы можем применить векторную идентичность ∇ × (∇ × A ) = ∇ (∇ ⋅ A ) - ∇ A слева от ур. 3a, и использовать пространственную зависимость, в которой дифференцирование по x (например) приводит к умножению на ik x, чтобы найти:
 | (3c) |
Правая часть экв. 3a можно выразить через E посредством применения тензора диэлектрической проницаемости ε и отметив, что дифференцирование по времени приводит к умножению на −iω, ур. 3a затем становится:
 | (4a) |
Применение правила дифференциации к ур. 3b находим:
 | (4b) |
Ур. 4b указывает, что D ортогонален направлению волнового вектора k, даже если это больше не верно для E, как было бы быть так в изотропной среде. Ур. 4b не потребуется для дальнейших шагов в следующем выводе.
Нахождение допустимых значений k для заданного ω проще всего выполнить с помощью декартовых координат с осями x, y и z, выбранными в направлениях симметрии. осей кристалла (или просто выбрав z в направлении оптической оси одноосного кристалла), в результате получится диагональная матрица для тензора диэлектрической проницаемости ε:
 | (4c) |
где значения по диагонали представляют собой квадраты показателей преломления для поляризаций по трем главным осям x, y и z. С ε в этой форме и подставив скорость света c, используя c = 1 / μ 0ε0, ур. 4a становится
 | (5a) |
где E x, E y, E z - компоненты E (в любой данной позиции в пространстве и времени) и k x, k y, k z являются компонентами к . Переставив, мы можем записать (и аналогично для компонентов y и z уравнения 4a )
 | (5b) |
 | (5c) |
 | (5d) |
Это представляет собой набор линейных уравнений в E x, E y, E z, поэтому он может иметь нетривиальное решение (то есть одно, отличное от E = 0) до тех пор, пока следующий определитель равен нулю:
 | (6) |
Вычисление определителя eq. 6, и переставляя члены, получаем
 | (7) |
В случае одноосного выбора материала оптическая ось должна быть в направлении z, так что n x = n y = n o и n z = n e, это выражение можно разложить на
 | (8) |
Установка либо факторов в ур. 8 к нулю будет определять вектор эллипсоидальную поверхность в визуыховых k, которые разрешены для данного ω. Первый множитель, равный нулю, указать сферу; это решение для так называемых обычных лучей, в которых эффективный показатель преломления равен n o независимо от направления k . Второй определить сфероид , симметричный относительно оси z. Это решение соответствует так называемым необычным лучам, обеспечивающим эффективный показатель преломления между n o и n e, в зависимости от направления k . Следовательно, для любого произвольного направления распространения (кроме направления оптической оси) допускаются два различных волновых вектора k, соответствующих поляризациям обыкновенного и необычного лучей.
Для двухосного материала можно описать подобное, но более сложное состояние двух волн; геометрическое место разрешенных векторов k (поверхность волнового движения) является двулистной поверхностью 4-й степени, так что в данном направлении обычно есть два разрешенных вектора k (и их противоположности). При осмотре видно, что экв. 6 обычно удовлетворяется для двух положительных значений ω. Или для заданной оптической частоты ω и направления, нормального к фронтам k/|k|, это удовлетворяется для двух волновых чисел (или постоянных распространения) | k | (и, следовательно, эффективные показатели преломления), соответствующие распространению двух линейных поляризаций в этом направлении.
Когда эти две постоянные распространения равны, тогда эффективный показатель преломления не зависит от поляризации, и, следовательно, нет этого лучепреломления, с которым сталкивается волна, распространяющаяся в конкретном направлении. Для одноосного кристалла это оптическая ось, направление ± z согласно приведенной выше конструкции. Но когда все три показателя преломления (или диэлектрической проницаемости), n x, n y и n z различны, можно показать, что существует ровно два таких направления касания двух листов поверхности волнового вектора; эти направления совсем не очевидны и не лежат ни на одной из трех главных осей (x, y, z согласно вышеуказанному соглашению). Исторически это объясняет использование термина «двуосный» для таких кристаллов, поскольку существование ровно двух таких особых направлений (считающихся «осями») было обнаружено задолго до того, как поляризация и двулучепреломление стали понятны физически. Однако эти два особых направления обычно не представляют особого интереса; Двухосные кристаллы скорее характеризуются тремя показателями преломления, соответствующими трем осям симметрии.
Общее состояние поляризации, запущенной в среду, всегда можно разложить на две волны, по одной в каждой из этих двух поляризаций, которые затем будут распространяться с разными волновыми числами | k |. Применение разной фазы распространения к этим двум волнам на заданном расстоянии распространения приведет в целом к другому состоянию чистой поляризации в этой точке; это принцип, например, волновой пластины . Однако с волновой пластиной между двумя лучами нет пространственного смещения, поскольку их векторы k все еще находятся в одном направлении. Это верно, когда каждая из двух поляризаций либо перпендикулярна оптической оси (обычный луч), либо параллельна ей (необыкновенный луч).
В более общем случае разница не только в величине, но и в направлении двух лучей. Например, фотография сквозь кристалл кальцита (вверху страницы) показывает смещенное изображение в двух поляризациях; это происходит из-за того, что оптическая ось не параллельна и не перпендикулярна поверхности кристалла. И даже когда оптическая ось параллельна поверхности, это будет происходить для волн, выпущенных при ненормальном падении (как показано на пояснительном рисунке). В этом случае два вектора k могут быть найдены путем решения ур. 6, ограниченный граничным условием, которое требует, чтобы компоненты векторов k двух прошедших волн и вектора k падающей волны, проецируемые на поверхность интерфейса должна быть идентична. Для одноосного кристалла будет обнаружено, что не существует пространственного сдвига для обычного луча (отсюда и его название), который будет преломляться, как если бы материал не был двулучепреломляющим, с показателем, таким же, как две оси, которые не являются оптической осью.. Для двухосного кристалла ни один луч не считается «обычным» и, как правило, не преломляется в соответствии с показателем преломления, равным одной из главных осей.
 | Викискладе есть материалы, связанные с двулучепреломлением. |
