Сходимость мер

В математике, более конкретно теории меры, существуют различные понятия сходимость мер . Для интуитивного общего смысла того, что подразумевается под сходимостью по мере, рассмотрим последовательность мер μ n в пространстве, разделяющих общий набор измеримых множеств. Такая последовательность может представлять собой попытку построить «все лучше и лучше» приближения к желаемой мере μ, которую трудно получить напрямую. Значение «лучше и лучше» подчиняется всем обычным оговоркам при принятии пределов ; для любой допустимой погрешности ε>0 мы требуем, чтобы N было достаточно большим для n ≥ N, чтобы «разница» между μ n и μ была меньше ε. Различные понятия конвергенции точно определяют, что должно означать слово «различие» в этом описании; эти понятия не эквивалентны друг другу и различаются по силе.

Три наиболее распространенных понятия конвергенции описаны ниже.

• 1 Неформальные описания
• 2 Полная вариационная сходимость мер
• 3 Сильная сходимость мер
• 4 Слабая сходимость мер
  • 4.1 Слабая сходимость случайных величин
• 5 См. Также
• 6 Ссылки

В этом разделе делается попытка дать приблизительное интуитивное описание трех понятий конвергенции с использованием терминологии, разработанной в курсах исчисления ; этот раздел обязательно является неточным, а также неточным, и читатель должен обратиться к формальным пояснениям в последующих разделах. В частности, описания здесь не касаются возможности того, что мера некоторых множеств может быть бесконечной или что лежащее в основе пространство может демонстрировать патологическое поведение, и для некоторых утверждений необходимы дополнительные технические предположения. Однако все утверждения в этом разделе верны, если $\mu \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{n\}\}$представляет собой последовательность вероятностных мер на польском пространстве.

. сходимости формализуют утверждение о том, что «среднее значение» каждой «достаточно хорошей» функции должно сходиться:

$\int \; fd\; \mu \; n\; \to \; \int \; fd\; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; f\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu\; \_\; \{n\}\; \backslash \; to\; \backslash \; int\; f\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu\}$

Чтобы формализовать это, требуется тщательная спецификация набора рассматриваемых функций и того, насколько равномерной должна быть сходимость.

Понятие слабой сходимости требует, чтобы эта сходимость имела место для любой непрерывной ограниченной функции $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$. Это понятие рассматривает сходимость для разных функций f независимо друг от друга, т. Е. Для разных функций f может потребоваться одинаковая аппроксимация разных значений N ≤ n (таким образом, сходимость неравномерна в $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$).

Понятие сильной сходимости формализует утверждение о том, что мера каждого измеримого множества должна сходиться:

$\mu \; n\; (A)\; \to \; \mu \; (A)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{n\}\; (A)\; \backslash \; to\; \backslash \; mu\; (A)\}$

Опять же, не требуется единообразия по набору $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$. Интуитивно, рассматривая интегралы от «хороших» функций, это понятие обеспечивает больше единообразия, чем слабая сходимость. Фактически, при рассмотрении последовательностей мер с равномерно ограниченной вариацией на польском пространстве сильная сходимость подразумевает сходимость $\int \; fd\; \mu \; n\; \to \; \int \; fd\; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; f\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu\; \_\; \{n\}\; \backslash \; to\; \backslash \; int\; f\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu\}$для любой ограниченной измеримой функции $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$. Как и раньше, эта сходимость неоднородна в $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$

Понятие сходимости полной вариации формализует утверждение, что мера всех измеримых множеств должна сходиться равномерно, то есть для каждого $ϵ>0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon>0\}$существует такое N, что для каждого n>N и для каждого измеряемого набора $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$. Как и раньше, это подразумевает сходимость интегралов относительно ограниченных измеримых функций, но на этот раз сходимость равномерна по всем функциям, ограниченным любой фиксированной константой.

Это наиболее сильное понятие сходимости, показанное на этой странице, и определяется следующим образом. Пусть $(X,\; F)\; \{\backslash \; displaystyle\; (X,\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\})\}$будет измеряемое пространство. общая вариация расстояние между двумя (положительными) мерами μ и ν тогда определяется как

$\mu \; -\; \nu \; \Vert \; TV\; =\; sup\; f\; \{\int \; X\; f\; d\; \mu \; -\; \int \; X\; f\; d\; \nu \}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; \backslash \; mu\; -\; \backslash \; nu\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \_\; \{\backslash \; text\; \{TV\}\}\; =\; \backslash \; sup\; \_\; \{f\}\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\backslash \; int\; \_\; \{X\}\; f\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu\; -\; \backslash \; int\; \_\; \{X\}\; f\; \backslash ,\; d\; \backslash \; nu\; \backslash \; right\; \backslash \}.\}$

Здесь супремум берется по f в пределах множества всех измеримых функций от X до [−1, 1]. Это контрастирует, например, с метрикой Вассерштейна, где определение имеет ту же форму, но супремум берется по f в диапазоне от X до [−1, 1 ], у которых константа Липшица не больше 1; а также в отличие от метрики Радона, где верхняя грань берется по f в пределах множества непрерывных функций от X до [-1, 1]. В случае, когда X - это польское пространство, метрика общей вариации совпадает с метрикой Радона.

Если μ и ν являются вероятностными мерами, то полное расстояние вариации также определяется как

$\Vert \; \mu \; -\; \nu \; \Vert \; TV\; =\; 2\; \cdot \; sup\; A\; \in \; F\; |\; \mu \; (A)\; -\; \nu \; (A)\; |.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; \backslash \; mu\; -\; \backslash \; nu\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \_\; \{\backslash \; text\; \{TV\}\}\; =\; 2\; \backslash \; cdot\; \backslash \; sup\; \_\; \{A\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\}\; |\; \backslash \; mu\; (A)\; -\; \backslash \; nu\; (A)\; |.\}$

Эквивалентность между этими двумя определениями можно рассматривать как частный случай двойственности Монжа-Канторовича. Из двух приведенных выше определений ясно, что полное расстояние вариации между вероятностными мерами всегда находится в пределах от 0 до 2.

Чтобы проиллюстрировать значение полного расстояния вариации, рассмотрим следующий мысленный эксперимент. Предположим, что нам даны две вероятностные меры μ и ν, а также случайная величина X. Мы знаем, что X имеет закон либо μ, либо ν, но мы не знаем, какая из двух. Предположим, что каждая из этих двух мер имеет априорную вероятность 0,5, каждая из которых является истинным законом X. Предположим теперь, что нам дана одна единственная выборка, распределенная в соответствии с законом X, и что нас затем просят угадать, какое из двух распределений описывает это закон. Величина

$2\; +\; \Vert \; \mu \; -\; \nu \; \Vert \; TV\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{2+\; \backslash \; |\; \backslash \; mu\; -\; \backslash \; nu\; \backslash \; |\; \_\; \{\backslash \; text\; \{TV\}\}\; \backslash \; over\; 4\}\}$

тогда дает резкий верхний ограничивается априорной вероятностью того, что наше предположение будет правильным.

Учитывая приведенное выше определение расстояния полной вариации, говорят, что последовательность мер μ n, определенных в одном пространстве мер, сходится к мере μ в общем изменении расстояние, если для любого ε>0 существует такое N, что для всех n>N выполняется

Для $(X,\; F)\; \{\backslash \; displaystyle\; (X,\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\})\}$a измеримое пространство, последовательность μ n называется сильно сходящейся к пределу μ, если

$lim\; n\; \to \; \infty \; \mu \; N\; (A)\; =\; \mu \; (A)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{n\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; \backslash \; mu\; \_\; \{n\}\; (A)\; =\; \backslash \; mu\; (A)\}$

для каждого set $A\; \in \; F\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\}$.

Например, как следствие леммы Римана – Лебега, последовательность μ n мер на интервале [−1, 1], заданном как μ n (dx) = (1+ sin (nx)) dx, сильно сходится к мере Лебега, но не сходится в целом вариация.

В математике и статистике, слабая сходимость является одним из многих типов сходимости, относящихся к сходимость меры. Это зависит от топологии основного пространства и, следовательно, не является чисто теоретическим понятием.

Существует несколько эквивалентных определений слабой сходимости последовательности мер, некоторые из которых (по-видимому) более общие, чем другие. Эквивалентность этих условий иногда называют теоремой Портманто .

Определение. Пусть $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$будет метрическим пространством с его Борель $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$-алгебра $\Sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Sigma\}$. Ограниченная последовательность положительных вероятностных мер $P\; n\; (n\; =\; 1,\; 2,\dots )\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{n\}\; \backslash ,\; (n\; =\; 1,2,\; \backslash \; dots)\}$на $(S,\; \Sigma )\; \{\backslash \; displaystyle\; (S,\; \backslash \; Sigma)\}$, как говорят, слабо сходится к конечной положительной мере $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$(обозначается $P\; n\; \Rightarrow \; P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{n\}\; \backslash \; Rightarrow\; P\}$), если выполняется любое из следующих эквивалентных условий (здесь $E\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; \_\; \{n\}\}$обозначает ожидание или $L\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; ^\; \{1\}\}$норму по отношению к $P\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{n\}\}$, а $E\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\}$обозначает ожидание или $L\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; ^\; \{1\}\}$норма относительно $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$):

• $E\; n\; \; [f]\; \to \; E\; \; [f]\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; \_\; \{n\}\; [f]\; \backslash \; to\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; [f]\}$для всех ограниченных, непрерывных функций $е\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$;
• $E\; n\; \; [f]\; \to \; E\; \; [f]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; \_\; \{n\}\; [f]\; \backslash \; to\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; [f]\}$для всех ограниченных и липшицевых функций $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$;
• $lim\; sup\; E\; n\; \; [f]\; \le \; E\; \; [f]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; limsup\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; \_\; \{n\}\; [f]\; \backslash \; leq\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; [f]\}$для каждой полунепрерывной верхней функции $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$, ограниченной сверху;
• $lim\; inf\; E\; n\; \; [f]\; \ge \; E\; \; [f]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; liminf\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; \_\; \{n\}\; [f]\; \backslash \; geq\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; [f]\}$для каждой полунепрерывной нижней функции $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$ограничено снизу;
• $lim\; sup\; P\; n\; (C)\; \le \; P\; (C)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; limsup\; P\_\; \{n\}\; (C)\; \backslash \; leq\; P\; (\; C)\}$для всех закрытых множеств $C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\}$of space $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$;
• $lim\; inf\; P\; n\; (U)\; \ge \; P\; (U)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; liminf\; P\_\; \{n\}\; (U)\; \backslash \; geq\; P\; (U)\}$для всех открытых множеств $U\; \{\; \backslash \; displaystyle\; U\}$пространства $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$;
• $lim\; P\; n\; (A)\; =\; P\; (A)\; \{\backslash \; отображает\; tyle\; \backslash \; lim\; P\_\; \{n\}\; (A)\; =\; P\; (A)\}$для всех наборов непрерывности $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$меры $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$.

В случае $S\; \equiv \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\}$с его обычной топологией, если $F\; n\; \{\; \backslash \; displaystyle\; F\_\; \{n\}\}$и $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$обозначают кумулятивные функции распределения мер $P\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{n\}\}$и $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$соответственно, затем $P\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{n\}\}$слабо сходится к $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$тогда и только тогда, когда $lim\; n\; \to \; \infty \; F\; n\; (x)\; =\; F\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{n\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; F\_\; \{n\}\; (x)\; =\; F\; (x)\}$для всех точек $x\; \in \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\}$в который $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$является непрерывным.

Например, последовательность, где $P\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{n\}\}$- это мера Дирака, расположенная в $1\; /\; n\; \{\; \backslash \; displaystyle\; 1\; /\; n\}$слабо сходится к мере Дирака, расположенной в 0 (если мы рассматриваем их как меры на $R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\}$с обычная топология), но сильно не сходится. Это интуитивно понятно: мы знаем только, что $1\; /\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; /\; n\}$«близко» к $0\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\}$из-за топология $R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\}$.

Это определение слабой сходимости может быть расширено для $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$любого метризуемого топологическое пространство. Он также определяет слабую топологию на $P\; (S)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{P\}\}\; (S)\}$, множество всех вероятностных мер, определенных на $(S,\; \Sigma )\; \{\backslash \; Displaystyle\; (S,\; \backslash \; Sigma)\}$. Слабая топология порождается следующим базисом открытых множеств:

$\{U\; \varphi ,\; x,\; \delta \; |\; \varphi :\; S\; \to \; R\; ограничено\; и\; непрерывно,\; x\; \in \; R\; и\; \delta >0\},\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; \{U\; \_\; \{\backslash \; phi,\; x,\; \backslash \; delta\}\; \backslash \; left\; |\; \{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{c\}\; \backslash \; phi\; \backslash \; двоеточие\; S\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; \{\backslash \; text\; \{ограничено\; и\; непрерывно,\}\}\; \backslash \backslash \; x\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; \{\backslash \; text\; \{and\}\}\; \backslash \; delta>0\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right.\; \backslash \; right\; \backslash \},\}$

где

Если $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$также разделимо, то $P\; (S)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{P\}\}\; (S)\}$является метризуемым и разделимым, например, с помощью метрики Леви – Прохорова, если $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$также является компактным или Польский, поэтому $P\; (S)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{P\}\}\; (S)\}$.

Если $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$разделяется, он естественным образом включается в $P\; (S)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{P\}\}\; (S)\}$как (закрытый) набор Дирак измеряет, и его выпуклая оболочка плотная.

Существует много "обозначений стрелок" для такого вида сходимости: наиболее часто используются $P\; n\; \Rightarrow \; P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{n\}\; \backslash \; Rightarrow\; P\}$, $P\; n\; \rightharpoonup \; P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{n\}\; \backslash \; rightharpoonup\; P\}$и $P\; n\; \to \; DP.\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{n\}\; \{\backslash \; xrightarrow\; \{\backslash \; mathcal\; \{D\}\}\}\; P.\}$.

Слабая сходимость случайных величин

Пусть $(\Omega ,\; F,\; P)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\; \backslash \; Omega,\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\},\; \backslash \; mathbb\; \{P\})\}$быть вероятностным пространством и X быть метрическим пространством. Если X n, X: Ω → X представляет собой последовательность случайных величин, то говорят, что X n сходится слабо (или в распределении или в законе ) к X при n → ∞, если последовательность прямых мер (Xn)∗(P) слабо сходится к X ∗(P) в смысле слабой сходимости мер на X, как определено выше.

• Сходимость случайных величин
• Теорема Прохорова
• Метрика Леви – Прохорова
• Плотность мер

• Амброзио, Л., Джигли, Н. Саваре, Г. (2005). Градиентные потоки в метрических пространствах и в пространстве вероятностных мер. Базель: ETH Zürich, Birkhäuser Verlag. ISBN 3-7643-2428-7. CS1 maint: несколько имен: список авторов (ссылка )
• Биллингсли, Патрик (1995). Вероятность и измерение. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: John Wiley Sons, Inc. ISBN 0-471-00710-2.
• Биллингсли, Патрик (1999). Сходимость вероятностных мер. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: John Wiley Sons, Inc. ISBN 0-471-19745-9.