Односторонний контакт

редактировать

Механическое ограничение, предотвращающее проникновение между двумя телами;

В механике контакта термин односторонний контакт, также называемый односторонним ограничением, обозначает механическое ограничение, которое предотвращает проникновение между двумя жесткими / гибкими телами. Ограничения такого рода повсеместно присутствуют в негладкой многотельной динамике приложениях, таких как гранулированные потоки, робот с ногами, динамика транспортного средства, демпфирование частиц, несовершенные суставы или ракетные приземления. В этих приложениях односторонние ограничения приводят к возникновению ударов, поэтому требуются подходящие методы для устранения таких ограничений.

Содержание

1 Моделирование односторонних ограничений
- 1.1 Плавная динамика контакта
- 1.2 Негладкая динамика контакта
- 1.3 Фрикционные односторонние ограничения
2 Методы решения
- 2.1 Формулировки N / LCP
- 2.2 Формулировка расширенного лагранжиана
3 См. Также
4 Ссылки
5 Дополнительная литература
- 5.1 Программное обеспечение с открытым исходным кодом
- 5.2 Книги и статьи

Моделирование односторонних ограничений

Существует два основных метода моделирования односторонних ограничений. Первый тип основан на динамике плавного контакта, включая методы, использующие модели Герца, методы штрафов и некоторые модели регуляризационной силы, а второй тип основан на динамике негладкого контакта, который моделирует систему с односторонними контактами как вариационные неравенства.

Гладкая динамика контакта

Контактная модель Герца

В этом методе нормальные силы, создаваемые односторонними связями, моделируются в соответствии с локальными свойствами материала тел.. В частности, модели контактных сил получены из механики сплошной среды и выражены как функции зазора и скорости удара тел. В качестве примера на рисунке справа показана классическая модель контакта Герца. В такой модели контакт объясняется локальной деформацией тел. Дополнительные модели контакта можно найти в некоторых обзорных научных работах или в статье, посвященной механике контакта.

Динамика негладкого контакта

В негладком методе односторонние взаимодействия между телами в основном моделируются условие Синьорини непроникания и законы удара используются для определения процесса удара. Условие Синьорини может быть выражено как проблема дополнительности:

$g ≥ 0, λ ≥ 0, λ ⊥ g {\ displaystyle g \ geq 0, \ quad \ lambda \ geq 0, \ quad \ lambda \ perp g}$ ${\ displaystyle g \ geq 0, \ quad \ lambda \ geq 0, \ quad \ lambda \ perp g}$ ,

где $g {\ displaystyle g}$ $g$ обозначает расстояние между двумя телами, а $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ обозначает контактную силу, создаваемую односторонними ограничениями., как показано на рисунке ниже. Более того, с точки зрения концепции проксимальной точки теории выпуклостей, условие Синьорини может быть эквивалентно выражено как:

$λ = proj R + (λ - ρ g) {\ displaystyle \ lambda = {\ rm {proj}} _ {\ mathbb {R} ^ {+}} (\ lambda - \ rho g)}$ ${\ displaystyle \ lambda = {\ rm {proj}} _ {\ mathbb {R} ^ {+}} (\ lambda - \ rho g)}$ ,

где $ρ>0 {\ displaystyle \ rho>0}$ $\rho>0$ обозначает вспомогательный параметр, а $proj C) {\ displaystyle {\ rm {proj}} _ {\ bf {C}} (x)}$ ${\ displaystyle {\ rm {proj}} _ {\ bf {C}} (x)}$ представляет ближайшую точку в наборе $C {\ displaystyle C}$ $C$ к переменной $x {\ displaystyle x}$ $x$ , определенной как:

$proj C (x) = argminy ∈ C ‖ y - x ‖ {\ displaystyle {\ rm {proj}} _ {\ bf {C}} (x) = {\ rm {argmin}} _ {y \ in C} \ | yx \ |}$ ${\ displaystyle {\ rm {proj}} _ {\ bf {C}} ( х) = {\ rm {argmin}} _ {y \ in C} \ | yx \ |}$ .

Оба приведенных выше выражения представляют динамическое поведение односторонних ограничений: на одном стороны, когда нормальное расстояние $g N {\ displaystyle g _ {\ rm {N}}}$ ${\ displaystyle g_ {\ rm {N}}}$ больше нуля, co ntact открыт, что означает отсутствие силы контакта между телами, $λ = 0 {\ displaystyle \ lambda = 0}$ ${ \ displaystyle \ lambda = 0}$ ; с другой стороны, когда нормальное расстояние $g N {\ displaystyle g _ {\ rm {N}}}$ ${\ displaystyle g_ {\ rm {N}}}$ равно нулю, контакт замыкается, в результате чего $λ ≥ 0 {\ displaystyle \ lambda \ geq 0}$ ${\ displaystyle \ lambda \ geq 0}$ .

Рис. 2: а) односторонний контакт, б) граф Синьорини, в) модель, основанная на механике сплошной среды

При реализации негладких методов, основанных на теории, условие Синьорини скорости или Условие ускорения Синьорини фактически используется в большинстве случаев. Условие Синьорини скорости выражается как:

$UN + ≥ 0, λ ≥ 0, U + λ = 0 {\ displaystyle U _ {\ rm {N}} ^ {+} \ geq 0, \ quad \ lambda \ geq 0, \ quad U ^ {+} \ lambda = 0}$ ${\ displaystyle U _ {\ rm {N}} ^ {+ } \ geq 0, \ quad \ lambda \ geq 0, \ quad U ^ {+} \ lambda = 0}$ ,

где $UN + {\ displaystyle U _ {\ rm {N}} ^ {+}}$ ${\ displaystyle U _ {\ rm {N}} ^ {+}}$ обозначает относительную нормальную скорость после удара. Условие Синьорини скорости следует понимать вместе с предыдущими условиями $g ≥ 0, λ ≥ 0, λ ⊥ g {\ displaystyle g \ geq 0, \; \ lambda \ geq 0, \; \ lambda \ perp g}.$ ${\ displaystyle g \ geq 0, \; \ lambda \ geq 0, \; \ lambda \ perp g }$ . Условие Синьорини рассматривается при замкнутом контакте ( $g = 0, UN + = 0 {\ displaystyle g = 0, U _ {\ rm {N}} ^ {+} = 0}$ ${\ displaystyle g = 0, U _ {\ rm {N}} ^ {+} = 0}$ ), как:

$г ¨ ≥ 0, λ ≥ 0, г ¨ λ знак равно 0 {\ displaystyle {\ ddot {g}} \ geq 0, \ quad \ lambda \ geq 0, \ quad {\ ddot {g} } \ lambda = 0}$ ${\ displaystyle {\ ddot {g}} \ geq 0, \ quad \ lambda \ geq 0, \ quad {\ ddot {g}} \ lambda Знак равно 0}$ ,

где точки обозначают производную второго порядка по времени.

При использовании этого метода для односторонних связей между двумя твердыми телами одного условия Синьорини недостаточно для моделирования процесса удара, поэтому законы удара, дающие информацию о состояниях до и после удара, также требуется. Например, когда применяется закон Ньютона о реституции, коэффициент реституции будет определен как: $e = - UN + / UN - {\ displaystyle e = - {U _ {\ rm {N }} ^ {+}} / {U _ {\ rm {N}} ^ {-}}}$ ${\ displaystyle e = - {U _ {\ rm {N}} ^ {+}} / {U _ {\ rm {N}} ^ {-}}}$ , где $UN - {\ displaystyle U _ {\ rm {N}} ^ {- }}$ ${\ displaystyle U _ {\ rm {N}} ^ {-}}$ обозначает относительную нормальную скорость до удара.

Фрикционные односторонние связи

Для фрикционных односторонних зависимостей нормальные контактные силы моделируются одним из описанных выше методов, а силы трения обычно описываются с помощью закона трения Кулона. Закон трения Кулона можно выразить следующим образом: когда тангенциальная скорость $UT {\ displaystyle U _ {\ rm {T}}}$ ${\ displaystyle U _ {\ rm {T}}}$ не равна нулю, а именно, когда два тела скользят, сила трения $λ T {\ displaystyle \ lambda _ {\ rm {T}}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {\ rm {T}}}$ пропорциональна нормальной контактной силе $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ ; когда вместо этого тангенциальная скорость $UT {\ displaystyle U _ {\ rm {T}}}$ ${\ displaystyle U _ {\ rm {T}}}$ равна нулю, а именно, когда два тела относительно неподвижны, сила трения $λ T { \ displaystyle \ lambda _ {\ rm {T}}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {\ rm {T}}}$ не более чем максимум силы статического трения. Это соотношение можно резюмировать, используя принцип максимальной диссипации, как

$λ T ∈ D (μ λ) ∀ S ∈ D (μ λ) (S - λ T) UT ≥ 0, {\ displaystyle \ lambda _ {\ rm {T}} \ in D (\ mu \ lambda) ~~~~~~ \ forall S \ in D (\ mu \ lambda) ~~~~~~ (S- \ lambda _ {\ rm {T}}) U _ {\ rm {T}} \ geq 0,}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {\ rm {T}} \ in D (\ mu \ lambda) ~~~~~~ \ forall S \ in D (\ mu \ lambda) ~~~~~~ (S- \ lambda _ {\ rm {T}}) U _ {\ rm {T}} \ geq 0,}$

где

$D (μ λ) = {∀ x | - μ λ ≤ ‖ x ‖ ≤ μ λ} {\ displaystyle D (\ mu \ lambda) = \ {\ forall x | - \ mu \ lambda \ leq \ | x \ | \ leq \ mu \ lambda \}}$ ${\ displaystyle D (\ mu \ lambda) = \ {\ forall x | - \ mu \ лямбда \ leq \ | x \ | \ leq \ mu \ lambda \}}$

представляет конус трения, а $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ му$ обозначает кинематический коэффициент трения. Аналогично нормальной контактной силе формулировка выше может быть эквивалентно выражена в терминах понятия проксимальной точки как:

$λ T = proj D (μ λ) (λ T - ρ UT) {\ displaystyle \ lambda _ { \ rm {T}} = {\ rm {proj}} _ {D (\ mu \ lambda)} (\ lambda _ {T} - \ rho U _ {\ rm {T}})}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {\ rm {T}} = {\ rm {proj}} _ {D (\ mu \ lambda)} (\ lambda _ {T} - \ rho U _ {\ rm {T}})}$ ,

где $ρ>0 {\ displaystyle \ rho>0}$ $\rho>0$ обозначает вспомогательный параметр.

Методы решения

Если односторонние ограничения моделируются контактными моделями на основе механики сплошной среды, контактные силы могут быть вычислены напрямую с помощью явной математической формулы, которая зависит от выбранной контактной модели. Если вместо этого используется негладкий метод, основанный на теории, есть две основные формулировки для решения условий Синьорини: нелинейный / постановка задачи линейной дополнительности (N / LCP) и в лагранжевой формулировке. Что касается решения контактных моделей, негладкий метод более утомителен, но менее затратен с вычислительной точки зрения. Более подробное сравнение методов решения с использованием контактных моделей и негладкой теории было выполнено Пазуки и др.

формулировки N / LCP

Следуя этому подходу, решение уравнений динамики с односторонним ограничений трансформируется в решение N / LCPs. В частности, для односторонних ограничений без трения или односторонних ограничений с плоским трением проблема трансформируется в LCP, в то время как для односторонних ограничений трения проблема трансформируется в NCP. Для решения LCP наиболее популярным методом является алгоритм поворота , заимствованный из алгоритма Лемека и Данцига. К сожалению, однако, численные эксперименты показывают, что алгоритм поворота может дать сбой при работе с системами с большим количеством односторонних контактов, даже при использовании лучших оптимизаций. Для NCP использование полиэдрального приближения может преобразовать NCP в набор LCP, которые затем могут быть решены с помощью решателя LCP. Другие подходы помимо этих методов, такие как NCP-функции или методы, основанные на проблемах комплементарности конусов (CCP), также используются для решения NCP.

Формулировка расширенного лагранжиана

В отличие от формулировок N / LCP, расширенная формулировка лагранжиана использует проксимальные функции, описанные выше, $λ = proj R + (λ - ρ g) {\ displaystyle \ lambda = {\ rm {proj}} _ {\ mathbb {R} ^ {+}} (\ lambda - \ rho g)}$ ${\ displaystyle \ lambda = {\ rm {proj}} _ {\ mathbb {R} ^ {+}} (\ lambda - \ rho g)}$ . Вместе с уравнениями динамики эта формулировка решается с помощью алгоритмов поиска корней. Машаехи и др. Провели сравнительное исследование формулировок LCP и расширенных лагранжевых формул.

См. Также

Многотельная динамика
контактная динамика - Движение многотельных систем
контактная механика - Изучение деформации соприкасающихся твердых тел
Метод дискретных элементов - Численные методы для расчета движения и воздействия большого количества мелких частиц
Негладкая механика - Подход к моделированию в механике, который больше не требует, чтобы изменения во времени положений и скоростей были плавными функциями
Реакция на столкновение
Вариационные неравенства

Ссылки

Дополнительная литература

Программное обеспечение с открытым исходным кодом

Коды с открытым исходным кодом и некоммерческие пакеты, использующие негладкий метод:

Siconos - Научное программное обеспечение с открытым исходным кодом для моделирования негладких динамических систем
Chrono, движок мультифизического моделирования с открытым исходным кодом, см. Также сайт проекта д

Книги и статьи

Акари В., Брольято Б. Численные методы для негладких динамических систем. Приложения в механике и электронике. Springer Verlag, LNACM 35, Heidelberg, 2008.
Брольято Б. Негладкая механика. Серия «Связь и управление» Springer-Verlag, London, 1999 (2dn Ed.)
Glocker, Ch. Dynamik von Starrkoerpersystemen mit Reibung und Stoessen, том 18/182 VDI Fortschrittsberichte Mechanik / Bruchmechanik. VDI Verlag, Дюссельдорф, 1995
Glocker Ch. и Студер С. Формулировка и подготовка к численной оценке систем линейной дополнительности. Динамика многотельных систем 13 (4): 447-463, 2005
Жан М. Метод динамики негладких контактов. Компьютерные методы в прикладной механике и технике 177 (3-4): 235-257, 1999
Моро Дж. Дж. Односторонний контакт и сухое трение в динамике конечной свободы, том 302 Негладкой механики и приложений, Курсы и лекции по CISM. Springer, Wien, 1988
Пфайфер Ф., Фоерг М. и Ульбрих Х. Численные аспекты негладкой динамики многотельных тел. Comput. Методы Прил. Мех. Engrg 195 (50-51): 6891-6908, 2006
Potra F.A., Anitescu M., Gavrea B. и Trinkle J. Линейно неявный трапециевидный метод интеграции жесткой многотельной динамики с контактами, соединениями и трением. Int. J. Numer. Meth. Engng 66 (7): 1079-1124, 2006
Стюарт Д.Э. и Тринкл Дж.К. Неявная пошаговая схема для динамики твердого тела с неупругими столкновениями и кулоновским трением. Int. J. Numer. Methods Engineering 39 (15): 2673-2691, 1996
Studer C. Расширенная пошаговая интеграция негладких динамических систем, докторская диссертация ETH Zurich, ETH E-Collection, появится 2008
Студер К. Числа односторонних контактов и трения - моделирование и численное интегрирование времени в негладкой динамике, конспекты лекций по прикладной и вычислительной механике, том 47, Springer, Berlin, Heidelberg, 2009