Метрика Вассерштейна

Функция расстояния, определенная между распределениями вероятностей

В математике, расстояние Вассерштейна или метрика Канторовича – Рубинштейна - это функция расстояния, определенная между распределениями вероятностей на заданном метрическом пространстве $M\; \{\; \backslash \; displaystyle\; M\}$.

Интуитивно, если рассматривать каждое распределение как единицу количества земли (почвы), насыпанной на $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$, метрика представляет собой минимальную «стоимость» превращение одной сваи в другую; предполагается, что это количество земли, которое необходимо переместить, умноженное на среднее расстояние, на которое ее нужно переместить. Из-за этой аналогии эта метрика известна в информатике как расстояние земного движителя.

Название «расстояние Вассерштейна» было придумано Р. Л. Добрушин в 1970 году, после русского математика Леонида Васерштейна, который представил концепцию в 1969 году. Самый английский -язык в публикациях используется немецкое написание «Wasserstein» (приписывается имени «Vaseršten» немецкого происхождения).

• 1 Определение
• 2 Интуиция и подключение к оптимальному транспорту
• 3 Примеры
  • 3.1 Точечные массы (вырожденные распределения)
  • 3.2 Нормальные распределения
• 4 Приложения
• 5 Свойства
  • 5.1 Метрическая структура
  • 5.2 Двойное представление W 1
  • 5.3 Эквивалентность W 2 и норме Соболева отрицательного порядка
  • 5.4 Разделимость и полнота
• 6 См. Также
• 7 Ссылки
• 8 Внешние ссылки

Пусть $(M,\; d)\; \{\backslash \; displaystyle\; (M,\; d)\}$будет метрическим пространством, для которого каждая вероятностная мера на $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$является мерой Радона (так называемое радоновое пространство ). Для $p\; \ge \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; \backslash \; geq\; 1\}$пусть $P\; p\; (M)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{p\}\; (M)\}$обозначает набор всех вероятностных мер $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$на $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$с конечным $p\; th\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; ^\; \{\; \backslash \; text\; \{th\}\}\}$момент. Тогда существует некий $x\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{0\}\}$в $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$такой, что:

$p\; th\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; ^\; \{\backslash \; text\; \{th\}\}\}$Расстояние Вассерштейна между двумя вероятностными мерами $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$и $\nu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\}$в $P\; p\; (M)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{p\}\; (\; M)\}$определяется как

$W\; p\; (\mu ,\; \nu ):\; =\; (inf\; \gamma \; \in \; \Gamma \; (\mu ,\; \nu )\; \int \; M\; \times \; M\; d\; (x,\; y)\; pd\; \gamma \; (x,\; y))\; 1\; /\; п,\; \{\backslash \; displaystyle\; W\_\; \{p\}\; (\backslash \; mu,\; \backslash \; nu):\; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; inf\; \_\; \{\backslash \; gamma\; \backslash \; in\; \backslash \; Gamma\; (\backslash \; mu,\; \backslash \; nu)\}\; \backslash \; int\; \_\; \{M\; \backslash \; times\; M\}\; d\; (x,\; y)\; ^\; \{p\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; gamma\; (x,\; y)\; \backslash \; right)\; ^\; \{1\; /\; p\},\}$

где $\Gamma \; (\mu ,\; \nu )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (\backslash \; mu,\; \backslash \; nu)\}$обозначает совокупность всех мер на $M\; \times \; M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; \backslash \; times\; M\}$с маргиналы $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$и $\nu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\}$по первому и второму факторам соответственно. (Набор $\Gamma \; (\mu ,\; \nu )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (\backslash \; mu,\; \backslash \; nu)\}$также называется набором всех связей из $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$и $\nu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\}$.)

Вышеуказанное расстояние обычно обозначается $W\; p\; (\mu ,\; \nu )\; \{\backslash \; displaystyle\; W\_\; \{p\}\; (\backslash \; mu,\; \backslash \; nu)\}$(обычно среди авторов, предпочитающих написание «Вассерштейн») или $\ell \; p\; (\mu ,\; \nu )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ell\; \_\; \{p\}\; (\backslash \; mu,\; \backslash \; nu)\}$(обычно среди авторов, предпочитающих написание «Васерштейн»). В оставшейся части статьи будет использоваться нотация $W\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; W\_\; \{p\}\}$.

Метрика Вассерштейна может быть эквивалентно определена как

$W\; p\; (\mu ,\; \nu )\; =\; (inf\; E\; \; [d\; (X,\; Y)\; p])\; 1\; /\; p,\; \{\backslash \; displaystyle\; W\_\; \{p\}\; (\backslash \; mu,\; \backslash \; nu)\; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; inf\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; \{\backslash \; big\; [\}\; d\; (X,\; Y)\; ^\; \{p\}\; \{\backslash \; big]\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{1\; /\; p\},\}$

где $E\; [Z]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{E\}\; [Z]\}$обозначает ожидаемое значение случайной величины <275.>Z {\ displaystyle Z}и инфимум берется по всем совместным распределениям случайных величин $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$и $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$с полями $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$и $\nu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\}$соответственно.

Два одномерных распределения $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$и $\nu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\}$, нанесенный на оси x и y, и одно возможное совместное распределение, которое определяет транспортный план между ними. Совместный план распределения / транспортировки не является уникальным

Один из способов понять мотивацию приведенного выше определения - рассмотреть задачу оптимального транспорта. То есть для распределения массы $\mu \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; (x)\}$в пространстве $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$, мы желаете транспортировать массу таким образом, чтобы она преобразовывалась в распределение $\nu \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\; (x)\}$в том же пространстве; преобразование «груды земли» $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$в груду $\nu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\}$. Эта проблема имеет смысл только в том случае, если создаваемая свая имеет ту же массу, что и перемещаемая свая; поэтому без ограничения общности предположим, что $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$и $\nu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\}$- это распределения вероятностей, содержащие общую массу 1. Предположим также, что дана некоторая функция стоимости

$c\; (x,\; y)\; \mapsto \; [0,\; \infty )\; \{\backslash \; displaystyle\; c\; (x,\; y)\; \backslash \; mapsto\; [0,\; \backslash \; infty)\}$

, которая дает стоимость перенос единицы массы из точки $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$в точку $y\; \{\backslash \; displaystyle\; y\}$. Транспортный план для перемещения $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$в $\nu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\}$может быть описан функцией $\gamma \; (x,\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; (x,\; y)\}$, которая дает количество массы для перемещения от $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$к $y\; \{\; \backslash \; displaystyle\; y\}$. Вы можете представить себе задачу как необходимость переместить кучу земли формы $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$в отверстие в земле формы $\nu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\}$таким образом, что в конце и груда земли, и яма в земле полностью исчезают. Для того, чтобы этот план имел смысл, он должен удовлетворять следующим свойствам

$\int \; \gamma \; (x,\; y)\; dy\; =\; \mu \; (x)\; (количество\; земли,\; перемещенной\; из\; точки\; x,\; должно\; быть\; равно\; количеству,\; которое\; было\; там,\; чтобы\; начнем\; с)\; \int \; \gamma \; (x,\; y)\; dx\; =\; \nu \; (y)\; (количество\; земли,\; перемещенной\; в\; точку\; y,\; должно\; быть\; равно\; глубине\; ямы,\; которая\; была\; там\; в\; начале)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; int\; \backslash \; gamma\; (x,\; y)\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; y\; =\; \backslash \; mu\; (x)\; \backslash \; qquad\; \{\backslash \; text\; \{(количество\; земли,\; перемещенное\; из\; точки\}\}\; x\; \{\backslash \; text\; \{должно\; равняться\; количеству\; это\; было\; там\; с\; самого\; начала)\}\}\; \backslash \backslash \backslash \; int\; \backslash \; gamma\; (x,\; y)\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\; =\; \backslash \; nu\; (y)\; \backslash \; qquad\; \{\backslash \; text\; \{(количество\; земли,\; перемещенное\; в\; точку\}\; \}\; y\; \{\backslash \; text\; \{должно\; равняться\; глубине\; отверстия,\; которое\; было\; в\; начале)\}\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

То есть, чтобы общая масса вышла из бесконечно малой области около $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$должен быть равен $\mu \; (x)\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; (x)\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\}$, а общая перемещенная масса в область около $y\; \{\backslash \; displaystyle\; y\}$должно быть $\nu \; (y)\; d\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\; (y)\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; y\}$. Это эквивалентно требованию, чтобы $\gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\}$был совместным распределением вероятностей с маржинальными числами $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$и $\nu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\}$. Таким образом, бесконечно малая масса, перенесенная из $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$в $y\; \{\backslash \; displaystyle\; y\}$, равна $\gamma \; (x,\; y)\; dxdy\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; (x,\; y)\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; y\}$, а стоимость перемещения составляет $c\; (x,\; y)\; \gamma \; (\; x,\; y)\; dxdy\; \{\backslash \; displaystyle\; c\; (x,\; y)\; \backslash \; gamma\; (x,\; y)\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; y\}$, следуя определению функция стоимости. Таким образом, общая стоимость транспортного плана $\gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\}$составляет

$\iint \; c\; (x,\; y)\; \gamma \; (x,\; y)\; dxdy\; =\; \int \; c\; (x,\; y)\; d\; \gamma \; (Икс,\; Y)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; iint\; c\; (x,\; y)\; \backslash \; gamma\; (x,\; y)\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; y\; =\; \backslash \; int\; c\; (x,\; y)\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; gamma\; (x,\; y)\}$

План $\gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\}$не уникален; Оптимальный транспортный план - это план с минимальной стоимостью из всех возможных транспортных планов. Как уже упоминалось, для того, чтобы план был действительным, требуется, чтобы он представлял собой совместное распределение с маргиналами $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$и $\nu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\}$; позволяя $\Gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\}$обозначать набор всех таких мер, как в первом разделе, стоимость оптимального плана составляет

$C\; =\; inf\; \gamma \; \in \; \Gamma \; (\mu ,\; \nu )\; \int \; с\; (Икс,\; Y)\; d\; \gamma \; (Икс,\; Y)\; \{\backslash \; Displaystyle\; C\; =\; \backslash \; Inf\; \_\; \{\backslash \; gamma\; \backslash \; in\; \backslash \; Gamma\; (\backslash \; mu,\; \backslash \; nu)\}\; \backslash \; int\; c\; (x,\; y)\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; gamma\; (x,\; y)\}$

Если стоимость хода - это просто расстояние между двумя точками, то оптимальная стоимость идентична определению $W\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; W\_\; \{\; 1\}\}$расстояние.

Точечные массы (вырожденные распределения)

Пусть $\mu \; 1\; =\; \delta \; a\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; =\; \backslash \; delta\; \_\; \{a\_\; \{1\}\}\}$и $\mu \; 2\; =\; \delta \; a\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\}\; =\; \backslash \; delta\; \_\; \{a\_\; \{2\}\}\}$быть двумя вырожденные распределения (т.е. дельта-распределения Дирака ), расположенные в точках $a\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{1\}\}$и $a\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{2\}\}$в $R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$. Существует только одна возможная связь этих двух мер, а именно точечная масса $\delta \; (a\; 1,\; a\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{(a\_\; \{1\},\; a\_\; \{2\})\}\}$расположен по адресу $(a\; 1,\; a\; 2)\; \in \; R\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; (a\_\; \{1\},\; a\_\; \{2\})\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{2\}\}$. Таким образом, используя обычную функцию абсолютного значения в качестве функции расстояния на $R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$для любого $p\; \ge \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; \backslash \; geq\; 1\}$, $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$- расстояние Вассерштейна между $\mu \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{1\}\}$и $\mu \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\}\}$равно

$W\; p\; (\mu \; 1,\; \mu \; 2)\; =\; |\; а\; 1\; -\; а\; 2\; |.\; \{\backslash \; displaystyle\; W\_\; \{p\}\; (\backslash \; mu\; \_\; \{1\},\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\})\; =\; |\; a\_\; \{1\}\; -a\_\; \{2\}\; |.\}$

По аналогичным соображениям, если $\mu \; 1\; =\; \delta \; a\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; =\; \backslash \; delta\; \_\; \{a\_\; \{1\}\}\}$и $\mu \; 2\; =\; \delta \; a\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\}\; =\; \backslash \; delta\; \_\; \{a\_\; \{2\}\}\}$- точечные массы, расположенные в точках $a\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{1\}\}$и $a\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{2\}\}$в $R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}$, и мы используем обычную евклидову норму на $R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}$как функция расстояния, тогда

$W\; p\; (\mu \; 1,\; \mu \; 2)\; =\; \Vert \; a\; 1\; -\; a\; 2\; \Vert \; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; W\_\; \{p\}\; (\backslash \; mu\; \_\; \{1\},\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\})\; =\; \backslash \; |\; a\_\; \{1\}\; -a\_\; \{2\}\; \backslash \; |\; \_\; \{2\}.\}$

Нормальные распределения

Пусть $\mu \; 1\; =\; N\; (m\; 1,\; C\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; =\; \{\backslash \; mathcal\; \{N\}\}\; (m\_\; \{1\},\; C\_\; \{1\})\}$и $\mu \; 2\; =\; N\; (м\; 2,\; C\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; mathcal\; \{N\}\}\; (m\_\; \{2\},\; C\_\; \{2\})\}$- две невырожденные гауссовские меры (т.е. нормальные распределения ) на $R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}$, с соответствующими ожидаемыми значениями $m\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; m\_\; \{1\}\}$и $m\; 2\; \in \; R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; m\_\; \{2\}\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}$и симметричные положительно полуопределенные ковариационные матрицы $C\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{1\}\}$и $C\; 2\; \in \; R\; n\; \times \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{2\}\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\; \backslash \; times\; n\}\}$. Затем, относительно обычной евклидовой нормы на $R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}$, расстояние 2-Вассерштейна между $\mu \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{1\}\}$и $\mu \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\}\}$равно

$W\; 2\; (\mu \; 1,\; \mu \; 2)\; 2\; =\; \Vert \; m\; 1\; -\; m\; 2\; \Vert \; 2\; 2\; +\; след\; \; (C\; 1\; +\; C\; 2\; -\; 2\; (C\; 2\; 1/2\; C\; 1\; C\; 2\; 1/2)\; 1/2).\; \{\backslash \; displaystyle\; W\_\; \{2\}\; (\backslash \; mu\; \_\; \{1\},\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\})\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; |\; m\_\; \{1\}\; -m\_\; \{2\}\; \backslash \; |\; \_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; mathop\; \{\backslash \; mathrm\; \{trace\}\}\; \{\backslash \; bigl\; (\}\; C\_\; \{1\}\; +\; C\_\; \{2\}\; -2\; \{\backslash \; bigl\; (\}\; C\_\; \{2\}\; ^\; \{1/2\}\; C\_\; \{1\}\; C\_\; \{2\}\; ^\; \{1\; /\; 2\}\; \{\backslash \; bigr)\}\; ^\; \{1/2\}\; \{\backslash \; bigr)\}.\}$

Этот результат обобщает предыдущий пример расстояния Вассерштейна между двумя точечными массами (по крайней мере, в случае $p\; =\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; =\; 2\}$), поскольку точечную массу можно рассматривать как нормальное распределение с ковариационной матрицей, равной нулю, и в этом случае член trace исчезает, и только член включая евклидово расстояние между средствами остается.

Метрика Вассерштейна - это естественный способ сравнения распределений вероятностей двух переменных X и Y, где одна переменная получается из другой посредством небольших неоднородных возмущений (случайных или случайных). детерминированный).

В информатике, например, метрика W 1 широко используется для сравнения дискретных распределений, например цветовые гистограммы двух цифровых изображений ; см. расстояние землеройного для более подробной информации.

В своей статье «Вассерштейн ГАН» Арджовский и др. использовать метрику Вассерштейна-1 как способ улучшить исходную структуру Generative Adversarial Networks (GAN), чтобы облегчить исчезающий градиент и проблемы коллапса режима.

Метрика Вассерштейна имеет формальную связь с анализом Прокруста, применительно к мерам хиральности и анализу формы.

Структура метрики

Можно показать, что W p удовлетворяет всем аксиомам метрики на Pp(M). Кроме того, сходимость относительно W p эквивалентна обычной слабой сходимости мер плюс сходимость первых p-х моментов.

Двойное представление W 1

- Следующее двойственное представление W 1 является частным случаем теоремы двойственности из Канторовича и Рубинштейна (1958): когда μ и ν имеют ограниченные поддержка,

$W\; 1\; (\mu ,\; \nu )\; =\; sup\; \{\int \; M\; f\; (x)\; d\; (\mu \; -\; \nu )\; (x)\; |\; непрерывный\; е:\; M\; \to \; р,\; губа\; \; (е)\; \le \; 1\},\; \{\backslash \; displaystyle\; W\_\; \{1\}\; (\backslash \; mu,\; \backslash \; nu)\; =\; \backslash \; sup\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\backslash \; left.\; \backslash \; int\; \_\; \{M\}\; f\; (x)\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; (\backslash \; mu\; -\; \backslash \; nu)\; (x)\; \backslash \; right\; |\; \{\backslash \; text\; \{continuous\}\}\; f:\; M\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{R\},\; \backslash \; operatorname\; \{Lip\}\; (f)\; \backslash \; leq\; 1\; \backslash \; right\; \backslash \},\}$

где Lip (f) обозначает минимальную константу Липшица для f.

Сравните это с определением метрики Радона :

$\rho \; (\mu ,\; \nu ):\; =\; sup\; \{\int \; M\; f\; (x)\; d\; (\mu \; -\; \nu )\; (x)\; |\; непрерывная\; f:\; M\; \to \; [-\; 1,\; 1]\}.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; rho\; (\backslash \; му,\; \backslash \; ню):\; =\; \backslash \; sup\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\backslash \; left.\; \backslash \; int\; \_\; \{M\}\; f\; (x)\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; (\backslash \; mu\; -\; \backslash \; nu)\; (x)\; \backslash \; right\; |\; \{\backslash \; text\; \{continuous\}\}\; f:\; M\; \backslash \; to\; [-1,1]\; \backslash \; right\; \backslash \}.\}$

Если метрика d ограничена некоторой константой C, то

$2\; W\; 1\; (\mu ,\; \nu )\; \le \; C\; \rho \; (\mu ,\; \nu ),\; \{\backslash \; displaystyle\; 2W\_\; \{1\}\; (\backslash \; mu,\; \backslash \; nu)\; \backslash \; leq\; C\; \backslash \; rho\; (\backslash \; mu,\; \backslash \; nu),\}$

и, следовательно, сходимость в метрике Радона (идентично сходимости общих вариаций, когда M является польским пробелом ) подразумевает сходимость в метрике Вассерштейна, но не наоборот.

Эквивалентность W 2 и нормы Соболева отрицательного порядка

При подходящих предположениях расстояние Вассерштейна $W\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; W\_\; \{2\}\}$второго порядка является липшицевым эквивалентом однородной нормы Соболева отрицательного порядка. Точнее, если мы возьмем $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$как связное риманово многообразие, снабженное положительной мерой $\pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\}$, тогда мы можем определить для $f:\; M\; \to \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; двоеточие\; M\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$полунорму

$\Vert \; F\; \Vert \; H\; \dot{}\; 1\; (\pi )\; 2\; =\; \int \; M\; |\; \nabla \; f\; (x)\; |\; 2\; \pi \; (dx)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; |\; е\; \backslash \; |\; \_\; \{\{\backslash \; dot\; \{H\}\}\; ^\; \{1\}\; (\backslash \; pi)\}\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{M\}\; |\; \backslash \; nabla\; f\; (x)\; |\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\; \backslash \; pi\; (\backslash \; mathrm\; \{d\}\; x)\}$

и для показателя со знаком $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$на $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$двойная норма

$\Vert \; \mu \; \Vert \; H\; \dot{}\; -\; 1\; (\pi )\; =\; sup\; \{|\; ⟨F,\; \mu ⟩\; |\; |\; \Vert \; F\; \Vert \; H\; \dot{}\; 1\; (\pi )\; \le \; 1\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; |\; \backslash \; mu\; \backslash \; |\; \_\; \{\{\backslash \; dot\; \{H\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; (\backslash \; pi)\}\; =\; \backslash \; sup\; \{\backslash \; bigg\; \backslash \; \{\}\; |\; \backslash \; langle\; f,\; \backslash \; mu\; \backslash \; rangle\; |\; \backslash ,\; \{\; \backslash \; bigg\; |\}\; \backslash ,\; \backslash \; |\; f\; \backslash \; |\; \_\; \{\{\backslash \; dot\; \{H\}\}\; ^\; \{1\}\; (\backslash \; pi)\}\; \backslash \; leq\; 1\; \{\backslash \; bigg\; \backslash \}\}.\}$

Тогда любые две вероятностные меры $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$и $\nu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\}$на $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$удовлетворяют верхнему граница

$W\; 2\; (\mu ,\; \nu )\; \le \; 2\; \Vert \; \mu \; -\; \nu \; \Vert \; H\; \dot{}\; -\; 1\; (\mu ).\; \{\backslash \; displaystyle\; W\_\; \{2\}\; (\backslash \; mu,\; \backslash \; nu)\; \backslash \; leq\; 2\; \backslash \; |\; \backslash \; mu\; -\; \backslash \; nu\; \backslash \; |\; \_\; \{\{\backslash \; dot\; \{H\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; (\backslash \; mu)\}.\}$

В другом направлении, если каждый из $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$и $\nu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\}$имеет плотности относительно стандарта мера объема на $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$, которые оба ограничены выше некоторого , а $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$не имеет отрицательная кривизна Риччи, тогда

$\mu \; -\; \nu \; \Vert \; H\; \dot{}\; -\; 1\; (\mu )\; \le \; CW\; 2\; (\mu ,\; \nu ).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; |\; \backslash \; mu\; -\; \backslash \; nu\; \backslash \; |\; \_\; \{\backslash \; dot\; \{H\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; (\backslash \; mu)\}\; \backslash \; leq\; \{\backslash \; sqrt\; \{C\}\}\; W\_\; \{2\}\; (\backslash \; mu,\; \backslash \; nu).\}$

Разделимость и полнота

Для любого p ≥ 1 метрическое пространство (Pp(M), W p) разделимо, и является полным, если (M, d) отделимо и полно.

• метрика Леви
• метрика Леви – Прохорова
• Общее расстояние вариации вероятностных мер
• Теория транспорта
• Расстояние движителя Земли

• Виллани, Седрик (2008). Оптимальный транспорт, старый и новый. Springer. ISBN 978-3-540-71050-9.
• Амбросио, Л., Джильи, Н. и Саваре, Г. (2005). Градиентные потоки в метрических пространствах и в пространстве вероятностных мер. Базель: ETH Zürich, Birkhäuser Verlag. ISBN 3-7643-2428-7. CS1 maint: несколько имен: список авторов (ссылка )
• Jordan, Richard; Kinderlehrer, David; Отто, Феликс (1998). «Вариационная формулировка уравнения Фоккера – Планка». SIAM J. Math. Anal. 29 (1): 1–17 (электронный). CiteSeerX 10.1.1.6.8815. doi : 10.1137 / S0036141096303359. ISSN 0036-1410. MR 1617171.
• Рюшендорф, Л. (2001) [1994], Математическая энциклопедия, EMS Press

• «В чем преимущества метрики Вассерштейна по сравнению с метрикой Кульбака - Дивергенция Лейблера? ". Stack Exchange. 1 августа 2017 г.