Функция плотности энергии деформации

Функция плотности энергии деформации или функция плотности запасенной энергии представляет собой скалярную функцию, которая связывает плотность энергии деформации материала с градиентом деформации.

${\ displaystyle W = {\ hat {W}} ({\ boldsymbol {C}}) = {\ hat {W}} ({\ boldsymbol {F}} ^ {T} \ cdot {\ boldsymbol {F}}) = {\ bar {W}} ({\ boldsymbol {F}}) = {\ bar {W}} ({\ boldsymbol {B}} ^ {1/2} \ cdot {\ boldsymbol {R}}) = {\ tilde {W}} ({\ boldsymbol {B}}, {\ boldsymbol {R}})}$

Эквивалентно,

${\ displaystyle W = {\ hat {W}} ({\ boldsymbol {C}}) = {\ hat {W}} ({\ boldsymbol {R}} ^ {T} \ cdot {\ boldsymbol {B}} \ cdot {\ boldsymbol {R}}) = {\ tilde {W}} ({\ boldsymbol {B}}, {\ boldsymbol {R}})}$

где - (двухточечный) тензор градиента деформации, - правый тензор деформации Коши-Грина, - левый тензор деформации Коши-Грина, и - тензор вращения из полярного разложения. ${\ displaystyle {\ boldsymbol {F}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {C}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {B}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {R}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {F}}}$

Для анизотропного материала функция плотности энергии деформации неявно зависит от опорных векторов или тензоров (таких как исходная ориентация волокон в композите), которые характеризуют внутреннюю текстуру материала. Пространственное представление, кроме того, должно явно зависеть от тензора полярного вращения, чтобы предоставить достаточную информацию для преобразования опорных векторов текстуры или тензоров в пространственную конфигурацию. ${\ displaystyle {\ hat {W}} ({\ boldsymbol {C}})}$${\ displaystyle {\ tilde {W}} ({\ boldsymbol {B}}, {\ boldsymbol {R}})}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {R}}}$

Для изотропного материала рассмотрение принципа безразличия материального каркаса приводит к выводу, что функция плотности энергии деформации зависит только от инвариантов (или, что то же самое, от инвариантов, поскольку оба имеют одинаковые собственные значения). Другими словами, функция плотности энергии деформации может быть выражена однозначно в терминах основных участках или в терминах инвариантов в левой тензора Коши-Грина деформации или правого тензора Коши-Грина деформации и мы имеем: ${\ displaystyle {\ boldsymbol {C}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {B}}}$

Для изотропных материалов

${\ displaystyle W = {\ hat {W}} (\ lambda _ {1}, \ lambda _ {2}, \ lambda _ {3}) = {\ tilde {W}} (I_ {1}, I_ { 2}, I_ {3}) = {\ bar {W}} ({\ bar {I}} _ {1}, {\ bar {I}} _ {2}, J) = U (I_ {1} ^ {c}, I_ {2} ^ {c}, I_ {3} ^ {c})}$

с участием

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ bar {I}} _ {1} amp; = J ^ {- 2/3} ~ I_ {1} ~; ~~ I_ {1} = \ lambda _ {1} ^ {2} + \ lambda _ {2} ^ {2} + \ lambda _ {3} ^ {2} ~; ~~ J = \ det ({\ boldsymbol {F}}) \\ {\ bar {I }} _ {2} amp; = J ^ {- 4/3} ~ I_ {2} ~; ~~ I_ {2} = \ lambda _ {1} ^ {2} \ lambda _ {2} ^ {2} + \ lambda _ {2} ^ {2} \ lambda _ {3} ^ {2} + \ lambda _ {3} ^ {2} \ lambda _ {1} ^ {2} \ end {align}}}$

Для линейных изотропных материалов, испытывающих небольшие деформации, функция плотности энергии деформации специализируется на

${\ displaystyle W = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i = 1} ^ {3} \ sum _ {j = 1} ^ {3} \ sigma _ {ij} \ epsilon _ {ij } = {\ frac {1} {2}} (\ sigma _ {x} \ epsilon _ {x} + \ sigma _ {y} \ epsilon _ {y} + \ sigma _ {z} \ epsilon _ {z } +2 \ sigma _ {xy} \ epsilon _ {xy} +2 \ sigma _ {yz} \ epsilon _ {yz} +2 \ sigma _ {xz} \ epsilon _ {xz})}$

Функция плотности энергии деформации используются для определения гиперупругого материала, предположив, что напряжение в материале можно получить, взяв производную от по отношению к деформации. Для изотропного гиперупругого материала функция связывает энергию, запасенную в упругом материале, и, таким образом, взаимосвязь между напряжением и деформацией только с тремя компонентами деформации (удлинения), игнорируя, таким образом, историю деформации, рассеяние тепла, релаксацию напряжений и т. Д. ${\ displaystyle W}$

Для изотермических упругих процессов функция плотности энергии деформации связана с конкретной функцией свободной энергии Гельмгольца : ${\ displaystyle \ psi}$

${\ Displaystyle W = \ rho _ {0} \ psi \ ;.}$

Для изоэнтропических упругих процессов функция плотности энергии деформации связана с функцией внутренней энергии: ${\ displaystyle u}$

${\ Displaystyle W = \ rho _ {0} и \;}$

Вот некоторые примеры основных уравнений гиперупругости:

• Сен-Венан-Кирхгоф
• Неогукейский
• Обобщенный Ривлин
• Муни – Ривлин
• Огден
• Ага
• Модель Арруда – Бойса
• Гент

• Теория конечных деформаций
• Свободная энергия Гельмгольца и Гиббса в термоупругости
• Гиперупругий материал
• Модель Огдена – Роксбурга

1. Перейти ↑ Bower, Allan (2009). Прикладная механика твердого тела. CRC Press. ISBN   978-1-4398-0247-2. Проверено 23 января 2010 года.
2. Перейти ↑ Ogden, RW (1998). Нелинейные упругие деформации. Дувр. ISBN   978-0-486-69648-5.
3. ^ Садд, Мартин Х. (2009). Теория упругости, приложения и числа. Эльзевир. ISBN   978-0-12-374446-3.
4. ^ Wriggers, P. (2008). Нелинейные методы конечных элементов. Springer-Verlag. ISBN   978-3-540-71000-4.
5. ^ Muhr, АХ (2005). Моделирование напряженно-деформированного поведения резины. Химия и технология резины, 78 (3), 391–425. [1]