Вариационное неравенство

редактировать

В математике вариационное неравенство - это неравенство включающий функционал, который должен быть решен для всех возможных значений данной переменной, обычно принадлежащей выпуклому набору. математическая теория вариационных неравенств была первоначально разработана для решения задач равновесия, а именно проблемы Синьорини : в этой модельной задаче задействованный функционал был получен как первая вариация задействованной потенциальной энергии. Следовательно, она имеет вариационное происхождение, вспоминаемое по названию общей абстрактной проблемы. С тех пор применимость теории была расширена за счет включения задач из экономики, финансов, оптимизации и теории игр.

Содержание

1 История
2 Определение
3 Примеры
- 3.1 Задача нахождения минимального значения действительной функции действительной переменной
- 3.2 Общее конечномерное вариационное неравенство
- 3.3 Вариационное неравенство для проблема Синьорини
4 См. также
5 Ссылки
- 5.1 Исторические ссылки
- 5.2 Научные труды
6 Внешние ссылки

История

Первой проблемой, связанной с вариационным неравенством, была проблема Синьорини, поставленная Антонио Синьорини в 1959 году и решенная Гаэтано Фичера в 1963 году, согласно ссылкам (Антман 1983, pp. 282–284) и (Fichera 1995): первыми статьями теории были (Fichera 1963) и (Fichera 1964a), (Fichera 1964b). Позже Гвидо Стампаккья доказал свое обобщение теоремы Лакса – Милграма в (Stampacchia 1964), чтобы изучить для дифференциальные уравнения в частных производных и придумали название «вариационное неравенство» для всех задач, связанных с неравенствами такого рода. призвал своих аспирантов изучать и расширять работу Фичеры после посещения конференции в Бриксене в 1965 году, где Фичера представил свое исследование проблемы Синьорини, как Антман 1983, стр. 283 сообщения: таким образом теория стала широко известна во всей Франции. Также в 1965 году Stampacchia и Jacques-Louis Lions расширили более ранние результаты (Stampacchia 1964), объявив их в статье (Lions Stampacchia 1965): полностью доказательства их результатов появились позже в статье (Lions Stampacchia 1967).

Определение

Согласно Antman (1983, стр. 283), формальное определение вариационного неравенства следующее.

Определение 1. Учитывая банахово пространство $E {\ displaystyle {\ boldsymbol {E}}}$ $\ boldsymbol {E}$ , подмножество $K {\ displaystyle {\ boldsymbol {K}}}$ ${\ boldsymbol {K}}$ из $E {\ displaystyle {\ boldsymbol {E}}}$ $\ boldsymbol {E}$ и функциональный $F : K → E ∗ {\ displaystyle F \ двоеточие {\ boldsymbol {K}} \ до {\ boldsymbol {E}} ^ {\ ast}}$ ${\ displaystyle F \ двоеточие {\ boldsymbol {K}} \ to {\ boldsymbol {E}} ^ {\ ast}}$ от $K {\ displaystyle {\ boldsymbol {K}}}$ ${\ boldsymbol {K}}$ в двойное пространство $E ∗ {\ displaystyle {\ boldsymbol {E}} ^ {\ ast}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {E}} ^ {\ ast}}$ пробел $E {\ displaystyle {\ boldsymbol {E}}}$ $\ boldsymbol {E}$ , проблема вариационного неравенства - это проблема решения для переменной $x {\ displaystyle x}$ $x$ принадлежит $K {\ displaystyle {\ boldsymbol {K}}}$ ${\ boldsymbol {K}}$ следующее неравенство :

⟨F (x), Y - Икс⟩ ≥ 0 ∀ Y ∈ К {\ Displaystyle \ langle F (x), yx \ rangle \ geq 0 \ qquad \ forall y \ in {\ boldsymbol {K}}}

\ langle F (x), yx \ rangle \ geq 0 \ qquad \ forall y \ in { \ boldsymbol {K}}

где $⟨⋅, ⋅⟩: E ∗ × E → R {\ Displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle \ двоеточие {\ boldsymbol {E}} ^ {\ ast} \ times {\ boldsymbol {E}} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle \ двоеточие {\ boldsymbol {E}} ^ {\ ast} \ times {\ boldsymbol {E}} \ to \ mathbb {R}}$ - это спаривание двойственности.

В общем случае проблема вариационного неравенства может быть сформулирована на любом конечное - или бесконечное -мерное банахово пространство. Три очевидных шага в изучении проблемы - следующие:

Доказать существование решения: этот шаг подразумевает математическую правильность проблемы, показывая, что есть по крайней мере решение.
Докажите уникальность данного решения: этот шаг подразумевает физическую правильность проблемы, показывая, что решение может быть использовано для представления физического явления. Это особенно важный шаг, поскольку большинство проблем, моделируемых вариационными неравенствами, имеют физическое происхождение.
Найдите решение.

Примеры

Проблема нахождения минимального значения действительного -значная функция действительной переменной

Это стандартный пример задачи, описанный Антманом (1983, стр. 283): рассмотрите проблему поиска минимального значения дифференцируемой функции $f {\ displaystyle f}$ $f$ на закрытом интервале $I = [a, b] {\ displaystyle I = [a, b]}$ $I = [a, b]$ . Пусть $x ∗ {\ displaystyle x ^ {\ ast}}$ $x ^ {\ ast}$ будет точкой в $I {\ displaystyle I}$ $I$ , где встречается минимум. Возможны три случая:

если $a < x ∗ < b, {\displaystyle a$ ${\ displaystyle a <x ^ {\ ast} <b,}$ , то $f ′ (x ∗) = 0; {\ displaystyle f ^ {\ prime} (x ^ {\ ast}) = 0;}$ ${\ displaystyle f ^ {\ prime} (x ^ {\ ast}) = 0;}$
, если $x ∗ = a, {\ displaystyle x ^ {\ ast} = a,}$ ${\ displaystyle x ^ {\ ast} = a,}$ , тогда $f ′ (x ∗) ≥ 0; {\ displaystyle f ^ {\ prime} (x ^ {\ ast}) \ geq 0;}$ ${\ displaystyle f ^ {\ prime} (x ^ {\ ast}) \ geq 0 ;}$
, если $x ∗ = b, {\ displaystyle x ^ {\ ast} = b,}$ ${\ displaystyle x ^ {\ ast} = b,}$ тогда $f '(x ∗) ≤ 0. {\ displaystyle f ^ {\ prime} (x ^ {\ ast}) \ leq 0.}$ ${\ displaystyle f ^ {\ prim e} (x ^ {\ ast}) \ leq 0.}$

Эти необходимые условия можно кратко описать как задачу поиска $x ∗ ∈ I {\ displaystyle x ^ {\ ast} \ in I}$ ${\ displaystyle x ^ {\ ast} \ in I}$ такого, что

f ′ (x ∗) (y - x ∗) ≥ 0 {\ displaystyle f ^ {\ prime} (x ^ {\ ast}) (yx ^ {\ ast}) \ geq 0 \ quad}

{\ displaystyle f ^ {\ prime} (x ^ {\ ast}) (yx ^ {\ ast}) \ geq 0 \ quad}

для

∀ y ∈ I. {\ displaystyle \ quad \ forall y \ in I.}

{ \ displaystyle \ quad \ forall y \ in I.}

Абсолютный минимум необходимо искать между решениями (если их больше одного) предыдущего неравенства : обратите внимание, что решение - вещественное число, следовательно, это конечное мерное вариационное неравенство.

Общее конечномерное вариационное неравенство

Формулировка общей задачи в $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ имеет следующий вид: задано подмножество $K {\ displaystyle K}$ $K$ из $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ и отображение $F: K → R n {\ displaystyle F \ двоеточие K \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle F \ двоеточие K \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$ , конечный - размерная задача вариационного неравенства, связанная с $K {\ displaystyle K}$ $K$ , состоит из нахождения $n {\ displaystyle n}$ $n$ -мерный вектор $x {\ displaystyle x}$ $x$ принадлежащий $K {\ displaystyle K}$ $K$ такой что

⟨F (x), y - x⟩ ≥ 0 ∀ y ∈ K {\ displaystyle \ langle F (x), yx \ rangle \ geq 0 \ qquad \ forall y \ in K}

\ langle F (x), yx \ rangle \ geq 0 \ qquad \ forall y \ in K

где $⟨⋅, ⋅⟩: R N × R N → R {\ Displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle \ двоеточие \ mathbb {R} ^ {n} \ times \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle \ двоеточие \ mathbb {R} ^ {n} \ times \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$ - стандартный внутренний продукт в векторном пространстве $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ .

Вариационное неравенство для задачи Синьорини

Классическая задача Синьорини : какова будет равновесная конфигурация оранжевого сферического упругого тела, покоящегося на синем жестком без трения самолет ?

В историческом обзоре (Fichera 1995) Гаэтано Фичера описывает генезис своего решения проблемы Синьорини : проблема состоит в нахождении упругого равновесия конфигурации $u (x) = (u 1 (x), u 2 (x), u 3 (x)) {\ displaystyle { \ boldsymbol {u}} ({\ boldsymbol {x}}) = \ left (u_ {1} ({\ boldsymbol {x}}), u_ {2} ({\ boldsymbol {x}}), u_ {3 } ({\ boldsymbol {x}}) \ right)}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {u}} ({\ boldsymbol {x} }) = \ left (u_ {1} ({\ boldsymbol {x}}), u_ {2} ({\ boldsymbol {x}}), u_ {3} ({\ boldsymbol {x}}) \ right) }$ анизотропного неоднородного упругого тела, лежащего в подмножество $A {\ displaystyle A}$ $A$ трехмерного мерного евклидова пространства, bo undary является $∂ A {\ displaystyle \ partial A}$ $\ partial A$ , опирается на жесткую поверхность и зависит только от ее массы сил. Решение $u {\ displaystyle u}$ $u$ проблемы существует и является единственным (при точных предположениях) в наборе из допустимых смещений $U Σ {\ Displaystyle {\ mathcal {U}} _ {\ Sigma}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {U}} _ {\ Sigma}}$ т.е. множество векторов смещения, удовлетворяющих системе неоднозначных граничных условий тогда и только тогда, когда

B (u, v) - F (v) ≥ 0 ∀ v ∈ U Σ { \ displaystyle B ({\ boldsymbol {u}}, {\ boldsymbol {v}}) - F ({\ boldsymbol {v}}) \ geq 0 \ qquad \ forall {\ boldsymbol {v}} \ in {\ mathcal {U}} _ {\ Sigma}}

B ({\ boldsymbol {u}}, {\ boldsymbol {v}}) - F ({\ boldsymbol {v}}) \ geq 0 \ qquad \ forall {\ boldsymbol {v}} \ in {\ mathcal {U}} _ {\ Sigma}

где $B (u, v) {\ displaystyle B ({\ boldsymbol {u}}, {\ boldsymbol {v}})}$ ${\ displaystyle B ({\ boldsymbol {u}}, {\ boldsymbol {v}})}$ и $F (v) {\ displaystyle F ({\ boldsymbol {v}})}$ ${\ displaystyle F ({\ boldsymbol {v}})}$ - следующие функционалы, написанные с использованием нотации Эйнштейна

В (u, v) = - ∫ A σ ik (u) ε ik (v) dx {\ displaystyle B ({\ boldsymbol {u}}, {\ boldsymbol {v}}) = - \ int _ {A } \ sigma _ {ik} ({\ boldsymbol {u}}) \ varepsilon _ {ik} ({\ boldsymbol {v}}) \, \ mathrm {d} x}

{\ displaystyle B ({\ boldsymbol {u}}, {\ boldsymbol {v}}) = - \ int _ {A} \ sigma _ {ik} ({\ boldsymbol { u}}) \ varepsilon _ {ik} ({\ boldsymbol {v}}) \, \ mathrm {d} x}

F (v) = ∫ A vifidx + ∫ ∂ A ∖ Σ vigid σ {\ displaystyle F ({\ boldsymbol {v}}) = \ int _ {A} v_ {i} f_ {i} \, \ mathrm {d} x + \ int _ {\ частичное A \ setminus \ Sigma} \! \! \! \! \! v_ {i} g_ {i} \, \ mathrm {d} \ sigma}

{\ displaystyle F ({\ boldsymbol {v}}) = \ int _ {A} v_ {i} f_ {i} \, \ mathrm {d} x + \ int _ {\ partial A \ setminus \ Sigma} \! \! \ ! \! \! v_ {i} g_ {i} \, \ mathrm {d} \ sigma}

u, v ∈ U Σ {\ displaystyle {\ boldsymbol {u}}, {\ bolds ymbol {v}} \ in {\ mathcal {U}} _ {\ Sigma}}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {u}}, {\ boldsymbol {v}} \ in {\ mathcal {U}} _ {\ Sigma}}

где для всех $x ∈ A {\ displaystyle {\ boldsymbol {x}} \ in A}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {x}} \ in A}$ ,

$Σ {\ displaystyle \ Sigma}$ $\ Sigma$ - это контакт поверхность (или, в более общем смысле, контакт set ),
$f (x) = (f 1 (х), е 2 (х), е 3 (х)) {\ Displaystyle {\ boldsymbol {f}} ({\ boldsymbol {x}}) = \ left (f_ {1} ({\ boldsymbol {x} }), f_ {2} ({\ boldsymbol {x}}), f_ {3} ({\ boldsymbol {x}}) \ right)}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {f}} ({\ boldsymbol {x}}) = \ left (f_ {1} ({\ boldsymbol {x}}), f_ { 2} ({\ boldsymbol {x}}), f_ {3} ({\ boldsymbol {x}}) \ right)}$ - основная сила приложенный к телу,
$g (x) = (g 1 (x), g 2 (x), g 3 (x)) {\ displaystyle {\ boldsymbol {g}} ({\ boldsymbol {x}}) = \ left (g_ {1} ({\ boldsymbol {x}}), g_ {2} ({\ boldsymbol {x}}), g_ {3} ({\ boldsymbol {x}}) \ right)}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {g}} ({\ boldsymbol {x}}) = \ left (g_ {1} ({\ boldsymbol {x}}), g_ {2} ({\ boldsymbol {x}})), g_ {3} ({\ boldsymbol {x}}) \ right)}$ - поверхностная сила, приложенная к $∂ A ∖ Σ {\ displaystyle \ partial A \! \ Setminus \! \ Sigma}$ ${\ displaystyle \ partial A \! \ setminus \! \ Sigma}$ ,
$ε = ε (u) = (ε ik (u)) = (1 2 (∂ ui ∂ xk + ∂ uk ∂ xi)) {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon}} = {\ boldsymbol {\ varepsilon}} ({\ boldsymbol {u} }) = \ left (\ varepsilon _ {ik} ({\ boldsymbol {u}}) \ right) = \ l eft ({\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial u_ {i}} {\ partial x_ {k}}} + {\ frac {\ partial u_ {k}} {\ partial x_ {i}}} \ right) \ right)}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon}} = {\ boldsymbol {\ varepsilon}} ({\ boldsymbol {u}}) = \ left (\ varepsilon _ {ik} ({\ boldsymbol {u}}) \ right) = \ left ({ \ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial u_ {i}} {\ partial x_ {k}}} + {\ frac { \ partial u_ {k}} {\ partial x_ {i}}} \ right) \ right)}$ - тензор бесконечно малых деформаций,
$σ = (σ ik) {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} = \ left (\ sigma _ {ik} \ right)}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} = \ left ( \ sigma _ {ik} \ right)}$ - тензор напряжений Коши, определяемый как

σ ik = - ∂ W ∂ ε ik ∀ i, k = 1, 2, 3 {\ displaystyle \ sigma _ {ik} = - {\ frac {\ partial W} {\ partial \ varepsilon _ {ik}}} \ qquad \ forall i, k = 1,2,3}

\ sigma _ {{ik} } = - {\ frac {\ partial W} {\ partial \ varepsilon _ {{ik}}}} \ qquad \ forall i, k = 1,2,3

где

W (ε) = aikjh (x) ε ik ε ik {\ displaystyle W ({\ boldsymbol {\ varepsilon}}) = a_ {ikjh} ({\ boldsymbol {x}}) \ varepsilon _ {ik } \ varepsilon _ {ik}}

W (\ boldsymbol {\ varepsilon}) = a_ {ikjh} (\ boldsymbol {x}) \ varepsilon_ {ik} \ varepsilon_ {ik}

- упругая потенциальная энергия и

a (x) = (aikjh (x)) {\ displaystyle {\ boldsymbol {a}} ({\ boldsymbol {x}}) = \ left (a_ {ikjh} ({\ boldsymbol {x}}) \ right)}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {a}} ({\ boldsymbol {x}}) = \ left (a_ {ikjh} ({\ boldsymbol {x}}) \ right)}

- это тензор эластичности.

См. также

Ссылки

Исторические ссылки

Антман, Стюарт (1983), «Влияние эластичности в анализе: современные разработки», Бюллетень Американского математического общества, 9(3): 267–291, doi : 10.1090 / S0273-0979- 1983-15185-6, MR 0714990, Zbl 0533.73001. Историческая статья о плодотворном взаимодействии теории упругости и математического анализа : создание теории вариационных неравенств Гаэтано Фичера является описано в §5, страницы 282–284.
(1971), «Problèmes unilatéraux en mécanique des milieux continus», Actes du Congrès International des mathématiciens, 1970, ICM Proceedings, Mathématiques appliquées (E), Histoire et Enseignement (F) - Volume 3, Paris :, pp. 71–78, заархивировано с оригинала (PDF) 25.07.2015, получено 25.07.2015. Краткий исследовательский обзор, описывающий область вариационных неравенств, а именно подполу механики сплошной среды задач с односторонними ограничениями.
Fichera, Gaetano (1995), "La nascita della teoria delle Disquazioni variazionali ricordata dopo trent'anni ", Incontro Scientifico italo-spagnolo. Roma, 21 октября 1993, Atti dei Convegni Lincei (на итальянском), 114, Roma : Accademia Nazionale dei Lincei, стр. 47–53. Рождение теории вариационных неравенств, о котором вспоминают тридцать лет спустя (английский перевод названия), представляет собой историческую статью, описывающую начало теории вариационных неравенств с точки зрения ее основателя.

Научные труды

Факчини, Франсиско; Панг, Чон-Ши (2003), Конечномерные вариационные неравенства и проблемы дополнительности, т. 1, Springer Series in Operations Research, Берлин - Гейдельберг - Нью-Йорк : Springer-Verlag, ISBN 0-387-95580-1, Zbl 1062.90001
Факчини, Франсиско; Пан, Чон-Ши (2003), Конечномерные вариационные неравенства и проблемы дополнительности, Vol. 2, Springer Series in Operations Research, Берлин - Гейдельберг - Нью-Йорк : Springer-Verlag, ISBN 0-387-95581-X, Zbl 1062.90001
Fichera, Gaetano (1963), «Sul problem elastostatico di Signorini con ambigue condizioni al contorno», Rendiconti della Accademia Nazionale dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali, 8 (на итальянском языке), 34 (2): 138–142, Zbl 0128.18305. «Об упругостатической проблеме Синьорини с неоднозначными граничными условиями» (английский перевод названия) - это небольшая исследовательская заметка, объявляющая и описывающая решение проблемы Синьорини.
Fichera, Gaetano (1964a), «Problemi elastostatici con vincoli unaterali: il проблема Signorini con ambigue condizioni al contorno ", Memorie della Accademia Nazionale dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali, 8 (на итальянском языке), 7 (2): 91– 140, Zbl 0146.21204. «Задачи упругости с односторонними ограничениями: задача Синьорини с неоднозначными граничными условиями» (английский перевод названия) - первая статья, в которой доказаны существование и теорема единственности для задачи Синьорини..
Фичера, Гаэтано (1964b), «Задачи упругости с односторонними ограничениями: задача Синьорини с неоднозначными граничными условиями», Seminari dell'istituto Nazionale di Alta Matematica 1962–1963, Rome : Edizioni Cremonese, стр. 613–679. Английский перевод (Fichera 1964a).
Glowinski, Roland ; Lions, Jacques-Louis ; Trémolières, Raymond (1981), Численный анализ вариационных неравенств. Перевод с французского, Исследования по математике и ее приложениям, 8, Амстердам - Нью-Йорк - Оксфорд : Северная Голландия, стр. Xxix + 776, ISBN 0-444-86199-8, MR 0635927, Zbl 0463.65046
Kinderlehrer, David ; Stampacchia, Guido (1980), Введение в вариационные неравенства и их приложения, Чистая и прикладная математика, 88, Бостон - Лондон - Нью-Йорк - Сан-Диего - Сидней - Токио - Торонто : Academic Press, ISBN 0-89871-466-4, Zbl 0457.35001.
Lions, Jacques-Louis ; Stampacchia, Guido (1965), "Inéquationschanges non-coercives", Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences, 261 : 25–27, Zbl 0136.11906, доступно на Gallica. Объявление результатов работы (Lions Stampacchia 1967).
Lions, Jacques-Louis ; Stampacchia, Guido (1967), «Вариационные неравенства», Сообщения по чистой и прикладной математике, 20(3): 493–519, doi : 10.1002 / cpa.3160200302, Zbl 0152.34601, заархивировано из оригинала 05.01.2013 Внешняя ссылка в | journal =(). важная статья, описывающая абстрактный подход авторов к теории вариационных неравенств.
Рубичек, Томаш (2013), Нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных с приложениями, ISNM. International Series of Numerical Mathematics, 153 ( 2-е изд.), Базель-Бостон-Берлин: Birkhäuser Verlag, pp. Xx + 476, doi : 10.1007 / 978-3-0348-0513-1, ISBN 978-3-0348-0512-4, MR 3014456, Zbl 1270.35005.
Stampacchia, Guido ( 1964), «Формирует билинейные коэрцитивы по ансамблям выпуклостей», Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences, 258 : 4413–4416, Zbl 0124.06401, доступно на Gallica. Статья, содержащая обобщение Стампаккией теоремы Лакса – Милграма.

Внешние ссылки

Панагиотопулос, П.Д. (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press
Алессио Фигалли, О глобальных однородных решениях проблемы Синьорини,