Акустоупругий эффект

редактировать

Акустоупругий эффект определить, как скорость звука (оба продольные и скорости сдвига волны) упругого материала изменяются, если подвергаются воздействию начального статического поля напряжения. Это нелинейный эффект определяющего отношения между механическим напряжением и конечной деформацией в материале непрерывной массы. В классической теории линейной упругости небольшие деактивированные программы упругости могут быть линейной зависимостью между приложенным напряжением и результирующей деформацией. Эта связь широко известна как обобщенный закон Гука. Теория линейной упругости включает в себя упругие постоянные второго порядка (например, $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\ лямбда$ и $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ ) и обеспечивает постоянные продольные скорости и скорости звука сдвига в упругом материале, который не приложенное напряжение. Акустоупругий эффект, с другой стороны, включает расширение порядка нелинейной связи (нелинейная теория упругости) между приложенным напряжением и результирующей деформацией, что продольные и поперечные скорости звука, зависящие от напряженного состояния материала. В пределе ненапряженного материала воспроизводятся скорости звука линейной упругости.

Акустоупругий эффект исследовал еще в 1925 году Бриллюэн. Он обнаружил, что скорость распространения акустических волн будет уменьшаться приложенному гидростатическому давлению. Следствием его теории было то, что звуковые волны перестали распространяться при достаточно большом давлении. Позже было показано, что этот парадоксальный эффект вызван неверными данными о том, что на упругие параметры не влияет давление.

В 1937 году Мурнаган представил математическую теорию, расширяющую линейную теорию упругости, чтобы также включить конечную деформацию из эластичных изотропных материалов. Эта теория включала три упругие постоянные третьего порядка $l {\ displaystyle l}$ $l$ , $m {\ displaystyle m}$ $m$ и $n {\ displaystyle n}$ $n$ . В 1953 году Хьюз и Келли использовали теорию Мурнагана в своей экспериментальной работе для определения численных значений упругих постоянных более высокого порядка эластичных материалов, включая полистирол, железо Armco и пирекс., подвергнутый гидростатическому давлению и одноосному сжатию.

Содержание

1 Нелинейная теория упругости для гиперупругих материалов
- 1.1 Материальное соотношение - гиперупругие материалы (соотношение напряжения и деформации)
- 1.2 Скорость звука
2 Изотропные материалы
- 2.1 Модули упругости для изотропных материалов
  - 2.1.1 Примеры значений для изотропных материалов
3 Акустоупругость при одноосном растяжении изотропных гиперупругих материалов
- 3.1 Расширение скорости звука
4 Методы измерения
- 4.1 Пример методов ультразвукового контроля
- 4.2 Продольные и поляризованные поперечные волны
5 Приложения
- 5.1 Технические материалы - оценка напряжений
- 5.2 Гранулированные и пористые материалы - геофизика
- 5.3 Мягкие ткани - медицинские ultr asonics
6 См. также
7 Ссылки

Теория нелинейной упругости для сверхупругих материалов

Акустоупругий эффект - это эффект конечной деформации нелинейно-упругих материалов. Современное исчерпывающее описание этого можно найти в. В этой книге рассматривается применение нелинейной упругости и анализ механических свойств твердых материалов, способных к большому упругим деформациям. Частный случай акустоупругой теории для сжимаемого изотропного гиперупругого материала, такого как поликристаллическая сталь, представленный и показан в этом тексте на основе теории нелинейной упругости. как представлен Огденом.

Обратите внимание, что настройка в этом тексте, а также в изотермической, и не делается никаких ссылок на .

Материальное соотношение - гиперупругие материалы (Соотношение напряжения и деформации)

Гипеупругий - это частный случай эластичного материала Коши, в котором напряжение в любой точке равно целевому и материал определяется только текущим состоянием деформации по отношению к произвольной эталонной конфигурации (подробнее о деформации см. также страницы Деформация (механика) и Конечная деформация ). Однако работа, совершенная напряжения, может зависеть от траектории деформации. Следовательно, эластичный материал Коши имеет неконсервативную структуру, и напряжение не может быть получено из скалярной функции упругого потенциала . Частный эластичный случай материалов Коши, когда работа, выполняемая напряжением, не зависит от траектории деформации, называется эластичным или гиперупругим материалом Грина. Такие материалы являются консервативными, и напряжение в материале могут быть получены с помощью скалярного упругого потенциала, более известного как функция плотности энергии деформации.

Материальная связь между напряжением и деформацией может быть выражена в различных формах на основе выбранных напряжений и деформаций. Выбор 1-го тензора напряжений Пиолы-Кирхгофа $P {\ displaystyle {\ boldsymbol {P}}}$ ${\ boldsymbol {P}}$ (который является транспонированием из тензор номинальных напряжений $PT = N {\ displaystyle {\ boldsymbol {P}} ^ {T} = {\ boldsymbol {N}}}$ $\ boldsymbol {P} ^ T = \ boldsymbol {N}$ ), определяющее уравнение для сжимаемого гиперэластичного материала можно выразить с помощью деформации Лагранжа Грина ( $E {\ displaystyle {\ boldsymbol {E}}}$ $\ boldsymbol {E}$ ) как:

P = F ⋅ ∂ W ∂ E или P ij знак равно F ik ∂ W ∂ E kj, i, j = 1, 2, 3, {\ displaystyle {\ boldsymbol {P}} = {\ boldsymbol {F}} \ cdot {\ frac {\ partial W} {\ partial {\ boldsymbol {E}}}} \ qquad {\ text {или}} \ qquad P_ {ij} = F_ {ik} ~ {\ frac {\ partial W} {\ partial E_ {kj}}}, \ qquad i, j = 1,2,3 ~,}

\ boldsymbol {P} = \ boldsymbol {F} \ cdot \ frac {\ partial W} {\ partial \ boldsymbol {E}} \ qquad \ text {или} \ qquad P_ {ij} = F_ {ik} ~ \ frac {\ partial W} {\ partial E_ {kj}}, \ qquad i, j = 1,2,3 ~,

где $F {\ displaystyle {\ boldsymbol {F}}}$ ${\ boldsymbol {F}}$ - это тензор градиента деформации, и где во втором выражении используется соглашение о суммировании Эйнштейна для обозначения индекс тензор ов. $W {\ displaystyle W}$ $W$ - это функция плотности энергии деформации для гиперупругого <материала350>, и она была определена на единицу объема, а не на единицу массы , поскольку это позволяет избежать необходимости умножения правой части на массовую плотность $ρ 0 {\ displaystyle \ rho _ {0}}$ $\ rho _ {0}$ эталонной конфигурации.

Предполагаемая, что скалярная функция плотности энергии деформации $W (E) {\ displaystyle W ({\ boldsymbol {E}})}$ $W (\ boldsymbol {E})$ может быть аппроксимирована разложением в ряд Тейлора в текущей деформации $E {\ displaystyle {\ boldsymbol {E}}}$ $\ boldsymbol {E}$ , это может быть выражено (в индексном обозначении) как:

W ≈ C 0 + C ij E ij +1 2! С я Дж К л Е я Дж Е К л + 1 3! C ijklmn E ij E kl E mn + ⋯ {\ displaystyle W \ приблизительно C_ {0} + C_ {ij} E_ {ij} + {\ frac {1} {2!}} C_ {ijkl} E_ {ij} E_ {kl} + {\ frac {1} {3!}} C_ {ijklmn} E_ {ij} E_ {kl} E_ {mn} + \ cdots}

W \ приблизительно C_0 + C_ {ij} E_ {ij} + \ frac {1} {2!} C_ {ijkl} E_ {ij} E_ {kl} + \ frac {1} {3!} C_ {ijklmn} E_ {ij} E_ {kl} E_ { mn} + \ cdots

Наложение ограничений, что функция энергии деформации должна быть равна нулю и иметь минимум, когда материал находится в недеформированном состоянии (т.е. $W (E ij = 0) = 0 {\ displaystyle W (E_ {ij} = 0) = 0}$ $W(E_{ij}=0)=0$ ) Ясно, что в функциях энергии деформации нет постоянного или линейного члена, и поэтому:

W ≈ 1 2! С я Дж К л Е я Дж Е К л + 1 3! С ijklmn E ij E kl E mn + ⋯, {\ displaystyle W \ приблизительно {\ frac {1} {2!}} C_ {ijkl} E_ {ij} E_ {kl} + {\ frac {1} {3! }} C_ {ijklmn} E_ {ij} E_ {kl} E_ {mn} + \ cdots,}

W \ приблизительно \ frac {1} {2!} C_ {ijkl} E_ {ij} E_ {kl} + \ frac {1} {3!} C_ {ijklmn} E_ {ij} E_ {kl} E_ {mn} + \ cdots,

где $C ijkl {\ displaystyle C_ {ijkl}}$ $C_ {ijkl}$ - четвертый- тензор второго порядка модули упругости, а $C ijklmn {\ displaystyle C_ {ijklmn}}$ $C_ {ijklmn}$ - тензор шестого порядка модулей упругости третьего порядка. Симметрия $E ij = E ji {\ displaystyle E_ {ij} = E_ {ji}}$ $E_ {ij} = E_ {ji}$ вместе со скалярной функцией плотности энергии деформации $W {\ displaystyle W}$ $W$ означает, что модули второго порядка $C ijkl {\ displaystyle C_ {ijkl}}$ $C_ {ijkl}$ имеют следующую симметрию:

C ijkl = C jikl = C ijlk, {\ displaystyle C_ {ijkl} = C_ {jikl} = C_ {ijlk},}

C_ {ijkl} = C_ {jikl} = C_ {ijlk},

, которые уменьшают количество независимых упругих постоянных с 81 до 36. Кроме того, степенное разложение означает, что модули второго порядка также имеют большую симметрию

C ijkl = C klij, { \ displaystyle C_ {ijkl} = C_ {klij},}

C_ {ijkl} = C_ { klij},

, которые также уменьшают количество независимых упругих постоянных до 21. Те же аргументы для модулей упругости третьего порядка $C ijklmn {\ displaystyle C_ {ijklmn }}$ $C_ {ijklmn}$ . Эти симметрии также позволяют выражать модули упругости с помощью нотации Фойгта (т.е. $C ijkl = CIJ {\ displaystyle C_ {ijkl} = C_ {IJ}}$ $C_ {ijkl} = C_ {IJ}$ и $C ijklmn = CIJK {\ displaystyle C_ {ijklmn} = C_ {IJK}}$ $C_ {ijklmn} = C_ {IJK}$ ).

Тензор градиента деформации может быть выражен в виде компонентов как

F ij = ∂ ui ∂ X j + δ ij, {\ displaystyle F_ {ij} = {\ frac {\ partial u_ {i}} {\ partial X_ {j}}} + \ delta _ {ij},}

F_ {ij} = \ frac {\ partial u_i} {\ частичный X_j} + \ delta_ {ij},

где $ui {\ displaystyle u_ {i}}$ $u_ {i}$ - смещение материальной точки $P {\ displaystyle P}$ $P$ от координат $X i {\ displaystyle X_ {i}}$ $X_ {i}$ в эталонной конфигурации до координат $xi {\ displaystyle x_ {i}}$ $x_{i}$ в деформированной конфигурации (см. Рисунок 2 на странице теории конечных деформаций). Включение степенного разложения функций энергии в определяющее соотношение и замена лагранжевого тензора деформации $E kl {\ displaystyle E_ {kl}}$ $E_ {kl }$ разложением, заданным для тензора конечных деформаций страниц (обратите внимание , что в этом разделе использовались строчные буквы $u {\ displaystyle u}$ $u$ по сравнению с верхним регистром на странице конечной деформации ) основное уравнение

P ij = C ijkl ∂ uk ∂ X l + 1 2 M ijklmn ∂ uk ∂ X l ∂ um ∂ X n + 1 3 M ijklmnpq ∂ uk ∂ X l ∂ um ∂ X n ∂ up ∂ X q + ⋯, {\ displaystyle P_ { ij} = C_ {ijkl} {\ frac {\ partial u_ {k}} {\ partial X_ {l}}} + {\ frac {1} {2}} M_ {ijklmn} {\ frac {\ partial u_ { k}} {\ partial X_ {l}}} {\ frac {\ partial u_ {m}} {\ partial X_ {n}}} + {\ frac {1} {3}} M_ {ijklmnpq} {\ frac {\ partial u_ {k}} {\ partial X_ {l}}} {\ frac {\ partial u_ {m}} {\ partial X_ {n}}} {\ frac {\ partial u_ {p}} {\ частичный X_ {q}}} + \ cdots,}

P_ {ij} = C_ {ijkl} \ frac {\ partial u_k} {\ partial X_l} + \ frac {1} {2} M_ {ijklmn} \ frac {\ partial u_k} {\ partial X_l} \ frac {\ partial u_m} {\ partial X_n} + \ frac {1} {3} M_ {ijklmnpq} \ frac { \ partial u_k} {\ частичный X_l} \ frac {\ partial u_m} {\ partial X_n} \ frac {\ partial u_p} {\ partial X_q} + \ cdots,

где

M ijklmn = C ij klmn + C ijln δ км + C jnkl δ im + C jlmn δ ik, {\ displaystyle M_ {ijklmn} = C_ {ijklmn} + C_ {ijln} \ delta _ {km} + C_ {jnkl} \ delta _ {im } + C_ {jlmn} \ delta _ {ik},}

M_ {ijklmn} = C_ {ijklmn} + C_ {ijln} \ delta_ {km} + C_ {jnkl} \ delta_ {im} + C_ {jlmn} \ delta_ {ik},

и члены более порядка не учитывались (см. Подробные выводы). Для справки M, пренебрегая высшего порядка в $∂ uk / ∂ X l {\ displaystyle \ partial u_ {k} / \ partial X_ {l}}$ $\ partial u_k / \ partial X_l$ , это выражение сокращается до $P ij знак равно C ijkl ∂ uk ∂ X l, {\ displaystyle P_ {ij} = C_ {ijkl} {\ frac {\ partial u_ {k}} {\ partial X_ {l}}},}$ $P_ {ij} = C_ {ijkl} \ frac {\ partial u_k} {\ partial X_l},$ который является версией обобщенного закона Гука, где $P ij {\ displaystyle P_ {ij}}$ $P_ {ij}$ является мерой, а $∂ uk / ∂ X l {\ displaystyle \ partial u_ {k} / \ partial X_ {l}}$ $\ partial u_k / \ partial X_l$ - мера деформации, а $C ijkl {\ displaystyle C_ {ijkl}}$ $C_ {ijkl}$ - линейная связь между ними.

Скорость звука

Предполагаемая, что небольшая динамическая (акустическая) деформация нарушает уже статически напряженный материал, акустоупругий эффект можно рассматривать как влияние на небольшую деформацию, наложенную на большую конечную деформацию (также называемая теорией малого на большом). Определим три состояния данной материальной точки. В ссылке (ип-подчеркнуто) состояние точка определяется с помощью вектора $Х {\ displaystyle {\ boldsymbol {X}}}$ ${\ boldsymbol { X}}$ в то время как та же точка имеет координату вектора $х { \ displaystyle {\ boldsymbol {x}}}$ ${\ boldsymbol {x}}$ в статическом исходно напряженном состоянии (т.е. под приложенного предварительного напряжения). Наконец, предположим, что материальная точка при небольшом динамическом возмущении (поле акустического напряжения) имеет вектор координат $x ′ {\ displaystyle {\ boldsymbol {x '}}}$ $\boldsymbol{x'}$ . Общее смещение материальных точек (под как действие статического предварительного напряжения, так и динамического акустического возмущения) может быть произведением воздействия на окружающую среду

u = u (0) + u (1) = x ′ - X, {\ displaystyle {\ boldsymbol { u}} = {\ boldsymbol {u}} ^ {(0)} + {\ boldsymbol {u}} ^ {(1)} = {\ boldsymbol {x '}} - {\ boldsymbol {X}},}

{\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {u}}^{(0)}+{\boldsymbol {u}}^{(1)}={\boldsymbol {x'}}-{\boldsymbol {X}},

где

u (0) = x - X, u (1) = x ′ - x {\ displaystyle {\ boldsymbol {u}} ^ {(0)} = {\ boldsymbol {x}} - {\ boldsymbol {X}}, \ qquad {\ boldsymbol {u}} ^ {(1)} = {\ boldsymbol {x '}} - {\ boldsymbol {x}}}

\boldsymbol{u}^{(0)} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}, \qquad \boldsymbol{u}^{(1)}=\boldsymbol{x'} - \boldsymbol{x}

статическое (лагранжевое) начальное смещение из-за приложенного предварительного и напряжения (эйлерово) смещение из-за акустического возмущения соответственно. Первый закон движения Коши (или баланс количества движения) для дополнительного эйлерова возмущения $u (1) {\ displaystyle {\ boldsymbol {u}} ^ {(1)}}$ $\ boldsymbol {u} ^ {(1)}$ затем может быть получено в конечной промежуточной лагранжевой деформации $u (0) {\ displaystyle {\ boldsymbol {u}} ^ {(0)}}$ $\ boldsymbol {u} ^ {(0 )}$ в предположении, что малое значение -большое предположение

| u (1) | << | u ( 0 ) | | {\displaystyle |{\boldsymbol {u}}^{(1)}|<<|{\boldsymbol {u}}^{(0)}||}

| \ boldsymbol {u} ^ {(1)} | <<| \ boldsymbol {u} ^ {(0)} ||

держится. Используя лагранжеву форму первого закона движения Коши, где пренебрегается постоянной объемной силой (т. Е. Силы тяжести), получаем

Div ⁡ P = ρ 0 x ′ ¨. {\ displaystyle \ operatorname {Div} {\ boldsymbol {P}} = \ rho _ {0} {\ ddot {{\ boldsymbol {x}} '}}.}

\operatorname {Div} {\boldsymbol {P}}=\rho _{0}{\ddot {{\boldsymbol {x}}'}}.

Обратите внимание, что нижний индекс / верхний индекс «0» используется в этом тексте для обозначения эталонного состояния без напряжения, а переменная, обозначенная точками, как обычно, является производной по времени (

t {\ displaystyle t}

t

) модель, а

Div {\ displaystyle \ operatorname {Div}}

\ operatorname {Div}

- это оператор рас относительно лагранжевой системы координат

X {\ displaystyle {\ жирный символ {X}}}

{\ boldsymbol { X}}

правая часть(зависящая от времени часть закона) движения может быть выражена как

ρ 0 x ′ ¨ = ρ 0 ∂ 2 ∂ t 2 (U (0) + U (1) + X) знак равно ρ 0 ∂ 2 U (1) ∂ T 2 {\ Displaystyle {\ begin {align} \ rho _ {0} {\ ddot {{\ boldsymbol {x}} '}} & = \ rho _ {0} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}} ({\ boldsymbol {u}} ^ {(0)} + {\ boldsymbol {u}} ^ {(1)} + {\ boldsymbol {X}}) \\ & = \ rho _ {0} {\ frac {\ partial ^ {2} {\ boldsymbol {u}} ^ {(1)}} {\ partial t ^ {2}}} \ end {align}}}

{\begin{aligned}\rho _{0}{\ddot {{\boldsymbol {x}}'}}&=\rho _{0}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}({\boldsymbol {u}}^{(0)}+{\boldsymbol {u}}^{(1)}+{\boldsymbol {X}})\\&=\rho _{0}{\frac {\partial ^{2}{\boldsymbol {u}}^{(1)}}{\partial t^{2}}}\end{aligned}}

в предположении, что b остальное ненапряженное состояние и начальное состояние деформации статичны, поэтому $∂ 2 / ∂ t 2 (u (0)) = ∂ 2 / ∂ t 2 (X) = 0 {\ displaystyle \ partial ^ {2} / \ partial t ^ {2 } ({\ boldsymbol {u}} ^ {(0)}) = \ partial ^ {2} / \ partial t ^ {2} ({\ boldsymbol {X}}) = 0}$ $\ частичный ^ 2 / \ частичный t ^ 2 (\ boldsymbol {u} ^ {(0)}) = \ partial ^ 2 / \ partial t ^ 2 (\ boldsymbol {X}) = 0$ .

Для левой части (часть, зависящая от пространства) пространственные лагранжевые частные производные по $X j {\ displaystyle X_ {j}}$ $X_ {j}$ может быть расширен в Eulerian $xj {\ displaystyle x_ {j}}$ $x_ {j}$ , используя цепное правило и изменяя переменные через отношение между событиями с ущербом как

∂ ∂ X j = ∂ ∂ xj + uk, j (0) ∂ ∂ xk + ⋯ {\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial X_ {j}}} = {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {j}}} + u_ {k, j} ^ {(0)} {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {k}}} + \ cdots}

\ frac {\ partial} {\ partial X_j} = \ frac {\ partial} {\ partial x_j} + u ^ {(0)} _ {k, j} \ frac {\ partial} {\ partial x_k} + \ cdots

где краткая форма $uk, j ( 0) ≡ ∂ uk (0) / ∂ xj {\ displaystyle u_ {k, j} ^ {(0)} \ Equiv \ partial u_ {k} ^ {(0)} / \ partial x_ {j}}$ $u ^ {(0)} _ {k, j} \ Equiv \ partial u ^ {(0)} _ k / \ partial x_j$ был использован. Таким образом,

∂ P i j ∂ X j ≈ ∂ P i j ∂ x j + u p. j (0) ∂ п ij ∂ xp {\ displaystyle {\ frac {\ partial P_ {ij}} {\ partial X_ {j}}} \ приблизительно {\ frac {\ partial P_ {ij}} {\ partial x_ { j}}} + u_ {pj} ^ {(0)} {\ frac {\ partial P_ {ij}} {\ partial x_ {p}}}}

\ frac {\ partial P_ {ij}} {\ partial X_j} \ приблизительно \ frac {\ partial P_ {ij}} {\ partial x_j} + u_ {pj} ^ {(0) } \ frac {\ partial P_ {ij}} {\ partial x_p}

Предполагая далее, что статическая начальная деформация $u (0) {\ displaystyle {\ boldsymbol {u}} ^ {(0)}}$ $\ boldsymbol {u} ^ {(0 )}$ (напряженное состояние) находится в равновесии означает, что $(⁡ D iv ) п (0) = 0 {\ displaystyle \ operatorname {(} Div) {\ boldsymbol {P}} ^ {(0)} = {\ boldsymbol {0}}}$ $\ имя оператора (Div) \ boldsymbol {P} ^ {(0)} = \ boldsymbol {0}$ , и закон движения может в линейке с указанным выше расчетным уравнением быть сведено к сведенной зависимости (т.е. где члены более высокого порядка в $um, n (0) {\ displaystyle u_ {m, n} ^ {(0)}}$ $u_ {m, n} ^ {(0)}$ ) между статической начальной деформацией $u (0) {\ displaystyle {\ boldsymbol {u}} ^ {(0)}}$ $\ boldsymbol {u} ^ {(0 )}$ и дополнительным динамическим возмущением $u (1) (Икс, т) {\ Displaystyle {\ boldsymbol {и}} ^ {(1)} ({\ boldsymbol {х}}, т)}$ $\ boldsymbol {u} ^ {(1)} (\ boldsymbol {x}, t)$ как (см. Подробные выводы)

B ijkl ∂ 2 uk (1) ∂ xj ∂ xl знак равно ρ 0 ∂ 2 ui (1) ∂ T 2, {\ displaystyle B_ {ijkl} {\ frac {\ partial ^ {2} u_ {k} ^ {(1)}} {\ partial x_ {j} \ partial x_ {l}}} = \ rho _ {0} {\ frac {\ partial ^ {2} u_ {i} ^ {(1 )}} {\ partial t ^ {2}}},}

B_ {ijkl} \ frac {\ partial ^ 2 u_k ^ {(1)} } {\ partial x_j \ partial x_l} = \ rho_0 \ frac {\ partial ^ 2 u_i ^ {(1)}} {\ partial t ^ 2},

где

B ijkl = C ijkl + δ ik C jlqruq, r (0) + C rjklui, r (0) + C irkluj, r (0) + C ijrluk, r (0) + C ijkrul, r (0) + C ijklmnum, n (0). {\ displaystyle B_ {ijkl} = C_ {ijkl} + \ delta _ {ik} C_ {jlqr} u_ {q, r} ^ {(0)} + C_ {rjkl} u_ {i, r} ^ {(0 )} + C_ {irkl} u_ {j, r} ^ {(0)} + C_ {ijrl} u_ {k, r} ^ {(0)} + C_ {ijkr} u_ {l, r} ^ {( 0)} + C_ {ijklmn} u_ {m, n} ^ {(0)}.}

{\ displaystyle B_ {ijkl} = C_ {ijkl} + \ delta _ {ik} C_ {jlqr} u_ {q, r} ^ {(0)} + C_ {rjkl} u_ {i, r} ^ {(0)} + C_ {irkl} u_ {j, r} ^ {(0)} + C_ {ijrl} u_ {k , r} ^ {(0)} + C_ {ijkr} u_ {l, r} ^ {(0)} + C_ {ijklmn} u_ {m, n} ^ {(0)}.}

Это выражение распознается как линейное волновое уравнение. Рассматривая плоскую волну формы

u (1) (x, t) = mf (N ⋅ x - ct), {\ displaystyle {\ boldsymbol {u}} ^ {(1)} ({ \ boldsymbol {x}}, t) = {\ boldsymbol {m}} \, f ({\ boldsymbol {N}} \ cdot {\ boldsymbol {x}} - ct),}

\ boldsymbol {u} ^ {(1)} (\ boldsym bol {x}, t) = \ boldsymbol {m} \, f (\ boldsymbol {N} \ cdot \ boldsymbol {x} - ct),

где $N {\ displaystyle {\ boldsymbol {N}}}$ ${\ boldsymbol {N}}$ - лагранжевый единый вектор в распределении (т. Е. Параллельно волновому представлению $k = k N {\ displaystyle {\ boldsymbol {k}} = k {\ boldsymbol {N}}}$ $\ boldsymbol {k} = k \ boldsymbol {N}$ перпендикулярно фронту волны,), $m {\ displaystyle {\ boldsymbol {m}}}$ $\boldsymbol{m}$ равно единичный вектор, называемый вектором поляризации ( описывающий направление движения частиц), $c {\ displaystyle c}$ $c$ - фазовая скорость волны, а $f {\ displaystyle f}$ $f$ - это дважды непрерывно дифференцируемая функция (например, синусоидальная функция). Вставка этой плоской волны в полученное выше линейное волновое уравнение дает

Q (N) m = ρ 0 c 2 m {\ displaystyle {\ boldsymbol {Q}} ({\ boldsymbol {N}}) {\ boldsymbol {m} } = \ rho _ {0} c ^ {2} {\ boldsymbol {m}}}

\ boldsymbol {Q} (\ boldsymbol {N}) \ boldsymbol {m} = \ rho_0 c ^ 2 \ boldsymbol {m}

где $Q (N) {\ displaystyle {\ boldsymbol {Q}} ({\ boldsymbol {N}} )}$ $\ boldsymbol {Q} (\ boldsymbol {N})$ вводится как акустический тензор и зависит от $N {\ displaystyle {\ boldsymbol {N}}}$ ${\ boldsymbol {N}}$ as

[Q (N)] ik = B ijkl N j N l. {\ displaystyle [{\ boldsymbol {Q}} ({\ boldsymbol {N}})] _ {ik} = B_ {ijkl} N_ {j} N_ {l}.}

{\ displaystyle [{\ boldsymbol {Q}} ({\ boldsymbol {N}})] _ {ik} = B_ {ijkl} N_ {j} N_ {l}.}

Это выражение называется условие распространение и определить для данного направления распространения $n {\ displaystyle {\ boldsymbol {n}}}$ $\ boldsymbol {n}$ скорость и поляризацию возбудителей волн, соответствующих волнам. Скорости можно определить по классическому уравнению

det ⁡ (Q (N) - ρ 0 c 2 I) = 0, {\ displaystyle \ operatorname {det} ({\ boldsymbol {Q}} ({\ boldsymbol {N}}) - \ rho _ {0} c ^ {2} {\ boldsymbol {I}}) = 0,}

\ operatorname {det} (\ boldsymbol {Q} (\ boldsymbol {N}) - \ rho_0 c ^ 2 \ boldsymbol {I}) = 0,

где $det {\ displaystyle \ operatorname {det}}$ $\ operatorname {det}$ - определитель и $I {\ displaystyle {\ boldsymbol {I}}}$ ${\ boldsymbol {I}}$ - матрица идентичности.

для гиперупругого материала $Q (N ) {\ displaystyle {\ boldsymbol {Q}} ({\ boldsymbol {N}})}$ $\ boldsymbol {Q} (\ boldsymbol {N})$ симметрично (но не в целом), а собственные значения ( $ρ 0 c 2 {\ displaystyle \ rho _ {0} c ^ {2}}$ $\ rho_0 c ^ 2$ ), таким образом, реальны. Чтобы скорости также были действующими, собственные значения должны быть положительными. В этом случае дляданного направления распространения $N {\ displaystyle {\ boldsymbol {N}}}$ ${\ boldsymbol {N}}$ существуют три взаимно ортогональных реальных плоских волны. Из двух выражений акустического тензора ясно, что

ρ 0 c 2 = Q (N) m ⋅ m = B ijkl N j N lmimk, {\ displaystyle \ rho _ {0} c ^ {2} = {\ boldsymbol { Q}} ({\ boldsymbol {N}}) {\ boldsymbol {m}} \ cdot {\ boldsymbol {m}} = B_ {ijkl} N_ {j} N_ {l} m_ {i} m_ {k}, }

\ rho_0 c ^ 2 = \ boldsymbol {Q} (\ boldsymbol {N}) \ boldsymbol {m } \ cdot \ boldsymbol {m} = B_ {ijkl} N_j N_l m_i m_k,

и неравенство $B ijkl N j N lmimk>0 {\ displaystyle B_ {ijkl} N_ {j} N_ {l} m_ {i} m_ {k}>0}$ $B_ {ijkl} N_j N_l m_i m_k>0$ (называемый также условием всех эллипсов ненадежных векторов $N {\ displaystyle {\ boldsymbol {N}}}$ ${\ boldsymbol {N}}$ и $m {\ displaystyle {\ boldsymbol {m}}}$ $\boldsymbol{m}$ гарантирует, что скорость однородных плоских волнений Поляризация $m = N {\ displaystyle {\ boldsymbol {m}} = {\ boldsymbol {N}}}$ $\ boldsymbol {m} = \ boldsymbol {N}$ продольная волна, в которой движение частицами направления распространение (также называется компрессио нным последняя волна). Две поляризации, где $m ⋅ N = 0 {\ displaystyle {\ boldsymbol {m}} \ cdot {\ boldsymbol {N}} = 0}$ $\ boldsymbol {m } \ cdot \ boldsymbol {N} = 0$ , соответствуют поперечным волнам где движение частиц ортогонально распространение (также называемое поперечными волнами).

Изотропные материалы

Модули упругости для изотропных материалов

Для изотропного тензора второго порядка (т. Е. Тензор, имеющий одинаковые компоненты в любой системе координат), такой как тензор деформации Лагранжа $E {\ displaystyle {\ boldsymbol {E}}}$ $\ boldsymbol {E}$ , имеют инварианты $tr ⁡ E q {\ displaystyle \ operatorname {tr} {\ boldsymbol {E}} ^ {q }}$ $\ operatorname { tr} \ boldsymbol {E} ^ q$ где $tr {\ displaystyle \ operatorname {tr}}$ $\ operatorname { tr}$ - это оператор трассировки и $q ∈ {1, 2, 3 ,…} {\ Displaystyle q \ in \ left \ {1,2,3, \ dots \ right \}}$ $q \ in \ left \ {1,2,3, \ dots \ right \}$ . Таким образом, функция энергии деформации изотропного материала может быть выражена следующим образом: $W (E) = W (tr ⁡ E q), k ∈ {1, 2, 3,…} {\ displaystyle W ({\ boldsymbol { E}}) = W (\ operatorname {tr} {\ boldsymbol {E}} ^ {q}), \, k \ in \ left \ {1,2,3, \ ldots \ right \}}$ $W (\ boldsymbol {E }) = W (\ operatorname {tr} \ boldsymbol {E} ^ q), \, k \ in \ left \ {1,2,3, \ ldots \ right \}$ , или их суперпозицию, которую можно переписать как

W = λ 2 (tr ⁡ E) 2 + μ tr ⁡ E 2 + C 3 (tr ⁡ E) 3 + B (tr ⁡ E) tr ⁡ E 2 + A 3 тр ⁡ E 3 + ⋯, {\ displaystyle W = {\ frac {\ lambda} {2}} (\ operatorname {tr} {\ boldsymbol {E}}) ^ {2} + \ mu \ operatorname {tr} {\ boldsymbol {E}} ^ {2} + {\ frac {C} {3}} (\ operatorname {tr} {\ boldsymbol {E}}) ^ {3} + B (\ operatorname {tr } {\ boldsymbol {E}}) \ operatorname {tr} {\ boldsymbol {E}} ^ {2} + {\ frac {A} {3}} \ operatorname {tr} {\ boldsymbol {E}} ^ { 3} + \ cdots,}

W = \ frac {\ lambda} {2} (\ operatorname {tr} \ boldsymbol {E}) ^ 2 + \ mu \ operatorname {tr} \ boldsymbol {E} ^ 2 + \ frac {C} {3} (\ operatorname {tr} \ boldsymbol {E}) ^ 3 + B (\ operatorname {tr} \ boldsymbol {E}) \ operatorname {tr} \ boldsymbol {E} ^ 2 + \ frac {A} {3} \ operatorname {tr} \ boldsymbol {E} ^ 3 + \ cdots,

где $λ, μ, A, B, C {\ displaystyle \ lambda, \ mu, A, B, C}$ $\ lambda, \ mu, A, B, C$ - константы. Константы $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\ лямбда$ и $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ являются модулями упругости второго порядка, более известными как параметры Ламе, а $A, B, {\ displaystyle A, B,}$ $A, B,$ и $C {\ displaystyle C}$ $C$ - модули упругости третьего порядка, введенные с помощью альтернативных, но эквивалентных $l, m, {\ displaystyle l, m,}$ $l, m,$ и $n {\ displaystyle n}$ $n$ представленный Мурнаганом.

C ijkl = λ δ ij δ kl + 2 μ δ I ijkl, C ijklmn = 2 C δ ij δ kl δ mn + 2 B (δ ij I klmn + δ kl I mnij + δ mn I ijkl) + 1 2 A (δ ik I jlmn + δ il I jkmn + δ jk I ilmn + δ jl I ikmn), {\ displaystyle {\ begin {align} C_ {ijkl } & = \ lambda \ delta _ {ij} \ delta _ {kl} +2 \ mu \ delta I_ {ijkl}, \\ C_ {ijklmn} & = 2C \ delta _ {ij} \ delta _ {kl} \ дельта _ {mn} + 2B (\ delta _ {ij} I_ {klmn} + \ delta _ {kl} I_ {mnij} + \ delta _ {mn} I_ {ijkl}) + {\ frac {1} {2 }} A (\ delta _ {ik} I_ {jlmn} + \ delta _ {il} I_ {jkmn} + \ delta _ {jk} I_ {ilmn} + \ delta _ {jl} I_ {ikmn}), \ end {align}} \! \,}

{\ displaystyle {\ begin {align} C_ {ijkl} & = \ lambda \ delta _ {ij} \ delta _ {kl} +2 \ mu \ delta I_ {ijkl}, \\ C_ {ijklmn} & = 2C \ delta _ {ij} \ delta _ {kl} \ delta _ {mn} + 2B (\ delta _ {ij} I_ {klmn} + \ delta _ {kl} I_ {mnij} + \ delta _ {mn} I_ {ijkl}) + {\ frac {1} {2}} A (\ delta _ {ik} I_ {jlmn} + \ delta _ {il} I_ {jkmn} + \ delta _ {jk} I_ {ilmn} + \ delta _ {jl} I_ {ikmn}), \ end {align}} \! \,}

где $I ijkl = 1 2 (δ ik δ jl + δ il δ jk) {\ displaystyle I_ {ijkl} = {\ frac {1} {2}} (\ delta _ {ik } \ delta _ {jl} + \ delta _ {il} \ delta _ {jk})}$ $I_ {ijkl} = \ frac {1} {2} (\ delta_ {ik} \ delta_ {jl} + \ delta_ {il} \ delta_ {jk})$ . Использовался исторически другой выбор этих упругих постоянных третьего порядка, и некоторые из вариантов представлены в таблице 1.

**Таблица 1:**Соотношение между упругими постоянными третьими порядками изотропных твердых тел
Ландау и Лифшиц (1986))	Toupin & Bernstein (1961)	Murnaghan (1951)	Bland (1969)	Eringen & Suhubi (1974)	Standard $CIJK {\ displaystyle C_ {IJK}}$ $C_ {IJK}$
$A {\ displaystyle A}$ $A$	$ν 1 = 2 C {\ displaystyle \ nu _ {1} = 2C}$ $\ nu_1 = 2C$	$l = B + C {\ displaystyle l = B + C}$ $l = B + C$	$α = 1 3 C {\ displaystyle \ alpha = {\ frac {1} {3}} C}$ $\ alpha = \ frac {1} {3} C$	$l E = 1 3 A + B + 1 3 C {\ displaystyle l_ { E} = {\ frac {1} {3}} A + B + {\ frac {1} {3}} C}$ $l_E = \ frac {1} {3} A + B + \ frac {1} {3} C$	$C 123 = 2 C {\ displaystyle C_ {123} = 2C}$ $C_ {123} = 2C$	$C 111 знак равно 2 A + 6 B + 2 C {\ displaystyle C_ {111} = 2A + 6B + 2C}$ $C_ {111} = 2A + 6B + 2C$
$B {\ displaystyle B}$ $B$	$ν 2 = B {\ displaystyle \ nu _ {2} = B}$ $\ nu_2 = B$	$m = 1 2 A + B {\ displaystyle m = {\ frac {1} {2}} A + B}$ $m = \ frac {1} {2} A + B$	$β = B {\ displaystyle \ beta = B }$ $\ beta = B$	$м E = - A - 2 B {\ displaystyle m_ {E} = - A-2B}$ $m_E = -A-2B$	$C 144 = B {\ displayst yle C_ {144} = B}$ $C_ {144} = B$	$C 112 = 2 B + 2 C {\ displaystyle C_ {112} = 2B + 2C}$ $C_ {112} = 2B + 2C$
$C {\ displaystyle C}$ $C$	$ν 3 = 1 4 A {\ displaystyle \ nu _ {3} = {\ frac {1} {4}} A}$ $\ nu_3 = \ frac {1} {4} A$	$n = A {\ displaystyle n = A}$ $n = A$	$γ = 1 3 A {\ displaystyle \ gamma = {\ гидроразрыв {1} {3}} A}$ $\ gamma = \ frac {1} {3} A$	$n E = A {\ displaystyle n_ {E} = A}$ $n_E = A$	$C 456 = 1 4 A {\ displaystyle C_ {456} = {\ frac {1} {4}} A}$ $C_{456}=\frac{1}{4}A$	$C 166 = 1 2 A + B {\ displaystyle C_ {166} = {\ frac {1} {2}} A + B}$ $C_{166}=\frac{1}{2}A+B$

Примеры значений для стали

В таблицах 2 и 3 представлены упругие постоянные второго и третьего порядка для некоторых типов сталей, представленных в литературе

**Таблица 2:**Константы Ламе и Тупена и Бернштейна в ГПа
	Константы Ламе		Тупен и Константы Бернштейна
Материал	$λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\ лямбда$	$μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$	$ν 1 {\ displaystyle \ nu _ {1}}$ $\ nu_1$	$ν 2 {\ displaystyle \ nu _ {2}}$ $\nu_2$	$ν 3 {\ d я splaystyle \ nu _ {3}}$ $\ nu_3$
Hecla 37 (0,4% C)	$111 ± 1 {\ displaystyle 111 \ pm 1}$ $111 \ pm 1$	$82,1 ± 0,5 {\ displaystyle 82, 1 \ pm 0,5}$ $82,1 \ pm 0,5$	$- 385 ± 70 {\ displaystyle -385 \ pm 70}$ $-385 \ pm 70$	$- 282 ± 30 {\ displaystyle -282 \ pm 30}$ $-282 \ pm 30$	$- 177 ± 8 {\ displaystyle - 177 \ pm 8}$ $-177 \ pm 8$
Hecla 37 (0,6% C)	$110,5 ± 1 {\ displaystyle 110,5 \ pm 1}$ $110,5 \ pm 1$	$82,0 ± 0,5 {\ displaystyle 82, 0 \ pm 0,5}$ $82,0 \ pm 0,5$	$- 134 ± 20 {\ displaystyle -134 \ pm 20}$ $-134 \ pm 20$	$- 261 ± 20 {\ displaystyle -261 \ pm 20}$ $-261 \ pm 20$	$- 167 ± 6 {\ displaystyle - 167 \ pm 6}$ $-167 \ pm 6$
Hecla 138A	$109 ± 1 {\ displaystyle 109 \ pm 1}$ $109 \ pm 1$	$81.9 ± 0.5 {\ displaystyle 81.9 \ pm 0.5}$ $81.9 \ pm 0.5$	$- 323 ± 50 {\ displaystyle -323 \ pm 50}$ $-323 \ pm 50$	$- 265 ± 30 {\ displaystyle -265 \ pm 30}$ $-265 \ pm 30$	$- 177 ± 10 {\ displaystyle -177 \ pm 10}$ $-177 \ pm 10$
Rex 535 Никель-сталь	$109 ± 1 {\ displaystyle 109 \ pm 1}$ $109 \ pm 1$	$81,8 ± 0,5 {\ displaystyle 81,8 \ pm 0,5}$ $81,8 \ pm 0,5$	$- 175 ± 50 {\ displaystyle -175 \ pm 50}$ $-175 \ pm 50$	$- 240 ± 50 {\ displaystyle -240 \ pm 50}$ $-240 \ pm 50$	$- 169 ± 15 {\ displayst yl e -169 \ pm 15}$ $-169 \ pm 15$
Hecla ATV аустенитный	$87 ± 2 {\ displaystyle 87 \ pm 2}$ $87 \ pm 2$	$71,6 ± 3 {\ displaystyle 71,6 \ pm 3}$ $71,6 \ pm 3$	$34 ± 20 {\ displaystyle 34 \ pm 20}$ $34 \ pm 20$	$- 552 ± 80 {\ displaystyle -552 \ pm 80}$ $-552 \ pm 80$	$- 100 ± 10 {\ displaystyle -100 \ pm 10}$ $-100 \ pm 10$

**Таблица 3:**Константы Ламе и Мурнагана в ГПа
	Константы Ламе		Константы Мурнагана
Материал	$λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\ лямбда$	$μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$	$l {\ displaystyle l}$ $l$	$m {\ displaystyle m}$ $m$	$n {\ displaystyle n}$ $n$
Никель-сталь S / NVT	$109.0 ± 1 {\ displaystyle 109.0 \ pm 1}$ $109,0 \ pm 1$	$81,7 ± 0,2 {\ displaystyle 81,7 \ pm 0,2}$ $81,7 \ pm 0,2$	$- 56 ± 20 {\ displaystyle -56 \ pm 20}$ $-56 \ pm 20$	$- 671 ± 6 {\ displaystyle -671 \ pm 6}$ $-671 \ pm 6$	$- 785 ± 7 {\ displaystyle -785 \ pm 7}$ $-785 \ pm 7$
Образец рельсовой стали 1	$115,8 ± 2,3% {\ displaystyle 115,8 \ pm 2,3 \%}$ $115,8 \ pm 2, 3 \%$	$79 , 9 ± 2,3% {\ displaystyle 79,9 \ pm 2.3 \%}$ $79.9 \ pm 2.3 \%$	$- 248 ± 2,8% {\ displaystyle -248 \ pm 2,8 \%}$ $-248 \ pm 2,8 \%$	$- 623 ± 4, 1% {\ displaystyle -623 \ pm 4,1 \%}$ $-623 \ pm 4.1 \%$	$- 714 ± 2,7% {\ displaystyle -714 \ pm 2.7 \%}$ $-714 \ pm 2.7 \%$
Образец рельсовой стали 4	$110.7 ± 2.3% {\ displaystyle 110.7 \ pm 2.3 \%}$ $110,7 \ pm 2.3 \%$	$82,4 ± 2,3% {\ displaystyle 82,4 \ pm 2,3 \%}$ $82,4 \ pm 2.3 \%$	$- 302 ± 2,8% {\ displaystyle -302 \ pm 2,8 \%}$ $-302 \ pm 2.8 \%$	$- 616 ± 4 , 1% {\ displaystyle -616 \ pm 4,1 \%}$ $-616 \ pm 4.1 \%$	$- 724 ± 2,7% {\ displayst yle -724 \ pm 2,7 \%}$ $-724 \ pm 2.7 \%$

Акустоупругость при одноосном растяжении изотропных гиперупругих материалов

A кубоидальный образец сжимаемого твердого тела в ненапряженной эталонной конфигурации может быть выражен декартовыми координатами $Икс i ∈ [0, L i], i = 1, 2, 3 {\ displaystyle X_ {i} \ in [0, L_ {i}], \, i = 1,2,3}$ $X_i \ in [0, L_i], \, i = 1 , 2,3$ , где геометрия выровнена по лагранжевой системе координат, а $L i {\ displaystyle L_ { i}}$ $L_i$ - длина сторон кубоида в эталонной конфигурации. Подвергая кубовид одноосному растяжению в направлении $x 1 {\ displaystyle x_ {1}}$ $x_{1}$ , он деформируется с чистой однородной деформацией, так что координаты материальных точек в деформированной конфигурации могут быть выражены как $x 1 = λ 1 X 1, x 2 = λ 2 X 2, x 3 = λ 3 X 3 {\ displaystyle x_ {1} = \ lambda _ {1} X_ {1}, x_ {2} = \ lambda _ {2} X_ {2}, x_ {3} = \ lambda _ {3} X_ {3}}$ $x_1 = \ lambda_1 X_1 , x_2 = \ lambda_2 X_2, x_3 = \ lambda_3 X_3$ , что дает удлинение

ei ≡ li / L i - 1 = λ я - 1 {\ displaystyle e_ {i} \ Equiv l_ {i} / L_ {i} -1 = \ lambda _ {i} -1}

e_i \ Equiv l_i / L_i - 1 = \ lambda_i - 1

в $xi {\ displaystyle x_ {i}}$ $x_{i}$ -направление. Здесь $li {\ displaystyle l_ {i}}$ $l_ {i}$ означает текущую (деформированную) длину стороны кубоида $i {\ displaystyle i}$ $i$ и где соотношение между длиной в сторонней и эталонной конфигурации обозначается

λ я ≡ li / L i {\ displaystyle \ lambda _ {i} \ Equiv l_ {i} / L_ {i}}

\ lambda_i \ Equiv l_i / L_i

, называемый основные участки. Для изотропного материала это соответствует деформации без вращения (см. полярное разложение тензора градиента деформации, где $F = RU = VR {\ displaystyle {\ boldsymbol {F}} = {\ boldsymbol {RU}} = {\ boldsymbol {VR}}}$ $\ boldsymbol {F} = \ boldsymbol {RU} = \ boldsymbol {VR}$ и поворот $R = I {\ displaystyle {\ boldsymbol {R}} = {\ boldsymbol {I}}}$ $\ boldsymbol {R} = \ boldsymbol {I}$ ). Это можно описать с помощью спектрального представления с помощью главных участков $λ i {\ displaystyle \ lambda _ {i}}$ $\ lambda _ {i}$ как собственными значениями или, что эквивалентно, удлинениями $ei {\ displaystyle e_ {i}}$ $e_{i}$ .

Для одноосного растяжения в $x 1 {\ displaystyle x_ {1}}$ $x_{1}$ -направлении ( $P 11>0 {\ displaystyle P_ { 11}>0}$ $P_{11}>0$ мы предполагаем, что $e 1 {\ displaystyle e_ {1}}$ $e_ {1}$ увеличится на некоторую роль. Если боковые грани свободны от тяги (т.е. $P 22 = P 33 = 0 {\ displaystyle P_ {22} = P_ {33} = 0}$ $P_ {22} = P_ {33} = 0$ ) боковые удлинения $e 2 {\ displaystyle e_ {2}}$ $e_{2}$ и $e 3 {\ displaystyle e_ {3}}$ $e_ {3}$ ограничены диапазоном $e 2, e 3 ∈ (- 1, 0] {\ displaystyle e_ {2}, e_ {3} \ in (-1,0]}$ $e_2, e_3 \ in (-1,0]$ . Для изотропной симметрии боковые удлинен ия (или сокращения) также должны быть равно (т.е. $е 2 = е 3 {\ displaystyle e_ {2} = e_ {3}}$ $e_2 = e_3$ ). Диапазон соответствует диапазону от полного бокового сокращения ( $e 2 = e 3 = - 1 {\ displaystyle e_ {2} = e_ {3} = - 1}$ $e_2 = e_3 = -1$ , что не является физическим)) и без изменений поперечных размеров ( $е 2 = е 3 = 0 {\ displaystyle e_ {2} = e_ {3} = 0}$ $e_2 = e_3 = 0$ ). Следует отметить, что теоретически диапазон может быть расширен до значений больше 0, соответствующих увеличению поперечных размеров в результате увеличения осевого размера. Однако очень немногие материалы (называемые ауксетическими материалами) проявляют это свойство.

Расширение скоростей звука

Плоская продольная (давление) пульсовая волна Сдвиговая (поперечная) плоская волна

Если условие сильной эллиптичности ( $B ijkl N j N lmimk>0 { \ displaystyle B_ {ijkl} N_ {j} N_ {l} m_ {i} m_ {k}>0}$ $B_ {ijkl} N_j N_l m_i m_k>0$ ), три направления ортогональной поляризации ( $m {\ displaystyle {\ boldsymbol {m>} <}} 343>даст ненулевую и реальную скорость звука для данного направления распространения N {\ displaystyle {\ boldsymbol {N}}}$ ${\ boldsymbol {N}}$ . Далее будут выведены скорости звука для одного выбора приложенное одноосное натяжение, направление распространения и ортонормированный набор векторов поляризации. Для одноосного натяжения, приложенного в $x 1 {\ displaystyle x_ {1}}$ $x_{1}$ -направлении, и определение скоростей звука для волны, распространяющиеся ортогонально приложенному натяжению (например, в $x 3 {\ displaystyle x_ {3}}$ $x_ {3}$ -направление с вектором распространения $N = [0, 0, 1] {\ displaystyle {\ boldsymbol {N}} = [0,0,1 ]}$ $\ boldsymbol {N} = [0,0,1]$ ), один выбор ортонормированных поляризаций может быть

{m} = {m 1 = x ^ 1 = [1, 0, 0] ‖ для приложенного натяжения m 2 = x ^ 2 = [0, 1, 0] ⊥ к приложенному натяжению m 3 = x ^ 3 = [0, 0, 1] ‖ к N {\ displaystyle \ {{\ boldsymbol {m}} \} = {\ begin {cases} \ mathbf {m} _ {1} = \ mathbf {\ hat {x}} _ {1} = [1,0,0] & \ | \, {\ textrm {to}} \, {\ textrm {применено} } \, {\ textrm {напряженность}} \\\ mathbf {m} _ {2} = \ mathbf {\ hat {x}} _ {2} = [0,1,0] & \ perp {\ textrm { to}} \, {\ textrm {application}} \, {\ textrm {stretch}} \\\ mathbf {m} _ {3} = \ mathbf {\ hat {x}} _ {3} = [0, 0,1] & \ | \, {\ textrm {to}} \, \ mathbf {N} \ end {ases}}}

\ {\ boldsymbol {m} \} = \ begin {cases} \ mathbf {m} _1 = \ mathbf {\ hat {x}} _ 1 = [1,0,0] & \ | \, \ textrm {to} \, \ textrm {применено} \, \ textrm {напряжение} \\ \ mathbf {m} _2 = \ mathbf {\ hat {x}} _ 2 = [0,1,0] & \ perp \ textrm {to} \, \ textrm {application} \, \ textrm {stretch} \\ \ mathbf {m} _3 = \ mathbf {\ hat {x}} _ 3 = [0,0,1] & \ | \, \ textrm {to} \, \ mathbf {N} \ end {case}

, что дает три скорости звука

ρ 0 c 33 2 = B 3333 , ρ 0 c 31 2 знак равно B 1313, ρ 0 c 32 2 = B 2323, {\ displaystyle \ rho _ {0} c_ {33} ^ {2} = B_ {3333}, \ qquad \ rho _ {0} c_ {31} ^ {2} = B_ {1313}, \ qquad \ rho _ {0} c_ {32} ^ {2} = B_ {2323},}

\ rho_0 c ^ 2_ {33} = B_ {3333}, \ qquad \ rho_0 c ^ 2_ {31} = B_ {1313}, \ qquad \ rho_0 c ^ 2_ {32} = B_ {2323},

где первый индекс $i {\ стиль отображения я }$ $i$ скоростей звука $cij {\ displaystyle c_ {ij}}$ $c_ {ij}$ указывает направление распространения (здесь $x 3 {\ displaystyle x_ {3}}$ $x_ {3}$ -направление, а второй индекс $j {\ displaystyle j}$ $j$ указывает выбранное направление поляризации ( $j = i {\ displaystyle j = i}$ $j = i$ соответствует движению частицы в направлении распространения $i {\ displaystyle i}$ $i$ - т.е. продольной волне, и $j ≠ i {\ displaystyle j \ neq i}$ $j \ neq i$ соответствует движению частицы перпендикулярно направлению распространения (т.е. поперечной волне).

Расширение соответствующих коэффициентов акустического тензора и замена модулей упругости второго и третьего порядка $C ijkl {\ displaystyle C_ {ijkl}}$ $C_ {ijkl}$ и $C ijklmn { \ displaystyle C_ {ijklmn}}$ $C_ {ijklmn}$ с их изотропными эквивалентами, $λ, μ {\ displaystyle \ lambda, \ mu}$ $\ lambda, \ mu$ и $A, B, C {\ displaystyle A, B, C}$ $A, B, C$ соответственно, ведет к скоростям звука, выраженным как

ρ 0 c 33 2 = λ + 2 μ + a 33 e 1, ρ 0 c 3 k 2 = μ + a 3 ke 1, k = 1, 2 {\ displaystyle \ rho _ {0} c_ {33} ^ {2} = \ lambda +2 \ mu + a_ {33} e_ {1}, \ qquad \ rho _ { 0} c_ {3k} ^ {2} = \ mu + a_ {3k} e_ {1}, \ quad k = 1,2}

\ rho_0 c ^ 2_ {33} = \ lambda + 2 \ mu + a_ {33} e_1, \ qquad \ rho_0 c ^ 2_ {3k} = \ mu + a_ {3k} e_1, \ quad k = 1,2

где

a 33 = - 2 λ (λ + 2 μ) + λ A + 2 (λ - μ) B - 2 μ C λ + μ {\ displaystyle a_ {33} = - {\ frac {2 \ lambda (\ lambda +2 \ mu) + \ lambda A + 2 (\ лямбда - \ mu) B-2 \ mu C} {\ lambda + \ mu}}}

a_ {33} = - \ frac {2 \ lambda (\ lambda + 2 \ mu) + \ lambda A + 2 (\ lambda - \ mu) B - 2 \ mu C} {\ lambda + \ mu}

a 31 = (λ + 2 μ) (4 μ + A) + 4 μ B 4 (λ + μ) { \ Displaystyle a_ {31} = {\ гидроразрыва {(\ lambda +2 \ mu) (4 \ mu + A) +4 \ mu B} {4 (\ lamb da + \ mu)}}}

a_ {31} = \ frac {(\ lambda + 2 \ mu) (4 \ mu + A) + 4 \ mu B} {4 (\ lambda + \ mu)}

a 32 = - λ (4 μ + A) - 2 μ B 2 (λ + μ) {\ displaystyle a_ {32} = - {\ frac {\ lambda (4 \ mu + A) -2 \ mu B} {2 (\ lambda + \ mu)}}}

a_ {32} = - \ fr ac {\ lambda (4 \ mu + A) - 2 \ mu B} {2 (\ lambda + \ mu)}

коэффициенты акустоупругости, связанные с воздействием упругих постоянных третьего порядка.

Методы измерения

Акустическая установка с преобразователями передатчика и приемника. Акустическая установка на основе эхо-импульса

Чтобы иметь возможность измерить скорость звука, более точное изменение скорости звука, в материале, находящемся в некотором напряженном состоянии, можно измерить скорость акустического сигнала, распространяющегося через материал, о идет речь. Для этого существует несколько методов, но все они используют одно из двух различных источников скорости звука. Первое соотношение со временем, которое требуется сигналу для распространения из одной точки в другую (обычно расстояние между двумя акустическими преобразователями или двукратное расстояние от одного преобразователя до отражающей поверхности). Это часто называют измерениями «Время пролета» (TOF) и используют соотношение

c = dt {\ displaystyle c = {\ frac {d} {t}}}

c = \ frac {d} {t}

где $d {\ displaystyle d}$ $d$ - расстояние, которое проходит через сигнал, а $t {\ displaystyle t}$ $t$ - время нужно преодолеть это расстояние. Второе соотношение связано с обратной зависимостью от времени, это сигнала. Здесь соотношение:

c = f λ {\ displaystyle c = f \ lambda}

c = f \ lambda

, где $f {\ displaystyle f}$ $f$ - частота сигнала, а $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\ лямбда$ - длина волны . При использовании с использованием частот в измеряемой величине используется явление акустического резонанса, где $n {\ displaystyle n}$ $n$ количество длин волн соответствует длине, на которое сигнал резонирует. Оба эти средства связи между собой, через какое-то время между ними, через какое-то время, через какое-то время между ними, через какое-то время, через какое-то время, через какое-то время между ними, через какое-то время.

Пример методов ультразвукового контроля

В общем, есть два способа настроить систему преобразователя для измерения скорости звука в твердом теле. Один из них - это установка с двумя или более преобразователями, где один работает как передатчик, другой (и) как приемник. Затем измерение скорости звука может быть выполнено путем измерения времени между генерацией сигнала в датчике и его записью внике, что (или измерено) расстояние, которое акустический сигнал прошел между преобразователями, или, наоборот, Измерьте резонансную частоту, з толщину, на волну которой резонирует. Другой тип установки часто называют эхо-импульсной системой. Здесь один преобразователь размещается рядом с образцом, действуя как передатчик и приемник. Для этого требуется отражающий интерфейс, где сгенерированный сигнал может быть отражен обратно к датчику, который работает как приемник, записывающий отраженный сигнал. См. ультразвуковой контроль для некоторых систем измерения.

Продольные и поляризованные поперечные волны

Диаграмма, показывающая преобразование мод, которое происходит, когда продольная волна падает на границу раздела при ненормальном падении

Как объяснялось выше, набор из трех ортонормированных поляризаций ( $m {\ displaystyle {\ boldsymbol {m}}}$ $\boldsymbol{m}$ ) движения частиц существуют для данного распространения $N {\ displaystyle {\ boldsymbol {N}}}$ ${\ boldsymbol {N}}$ в твердом состоянии. Для измерительных установок, где преобразователи могут быть прикреплены непосредственно к исследуемому образцу, можно создать эти две поляризации (продольную и ортогональные поперечные волны), применяя различные типы преобразователей, возбуждающие желаемую поляризацию (например, пьезоэлектрический колебания ). Таким образом, можно измерить скорость звука со всеми тремя поляризациями с помощью временных или частотно-зависимых измерительных установок, в зависимости от выбора типа преобразователя. Однако, если преобразователь не может быть прикреплен к испытуемому, необходима связующая среда для передачи акустической энергии от преобразователя кцу. В качестве связывающей среды часто используются вода или гели. Для измерения продольной скорости звука этого достаточно, однако жидкость не переносит поперечные волны, таким образом, чтобы иметь возможность генерировать и измерять скорость поперечных волн в испытуемом образце, падающая продольная волна должна воспринимать при наклонный угол на поверхности жидкости. / твердого тела для генерации поперечных волн посредством преобразования режима . Такие поперечные волны преобразуются обратно в продольные волны на твердую / жидкую поверхность, которые позволяют измерять скорость поперечных волн на соединительную среду.

Приложения

Технические материалы - оценка напряжений

Временная промышленность снижает затраты на техническое обслуживание и ремонт, неразрушающий контроль конструкций становится все более ценным как при управление производством, так и в качестве средств использования и состояния ключевой инфраструктуры. Существует несколько методов измерения для измерения напряжения в материале. Однако методы, использующие оптические измерения, магнитные измерения, рентгеновскую дифракцию и нейтронную дифракцию, все ограничены измерениями на поверхности или близком поверхностном напряжении или деформации. Акустические волны с легкостью распространяются через материалы и таким образом, используются средства для исследования внутренних частей конструкций, где уровень напряжений и деформаций важен для общей структурной целостности. Скорость звука таких нелинейных эластичных материалов (включая обычные конструкционные материалы, такие как алюминий и сталь ) зависит от напряжения, одного из применений акустоупругого эффекта может быть измерение напряжения. состояние внутри загруженного материала с использованием различных акустических датчиков (например, ультразвуковой контроль ) для измерения скорости звука.

Гранулированные и пористые материалы - геофизика

сейсмология изучают распространение упругих волн через Землю и используются, например, в землетрясение изучает и в картографирует внутреннюю часть Земли. Внутри Земли различное давление, акустические сигналы могут проходить через среду в различных напряженных состояниях. Таким образом, акустоупругая теория может быть практическим интересом, когда нелинейное поведение может быть использовано для оценки геофизических свойств.

Мягкие ткани - медицинское ультразвуковое исследование

Другие приложения могут быть в медицинской сонографии и эластография измерение уровня напряжения или давления в соответствующих типах эластичных тканей ( например), улучшение неинвазивной диагностики.

См. также

Ссылки