Войти
В геометрии, Нотация Германа – Могена используется для представления элементов симметрии в точечных группах, группах плоскостей и пространственных группах.. Он назван в честь немецкого кристаллографа Карла Германа (который представил его в 1928 году) и французского минералога Шарля-Виктора Могена (который модифицировал его в 1931 году). Эту нотацию иногда называют международной нотацией, потому что она была принята в качестве стандарта Международными таблицами кристаллографии с момента их первого издания в 1935 году.
Нотация Германа – Могена по сравнению с Обозначение Шенфлиса предпочтительнее в кристаллографии, потому что его можно легко использовать для включения элементов трансляционной симметрии, и оно определяет направления осей симметрии.
Оси вращения обозначены числом n - 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8... (угол поворота φ = 360 ° / n). Для неправильных вращений символы Германа – Могена показывают оси вращения, в отличие от обозначений Шенфлиса и Шубникова, которые показывают оси вращения-отражения. Оси ротоинверсии представлены соответствующим числом с макроном, n - 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,.... 2 эквивалентно плоскости зеркала и обычно обозначается как m. Направление плоскости зеркала определяется как направление перпендикуляра к ней (направление оси 2).
Символы Германа – Могена показывают неэквивалентные оси и плоскости симметрично. Направление элемента симметрии соответствует его положению в символе Германа – Могена. Если ось вращения n и плоскость зеркала m имеют одинаковое направление (т.е. плоскость перпендикулярна оси n), то они обозначаются как дробь n / m или n / m.
Если две или более осей имеют одинаковое направление, отображается ось с более высокой симметрией. Более высокая симметрия означает, что ось образует узор с большим количеством точек. Например, оси вращения 3, 4, 5, 6, 7, 8 генерируют 3-, 4-, 5-, 6-, 7-, 8-точечные шаблоны соответственно. Неправильное вращение оси 3, 4, 5, 6, 7, 8 генерируют 6-, 4-, 10-, 6-, 14-, 8-точечные шаблоны соответственно. Если ось вращения и ось вращения создают одинаковое количество точек, следует выбрать ось вращения. Например, комбинация 3 / m эквивалентна 6. Поскольку 6 генерирует 6 точек, а 3 генерирует только 3, следует записать 6 вместо 3 / m (не 6 / m, потому что 6 уже содержит зеркальную плоскость m). Аналогично, если присутствуют и 3, и 3 оси, следует записать 3. Однако мы пишем 4 / m, а не 4 / m, потому что и 4, и 4 генерируют четыре точки. В случае комбинации 6 / м, где присутствуют 2, 3, 6, 3 и 6 оси, оси 3, 6 и 6 все генерируют 6-точечные шаблоны, но следует использовать последний, потому что это вращение ось - символ будет 6 / м.
Наконец, символ Германа – Могена зависит от типа группы .
Эти группы могут содержать только двукратные оси, зеркальные плоскости и / или центр инверсии. Это точечные кристаллографические группы 1 и 1 (триклинная кристаллическая система ), 2, m и 2 / m (моноклинная ) и 222, 2 / м2 / м2 / м и мм2 (орторомбический ). (Краткая форма 2 / м2 / м2 / м - ммм.) Если символ содержит три позиции, то они обозначают элементы симметрии в направлениях x, y, z соответственно.
Это кристаллографические группы 3, 32, 3m, 3 и 32 / m (тригональная кристаллическая система ), 4, 422, 4 мм, 4, 42 м, 4 / м и 4 / м2 / м2 / м (четырехугольный ), и 6, 622, 6 мм, 6, 6 м2, 6 / м и 6 / м2 / м2 / м ( шестиугольник ). Аналогично могут быть построены символы некристаллографических групп (с осями порядка 5, 7, 8, 9...). Эти группы можно расположить в следующей таблице
| Schoenflies | H – M символ | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | ... | ∞ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cn | n | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | ... | ∞ |
| Cnv | nm | 3m | 5m | 7m | 9m | 11m | ∞m | ||||||
| nmm | 4mm | 6мм | 8мм | 10мм | 12мм | ||||||||
| S2n | n | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | ∞ / м | ||||||
| Sn | 4 | 8 | 12 | ||||||||||
| Cн / 2ч | 6 | 10 | |||||||||||
| Cnh | н / м | 4 / м | 6 / м | 8 / м | 10 / м | 12 / м | |||||||
| Dn | n2 | 32 | 52 | 72 | 92 | (11) 2 | ∞2 | ||||||
| n22 | 422 | 622 | 822 | (10) 22 | (12) 22 | ||||||||
| Dnd | n2/m | 32 / m | 52 / m | 72 / m | 92 / m | (11) 2 / m | ∞ / мм | ||||||
| Dn / 2d | n2m = nm2 | 42m | 82m | (12) 2m | |||||||||
| Dn / 2h | 6m2 | (10) м2 | |||||||||||
| Dnh | н / м2 / м2 / м | 4 / м2 / м2 / м | 6 / м2 / м2 / м | 8 / м2 / м2 / м | 10 / м2 / м2 / m | 12 / m2 / m2 / m |
Можно заметить, что в группах с осями нечетного порядка n и n третья позиция в символе всегда отсутствует, поскольку все n направлений, перпендикулярных оси высшего порядка, симметрично эквивалентны. Например, на изображении треугольника все три зеркальные плоскости (S 0, S 1, S 2) эквивалентны - все они проходят через одну вершина и центр противоположной стороны. Для осей n и n четного порядка имеется n / 2 вторичных направлений и n / 2 третичных направлений. Например, на картинке правильного шестиугольника можно выделить два набора зеркальных плоскостей: три плоскости проходят через две противоположные вершины, а три другие плоскости проходят через центры противоположных сторон. В этом случае любой из двух наборов может быть выбран в качестве второстепенных направлений, остальные наборы будут третичными направлениями. Следовательно, группы 42m, 62m, 82m,... можно записать как 4m2, 6m2, 8m2,.... Для символов групп точек этот порядок обычно не имеет значения; однако это будет важно для символов Германа – Могена соответствующих пространственных групп, где вторичные направления - это направления элементов симметрии вдоль трансляций элементарной ячейки b и c, а третичные направления соответствуют направление между трансляциями элементарной ячейки b и c . Например, символы P6m2 и P62m обозначают две разные пространственные группы. Это также относится к символам пространственных групп с осями 3 и 3 нечетного порядка. Перпендикулярные элементы симметрии могут проходить вдоль перемещений элементарной ячейки b и c или между ними. Пространственные группы P321 и P312 являются примерами первого и второго случаев соответственно.
Символ точечной группы 32 / м может сбивать с толку; соответствующий символ Schoenflies - это D 3d, что означает, что группа состоит из 3-кратной оси, трех перпендикулярных 2-кратных осей и 3 вертикальных диагональных плоскостей, проходящих между этими 2-кратными осей, поэтому кажется, что группу можно обозначить как 32м или 3м2. Однако следует помнить, что, в отличие от обозначений Шенфлиса, направление плоскости в символе Германа – Могена определяется как направление, перпендикулярное плоскости, а в группе D 3d все зеркальные плоскости перпендикулярны 2-кратные оси, поэтому они должны быть написаны в той же позиции, что и 2 / м. Во-вторых, эти комплексы 2 / м образуют центр инверсии, который в сочетании с осью 3-кратного вращения создает ось 3-кратного вращения.
Группы с n = ∞ называются предельными группами или группами Кюри.
Это кристаллографические группы кубической кристаллической системы. : 23, 432, 2 / м3, 43 м и 4 / м32 / м. Все они содержат четыре диагональных оси 3-го порядка. Эти оси расположены как оси 3-го порядка в кубе, направленные по его четырем диагоналям пространства (куб имеет симметрию 4 / m32 / m). Эти символы построены следующим образом:
Все символы Германа – Могена, представленные выше, называются полными символами . Для многих групп их можно упростить, пропустив n-кратные оси вращения в положениях n / m. Это можно сделать, если ось вращения может быть однозначно получена из комбинации элементов симметрии, представленных в символе. Например, короткий символ для 2 / м2 / м2 / м - это ммм, для 4 / м2 / м2 / м - 4 / ммм, а для 4 / м32 / м - м3м. В группах, содержащих одну ось более высокого порядка, эту ось более высокого порядка нельзя пропустить. Например, символы 4 / м2 / м2 / м и 6 / м2 / м2 / м можно упростить до 4 / ммм (или 4 / ммм) и 6 / ммм (или 6 / ммм), но не до ммм; короткое обозначение 32 / м - 3м. Полный и короткий символы для всех 32 точечных кристаллографических групп приведены на странице кристаллографические точечные группы.
Помимо пяти кубических групп, существуют еще две некристаллографические группы икосаэдров (I и I h в нотации Шенфлиса ) и две предельные группы (K и K h в нотации Шенфлиса ). Символы Германа – Могена не предназначались для некристаллографических групп, поэтому их символы довольно условны и основаны на сходстве с символами кристаллографических групп кубической кристаллической системы. Группа I может быть обозначена как 235, 25, 532, 53. Возможные короткие символы для I h - это m35, m5, m5m, 53m. Возможные символы для предельной группы K: ∞∞ или 2∞, а для K h - ∞ / m∞, m∞ или ∞∞m.
Группы плоскостей могут быть изображены с использованием системы Германа – Могена. Первая буква либо строчная p, либо c для обозначения примитивных или центрированных элементарных ячеек. Следующее число - вращательная симметрия, как указано выше. Наличие зеркальных плоскостей обозначено m, а отражения скольжения обозначено g.
Символ пространственной группы определяется сочетанием прописной буквы, описывающей тип решетки , с символами, определяющими элементы симметрии. Элементы симметрии упорядочены так же, как и в символе соответствующей точечной группы (группа, которая получается, если убрать все трансляционные компоненты из пространственной группы). Обозначения для элементов симметрии более разнообразны, потому что, помимо осей вращения и зеркальных плоскостей, пространственная группа может содержать более сложные элементы симметрии - винтовые оси (сочетание вращения и перемещения) и плоскости скольжения (сочетание зеркального отражения и перемещения). В результате одной точечной группе может соответствовать множество различных пространственных групп. Например, выбирая различные типы решетки и плоскости скольжения, можно создать 28 различных пространственных групп из точечной группы mmm, например Pmmm, Pnnn, Pccm, Pban, Cmcm, Ibam, Fmmm, Fddd.
Это типы решеток Браве в трех измерениях:
 |  |  |  |  |
|---|---|---|---|---|
| Примитив, P | По центру, C | По центру, F | По центру, I | Ромбоэдр в шестигранной настройке, R |
Ось винта обозначается числом n, где угол поворота составляет 360 ° / n. Затем степень смещения добавляется в качестве индекса, показывающего, как далеко по оси находится смещение, как часть вектора параллельной решетки. Например, 2 1 - это поворот на 180 ° (двукратный), за которым следует перенос 1/2 вектора решетки. 3 1 - это поворот на 120 ° (тройной), за которым следует сдвиг 1/3 вектора решетки.
Возможные оси винта: 2 1, 3 1, 3 2, 4 1, 4 2, 4 3, 6 1, 6 2, 6 3, 6 4 и 6 5. Имеется 4 энантиоморфных пары осей: (3 1 - 3 2), (4 1 - 4 3), (6 1 - 6 5) и (6 2 - 6 4). Этот энантиоморфизм приводит к 11 парам энантиоморфных пространственных групп, а именно:
| Кристаллическая система | Тетрагональная | Тригональная | Гексагональная | Кубическая | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Первая группа. Номер группы | P41. 76 | P4122. 91 | P41212. 92 | P31. 144 | P3112. 152 | P3121. 151 | P61. 169 | P62. 171 | P6122. 178 | P6222. 180 | P4132. 213 |
| Вторая группа. Номер группы | P43. 78 | P4322. 95 | P43212. 96 | P32. 145 | P3212. 154 | P3221. 153 | P65. 170 | P64. 172 | P6522. 179 | P6422. 181 | P4332. 212 |
Плоскости планирования отмечены буквами a, b, или c в зависимости от того, по какой оси идет скольжение. Есть также n-скольжение, которое представляет собой скольжение по половине диагонали грани, и d-скольжение, которое проходит по четверти диагонали грани или пространственной диагонали элементарной ячейки. Глайд d часто называют плоскостью алмазного скольжения, поскольку он присутствует в структуре алмаза.
