Параметры Ламе

редактировать

В механике сплошных сред параметры Ламе (также называемые Ламе коэффициенты, константы Ламе или модули Ламе ) - это две зависящие от материала величины, обозначаемые λ и μ, которые возникают при деформации - стресс отношения. В общем, λ и μ по отдельности упоминаются как первый параметр Ламе и второй параметр Ламе, соответственно. Другие имена иногда используются для одного или обоих параметров, в зависимости от контекста. Например, параметр μ упоминается в гидродинамике как динамическая вязкость жидкости (не те же единицы); тогда как в контексте упругость, μназывается модулем сдвига и иногда обозначается G вместо μ . Обычно обозначение G рассматривается вместе с использованием модуля Юнга E, а обозначение μ сочетается с использованием λ.

в однородном и изотропном материалы, они определяют закон Гука в 3D,

σ = 2 μ ε + λ tr (ε) I, {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} = 2 \ mu {\ boldsymbol { \ varepsilon}} + \ lambda \; \ mathrm {tr} ({\ boldsymbol {\ varepsilon}}) I,}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma} } = 2 \ mu {\ boldsymbol {\ varepsilon}} + \ lambda \; \ mathrm {tr} ({\ boldsymbol {\ varepsilon}}) I,}

где σ - напряжение, εтензор деформации, I единичная матрица и tr функция trace. Закон Гука может быть записан в терминах компонент тензора с использованием обозначения индекса как

σ ij = 2 μ E ij + λ δ ij E kk, {\ displaystyle \ sigma _ {ij} = 2 \ mu E_ {ij} + \ лямбда \ delta _ {ij} E_ {kk},}

{\ displaystyle \ sigma _ {ij} = 2 \ mu E_ {ij} + \ lambda \ delta _ {ij} E_ {kk},}

где σ ij - тензор напряжений, E ij тензор деформации, а δ ij дельта Кронекера.

Эти два параметра вместе составляют параметризацию модулей упругости для однородных изотропных сред, популярных в математической литературе, и, таким образом, связаны с другими модулями упругости ; например, модуль объемной упругости может быть выражен как K = λ + 2 / 3μ. Соотношения для других модулей можно найти в строке (λ, G) таблицы преобразований в конце этой статьи.

Хотя модуль сдвига μ должен быть положительным, первый параметр Ламе, λ, в принципе может быть отрицательным; однако для большинства материалов это тоже положительно.

Параметры названы в честь Габриэля Ламе. Они имеют тот же размер , что и напряжение, и обычно указываются в единицах давления [Па].

Дополнительная литература

К. Фэн, З.-К. Ши, Математическая теория упругих конструкций, Springer New York, ISBN 0-387-51326-4, (1981)
G. Мавко, Т. Мукерджи, Дж. Дворкин, The Rock Physics Handbook, Cambridge University Press (мягкая обложка), ISBN 0-521-54344-4, (2003)
WS Слотер, Линеаризованная теория упругости, Биркхойзер, ISBN 0-8176-4117-3, (2002)

Ссылки

Формулы преобразования
Однородные изотропные линейные упругие материалы обладают своими упругими свойствами, однозначно определяемыми любыми двумя модулями из них; таким образом, при любых двух любых других модулях упругости можно рассчитать по этим формулам.
	$К = {\ Displaystyle К = \,}$ $K = \,$	$E = {\ Displaystyle E = \,}$ $E = \,$	$λ = {\ Displaystyle \ lambda = \,}$ $\ lambda = \,$	$G = {\ Displaystyle G = \,}$ $G = \,$	$ν = {\ displaystyle \ nu = \,}$ $\ nu = \,$	$M = {\ displaystyle M = \,}$ $M = \,$	Примечания
$(K, E) {\ displaystyle (K, \, E)}$ $(K, \, E)$			$3 K (3 K - E) 9 K - E {\ displaystyle {\ tfrac {3K (3K-E)} {9K-E}}}$ ${\ tfrac {3K (3K-E)} {9K-E}}$	$3 KE 9 K - E {\ displaystyle {\ tfrac {3KE} {9K-E}}}$ ${\ tfrac {3KE} {9K -E}}$	$3 K - E 6 K {\ displaystyle {\ tfrac {3K-E} {6K}}}$ ${\ tfrac {3K-E} {6K}}$	$3 K (3 K + E) 9 К - E {\ displaystyle {\ tfrac {3K (3K + E)} {9K-E}}}$ ${\ tfrac {3K (3K + E)} {9K-E}}$
$(K, λ) {\ displaystyle (K, \, \ lambda)}$ $(K, \, \ lambda)$		$9 K (К - λ) 3 К - λ {\ Displaystyle {\ tfrac {9K (K- \ lambda)} {3K- \ lambda}}}$ ${\ tfrac {9K (K- \ lambda)} {3K- \ lambda}}$		$3 (K - λ) 2 {\ Displaystyle {\ tfrac {3 (K- \ lambda)} {2}}}$ ${\ tfrac {3 (K- \ lambda)} {2}}$	$λ 3 K - λ {\ displaystyle {\ tfrac {\ lambda} {3K- \ lambda}}}$ ${\ tfrac {\ lambda} {3K- \ lambda}}$	$3 K - 2 λ {\ displaystyle 3K -2 \ lambda \,}$ $3K-2 \ lambda \,$
$(K, G) {\ displaystyle (K, \, G)}$ $(K, \, G)$		$9 кг 3 K + G {\ displaystyle {\ tfrac {9KG} {3K + G}} }$ ${\ tfrac {9KG} {3K + G}}$	$К - 2 G 3 {\ displaystyle K - {\ tfrac {2G} {3}}}$ $K - {\ tfrac {2G} {3 }}$		$3 K - 2 G 2 (3 K + G) {\ displaystyle {\ tfrac {3K-2G } {2 (3 К + G)}}}$ ${\ tfrac {3K-2G} {2 (3K + G)}}$	$К + 4 G 3 {\ displaystyle K + {\ tfrac {4G} {3}}}$ $K + {\ tfrac {4G} {3}}$
$(K, ν) {\ displaystyle (K, \, \ nu)}$ $(K, \, \ nu)$		$3 К (1-2 ν) {\ displaystyle 3K (1-2 \ nu) \,}$ $3K (1-2 \ nu) \,$	$3 K ν 1 + ν {\ displaystyle {\ tfrac {3K \ nu} {1+ \ nu }}}$ ${\ tfrac {3K \ nu} {1+ \ nu}}$	$3 К (1-2 ν) 2 (1 + ν) {\ displaystyle {\ tfrac {3K (1-2 \ nu)} {2 (1+ \ nu)}}}$ ${\ tfrac {3K (1-2 \ nu)} {2 (1+ \ nu)}}$		$3 К (1 - ν) 1 + ν {\ displaystyle {\ tfrac {3K (1- \ nu)} {1+ \ nu}}}$ ${\ tfrac {3K (1- \ nu)} {1+ \ nu}}$
$(K, M) {\ displaystyle (K, \, M)}$ $(K, \, M)$		$9 К (M - K) 3 K + M {\ displaystyle {\ tfrac {9K (MK)} {3K + M}}}$ ${\ tfrac {9K (MK)} {3K + M}}$	$3 K - M 2 {\ displaystyle {\ tfrac { 3K-M} {2}}}$ ${\ tfrac {3K-M} {2}}$	$3 (M - K) 4 {\ displaystyle {\ tfrac {3 (MK)} {4}}}$ ${\ tfrac {3 (MK)} {4}}$	$3 K - M 3 K + M {\ displaystyle {\ tfrac {3K-M} {3K + M}}}$ ${\ tfrac {3K-M} {3K + M}}$
$(E, λ) {\ displaystyle (E, \, \ lambda)}$ $(E, \, \ lambda)$	$E + 3 λ + R 6 {\ displaystyle {\ tfrac {E + 3 \ lambda + R} {6}}}$ ${\ tfrac {E + 3 \ lambda + R} {6}}$			$E - 3 λ + R 4 {\ displaystyle {\ tfrac {E-3 \ lambda + R} {4}}}$ ${\ tfrac { E-3 \ lambda + R} {4}}$	$2 λ E + λ + R {\ displaystyle {\ tfrac {2 \ lambda} {E + \ lambda + R}}}$ ${\ tfrac {2 \ lambda} {E + \ lambda + R}}$	$E - λ + R 2 {\ displaystyle {\ tfrac {E- \ lambda + R} {2 }}}$ ${\ tfrac {E- \ lambda + R} {2}}$	$R = E 2 + 9 λ 2 + 2 E λ {\ displaystyle R = {\ sqrt {E ^ {2} +9 \ лямбда ^ {2} + 2E \ lambda}}}$ $R = {\ sqrt {E ^ {2} +9 \ lambda ^ {2} + 2E \ lambda}}$
$(E, G) {\ displaystyle (E, \, G)}$ $(E, \, G)$	$EG 3 (3 G - E) {\ displaystyle {\ tfrac {EG } {3 (3G-E)}}}$ ${\ tfrac {EG} {3 (3G-E)}}$		$G (E - 2 G) 3 G - E {\ displaystyle {\ tfrac {G (E-2G)} {3G-E}}}$ ${\ tfrac {G (E-2G)} {3G-E}}$		$E 2 G - 1 {\ displaystyle {\ tfrac {E} {2G}} - 1}$ ${\ tfrac {E} {2G }} - 1$	$G (4 G - E) 3 G - E {\ displaystyle {\ tfrac {G (4G-E)} {3G -E}}}$ ${\ tfrac {G (4G-E)} {3G-E}}$
$(E, ν) {\ displaystyle (E, \, \ nu)}$ $(E, \, \ nu)$	$E 3 (1-2 ν) {\ displaystyle {\ tfrac {E} {3 (1- 2 \ nu)}}}$ ${\ tfrac {E } {3 (1-2 \ nu)}}$		$Е ν (1 + ν) (1-2 \ ν) {\ displaystyle {\ tfrac {E \ nu} {(1+ \ nu) (1-2 \ nu)}} }$ ${\ tfrac {E \ nu} {(1+ \ nu) (1-2 \ nu)}}$	$E 2 (1 + ν) {\ displaystyle {\ tfrac {E} {2 (1+ \ nu)}}}$ ${\ tfrac {E} {2 (1+ \ nu)}}$		$E (1 - ν) (1 + ν) (1-2 ν) {\ displaystyle {\ tfrac {E (1- \ nu)} {(1+ \ nu) (1-2 \ nu)}}}$ ${\ tfrac {E ( 1- \ nu)} {(1+ \ nu) (1-2 \ nu)}}$
$(E, M) {\ displaystyle (E, \, M)}$ $(E, \, M)$	$3 M - E + S 6 {\ displaystyle {\ tfrac {3M-E + S} {6}}}$ ${\ tfrac {3M-E + S} {6}}$		$M - E + S 4 {\ displaystyle {\ tfrac {M-E + S} {4}}}$ ${\ tfrac {M-E + S} {4} }$	$3 M + E - S 8 {\ displaystyle {\ tfrac {3M + ES} {8}}}$ ${\ tfrac {3M + ES} {8}}$	$E - M + S 4 M {\ displaystyle {\ tfrac { E-M + S} {4M}}}$ ${\ tfrac {E-M + S} {4M}}$		$S = ± E 2 + 9 M 2 - 10 EM {\ displaystyle S = \ pm {\ sqrt {E ^ {2} + 9M ^ {2} -10EM }}}$ $S = \ pm {\ sqrt {E ^ {2} + 9M ^ {2} -10EM}}$ . Есть два правильных решения.. Знак плюс ведет к $ν ≥ 0 {\ displaystyle \ nu \ geq 0}$ $\ nu \ geq 0$ .. Знак минус ведет к $ν ≤ 0 {\ displaystyle \ nu \ leq 0}$ $\ nu \ leq 0$ ..
$(λ, G) {\ displaystyle (\ lambda, \, G)}$ $(\ lambda, \, G)$	$λ + 2 G 3 {\ displaystyle \ lambda + {\ tfrac {2G} {3}}}$ $\ lambda + {\ tfrac {2G} {3}}$	$G (3 λ + 2 G) λ + G {\ displaystyle {\ tfrac {G (3 \ lambda + 2G)} {\ lambda + G}}}$ ${\ tfrac {G (3 \ lambda + 2G)} {\ lambda + G}}$			$λ 2 (λ + G) {\ displaystyle { \ tfrac {\ lambda} {2 (\ lambda + G)}}}$ ${\ tfrac {\ lambda} {2 (\ lambda + G)}}$	$λ + 2 G {\ displaystyle \ lambda + 2G \,}$ $\ lambda + 2G \,$
$(λ, ν) {\ displaystyle (\ lambda, \, \ nu)}$ $(\ lambda, \, \ nu)$	$λ (1 + ν) 3 ν {\ displaystyle {\ tfrac {\ lambda (1+ \ nu)} {3 \ nu}}}$ ${\ tfrac { \ lambda (1+ \ nu)} {3 \ nu}}$	$λ (1 + ν) (1 - 2 ν) ν {\ displaystyle {\ tfrac {\ lambda (1+ \ nu) (1-2 \ nu)} {\ nu}}}$ ${\ tfrac {\ lambda (1+ \ nu) (1-2 \ nu)} {\ nu}}$		$λ (1-2 ν) 2 ν {\ displaystyle { \ tfrac {\ lambda (1-2 \ nu)} {2 \ nu}}}$ ${\ tfrac {\ lambda (1-2 \ nu)} {2 \ nu}}$		$λ (1 - ν) ν {\ displaystyle {\ tfrac {\ lambda (1- \ nu)} {\ nu} }}$ ${\ tfrac {\ lambda (1- \ nu)} {\ nu}}$	Нельзя использовать, если $ν = 0 ⇔ λ = 0 {\ displaystyle \ nu = 0 \ Leftrightarrow \ lambda = 0}$ $\ nu = 0 \ Leftrightarrow \ lambda = 0$
$(λ, M) {\ displaystyle (\ lambda, \, M)}$ $(\ lambda, \, M)$	$M + 2 λ 3 {\ displaystyle {\ tfrac {M + 2 \ l ambda} {3}}}$ ${\ tfrac {M + 2 \ lambda} {3}}$	$(M - λ) (M + 2 λ) M + λ {\ displaystyle {\ tfrac {(M- \ lambda) (M + 2 \ lambda)} {M + \ lambda} }}$ ${\ tfrac {(M- \ lambda) (M + 2 \ lambda)} {M + \ lambda}}$		$M - λ 2 {\ displaystyle {\ tfrac {M- \ lambda} {2}}}$ ${\ tfrac {M- \ lambda} {2}}$	$λ M + λ {\ displaystyle {\ tfrac {\ lambda} {M + \ lambda}}}$ ${\ tfrac {\ lambda} {M + \ lambda}}$
$(G, ν) {\ displaystyle (G, \, \ nu)}$ $(G, \, \ nu)$	$2 G (1 + ν) 3 (1-2 ν) {\ displaystyle {\ tfrac {2G (1+ \ nu))} {3 (1-2 \ nu)}}}$ ${\ tfrac {2G (1+ \ nu) } {3 (1-2 \ nu)}}$	$2 G (1 + ν) {\ displaystyle 2G (1+ \ nu) \,}$ $2G (1+ \ nu) \,$	$2 G ν 1-2 ν {\ displaystyle {\ tfrac {2G \ nu} {1-2 \ nu}}}$ ${\ tfrac {2G \ nu} {1-2 \ nu}}$			$2 G (1 - ν) 1-2 ν {\ displaystyle {\ tfrac {2G (1- \ nu)} {1-2 \ Nu}}}$ ${\ tfrac {2G (1- \ nu)} {1-2 \ nu}}$
$(G, M) {\ displaystyle (G, \, M)}$ $(G, \, M)$	$M - 4 G 3 {\ displaystyle M - {\ tfrac {4G} {3}}}$ $M - {\ tfrac {4G } {3}}$	$G (3 M - 4 G) M - G {\ displaystyle {\ tfrac {G (3M-4G)} {MG}}}$ ${ \ tfrac {G (3M-4G)} {MG}}$	$M - 2 G {\ displaystyle M-2G \,}$ $M-2G \,$		$M - 2 G 2 M - 2 G {\ Displaystyle {\ tfrac {M-2G} {2M-2G}}}$ ${\ tfrac {M-2G} {2M-2G}}$
$(ν, M) {\ displaystyle (\ nu, \, M)}$ $(\ nu, \, M)$	$M (1 + ν) 3 (1 - ν) {\ Displaystyle {\ tfrac {M (1+ \ nu)} {3 (1- \ nu)}}}$ ${\ tfrac {M (1+ \ nu)} {3 ( 1- \ nu)}}$	$M (1 + ν) (1 - 2 ν) 1 - ν {\ Displaystyle {\ tfrac {M (1+ \ nu) (1-2 \ nu)} {1- \ nu}}}$ ${\ tfrac {M (1+ \ nu) (1-2 \ nu)} {1- \ nu}}$	$M ν 1 - ν {\ displaystyle {\ tfrac {M \ nu} {1- \ nu}}}$ ${\ tfrac {M \ nu} {1- \ nu}}$	$M (1-2 ν) 2 (1 - ν) {\ displaystyle {\ tfrac {M (1-2 \ nu)} {2 (1- \ nu)}}}$ ${\ tfrac {M (1-2 \ nu)} {2 (1- \ nu)}}$