Теорема Стоуна – Вейерштрасса

В математическом анализе, то Вейерштрасса теорема аппроксимации утверждает, что каждая непрерывная функция, заданная на замкнутом интервале [, Ь ] может быть равномерно аппроксимирована сколь угодно точно с помощью полиномиальной функции. Поскольку полиномы являются одними из самых простых функций, и поскольку компьютеры могут напрямую вычислять полиномы, эта теорема имеет как практическое, так и теоретическое значение, особенно при интерполяции полиномов. Первоначальная версия этого результата была установлена Карлом Вейерштрассом в 1885 году с помощью преобразования Вейерштрасса.

Маршалл Х. Стоун значительно обобщил теорему ( Stone, 1937) и упростил доказательство ( Stone, 1948). Его результат известен как теорема Стоуна – Вейерштрасса. Теорема Стоуна – Вейерштрасса обобщает аппроксимационную теорему Вейерштрасса в двух направлениях: вместо вещественного интервала [ a, b ] рассматривается произвольное компактное хаусдорфово пространство X, а вместо алгебры полиномиальных функций - множество других семейств непрерывных показано, что функций достаточно, как подробно описано ниже. Теорема Стоуна – Вейерштрасса является важным результатом при изучении алгебры непрерывных функций на компактном хаусдорфовом пространстве. ${\ displaystyle X}$

Далее, существует обобщение теоремы Стоуна – Вейерштрасса на некомпактные тихоновские пространства, а именно, любая непрерывная функция на тихоновском пространстве аппроксимируется равномерно на компактах алгебрами типа, фигурирующего в теореме Стоуна – Вейерштрасса и описанного ниже.

Другое обобщение исходной теоремы Вейерштрасса - это теорема Мергеляна, которая обобщает ее на функции, определенные на некоторых подмножествах комплексной плоскости.

• 1 Аппроксимационная теорема Вейерштрасса
  • 1.1 Приложения
• 2 Теорема Стоуна – Вейерштрасса, вещественная версия
  • 2.1 Локально компактная версия
  • 2.2 Приложения
• 3 Теорема Стоуна – Вейерштрасса, комплексная версия
• 4 Теорема Стоуна – Вейерштрасса, кватернионная версия
• 5 Теорема Стоуна – Вейерштрасса, версия для C * -алгебры
• 6 решетчатых версий
• 7 Теорема Бишопа
• 8 Теорема Нахбина
• 9 История редактирования
• 10 См. Также
• 11 Примечания
• 12 Ссылки
  • 12.1 Исторические произведения
• 13 Внешние ссылки

Утверждение аппроксимационной теоремы, первоначально обнаруженное Вейерштрассом, выглядит следующим образом:

Аппроксимационная теорема Вейерштрасса. Предположим, что f - непрерывная функция с действительными значениями, определенная на вещественном интервале [ a, b ]. Для любого ε gt; 0 существует многочлен p такой, что для всех x из [ a, b ] имеем | f  ( x) - p ( x) | lt; ε, или, что то же самое, норма супремума || f   - p || lt; ε.  

Конструктивное доказательство этой теоремы с использованием полиномов Бернштейна изложено на этой странице.

Приложения

Как следствие Вейерштрасса приближения теоремы, можно показать, что пространство С [, Ь ] является разъемным : полиномиальные функции плотны, и каждая полиномиальная функция может быть равномерно аппроксимирована один с рациональными коэффициентами; существует только счетное число многочленов с рациональными коэффициентами. Так как С [, Ь ] является метризуемым и разъемной отсюда следует, что С [, Ь ] имеет мощность не более 2 ^{ℵ 0}. (Примечание: этот результат о мощности также следует из того факта, что непрерывная функция на вещественных числах однозначно определяется своим ограничением на рациональные числа.)

Множество C [ a, b ] непрерывных действительных функций на [ a, b ] вместе с нормой супремума || f  || = sup a ≤ x ≤ b | f  ( x) |, является банаховой алгеброй (то есть ассоциативной алгеброй и таким банаховым пространством, что ||  fg || ≤ ||  f  || || g || для всех f, g). Набор всех полиномиальных функций образует подалгебру в C [ a, b ] (то есть векторное подпространство в C [ a, b ], замкнутое относительно умножения функций), и содержание аппроксимационной теоремы Вейерштрасса состоит в том, что это подалгебра плотна в C [ a, b ].  

Стоун начинает с произвольного компактного хаусдорфова пространства X и рассматривает алгебру C ( X, R) вещественнозначных непрерывных функций на X с топологией равномерной сходимости. Он хочет найти подалгебры в C ( X, R), которые являются плотными. Оказывается, что решающее свойство, которому должна удовлетворять подалгебра, состоит в том, что она разделяет точки : множество функций A, определенных на X, называется разделяющими точки, если для каждых двух разных точек x и y в X существует функция p в A причем p ( x) ≠ p ( y). Теперь мы можем констатировать:

Теорема Стоуна – Вейерштрасса (действительные числа). Предположим, что X - компактное хаусдорфово пространство, а A - подалгебра в C ( X, R), содержащая ненулевую постоянную функцию. Тогда A плотно в C ( X, R) тогда и только тогда, когда оно разделяет точки.

Отсюда следует исходное утверждение Вейерштрасса, поскольку многочлены на [ a, b ] образуют подалгебру в C [ a, b ], которая содержит константы и разделяет точки.

Локально компактная версия

Версия теоремы Стоуна – Вейерштрасса также верна, когда X только локально компактно. Пусть С 0 ( X, R) пространство вещественных непрерывных функций на X, которые обращаются в нуль на бесконечности ; то есть непрерывная функция f принадлежит C 0 ( X, R), если для любого ε gt; 0 существует такой компакт K ⊂ X, что  | f | lt; Ε на X  \  K. Снова C 0 ( X, R) - банахова алгебра с нормой супремума. Говорят, что подалгебра A в C 0 ( X, R) нигде не обращается в нуль, если не все элементы A одновременно обращаются в нуль в точке; то есть для каждого x в X существует такое f в A, что f  ( x) ≠ 0. Теорема обобщает следующее:       

Теорема Стоуна – Вейерштрасса (локально компактные пространства). Предположим, что X - локально компактное хаусдорфово пространство и A - подалгебра в C 0 ( X, R). Тогда A плотно в C 0 ( X, R) (с учетом топологии равномерной сходимости ) тогда и только тогда, когда оно разделяет точки и нигде не обращается в нуль.

Эта версия явно влечет предыдущую версию в случае, когда X компактно, поскольку в этом случае C 0 ( X, R) = C ( X, R). Существуют также более общие версии алгоритма Стоуна – Вейерштрасса, которые ослабляют предположение о локальной компактности.

Приложения

Теорема Стоуна – Вейерштрасса может быть использована для доказательства следующих двух утверждений, выходящих за рамки результата Вейерштрасса.

• Если f - непрерывная вещественнозначная функция, определенная на множестве [ a, b ] × [ c, d ] и ε gt; 0, то существует полиномиальная функция p от двух переменных такая, что | f  ( x, y) - p ( x, y) | lt; ε для всех x в [ a, b ] и y в [ c, d ].  
• Если X и Y - два компактных хаусдорфовых пространства и f  : X × Y → R - непрерывная функция, то для любого ε gt; 0 существуют n gt; 0 и непрерывные функции f 1,...,   f n на X и непрерывные функции g 1,..., g n на Y такие, что || f - Σ  f i  g i  || lt; ε.  

Теорема имеет много других приложений к анализу, в том числе:

• Ряд Фурье : множество линейных комбинаций функций e n ( x) = e ^{2 πinx}, n ∈ Z плотно в C ([0, 1] / {0, 1}), где мы идентифицируем концы интервала [ 0, 1], чтобы получить круг. Важным следствием этого является то, что е п являются ортонормированный базис пространства L ² ([0, 1]) из квадратных интегрируемых функций на [0, 1].

Чуть более общей является следующая теорема, в которой мы рассматриваем алгебру комплекснозначных непрерывных функций на компактном пространстве, опять же с топологией равномерной сходимости. Это C * -алгебра с * -операцией, заданной поточечным комплексным сопряжением. ${\ Displaystyle С (Х, \ mathbb {C})}$${\ displaystyle X}$

Теорема Стоуна – Вейерштрасса (комплексные числа). Пусть компактное хаусдорфово пространство, и пусть будет отделяя подмножество из. Тогда комплексная унитальная * -алгебра, порожденная алгеброй, плотна в.${\ displaystyle X}$${\ displaystyle S}$ ${\ Displaystyle С (Х, \ mathbb {C})}$ ${\ displaystyle S}$${\ Displaystyle С (Х, \ mathbb {C})}$

Комплексная унитальная * -алгебра, генерируемая с помощью, состоит из всех тех функций, которые могут быть получены из элементов путем добавления постоянной функции 1 и их сложения, умножения, сопряжения или умножения на комплексные скаляры и повторения конечного числа раз.. ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$

Эта теорема подразумевает реальную версию, потому что если сеть комплекснозначных функций равномерно аппроксимирует данную функцию, то действительные части этих функций равномерно аппроксимируют действительную часть этой функции, и поскольку для реальных подмножеств, принимая действительные части порожденной комплексной алгебры с единицей (самосопряженной) алгебры согласуется с порожденной действительной алгеброй с единицей. ${\ displaystyle f_ {n} \ to f}$${\ displaystyle \ operatorname {Re} f_ {n} \ to \ operatorname {Re} f}$${\ Displaystyle S \ подмножество C (X, \ mathbb {R}) \ подмножество C (X, \ mathbb {C}),}$

Как и в вещественном случае, аналог этой теоремы верен для локально компактных хаусдорфовых пространств.

Следуя Джону Холладею (1957)  : рассмотрим алгебру C ( X, H) кватернионозначных непрерывных функций на компакте X, опять же с топологией равномерной сходимости. Если кватернион д записывается в виде д  =   +  IB +  х  +  кД то скалярная часть а является действительным числом ( д  -  IQI  -  jqj  -  kqk) / 4. Аналогично, будучи скалярной частью - qi, - qj и - qk  : b, c и d являются соответственно действительными числами (- qi  -  iq  +  jqk  -  kqj) / 4, (- qj  -  iqk  -  jq  +  kqi) / 4 и (- qk  +  iqj  -  jqk  -  kq) / 4. Тогда мы можем констатировать:

Теорема Стоуна – Вейерштрасса (кватернионные числа). Предположим, что X - компактное хаусдорфово пространство, а A - подалгебра в C ( X, H), содержащая ненулевую постоянную функцию. Тогда A плотно в C ( X, H) тогда и только тогда, когда оно разделяет точки.

Пространство комплекснозначных непрерывных функций на компактном хаусдорфовом пространстве, т. Е. Является каноническим примером коммутативной C * -алгебры с единицей. Пространство X можно рассматривать как пространство чистых состояний на, со слабой топологией *. Следуя приведенной выше подсказке, некоммутативное расширение теоремы Стоуна – Вейерштрасса, которая осталась нерешенной, выглядит следующим образом: ${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle С (Х, \ mathbb {C})}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {A}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {A}}}$

Гипотеза. Если унитальная C * -алгебра имеет C * -подалгебру, разделяющую чистые состояния, то.${\ displaystyle {\ mathfrak {A}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {B}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {A}}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {A}} = {\ mathfrak {B}}}$

В 1960 году Джим Глимм доказал более слабую версию вышеприведенной гипотезы.

Теорема Стоуна – Вейерштрасса (C * -алгебры). Если унитальная C * -алгебра имеет C * -подалгебру, которая разделяет пространство чистых состояний (т. Е. Слабое * замыкание чистых состояний), то.${\ displaystyle {\ mathfrak {A}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {B}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {A}}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {A}} = {\ mathfrak {B}}}$

Пусть X - компактное хаусдорфово пространство. В первоначальном доказательстве теоремы Стоуна использовалась идея решеток в C ( X, R). Подмножество L из C ( X, R) называется решеткой, если для любых двух элементов F, г ∈ L, функции тах {  F, г }, {мин  F, г } также принадлежат к L. Решеточная версия теоремы Стоуна – Вейерштрасса гласит:  

Теорема Стоуна – Вейерштрасса (решетки). Предположим, что X - компактное хаусдорфово пространство по крайней мере с двумя точками, а L - решетка в C ( X, R) со свойством, что для любых двух различных элементов x и y из X и любых двух действительных чисел a и b существует элемент f   ∈ L, где f  ( x) = a и f  ( y) = b. Тогда L плотно в C ( X, R).   

Вышеупомянутые версии Стоуна – Вейерштрасса могут быть доказаны с помощью этой версии, если понять, что свойство решетки также может быть сформулировано с использованием абсолютного значения | f  | которые, в свою очередь, могут быть аппроксимированы многочленами от f. Вариант теоремы применяется к линейным подпространствам в C ( X, R), замкнутым относительно max ( Hewitt amp; Stromberg 1965, теорема 7.29):   

Теорема Стоуна – Вейерштрасса. Предположим, что X - компактное хаусдорфово пространство, а B - семейство функций из C ( X, R) такое, что

1. B разделяет точки.
2. B содержит постоянную функцию 1.
3. Если F   ∈ B, то аф   ∈ B для всех констант ∈ R. 
4. Если F,  г ∈ B, то е   + г, тах {  е, г } ∈ B.  

Тогда B плотно в C ( X, R).

Доступна более точная информация:

Предположим, что X - компактное хаусдорфово пространство не менее чем с двумя точками, а L - решетка в C ( X, R). Функция φ ∈ C ( X, R) принадлежит к закрытию из L, если и только если для каждой пары различных точек х и у в X, так и для каждого е gt; 0 существует некоторый ф   ∈ L, для которого | f  ( x) - φ ( x) | lt; ε и | f  ( y) - φ ( y) | lt; ε. 

Другое обобщение теоремы Стоуна – Вейерштрасса принадлежит Эррету Бишопу. Теорема Бишопа выглядит следующим образом ( Bishop 1961):

Пусть A - замкнутая подалгебра комплексной банаховой алгебры C ( X, C) непрерывных комплекснозначных функций на компактном хаусдорфовом пространстве X с использованием нормы супремума. Для S ⊂ X пишем A S = { g | S  : g ∈ A }. Предположим, что f   ∈ C ( X, C) обладает следующим свойством:  

 f  | S ∈ A S для любого максимального множества S ⊂ X такого, что все действительные функции из A S постоянны.

Тогда F   ∈ A. 

Гликсберг (1962) дает краткое доказательство теоремы Бишопа, используя по существу теорему Крейна – Мильмана, а также теорему Хана – Банаха  : процесс Луи де Бранжа (1959). См. Также Рудин (1973, §5.7).

Теорема Нахбина дает аналог теоремы Стоуна – Вейерштрасса для алгебр комплекснозначных гладких функций на гладком многообразии ( Нахбин, 1949). Теорема Нахбина такова ( Ллавона, 1986):

Пусть подалгебра алгебры C ^∞ ( M) гладких функций на конечномерном гладком многообразии M. Предположим, что A разделяет точки M, а также разделяет касательные векторы M: для каждой точки m ∈ M и касательного вектора v в касательном пространстве в m существует f ∈ A такой, что d f ( x) ( v) ≠ 0. Тогда A плотно в C ^∞ ( M).

В 1885 году была также опубликована английская версия статьи под названием « О возможности аналитического представления произвольной функции действительного переменного». По словам математика Ямилет Кинтана, Вейерштрасс «подозревал, что любые аналитические функции могут быть представлены степенными рядами ».

• Теорема Мюнца – Саса.
• Полином Бернштейна.
• Феномен Рунге показывает, что нахождение полинома P такого, что f  ( x) = P ( x) для некоторого точно разнесенного x = x n, является плохим способом попытки найти полином, приближающий f равномерно. Лучший подход, объясненный, например, в ( Рудин, 1976), стр. 160, ур. (51) ff., Состоит в том, чтобы построить многочлены P, равномерно аппроксимирующие f, взяв свертку f с семейством правильно выбранных полиномиальных ядер.       
• Теорема Мергеляна о полиномиальных приближениях комплексных функций.

• Джон Холладей (1957), "Теорема Стоуна – Вейерштрасса для кватернионов" (PDF), Proc. Амер. Математика. Soc., 8: 656, DOI : 10.1090 / S0002-9939-1957-0087047-7.
• Луи де Бранж (1959), "Теорема Стоуна – Вейерштрасса", Proc. Амер. Математика. Soc., 10 (5): 822-824, DOI : 10,1090 / s0002-9939-1959-0113131-7.
• Ян Бринкхейс и Владимир Тихомиров (2005) Оптимизация: идеи и приложения, Princeton University Press ISBN   978-0-691-10287-0 MR 2168305.
• Глимм, Джеймс (1960), "А Стоуна-Вейерштрасса теорема для C * -алгебр", Анналы математики, второй серии, 72 (2): 216-244, DOI : 10,2307 / 1970133, JSTOR   1970133
• Епископ, Errett (1961), "Обобщение теоремы Стоуна-Вейерштрасса", Тихоокеанский журнал математики, 11 (3): 777-783, DOI : 10,2140 / pjm.1961.11.777.
• Гликсберг, Ирвинг (1962), "Меры Ортогональные в алгебрах и множества антисимметрии", Труды Американского математического общества, 105 (3): 415-435, DOI : 10,2307 / 1993729, JSTOR   1993729.
• Hewitt, E; Стромберг, К. (1965), Реальный и абстрактный анализ, Springer-Verlag.
• Рудин, Вальтер (1976), Принципы математического анализа (3-е изд.), McGraw-Hill, ISBN   978-0-07-054235-8.
• Рудин, Уолтер (1973), Функциональный анализ, McGraw-Hill, ISBN   0-07-054236-8.
• Nachbin, L. (1949), "Sur les algèbres denses de fonctions diffèrentiables sur une varété", CR Acad. Sci. Париж, 228: 1549–1551
• Ллавона, Хосе Г. (1986), Приближение непрерывно дифференцируемых функций, Амстердам: Северная Голландия, ISBN   9780080872414
• Дж. Беркилл, Лекции по приближению многочленами (PDF).

Исторические произведения

Историческая публикация Вейерштрасса (на немецком языке ) находится в свободном доступе в цифровом онлайн-архиве Берлинской Бранденбургской академии дер Виссеншафтен :

• К. Вейерштрасс (1885). Über die analytische Darstellbarkeit sogenannter willkürlicher Functionen einer reellen Veränderlichen. Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1885 (II).

Erste Mitteilung (часть 1), стр. 633–639, Zweite Mitteilung (часть 2), стр. 789–805.

Важные исторические произведения Стоуна включают в себя:

• Камень, MH (1937), "Применение теории булевых колец к общей топологии", Труды Американского математического общества, 41 (3): 375-481, DOI : 10,2307 / 1989788, JSTOR   1989788.
• Камень, MH (1948), "Обобщенная Вейерштрасса теорема аппроксимации", Математика Журнал, 21 (4): 167-184, DOI : 10,2307 / 3029750, JSTOR   3029750, МР   0027121 ; 21 (5), 237–254.

• "Теорема Стоуна – Вейерштрасса", Математическая энциклопедия, EMS Press, 2001 [1994]