Эластичный материал Коши

редактировать

В физике эластичный материал Коши - это материал, в котором напряжение в каждой точке определяется только текущим состоянием деформации по произвольному эталонная конфигурация. Эластичный материал Коши также называется простым эластичным материалом.

Из этого определения следует, что напряжение в эластичном по Коши материале не зависит от траектории деформации или истории деформации, или от времени, необходимого для достижения этой деформации, или скорости, с которой состояние деформации. Определение также подразумевает, что определяющие уравнения пространственно локальны; то есть на напряжение влияет только состояние деформации в бесконечно малой окрестности рассматриваемой точки, без учета деформации или движения остального материала. Это также означает, что телесные силы (например, сила тяжести) и силы инерции не могут влиять на свойства материала. Наконец, эластичный материал Коши должен удовлетворять требованиям объективности материала..

Эластичные материалы Коши являются математическими абстракциями, и ни один реальный материал не подходит идеально под это определение. Однако многие эластичные материалы, представляющие практический интерес, такие как сталь, пластик, дерево и бетон, часто можно считать упругими по Коши для целей анализа напряжений.

Содержание

1 Математическое определение
2 Изотропные эластичные материалы Коши
3 Неконсервативные материалы
4 Ссылки

Математическое определение

Формально материал считается упругим по Коши, если тензор напряжений Коши $σ {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}}}$ ${\ boldsymbol {\ sigma}}$ является функцией тензора деформации (градиент деформации ) $F {\ displaystyle {\ boldsymbol {F}}}$ ${\ boldsymbol {F}}$ только:

σ = G (F) {\ displaystyle \ {\ boldsymbol {\ sigma}} = {\ mathcal {G}} ( {\ boldsymbol {F}})}

\ {\ boldsymbol {\ sigma}} = {\ mathcal {G}} ({ \ boldsymbol {F}})

Это определение предполагает, что влияние температуры можно игнорировать, а тело однородно. Это основное уравнение для эластичного по Коши материала.

Обратите внимание, что функция $G {\ displaystyle {\ mathcal {G}}}$ ${\ mathcal {G}}$ зависит от выбора эталонной конфигурации. Обычно эталонная конфигурация принимается как расслабленная (без напряжения) конфигурация, но это не обязательно.

Материальное безразличие кадра требует, чтобы определяющее отношение $G {\ displaystyle {\ mathcal {G}}}$ ${\ mathcal {G}}$ не изменялось при изменении местоположения наблюдателя. Следовательно, определяющее уравнение для другого произвольного наблюдателя может быть записано $σ ∗ = G (F ∗) {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} ^ {*} = {\ mathcal {G} } ({\ boldsymbol {F}} ^ {*})}$ ${\ boldsymbol {\ sigma}} ^ {*} = {\ mathcal {G}} ({\ boldsymbol {F}} ^ {*})$ . Зная, что тензор напряжений Коши $σ {\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ и градиент деформации $F {\ displaystyle F}$ $F$ - объективные величины, можно записать:

σ ∗ = G (F ∗) ⇒ R ⋅ σ ⋅ RT = G (R ⋅ F) ⇒ R ⋅ G (F) ⋅ RT Знак равно G (р ⋅ F) {\ displaystyle {\ begin {align} {\ boldsymbol {\ sigma}} ^ {*} = {\ mathcal {G}} ({\ boldsymbol {F}} ^ {* }) \\\ Rightarrow {\ boldsymbol {R}} \ cdot {\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot {\ boldsymbol {R}} ^ {T} = {\ mathcal {G}} ({\ boldsymbol {R}} \ cdot {\ boldsymbol {F}}) \\\ Rightarrow {\ boldsymbol {R}} \ cdot {\ mathcal {G}} ({\ boldsymbol {F}}) \ cdot {\ boldsymbol {R}} ^ {T} = {\ mathcal {G}} ({\ boldsymbol {R}} \ cdot {\ boldsymbol {F}}) \ end {align}}}

{\ begin {align} {\ boldsymbol {\ sigma}} ^ {*} = {\ mathcal {G}} ({\ boldsymbol {F}} ^ {*}) \\\ Rightarrow {\ boldsymbol {R}} \ cdot {\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot {\ boldsymbol {R}} ^ {T} = {\ mathcal {G}} ({\ boldsymbol {R}} \ cdot {\ boldsymbol {F}}) \\\ Rightarrow {\ boldsymbol {R}} \ cdot {\ mathcal {G}} ({\ boldsymbol {F}}) \ cdot {\ boldsymbol {R}} ^ {T} = {\ mathcal {G}} ({\ boldsymbol {R}} \ cdot {\ boldsymbol {F}}) \ end {align}}

где $R {\ displaystyle {\ boldsymbol {R}}}$ ${\ boldsymbol {R}}$ - правильный ортогональный тензор.

Вышеизложенное является условием, которое основной закон $G {\ displaystyle {\ mathcal {G}}}$ ${\ mathcal {G}}$ должен соблюдать, чтобы убедиться, что реакция материала будет независимой от наблюдателя. Аналогичные условия могут быть получены для основных законов, связывающих градиент деформации с первым или вторым тензором напряжений Пиолы-Кирхгофа.

Изотропные эластичные материалы Коши

Для изотропного материала тензор напряжений Коши $σ {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}}}$ ${\ boldsymbol {\ sigma}}$ может быть выражен как функция левого угла Коши -Зеленый тензор $B = F ⋅ FT {\ displaystyle {\ boldsymbol {B}} = {\ boldsymbol {F}} \ cdot {\ boldsymbol {F}} ^ {T}}$ ${\ boldsymbol {B}} = {\ boldsymbol {F}} \ cdot {\ boldsymbol {F}} ^ {T}$ . Тогда основное уравнение может быть записано:

σ = H (B). {\ displaystyle \ {\ boldsymbol {\ sigma}} = {\ mathcal {H}} ({\ boldsymbol {B}}).}

\ {\ boldsymbol {\ sigma}} = {\ mathcal {H}} ({\ boldsymbol {B}}).

Чтобы найти ограничение на $h {\ displaystyle h}$ $h$ что обеспечит принцип безразличия материального каркаса, можно записать:

σ ∗ = H (B ∗) ⇒ R ⋅ σ ⋅ RT = H (F ∗ ⋅ (F ∗) T) ⇒ R ⋅ H (B) ⋅ RT = H (R ⋅ F ⋅ FT ⋅ RT) ⇒ R ⋅ H (B) ⋅ RT = H (R ⋅ B ⋅ RT). {\ displaystyle \ {\ begin {array} {rrcl} {\ boldsymbol {\ sigma}} ^ {*} = {\ mathcal {H}} ({\ boldsymbol {B}} ^ {*}) \ \\ Rightarrow {\ boldsymbol {R}} \ cdot {\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot {\ boldsymbol {R}} ^ {T} = {\ mathcal {H}} ({\ boldsymbol {F }} ^ {*} \ cdot ({\ boldsymbol {F}} ^ {*}) ^ {T}) \\\ Rightarrow {\ boldsymbol {R}} \ cdot {\ mathcal {H}} ({\ boldsymbol {B}}) \ cdot {\ boldsymbol {R}} ^ {T} = {\ mathcal {H}} ({\ boldsymbol {R}} \ cdot {\ boldsymbol {F}} \ cdot {\ boldsymbol {F}} ^ {T} \ cdot {\ boldsymbol {R}} ^ {T}) \\\ Rightarrow {\ boldsymbol {R}} \ cdot {\ mathcal {H}} ({\ boldsymbol {B }}) \ cdot {\ boldsymbol {R}} ^ {T} = {\ mathcal {H}} ({\ boldsymbol {R}} \ cdot {\ boldsymbol {B}} \ cdot {\ boldsymbol {R }} ^ {T}). \ End {array}}}

\ {\ begin {array} {rrcl} {\ boldsymbol {\ sigma}} ^ {*} = {\ mathcal {H}} ({\ boldsymbol {B} } ^ {*}) \\\ Rightarrow {\ boldsymbol {R}} \ cdot {\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot {\ boldsymbol {R}} ^ {T} = {\ mathcal {H} } ({\ boldsymbol {F}} ^ {*} \ cdot ({\ boldsymbol {F}} ^ {*}) ^ {T}) \\\ Rightarrow {\ boldsymbol {R}} \ cdot {\ mathcal {H}} ({\ boldsymbol {B}}) \ cdot {\ boldsymbol {R}} ^ {T} = {\ mathcal {H}} ({\ boldsymbol {R}} \ cdot {\ boldsymbol { F}} \ cdot {\ boldsymbol {F}} ^ {T} \ cdot {\ boldsymbol {R}} ^ {T}) \\\ Rightarrow {\ boldsymbol {R}} \ cdot {\ mathcal {H} } ({\ boldsymbol {B}}) \ cdot {\ boldsymbol {R}} ^ {T} = {\ mathcal {H}} ({\ boldsymbol {R}} \ cdot {\ boldsymbol {B}} \ cdot {\ bo ldsymbol {R}} ^ {T}). \ end {array}}

A Основное уравнение, которое соблюдает вышеуказанное условие, называется изотропным.

Неконсервативными материалами

Даже хотя напряжение в эластичном по Коши материале зависит только от состояния деформации, работа, выполняемая напряжениями, может зависеть от пути деформации. Поэтому эластичный материал Коши в целом имеет неконсервативную структуру, и напряжение не обязательно может быть получено из скалярной функции «упругого потенциала». Консервативные в этом смысле материалы называются гиперупругими или «зелено-эластичными».

Ссылки