Неогуковское твердое тело

A Неогукевское твердое тело представляет собой модель гиперупругого материала, аналогичную модели Гука. закон, который можно использовать для прогнозирования нелинейного поведения напряженно-деформированного состояния материалов, подвергающихся большим деформациям. Модель была предложена Рональдом Ривлином в 1948 году. В отличие от линейно-упругих материалов, кривая напряжения-деформации неогуковского материала не линейный. Вместо этого зависимость между приложенным напряжением и деформацией изначально является линейной, но в определенный момент кривая напряжения-деформации выйдет на плато. Неогуковская модель не учитывает диссипативное высвобождение энергии в виде тепла при деформации материала, и предполагается, что на всех этапах деформации имеется совершенная эластичность.

Неогуковская модель основана на статистической термодинамике сшитых полимерных цепей и может использоваться для пластмасс и резин подобных веществ. Сшитые полимеры будут действовать неогуковским образом, потому что первоначально полимерные цепи могут перемещаться относительно друг друга при приложении напряжения. Однако в определенный момент полимерные цепи будут растянуты до максимальной точки, допускаемой ковалентными поперечными связями, и это вызовет резкое увеличение модуля упругости материала. Неогуковская модель материала не предсказывает это увеличение модуля при больших деформациях и обычно точна только для деформаций менее 20%. Модель также неадекватна для двухосных напряженных состояний и была заменена моделью Муни-Ривлина.

функция плотности энергии деформации для несжимаемого неогуковского материала в трехмерном описании:

$W\; =\; C\; 1\; (I\; 1-3)\; \{\backslash \; displaystyle\; W\; =\; C\_\; \{1\}\; (I\_\; \{1\}\; -3)\}$

где $C\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{1\}\}$- материальная константа, а $I\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; I\_\; \{1\}\}$является первым инвариантом (след ) правого тензора деформации Коши-Грина, то есть

$I\; 1\; =\; \lambda \; 1\; 2\; +\; \lambda \; 2\; 2\; +\; \lambda \; 3\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; I\_\; \{1\}\; =\; \backslash \; lambda\; \_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; lambda\; \_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; lambda\; \_\; \{3\}\; ^\; \{2\}\}$

где $\lambda \; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\}$- основные участки.

для сжимаемый неогуковский материал функция плотности энергии деформации определяется как

$W\; =\; C\; 1\; (I\; 1\; -\; 3\; -\; 2\; ln\; \; J)\; +\; D\; 1\; (J\; -\; 1)\; 2;\; J\; =\; Det\; (F)\; =\; \lambda \; 1\; \lambda \; 2\; \lambda \; 3\; \{\backslash \; Displaystyle\; W\; =\; C\_\; \{1\}\; ~\; (I\_\; \{1\}\; -3-2\; \backslash \; ln\; J)\; +\; D\_\; \{1\}\; ~\; (J-1)\; ^\; \{2\; \}\; ~;\; ~~\; J\; =\; \backslash \; det\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\})\; =\; \backslash \; lambda\; \_\; \{1\}\; \backslash \; lambda\; \_\; \{2\}\; \backslash \; lambda\; \_\; \{3\}\}$

где $D\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; D\_\; \{1\}\}$- это константа материала, а $F\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\}\}$- градиент деформации. Можно показать, что в 2D функция плотности энергии деформации равна

$W\; =\; C\; 1\; (I\; 1-2-2\; ln\; \; J)\; +\; D\; 1\; (J\; -\; 1)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; W\; =\; C\_\; \{1\}\; ~\; (I\_\; \{1\}\; -2-2\; \backslash \; ln\; J)\; +\; D\_\; \{1\}\; ~\; (J-1)\; ^\; \{2\}\}$

Существует несколько альтернативных формулировок для сжимаемых неогуковских материалов, например

$W\; Знак\; равно\; C\; 1\; (I\; ¯\; 1\; -\; 3)\; +\; (C\; 1\; 6\; +\; D\; 1\; 8)\; (J\; 2\; +\; 1\; J\; 2\; -\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; W\; =\; C\_\; \{1\}\; ~\; (\{\backslash \; bar\; \{I\}\}\; \_\; \{\; 1\}\; -3)\; +\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{C\_\; \{1\}\}\; \{6\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{D\_\; \{1\}\}\; \{8\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash !\; \backslash \; Left\; (J\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{J\; ^\; \{2\}\}\}\; -\; 2\; \backslash \; right)\}$

где $I\; ¯\; 1\; =\; J\; -\; 2/3\; I\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{I\}\}\; \_\; \{\; 1\}\; =\; J\; ^\; \{-\; 2/3\}\; I\_\; \{1\}\}$- первый инвариант изохорной части $C\; ¯\; =\; (det\; C)\; -\; 1/3\; C\; =\; J\; -\; 2/3\; C\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{C\}\}\}\; =\; (\backslash \; det\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{C\}\})\; ^\; \{-\; 1/3\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{C\}\}\; =\; J\; ^\; \{-\; 2/3\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{C\}\}\}$правого тензора деформации Коши – Грина.

Для согласованности с линейной упругостью

$C\; 1\; =\; \mu \; 2;\; D\; 1\; =\; \kappa \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{1\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\}\; \{2\}\}\; ~;\; ~~\; D\_\; \{1\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; kappa\}\; \{2\}\}\}$

где $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$- это модуль сдвига или первые параметры Ламе, а $\kappa \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\}$- это модуль объемной упругости.

• 1 Напряжение Коши в терминах тензоров деформации
  • 1.1 Сжимаемый неогуковский материал
  • 1.2 Несжимаемый неогуковский материал
• 2 Напряжение Коши в терминах основных растяжений
  • 2.1 Сжимаемый материал нео-Гука
  • 2.2 Несжимаемый материал нео-Гука
• 3 Одноосное удлинение
  • 3.1 Сжимаемый материал нео-Гука
  • 3.2 Несжимаемый материал нео-Гука
• 4 Эквибиаксиальное удлинение
  • 4.1 Сжимаемый материал нео-Гука
  • 4.2 Несжимаемый материал нео-Гука
• 5 Чистое расширение
• 6 Простой сдвиг
  • 6.1 Сжимаемый материал нео-Гука
  • 6.2 Несжимаемый материал нео-Гука
• 7 Ссылки
• 8 См. Также

Compressibl Неогуковский материал

Для сжимаемого неогуковского материала Ривлина напряжение Коши определяется как

$J\; \sigma \; =\; -\; p\; I\; +\; 2\; C\; 1\; dev\; \; (B\; ¯)\; =\; -\; p\; I\; +\; 2\; C\; 1\; J\; 2/3\; dev\; \; (B)\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; ~\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; sigma\}\}\; =\; -\; p\; ~\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{I\}\}\; +\; 2C\_\; \{1\}\; \backslash \; operatorname\; \{dev\}\; (\{\backslash \; bar\; \{\; \backslash \; boldsymbol\; \{B\}\}\})\; =\; -\; p\; ~\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{I\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{2C\_\; \{1\}\}\; \{J\; ^\; \{2/3\}\}\}\; \backslash \; operatorname\; \{dev\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{B\; \}\})\}$

где $B\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{B\}\}\}$- левый тензор деформации Коши-Грина, а

$p:\; =\; -\; 2\; D\; 1\; J\; (Дж\; -\; 1);\; dev\; \; (B\; ¯)\; =\; B\; ¯\; -\; 1\; 3\; I\; ¯\; 1\; I;\; B\; ¯\; =\; J\; -\; 2/3\; B.\; \{\backslash \; displaystyle\; p:\; =\; -\; 2D\_\; \{1\}\; ~\; J\; (J-1)\; ~;\; ~\; \backslash \; operatorname\; \{dev\}\; (\{\backslash \; bar\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{B\}\}\})\; =\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{B\}\}\; \}\; -\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{3\}\}\; \{\backslash \; bar\; \{I\}\}\; \_\; \{1\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{I\}\}\; ~;\; ~~\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{B\}\}\}\; =\; J\; ^\; \{-\; 2/3\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{B\}\}\; ~.\}$

Для бесконечно малых деформаций ($\epsilon \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; varepsilon\}\}\}$)

$J\; \approx \; 1\; +\; tr\; \; (\epsilon );\; B\; \approx \; I\; +\; 2\; \epsilon \; \{\backslash \; displaystyle\; J\; \backslash \; приблизительно\; 1+\; \backslash \; operatorname\; \{tr\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; varepsilon\}\})\; ~;\; ~~\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{B\}\}\; \backslash \; приблизительно\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{I\}\}\; +\; 2\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; varepsilon\}\}\}$

и напряжение Коши можно выразить как

$\sigma \; \approx \; 4\; C\; 1\; (\epsilon \; -\; 1\; 3\; tr\; \; (\epsilon )\; I)\; +\; 2\; D\; 1\; tr\; \; (\epsilon )\; I\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; sigma\}\}\; \backslash \; приблизительно\; 4C\_\; \{1\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; varepsilon\}\}\; -\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{3\}\}\; \backslash \; operatorname\; \{tr\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{\; \backslash \; varepsilon\}\})\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{I\}\}\; \backslash \; right)\; +\; 2D\_\; \{1\}\; \backslash \; operatorname\; \{tr\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; varepsilon\}\})\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{I\}\}\}$

Сравнение с Закон Гука показывает, что $\mu \; =\; 2\; C\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; =\; 2C\_\; \{1\}\}$и $\kappa \; =\; 2\; /\; D\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\; =\; 2\; /\; D\_\; \{1\; \}\}$.

Доказательство:

Напряжение Коши в сжимаемом гиперупругом материале определяется как $\sigma \; =\; 2\; Дж\; [1\; Дж\; 2/3\; (\partial \; W\; \partial \; I\; ¯\; 1\; +\; I\; ¯\; 1\; \partial \; W\; \partial \; I\; ¯\; 2)\; B\; -\; 1\; J\; 4/3\; \partial \; W\; \partial \; I\; ¯\; 2\; B\; \cdot \; B]\; +\; [\partial \; W\; \partial \; J\; -\; 2\; 3\; J\; (I\; ¯\; 1\; \partial \; W\; \partial \; I\; ¯\; 1\; +\; 2\; I\; ¯\; 2\; \partial \; W\; \partial \; I\; ¯\; 2)]\; I\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; sigma\}\}\; =\; \{\backslash \; cfrac\; \{2\}\; \{J\}\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{J\; ^\; \{\; 2/3\}\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; partial\; \{W\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; bar\; \{I\}\}\; \_\; \{1\}\}\}\; +\; \{\backslash \; bar\; \{I\}\}\; \_\; \{1\}\; ~\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; partial\; \{W\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; bar\; \{I\}\}\; \_\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{B\}\}\; -\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{J\; ^\; \{4/3\}\}\; \}\; ~\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; partial\; \{W\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; bar\; \{I\}\}\; \_\; \{2\}\}\}\; ~\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{B\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{B\}\}\; \backslash \; right]\; +\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; partial\; \{W\}\}\; \{\backslash \; partial\; J\}\}\; -\; \{\backslash \; cfrac\; \{2\}\; \{3J\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; bar\; \{I\}\}\; \_\; \{1\}\; ~\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; partial\; \{W\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; bar\; \{I\}\}\; \_\; \{1\}\}\}\; +\; 2\; ~\; \{\backslash \; bar\; \{I\}\}\; \_\; \{2\}\; ~\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; partial\; \{W\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; bar\; \{I\}\}\; \_\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right]\; ~\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{I\}\}\}$ Для сжимаемого неогуковского материала Ривлина $\partial \; W\; \partial \; I\; ¯\; 1\; =\; C\; 1\; ;\; \partial \; W\; \partial \; I\; ¯\; 2\; =\; 0;\; \partial \; W\; \partial \; J\; знак\; равно\; 2\; D\; 1\; (J\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; partial\; \{W\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; bar\; \{I\}\}\; \_\; \{1\}\}\}\; =\; C\_\; \{1\}\; ~;\; ~\; ~\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; partial\; \{W\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; bar\; \{I\}\}\; \_\; \{2\}\}\}\; =\; 0\; ~;\; ~~\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; partial\; \{W\}\}\; \{\backslash \; partial\; J\}\}\; =\; 2D\_\; \{1\}\; (J-1)\}$ в то время как для сжимаемого материала Огдена неогуковского типа $\partial \; W\; \partial \; I\; ¯\; 1\; =\; C\; 1;\; \partial \; W\; \partial \; I\; ¯\; 2\; =\; 0;\; \partial \; W\; \partial \; J\; знак\; равно\; 2\; D\; 1\; (J\; -\; 1)\; -\; 2\; C\; 1\; J\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; partial\; \{W\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; bar\; \{I\}\}\; \_\; \{1\}\}\}\; =\; C\_\; \{\; 1\}\; ~;\; ~~\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; partial\; \{W\}\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; bar\; \{I\}\}\; \_\; \{2\}\}\}\; =\; 0\; ~;\; ~~\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; partial\; \{W\}\}\; \{\backslash \; частичное\; J\}\}\; =\; 2D\_\; \{1\}\; (J-1)\; -\; \{\backslash \; cfrac\; \{2C\_\; \{1\}\}\; \{J\}\}\}$ Следовательно, напряжение Коши в сжимаемом материале Ривлина неогуковского типа определяется как $\sigma \; =\; 2\; J\; [1\; J\; 2/3\; C\; 1\; B]\; +\; [2\; D\; 1\; (J\; -\; 1)\; -\; 2\; 3\; JC\; 1\; I\; ¯\; 1]\; I\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; sigma\}\}\; =\; \{\backslash \; cfrac\; \{2\}\; \{J\}\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{J\; ^\; \{2/3\}\}\}\; ~\; C\_\; \{1\}\; ~\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{B\}\}\; \backslash \; right]\; +\; \backslash \; left\; [2D\_\; \{1\}\; (J-1)\; -\; \{\backslash \; cfrac\; \{2\}\; \{3J\}\}\; ~\; C\_\; \{1\}\; \{\backslash \; bar\; \{I\}\}\; \_\; \{1\}\; \backslash \; right]\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{I\}\}\}$ в то время как для соответствующий материал Огдена: $\sigma \; =\; 2\; J\; [1\; J\; 2/3\; C\; 1\; B]\; +\; [2\; D\; 1\; (J\; -\; 1)\; -\; 2\; C\; 1\; J\; -\; 2\; 3\; JC\; 1\; I\; ¯\; 1]\; I\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\; \backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; sigma\}\}\; =\; \{\backslash \; cfrac\; \{2\}\; \{J\}\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{J\; ^\; \{2/3\}\}\}\; ~\; C\_\; \{1\}\; ~\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{B\}\}\; \backslash \; right]\; +\; \backslash \; left\; [2D\_\; \{1\}\; (J-1)\; -\; \{\backslash \; cfrac\; \{2C\_\; \{1\}\}\; \{J\}\}\; -\; \{\backslash \; cfrac\; \{2\}\; \{3J\}\}\; ~\; C\_\; \{1\}\; \{\backslash \; bar\; \{\; I\}\}\; \_\; \{1\}\; \backslash \; right]\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{I\}\}\}$ Если изохорная часть левого Cauc Тензор деформации ги-Грина определяется как $B\; ¯\; =\; J\; -\; 2/3\; B\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{B\}\}\}\; =\; J\; ^\; \{-\; 2/3\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{B\}\}\; \}$, то мы можем записать напряжение Ривлина по нео-Гёкену как $\sigma \; =\; 2\; C\; 1\; J\; [B\; ¯\; -\; 1\; 3\; I\; ¯\; 1\; I]\; +\; 2\; D\; 1\; (J\; -\; 1)\; I\; =\; 2\; C\; 1\; J\; dev\; \; (B\; ¯)\; +\; 2\; D\; 1\; (J\; -\; 1)\; I\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; sigma\}\}\; =\; \{\backslash \; cfrac\; \{2C\_\; \{1\}\}\; \{J\}\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; bar\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{B\}\}\}\; -\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{3\}\}\; \{\backslash \; bar\; \{I\}\}\; \_\; \{1\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{I\}\}\; \backslash \; right]\; +\; 2D\_\; \{1\}\; (J-1)\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{I\}\}\; =\; \{\backslash \; cfrac\; \{2C\_\; \{1\}\}\; \{J\}\}\; \backslash \; operatorname\; \{dev\}\; (\{\backslash \; bar\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{B\}\}\})\; +\; 2D\_\; \{1\}\; (J-1)\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{I\}\}\}$ и неогуковское напряжение Огдена как $\sigma \; =\; 2\; C\; 1\; J\; [B\; ¯\; -\; 1\; 3\; I\; ¯\; 1\; I\; -\; I]\; +\; 2\; D\; 1\; (J\; -\; 1)\; I\; =\; 2\; C\; 1\; J\; [дев\; \; (B\; ¯)\; -\; I]\; +\; 2\; D\; 1\; (J\; -\; 1)\; I\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; sigma\}\}\; =\; \{\backslash \; cfrac\; \{2C\_\; \{1\}\}\; \{J\}\; \}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; bar\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{B\}\}\}\; -\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{3\}\}\; \{\backslash \; bar\; \{I\}\}\; \_\; \{1\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{I\}\}\; -\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{I\; \}\}\; \backslash \; right]\; +\; 2D\_\; \{1\}\; (J-1)\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{I\}\}\; =\; \{\backslash \; cfrac\; \{2C\_\; \{1\}\}\; \{J\}\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; operatorname\; \{dev\}\; (\{\backslash \; bar\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{B\}\}\})\; -\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{I\}\}\; \backslash \; right]\; +\; 2D\_\; \{1\}\; (J-1)\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{I\}\}\}$ Величины $p:\; =\; -\; 2\; D\; 1\; J\; (J\; -\; 1);\; p\; \ast \; =\; -\; 2\; D\; 1\; J\; (J\; -\; 1)\; +\; 2\; C\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; p:\; =\; -\; 2D\_\; \{1\}\; ~\; J\; (J-1)\; ~;\; ~~\; p\; ^\; \{*\}\; =\; -\; 2D\_\; \{1\}\; ~\; J\; (J-1)\; +\; 2C\_\; \{1\}\}$ имеют форму давлений и обычно рассматриваются как таковые. Неогуковское напряжение Ривлина может быть выражено в виде $\tau \; =\; J\; \sigma \; =\; -\; p\; I\; +\; 2\; C\; 1\; dev\; \; (B\; ¯)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; tau\}\}\; =\; J\; ~\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; sigma\}\}\; =\; -\; p\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{I\}\}\; +\; 2C\_\; \{1\}\; \backslash \; operatorname\; \{dev\}\; (\{\backslash \; bar\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{B\}\}\})\}$ в то время как неогуковское ударение Огдена имеет вид $\tau \; =\; -\; p\; \ast \; I\; +\; 2\; C\; 1\; dev\; \; (B\; ¯)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; tau\}\}\; =\; -\; p\; ^\; \{*\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{I\}\}\; +\; 2C\_\; \{\; 1\}\; \backslash \; operatorname\; \{dev\}\; (\{\backslash \; bar\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{B\}\}\})\}$

Несжимаемый неогукевский материал

Для несжимаемого неогукевского материала с $J\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; =\; 1\}$

$\sigma \; =\; -\; p\; I\; +\; 2\; C\; 1\; B\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; sigma\}\}\; =\; -\; p\; ~\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{I\}\}\; +\; 2C\_\; \{\; 1\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{B\}\}\}$

где $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$- неопределенное давление.

Сжимаемый неогукковский материал

Для сжимаемого неогуковского гиперэластичного материала основные компоненты Напряжение Коши определяется выражением

$\sigma \; i\; =\; 2\; C\; 1\; J\; -\; 5/3\; [\lambda \; i\; 2\; -\; I\; 1\; 3]\; +\; 2\; D\; 1\; (J\; -\; 1);\; я\; =\; 1,\; 2,\; 3\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{я\}\; =\; 2C\_\; \{1\}\; J\; ^\; \{-\; 5/3\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; lambda\; \_\; \{я\}\; ^\; \{2\}\; -\; \{\backslash \; cfrac\; \{I\_\; \{1\; \}\}\; \{3\}\}\; \backslash \; right]\; +\; 2D\_\; \{1\}\; (J-1)\; ~;\; ~~\; i\; =\; 1,2,3\}$

Следовательно, разница между главными напряжениями составляет

$\sigma \; 11\; -\; \sigma \; 33\; =\; 2\; C\; 1\; J\; 5/3\; (\lambda \; 1\; 2\; -\; \lambda \; 3\; 2);\; \sigma \; 22\; -\; \sigma \; 33\; знак\; равно\; 2\; С\; 1\; J\; 5/3\; (\lambda \; 2\; 2\; -\; \lambda \; 3\; 2)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{11\}\; -\; \backslash \; sigma\; \_\; \{33\}\; =\; \{\backslash \; cfrac\; \{2C\_\; \{1\}\}\; \{J\; ^\; \{5/3\}\}\}\; (\backslash \; lambda\; \_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; -\; \backslash \; lambda\; \_\; \{3\}\; ^\; \{2\})\; ~;\; ~~\; \backslash \; sigma\; \_\; \{22\}\; -\; \backslash \; sigma\; \_\; \{33\}\; =\; \{\; \backslash \; cfrac\; \{2C\_\; \{1\}\}\; \{J\; ^\; \{5/3\}\}\}\; (\backslash \; lambda\; \_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\; -\; \backslash \; lambda\; \_\; \{3\}\; ^\; \{2\})\}$

Доказательство:

Для сжимаемого гиперупругого материала главные компоненты напряжения Коши определяются выражением $\sigma \; i\; =\; \lambda \; i\; \lambda \; 1\; \lambda \; 2\; \lambda \; 3\; \partial \; W\; \partial \; \lambda \; i;\; я\; =\; 1,\; 2,\; 3\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{я\}\; =\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\}\; \{\backslash \; lambda\; \_\; \{1\}\; \backslash \; lambda\; \_\; \{2\}\; \backslash \; lambda\; \_\; \{3\}\}\}\; ~\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; W\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\}\}\; ~;\; ~~\; i\; =\; 1,2,3\}$ Функция плотности энергии деформации для сжимаемого неогуковского материала составляет $Вт\; =\; C\; 1\; (I\; ¯\; 1\; -\; 3)\; +\; D\; 1\; (J\; -\; 1)\; 2\; =\; C\; 1\; [J\; -\; 2/3\; (\lambda \; 1\; 2\; +\; \lambda \; 2\; 2\; +\; \lambda \; 3\; 2)\; -\; 3]\; +\; D\; 1\; (J\; -\; 1)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; W\; =\; C\_\; \{1\}\; (\{\backslash \; bar\; \{I\}\}\; \_\; \{1\}\; -3)\; +\; D\_\; \{1\}\; (J-1)\; ^\; \{2\}\; =\; C\_\; \{1\}\; \backslash \; left\; [J\; ^\; \{-\; 2/3\}\; (\backslash \; lambda\; \_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; lambda\; \_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; lambda\; \_\; \{3\}\; ^\; \{2\})\; -\; 3\; \backslash \; right]\; +\; D\_\; \{1\; \}\; (J-1)\; ^\; \{2\}\}$ Следовательно, $\lambda \; i\; \partial \; W\; \partial \; \lambda \; i\; =\; C\; 1\; [-\; 2\; 3\; J\; -\; 5/3\; \lambda \; i\; \partial \; J\; \partial \; \lambda \; i\; (\lambda \; 1\; 2\; +\; \lambda \; 2\; 2\; +\; \lambda \; 3\; 2)\; +\; 2\; J\; -\; 2/3\; \lambda \; я\; 2]\; +\; 2\; D\; 1\; (J\; -\; 1)\; \lambda \; я\; \partial \; J\; \partial \; \lambda \; я\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; W\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\}\}\; =\; C\_\; \{1\}\; \backslash \; left\; [-\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{3\}\}\; J\; ^\; \{-\; 5/3\}\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\; \{\backslash \; frac\; \{\; \backslash \; partial\; J\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\}\}\; (\backslash \; lambda\; \_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; lambda\; \_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; lambda\; \_\; \{3\}\; ^\; \{2\})\; +\; 2J\; ^\; \{-\; 2/3\}\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right]\; +\; 2D\_\; \{1\}\; (J-1)\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; J\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\}\}\}$ Поскольку $J\; =\; \lambda \; 1\; \lambda \; 2\; \lambda \; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; =\; \backslash \; lambda\; \_\; \{1\}\; \backslash \; lambda\; \_\; \{2\}\; \backslash \; lambda\; \_\; \{3\}\}$мы имеем $\lambda \; i\; \partial \; J\; \partial \; \lambda \; i\; =\; \lambda \; 1\; \lambda \; 2\; \lambda \; 3\; знак\; равно\; J\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; J\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\}\}\; =\; \backslash \; lambda\; \_\; \{1\}\; \backslash \; lambda\; \_\; \{2\}\; \backslash \; lambda\; \_\; \{3\; \}\; =\; J\}$ Следовательно, $\lambda \; i\; \partial \; W\; \partial \; \lambda \; i\; =\; C\; 1\; [-\; 2\; 3\; J\; -\; 2/3\; (\lambda \; 1\; 2\; +\; \lambda \; 2\; 2\; +\; \lambda \; 3\; 2)\; +\; 2\; J\; -\; 2\; /\; 3\; \lambda \; i\; 2]\; +\; 2\; D\; 1\; J\; (J\; -\; 1)\; =\; 2\; C\; 1\; J\; -\; 2/3\; [-\; 1\; 3\; (\lambda \; 1\; 2\; +\; \lambda \; 2\; 2\; +\; \lambda \; 3\; 2)\; +\; \lambda \; i\; 2]\; +\; 2\; D\; 1\; J\; (J\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; W\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\}\}\; =\; C\_\; \{1\}\; \backslash \; left\; [-\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{3\}\}\; J\; ^\; \{-\; 2/3\}\; (\backslash \; lambda\; \_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; lambda\; \_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; lambda\; \_\; \{3\}\; ^\; \{2\; \})\; +\; 2J\; ^\; \{-\; 2/3\}\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right]\; +\; 2D\_\; \{1\}\; J\; (J-1)\; \backslash \backslash \; =\; 2C\_\; \{1\}\; J\; ^\; \{-\; 2/3\; \}\; \backslash \; left\; [-\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\}\; (\backslash \; lambda\; \_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; lambda\; \_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; lambda\; \_\; \{3\}\; ^\; \{2\})\; +\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right]\; +\; 2D\_\; \{1\}\; J\; (J-1)\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$ Таким образом, главные напряжения Коши выражаются как $\sigma \; i\; =\; 2\; C\; 1\; J\; -\; 5/3\; [\lambda \; я\; 2\; -\; I\; 1\; 3]\; +\; 2\; D\; 1\; (J\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{i\}\; =\; 2C\_\; \{1\}\; J\; ^\; \{-\; 5/3\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; лямбда\; \_\; \{i\}\; ^\; \{2\}\; -\; \{\backslash \; cfrac\; \{I\_\; \{1\}\}\; \{3\}\; \}\; \backslash \; right]\; +\; 2D\_\; \{1\}\; (J-1)\}$

Несжимаемый неогуковский материал

В терминах основных растяжений, разницы напряжений Коши для несжимаемый гиперупругий материал определяется как

$\sigma \; 11\; -\; \sigma \; 33\; =\; \lambda \; 1\; \partial \; W\; \partial \; \lambda \; 1\; -\; \lambda \; 3\; \partial \; W\; \partial \; \lambda \; 3;\; \sigma \; 22\; -\; \sigma \; 33\; знак\; равно\; \lambda \; 2\; \partial \; W\; \partial \; \lambda \; 2\; -\; \lambda \; 3\; \partial \; W\; \partial \; \lambda \; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{11\}\; -\; \backslash \; sigma\; \_\; \{33\}\; =\; \backslash \; lambda\; \_\; \{1\}\; ~\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; partial\; \{W\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; lambda\; \_\; \{1\}\}\}\; -\; \backslash \; lambda\; \_\; \{3\}\; ~\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; partial\; \{W\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; lambda\; \_\; \{3\}\}\}\; ~;\; ~~\; \backslash \; sigma\; \_\; \{22\}\; -\; \backslash \; sigma\; \_\; \{33\}\; =\; \backslash \; lambda\; \_\; \{2\}\; ~\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; partial\; \{W\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; lambda\; \_\; \{2\}\}\}\; -\; \backslash \; lambda\; \_\; \{3\}\; ~\; \{\; \backslash \; cfrac\; \{\backslash \; partial\; \{W\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; lambda\; \_\; \{3\}\}\}\}$

Для несжимаемого неогуковского материала

$W\; =\; C\; 1\; (\lambda \; 1\; 2\; +\; \lambda \; 2\; 2\; +\; \lambda \; 3\; 2\; -\; 3);\; \lambda \; 1\; \lambda \; 2\; \lambda \; 3\; знак\; равно\; 1\; \{\backslash \; Displaystyle\; W\; =\; C\_\; \{1\}\; (\backslash \; lambda\; \_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; lambda\; \_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; lambda\; \_\; \{3\}\; ^\; \{2\}\; -3)\; ~;\; ~~\; \backslash \; lambda\; \_\; \{1\}\; \backslash \; lambda\; \_\; \{2\}\; \backslash \; lambda\; \_\; \{3\}\; =\; 1\}$

Следовательно,

$\partial \; W\; \partial \; \lambda \; 1\; =\; 2\; C\; 1\; \lambda \; 1;\; \partial \; W\; \partial \; \lambda \; 2\; =\; 2\; C\; 1\; \lambda \; 2;\; \partial \; W\; \partial \; \lambda \; 3\; знак\; равно\; 2\; C\; 1\; \lambda \; 3\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; partial\; \{W\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; lambda\; \_\; \{1\}\}\}\; =\; 2C\_\; \{1\}\; \backslash \; lambda\; \_\; \{1\}\; ~;\; ~~\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; partial\; \{W\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; lambda\; \_\; \{2\}\}\}\; =\; 2C\_\; \{1\}\; \backslash \; lambda\; \_\; \{2\}\; ~;\; ~~\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; partial\; \{W\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; лямбда\; \_\; \{3\}\}\}\; =\; 2C\_\; \{1\}\; \backslash \; lambda\; \_\; \{3\}\}$

, что дает

$\sigma \; 11\; -\; \sigma \; 33\; =\; 2\; (\lambda \; 1\; 2\; -\; \lambda \; 3\; 2)\; C\; 1;\; \sigma \; 22\; -\; \sigma \; 33\; знак\; равно\; 2\; (\lambda \; 2\; 2\; -\; \lambda \; 3\; 2)\; C\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{11\}\; -\; \backslash \; sigma\; \_\; \{33\}\; =\; 2\; (\backslash \; lambda\; \_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; -\; \backslash \; lambda\; \_\; \{3\}\; ^\; \{2\})\; C\_\; \{1\}\; ~;\; ~~\; \backslash \; sigma\; \_\; \{22\}\; -\; \backslash \; sigma\; \_\; \{33\}\; =\; 2\; (\backslash \; lambda\; \_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\; -\; \backslash \; lambda\; \_\; \{3\}\; ^\; \{2\})\; C\_\; \{1\}\}$

Сжимаемый материал неогуковского периода

Истинное напряжение как функция одноосного растяжения, предсказываемое сжимаемым материалом неогуковского периода для различных значений $С\; 1,\; D\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{1\},\; D\_\; \{1\}\}$. Свойства материала типичны для натурального каучука.

. Для сжимаемого материала, подвергающегося одноосному растяжению, основные растяжения составляют

$\lambda \; 1\; =\; \lambda ;\; \lambda \; 2\; =\; \lambda \; 3\; =\; J\; \lambda ;\; I\; 1\; знак\; равно\; \lambda \; 2\; +\; 2\; J\; \lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{1\}\; =\; \backslash \; lambda\; ~;\; ~~\; \backslash \; lambda\; \_\; \{2\}\; =\; \backslash \; lambda\; \_\; \{3\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; tfrac\; \{J\}\; \{\backslash \; lambda\}\}\}\; ~;\; ~~\; I\_\; \{1\}\; =\; \backslash \; lambda\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; tfrac\; \{2J\}\; \{\backslash \; lambda\}\}\}$

Следовательно, истинные (Коши) напряжения для сжимаемого материала неогукевского типа равны

$\sigma \; 11\; =\; 4\; C\; 1\; 3\; J\; 5/3\; (\lambda \; 2\; -\; J\; \lambda )\; +\; 2\; D\; 1\; (J\; -\; 1)\; \sigma \; 22\; =\; \sigma \; 33\; =\; 2\; C\; 1\; 3\; J\; 5/3\; (J\; \lambda \; -\; \lambda \; 2)\; +\; 2\; D\; 1\; (J\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{11\}\; =\; \{\backslash \; cfrac\; \{4C\_\; \{1\}\}\; \{3J\; ^\; \{5/3\}\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; lambda\; ^\; \{2\}\; -\; \{\backslash \; tfrac\; \{J\}\; \{\backslash \; lambda\}\}\; \backslash \; right)\; +\; 2D\_\; \{1\}\; (J-1)\; \backslash \backslash \backslash \; sigma\; \_\; \{22\}\; =\; \backslash \; sigma\; \_\; \{33\}\; =\; \{\backslash \; cfrac\; \{2C\_\; \{1\}\}\; \{3J\; ^\; \{5/3\}\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; tfrac\; \{J\}\; \{\backslash \; lambda\}\}\; -\; \backslash \; lambda\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; +\; 2D\_\; \{1\}\; (J\; -1)\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Разница напряжений определяется как

$\sigma \; 11\; -\; \sigma \; 33\; =\; 2\; C\; 1\; J\; 5/3\; (\lambda \; 2\; -\; J\; \lambda );\; \sigma \; 22\; -\; \sigma \; 33\; знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{11\}\; -\; \backslash \; sigma\; \_\; \{33\}\; =\; \{\backslash \; cfrac\; \{2C\_\; \{1\}\}\; \{J\; ^\; \{5/3\}\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; lambda\; ^\; \{\; 2\}\; -\; \{\backslash \; tfrac\; \{J\}\; \{\backslash \; lambda\}\}\; \backslash \; right)\; ~;\; ~~\; \backslash \; sigma\; \_\; \{22\}\; -\; \backslash \; sigma\; \_\; \{33\}\; =\; 0\}$

Если материал не ограничен, мы имеем $\sigma \; 22\; знак\; равно\; \sigma \; 33\; знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{22\}\; =\; \backslash \; sigma\; \_\; \{33\}\; =\; 0\}$. Тогда

$\sigma \; 11\; =\; 2\; C\; 1\; J\; 5/3\; (\lambda \; 2\; -\; J\; \lambda )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{11\}\; =\; \{\backslash \; cfrac\; \{2C\_\; \{1\}\}\; \{J\; ^\; \{5/3\}\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; lambda\; ^\; \{2\}\; -\; \{\backslash \; tfrac\; \{J\}\; \{\backslash \; lambda\}\}\; \backslash \; right)\}$

Приравнивание двух выражений для $\sigma \; 11\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{11\}\}$дает отношение для $J\; \{\backslash \; displaystyle\; J\}$как функцию от $\lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\}$, т. Е.

$4\; С\; 1\; 3\; J\; 5/3\; (\lambda \; 2\; -\; J\; \lambda )\; +\; 2\; D\; 1\; (J\; -\; 1)\; =\; 2\; C\; 1\; J\; 5/3\; (\lambda \; 2\; -\; J\; \lambda )\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; cfrac\; \{4C\_\; \{1\}\}\; \{3J\; ^\; \{5/3\}\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; lambda\; ^\; \{2\}\; -\; \{\backslash \; tfrac\; \{J\}\; \{\backslash \; lambda\}\}\; \backslash \; right)\; +\; 2D\_\; \{1\}\; (J-1)\; =\; \{\backslash \; cfrac\; \{2C\_\; \{1\}\}\; \{J\; ^\; \{5/3\}\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; lambda\; ^\; \{2\}\; -\; \{\backslash \; tfrac\; \{J\}\; \{\backslash \; lambda\}\}\; \backslash \; right)\}$

или

$D\; 1\; J\; 8\; /\; 3\; -\; D\; 1\; J\; 5/3\; +\; C\; 1\; 3\; \lambda \; J\; -\; C\; 1\; \lambda \; 2\; 3\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; D\_\; \{1\}\; J\; ^\; \{8/3\}\; -D\_\; \{1\}\; J\; ^\; \{5/3\}\; +\; \{\backslash \; tfrac\; \{C\_\; \{1\}\}\; \{3\; \backslash \; lambda\}\}\; J\; -\; \{\backslash \; tfrac\; \{C\_\; \{1\}\; \backslash \; lambda\; ^\; \{2\}\}\; \{3\}\}\; =\; 0\}$

Вышеупомянутое уравнение можно решить численно, используя итеративная процедура поиска корня Ньютона-Рафсона.

Несжимаемый материал неогука

Сравнение экспериментальных результатов (точки) и прогнозов для закона Гука (1), неогуковского твердого тела (2) и Муни-Ривлина твердотельные модели (3)

При одноосном расширении $\lambda \; 1\; =\; \lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{1\}\; =\; \backslash \; lambda\; \backslash ,\}$и $\lambda \; 2\; =\; \lambda \; 3\; =\; 1\; /\; \lambda \; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{2\}\; =\; \backslash \; lambda\; \_\; \{3\}\; =\; 1\; /\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; lambda\}\}\}$. Следовательно,

$\sigma \; 11\; -\; \sigma \; 33\; =\; 2\; C\; 1\; (\lambda \; 2\; -\; 1\; \lambda );\; \sigma \; 22\; -\; \sigma \; 33\; знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{11\}\; -\; \backslash \; sigma\; \_\; \{33\}\; =\; 2C\_\; \{1\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; lambda\; ^\; \{2\}\; -\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{\backslash \; lambda\}\}\; \backslash \; справа)\; ~;\; ~~\; \backslash \; sigma\; \_\; \{22\}\; -\; \backslash \; sigma\; \_\; \{33\}\; =\; 0\}$

При отсутствии сцепления по бокам $\sigma \; 22\; =\; \sigma \; 33\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{22\; \}\; =\; \backslash \; sigma\; \_\; \{33\}\; =\; 0\}$, поэтому мы можем записать

$\sigma \; 11\; =\; 2\; C\; 1\; (\lambda \; 2\; -\; 1\; \lambda )\; =\; 2\; C\; 1\; (3\; \epsilon \; 11\; +\; 3\; \epsilon \; 11\; 2\; +\; \epsilon \; 11\; 3\; 1\; +\; \epsilon \; 11)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{11\}\; =\; 2C\_\; \{1\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; lambda\; ^\; \{2\}\; -\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{\backslash \; lambda\}\}\; \backslash \; right)\; =\; 2C\_\; \{1\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{3\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{11\}\; +3\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{11\}\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{11\}\; ^\; \{3\}\}\; \{1+\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{11\}\; \}\}\; \backslash \; right)\}$

где $\epsilon \; 11\; =\; \lambda \; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{11\}\; =\; \backslash \; lambda\; -1\}$- инженерная деформация. Это уравнение часто записывается в альтернативной записи как

$T\; 11\; =\; 2\; C\; 1\; (\alpha \; 2\; -\; 1\; \alpha )\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{11\}\; =\; 2C\_\; \{1\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; alpha\; ^\; \{2\}\; -\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{\backslash \; alpha\}\}\; \backslash \; right)\}$

Вышеприведенное уравнение предназначено для истинного напряжения (отношения силы удлинения к деформированному поперечному сечению). Для инженерного напряжения уравнение:

$\sigma \; 11\; eng\; =\; 2\; C\; 1\; (\lambda \; -\; 1\; \lambda \; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{11\}\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{eng\}\}\; =\; 2C\_\; \{1\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; lambda\; -\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{\backslash \; lambda\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\}$

Для малых деформаций $\epsilon \; \ll \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; \backslash \; ll\; 1\}$у нас будет:

$\sigma \; 11\; =\; 6\; C\; 1\; \epsilon \; =\; 3\; \mu \; \epsilon \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{11\}\; =\; 6C\_\; \{1\}\; \backslash \; varepsilon\; =\; 3\; \backslash \; mu\; \backslash \; varepsilon\}$

Таким образом, эквивалент модуля Юнга неогуковского твердого тела при одноосном растяжении составляет $3\; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; 3\; \backslash \; mu\}$, что соответствует линейной упругости ($E\; =\; 2\; \mu \; (1\; +\; \nu )\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; =\; 2\; \backslash \; mu\; (1+\; \backslash \; nu)\}$с $\nu \; =\; 0,5\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\; =\; 0,5\}$для несжимаемости).

Сжимаемый материал неогукевского типа

Истинное напряжение как функция двухосного растяжения, предсказанное сжимаемым материалом неогуковского периода для различных значений $C\; 1,\; D\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{1\},\; D\_\; \{1\}\}$. Свойства материала типичны для натурального каучука.

. В случае равноосного удлинения

$\lambda \; 1\; =\; \lambda \; 2\; =\; \lambda ;\; \lambda \; 3\; =\; J\; \lambda \; 2;\; Я\; 1\; знак\; равно\; 2\; \lambda \; 2\; +\; J\; 2\; \lambda \; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{1\}\; =\; \backslash \; lambda\; \_\; \{2\}\; =\; \backslash \; lambda\; ~;\; ~~\; \backslash \; lambda\; \_\; \{3\}\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{J\}\; \{\backslash \; lambda\; ^\; \{2\}\}\}\; ~;\; ~~\; I\_\; \{1\}\; =\; 2\; \backslash \; lambda\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; tfrac\; \{J\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; lambda\; ^\; \{4\}\}\}\}$

Следовательно,

$\sigma \; 11\; =\; 2\; C\; 1\; [\lambda \; 2\; J\; 5/3\; -\; 1\; 3\; J\; (2\; \lambda \; 2\; +\; J\; 2\; \lambda \; 4)]\; +\; 2\; D\; 1\; (J\; -\; 1)\; =\; \sigma \; 22\; \sigma \; 33\; =\; 2\; C\; 1\; [J\; 1\; /\; 3\; \lambda \; 4\; -\; 1\; 3\; J\; (2\; \lambda \; 2\; +\; J\; 2\; \lambda \; 4)]\; +\; 2\; D\; 1\; (J\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{11\}\; =\; 2C\_\; \{1\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; lambda\; ^\; \{2\}\}\; \{J\; ^\; \{5/3\}\}\}\; -\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{3J\}\}\; \backslash \; left\; (2\; \backslash \; lambda\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{J\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; lambda\; ^\; \{4\}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right]\; +\; 2D\_\; \{1\}\; (J-1)\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; sigma\; \_\; \{22\}\; \backslash \backslash \backslash \; sigma\; \_\; \{33\}\; =\; 2C\_\; \{1\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; cfrac\; \{J\; ^\; \{1/3\}\}\; \{\backslash \; lambda\; ^\; \{4\}\}\}\; -\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{3J\}\}\; \backslash \; left\; (2\; \backslash \; lambda\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{J\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; lambda\; ^\; \{4\}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right]\; +\; 2D\_\; \{1\}\; (J-1)\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Разница напряжений

$\sigma \; 11\; -\; \sigma \; 22\; =\; 0;\; \sigma \; 11\; -\; \sigma \; 33\; знак\; равно\; 2\; C\; 1\; J\; 5/3\; (\lambda \; 2\; -\; J\; 2\; \lambda \; 4)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{11\}\; -\; \backslash \; sigma\; \_\; \{22\}\; =\; 0\; ~;\; ~~\; \backslash \; sigma\; \_\; \{11\}\; -\; \backslash \; sigma\; \_\; \{33\}\; =\; \{\backslash \; cfrac\; \{2C\_\; \{1\}\}\; \{J\; ^\; \{5/3\}\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; lambda\; ^\; \{2\}\; -\; \{\backslash \; cfrac\; \{J\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; lambda\; ^\; \{4\}\}\}\; \backslash \; right)\}$

Если материал находится в состоянии плоского напряжения, то $\sigma \; 33\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{33\}\; =\; 0\}$и у нас есть

$\sigma \; 11\; =\; \sigma \; 22\; =\; 2\; C\; 1\; J\; 5/3\; (\lambda \; 2\; -\; J\; 2\; \lambda \; 4)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{11\}\; =\; \backslash \; sigma\; \_\; \{22\}\; =\; \{\backslash \; cfrac\; \{2C\_\; \{\; 1\}\}\; \{J\; ^\; \{5/3\}\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; lambda\; ^\; \{2\}\; -\; \{\backslash \; cfrac\; \{J\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; lambda\; ^\; \{4\}\}\}\; \backslash \; right)\}$

Мы также имеют отношение между $J\; \{\backslash \; displaystyle\; J\}$и $\lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\}$:

$2\; C\; 1\; [\lambda \; 2\; J\; 5/3\; -\; 1\; 3\; J\; (2\; \lambda \; 2\; +\; J\; 2\; \lambda \; 4)]\; +\; 2\; D\; 1\; (J\; -\; 1)\; =\; 2\; C\; 1\; J\; 5/3\; (\lambda \; 2\; -\; J\; 2\; \lambda \; 4)\; \{\backslash \; displaystyle\; 2C\_\; \{1\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; лямбда\; ^\; \{2\}\}\; \{J\; ^\; \{5/3\}\}\}\; -\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{3J\}\}\; \backslash \; left\; (2\; \backslash \; lambda\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{J\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; лямбда\; ^\; \{4\}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right]\; +\; 2D\_\; \{1\}\; (J-1)\; =\; \{\backslash \; cfrac\; \{2C\_\; \{1\}\}\; \{J\; ^\; \{5/3\}\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; lambda\; ^\; \{\; 2\}\; -\; \{\backslash \; cfrac\; \{J\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; lambda\; ^\; \{4\}\}\}\; \backslash \; right)\}$

или,

$(2\; D\; 1\; -\; C\; 1\; \lambda \; 4)\; J\; 2\; +\; 3\; C\; 1\; \lambda \; 4\; J\; 4/3\; -\; 3\; D\; 1\; J\; -\; 2\; C\; 1\; \lambda \; 2\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (2D\_\; \{1\}\; -\; \{\backslash \; cfrac\; \{C\_\; \{1\}\}\; \{\backslash \; lambda\; ^\; \{4\}\}\}\; \backslash \; right)\; J\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{3C\_\; \{1\}\}\; \{\backslash \; lambda\; ^\; \{4\}\}\}\; J\; ^\; \{4/3\}\; -3D\_\; \{1\}\; J-2C\_\; \{1\}\; \backslash \; lambda\; ^\; \{2\}\; =\; 0\; \}$

Это уравнение может быть решено для $J\; \{\backslash \; displaystyle\; J\}$с помощью метода Ньютона.

Несжимаемый неогуковский материал

Для несжимаемого материала $J\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; =\; 1\}$и разница между главными напряжениями Коши принимает форма

$\sigma \; 11\; -\; \sigma \; 22\; =\; 0;\; \sigma \; 11\; -\; \sigma \; 33\; знак\; равно\; 2\; С\; 1\; (\lambda \; 2\; -\; 1\; \lambda \; 4)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{11\}\; -\; \backslash \; sigma\; \_\; \{22\}\; =\; 0\; ~;\; ~~\; \backslash \; sigma\; \_\; \{11\}\; -\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\; 33\}\; =\; 2C\_\; \{1\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; lambda\; ^\; \{2\}\; -\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{\backslash \; lambda\; ^\; \{4\}\}\}\; \backslash \; right)\}$

В условиях плоского напряжения имеем

$\sigma \; 11\; Знак\; равно\; 2\; С\; 1\; (\lambda \; 2\; -\; 1\; \lambda \; 4)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{11\}\; =\; 2C\_\; \{1\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; lambda\; ^\; \{2\}\; -\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{\backslash \; lambda\; ^\; \{4\}\}\; \}\; \backslash \; right)\}$

Для случая чистого расширения

$\lambda \; 1\; =\; \lambda \; 2\; =\; \lambda \; 3\; =\; \lambda :\; J\; =\; \lambda \; 3;\; I\; 1\; =\; 3\; \lambda \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{1\}\; =\; \backslash \; lambda\; \_\; \{2\}\; =\; \backslash \; lambda\; \_\; \{3\}\; =\; \backslash \; lambda\; ~:\; ~~\; J\; =\; \backslash \; lambda\; ^\; \{3\}\; ~;\; ~~\; I\_\; \{\; 1\}\; =\; 3\; \backslash \; lambda\; ^\; \{2\}\}$

Следовательно, главные напряжения Коши для сжимаемого неогуковского материала определяются как

$\sigma \; i\; =\; 2\; C\; 1\; (1\; \lambda \; 3\; -\; 1\; \lambda )\; +\; 2\; D\; 1\; (\lambda \; 3-1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{i\}\; =\; 2C\_\; \{1\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{\backslash \; lambda\; ^\; \{3\}\}\}\; -\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{\backslash \; lambda\}\; \}\; \backslash \; right)\; +\; 2D\_\; \{1\}\; (\backslash \; lambda\; ^\; \{3\}\; -1)\}$

Если материал несжимаемый, то $\lambda \; 3\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; ^\; \{3\}\; =\; 1\}$и главные напряжения могут быть произвольными.

На рисунках ниже показано, что для достижения больших трехосных растяжений или сжатий необходимы чрезвычайно высокие напряжения. Эквивалентно относительно небольшие состояния трехосного растяжения могут вызывать очень высокие напряжения в резиноподобном материале. Величина напряжения весьма чувствительна к модулю объемной упругости, но не к модулю сдвига.

Истинное напряжение как функция равнотриаксиального растяжения, предсказанное сжимаемым материалом в неогуковском стиле для различных значений $C\; 1,\; D\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{1\},\; D\_\; \{1\}\}$. Свойства материала являются репрезентативными для натурального каучука.

. Истинное напряжение как функция от J, предсказанное сжимаемым материалом в неогукевском стиле для различных значений $C\; 1,\; D\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{1\},\; D\_\; \{1\}\}$. Свойства материала типичны для натурального каучука.

Для случая простого сдвига градиент деформации компонентов по отношению к исходной базе равен форма

$F\; =\; [1\; \gamma \; 0\; 0\; 1\; 0\; 0\; 0\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; \backslash \; gamma\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 1\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \}$

где $\gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\}$- деформация сдвига. Следовательно, левый тензор деформации Коши-Грина равен

$B\; =\; F\; \cdot \; FT\; =\; [1\; +\; \gamma \; 2\; \gamma \; 0\; \gamma \; 1\; 0\; 0\; 0\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{B\}\}\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\}\; ^\; \{T\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1+\; \backslash \; gamma\; ^\; \{2\}\; \backslash \; gamma\; 0\; \backslash \backslash \backslash \; gamma\; 1\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 1\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$

Сжимаемый материал нео-Гука

В данном случае $J\; =\; det\; (F)\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; =\; \backslash \; det\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{F\}\})\; =\; 1\}$. Следовательно, $\sigma \; =\; 2\; C\; 1\; dev\; \; (B)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; sigma\}\}\; =\; 2C\_\; \{1\}\; \backslash \; operatorname\; \{dev\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{B\}\})\}$. Теперь

$dev\; \; (B)\; =\; B\; -\; 1\; 3\; tr\; \; (B)\; I\; =\; B\; -\; 1\; 3\; (3\; +\; \gamma \; 2)\; I\; =\; [2\; 3\; \gamma \; 2\; \gamma \; 0\; \gamma \; -\; 1\; 3\; \gamma \; 2\; 0\; 0\; 0\; -\; 1\; 3\; \gamma \; 2]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{dev\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{B\}\})\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{B\}\}\; -\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{3\}\}\; \backslash \; operatorname\; \{tr\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{B\}\})\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{I\}\}\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{B\}\}\; -\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{3\}\}\; (3+\; \backslash \; gamma\; ^\; \{2\})\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{I\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; \{\backslash \; tfrac\; \{2\}\; \{3\}\}\; \backslash \; gamma\; ^\; \{2\}\; \backslash \; gamma\; 0\; \backslash \backslash \backslash \; gamma\; -\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{3\}\}\; \backslash \; gamma\; ^\; \{2\}\; 0\; \backslash \; \backslash \; 0\; 0\; -\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{3\}\}\; \backslash \; gamma\; ^\; \{2\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$

Следовательно, напряжение Коши определяется как

$\sigma \; =\; [4\; C\; 1\; 3\; \gamma \; 2\; 2\; C\; 1\; \gamma \; 0\; 2\; C\; 1\; \gamma \; -\; 2\; C\; 1\; 3\; \gamma \; 2\; 0\; 0\; 0-2\; C\; 1\; 3\; \gamma \; 2]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; sigma\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; \{\backslash \; tfrac\; \{4C\_\; \{1\; \}\}\; \{3\}\}\; \backslash \; gamma\; ^\; \{2\}\; 2C\_\; \{1\}\; \backslash \; gamma\; 0\; \backslash \backslash \; 2C\_\; \{1\}\; \backslash \; gamma\; -\; \{\backslash \; tfrac\; \{2C\_\; \{1\}\}\; \{3\}\}\; \backslash \; gamma\; ^\; \{2\}\; 0\; \backslash \; \backslash \; 0\; 0\; -\; \{\backslash \; tfrac\; \{2C\_\; \{1\}\}\; \{3\}\}\; \backslash \; gamma\; ^\; \{2\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$

Несжимаемый неогуковский материал

Использование соотношения для напряжения Коши для несжимаемого неогуковского материала мы получаем

$\sigma \; =\; -\; p\; I\; +\; 2\; C\; 1\; B\; =\; [2\; C\; 1\; (1\; +\; \gamma \; 2)\; -\; p\; 2\; C\; 1\; \gamma \; 0\; 2\; C\; 1\; \gamma \; 2\; C\; 1\; -\; p\; 0\; 0\; 0\; 2\; C\; 1\; -\; p]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; sigma\}\}\; =\; -\; p\; ~\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{I\}\}\; +\; 2C\_\; \{1\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{B\}\}\; =\; \{\; \backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 2C\_\; \{1\}\; (1+\; \backslash \; gamma\; ^\; \{2\})\; -\; p\; 2C\_\; \{1\}\; \backslash \; gamma\; 0\; \backslash \backslash \; 2C\_\; \{1\}\; \backslash \; gamma\; 2C\_\; \{1\}\; -p\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 2C\_\; \{1\}\; -p\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$

Таким образом, неогуковское твердое тело демонстрирует линейную зависимость касательных напряжений от деформации сдвига и квадратичную зависимость разности нормальных напряжений от деформации сдвига. Выражения для напряжения Коши для сжимаемого и несжимаемого неогуковского материала при простом сдвиге представляют одну и ту же величину и обеспечивают средство определения неизвестного давления $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$.

1. ^ Огден, RW (26 апреля 2013 г.). Нелинейные упругие деформации. Курьерская корпорация. ISBN 978-0-486-31871-4.
2. ^Гент, А.Н., изд., 2001, Инжиниринг с резиной, Карл Хансер Верлаг, Мюнхен.
3. ^Пенс, Т. Дж., И Гоу, К. (2015). О сжимаемых версиях несжимаемого материала нео-Гука. Математика и механика твердого тела, 20 (2), 157–182. [1]

• Гиперупругий материал
• Функция плотности энергии деформации
• твердое тело Муни-Ривлина
• Теория конечной деформации
• Измерение напряжения