Скалярный потенциал

Скалярный потенциал, проще говоря, описывает ситуацию, когда разность потенциальных энергий объект в двух разных положениях зависит только от положений, а не от пути, по которому объект перемещается из одного положения в другое. Это скалярное поле в трех пространствах: значение без направления (скаляр), которое зависит только от своего местоположения. Знакомый пример - потенциальная энергия за счет гравитации.

гравитационная потенциальная яма с возрастающей массой, где $F\; =\; -\; \nabla \; P\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; =\; -\; \backslash \; nabla\; P\}$

Скалярный потенциал является фундаментальным понятием в векторный анализ и физика (прилагательное скаляр часто опускается, если нет опасности путаницы с векторным потенциалом ). Скалярный потенциал - это пример скалярного поля . Для векторного поля Fскалярный потенциал P определяется таким образом, что:

$F\; =\; -\; \nabla \; P\; =\; -\; (\partial \; P\; \partial \; x,\; \partial \; P\; \partial \; y,\; \partial \; P\; \partial \; z),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; =\; -\; \backslash \; nabla\; P\; =\; -\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; P\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; P\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; P\}\; \{\backslash \; partial\; z\}\}\; \backslash \; right),\}$

где ∇P - это градиент P, а вторая часть уравнения - минус градиент для функции от Декартовы координаты x, y, z. В некоторых случаях математики могут использовать положительный знак перед градиентом, чтобы определить потенциал. Из-за этого определения P в терминах градиента, направление F в любой точке является направлением наискорейшего уменьшения P в этой точке, его величина - это скорость этого уменьшения на единицу длины.

Чтобы F можно было описать только в терминах скалярного потенциала, должно выполняться любое из следующих эквивалентных утверждений:

1. $-\; \int \; ab\; F\; \cdot \; dl\; =\; P\; (\; б)\; -\; п\; (а)\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; \backslash \; cdot\; d\; \backslash \; mathbf\; \{l\}\; =\; P\; (\backslash \; mathbf\; \{b\})\; -P\; (\backslash \; mathbf\; \{a\; \})\}$, где интегрирование ведется по дуге Жордана, проходящей из местоположения a в местоположение b и P (b ) - это P, вычисленное в местоположении b.
2. $\oint \; F\; \cdot \; dl\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; oint\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; \backslash \; cdot\; d\; \backslash \; mathbf\; \{l\}\; =\; 0\}$, где интеграл по любому простому замкнутому пути, иначе известному как кривая Жордана.
3. $\nabla \; \times \; F\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; nabla\}\; \backslash \; times\; \{\backslash \; mathbf\; \{F\}\}\; =\; 0.\}$

Первый из эти условия представляют собой фундаментальную теорему о градиенте и верны для любого векторного поля, которое является градиентом дифференцируемого однозначного скалярного поля P. Второе условие является требованием для F, чтобы его можно было выразить как градиент как функция Calar. Третье условие повторно выражает второе условие в терминах curl из F с использованием фундаментальной теоремы для curl. Векторное поле F, которое удовлетворяет этим условиям, называется безвихревым (консервативным).

Скалярные потенциалы играют важную роль во многих областях физики и техники. гравитационный потенциал - это скалярный потенциал, связанный с силой тяжести на единицу массы, то есть ускорением из-за поля, как функция положения. Гравитационный потенциал - это гравитационная потенциальная энергия на единицу массы. В электростатике электрический потенциал представляет собой скалярный потенциал, связанный с электрическим полем, то есть с электростатической силой на единицу заряд. Электрический потенциал в данном случае представляет собой потенциальную электростатическую энергию на единицу заряда. В гидродинамике безвихревые ламеллярные поля имеют скалярный потенциал только в частном случае, когда это лапласовское поле. Некоторые аспекты ядерной силы могут быть описаны с помощью потенциала Юкавы. Потенциал играет важную роль в формулировках лагранжиана и гамильтониана классической механики. Кроме того, скалярный потенциал является фундаментальной величиной в квантовой механике.

Не каждое векторное поле имеет скалярный потенциал. Те, которые это делают, называются консервативными, что соответствует понятию консервативной силы в физике. Примеры неконсервативных сил включают силы трения, магнитные силы и в механике жидкости соленоидное поле поле скорости. Однако по теореме о разложении Гельмгольца все векторные поля могут быть описаны в терминах скалярного потенциала и соответствующего векторного потенциала. В электродинамике электромагнитный скалярный и векторный потенциалы известны вместе как электромагнитный четырехпотенциал.

• 1 Условия интегрируемости
• 2 Высота как гравитационная потенциальная энергия
• 3 Давление как выталкивающий потенциал
• 4 Скалярный потенциал в евклидовом пространстве
• 5 См. Также
• 6 Ссылки

Если F является консервативным векторным полем (также называемые безвихревыми, curl -свободными или потенциальными), и его компоненты имеют непрерывные частные производные, потенциал от F относительно опорной точки $г\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{г\}\; \_\; \{0\}\}$определена в терминах линейный интеграл :

$V\; (R)\; Знак\; равно\; -\; \int \; CF\; (r)\; \cdot \; dr\; =\; -\; \int \; ab\; F\; (r\; (t))\; \cdot \; r\; \prime \; (t)\; dt,\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; =\; -\; \backslash \; int\; \_\; \{C\}\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; \backslash \; cdot\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; =\; -\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\}\; (t))\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \text{'}(t)\; \backslash ,\; dt,\}$

где C - параметризованный путь f ром $р\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{0\}\}$до $r,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{r\},\}$

$r\; (t),\; a\; \le \; t\; \le \; b,\; r\; (a)\; =\; r\; 0,\; r\; (b)\; =\; r.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; (t),\; a\; \backslash \; leq\; t\; \backslash \; leq\; b,\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; (a)\; =\; \backslash \; mathbf\; \{r\_\; \{0\}\},\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; (b)\; =\; \backslash \; mathbf\; \{\; r\}.\}$

Тот факт, что линейный интеграл зависит от пути C только через его конечные точки $r\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{0\}\}$и $r\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\}$, по сути, является свойством независимости пути консервативного векторного поля. фундаментальная теорема линейных интегралов подразумевает, что если V определено таким образом, то $F\; =\; -\; \nabla \; V,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; =\; -\; \backslash \; nabla\; V,\}$, так что V является скалярным потенциалом консервативного векторного поля F . Скалярный потенциал не определяется одним только векторным полем: действительно, градиент функции не изменяется, если к нему добавляется константа. Если V определен в терминах интеграла линии, неоднозначность V отражает свободу в выборе опорной точки $R\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{0\}.\}$

однородное гравитационное поле у ​​поверхности Земли График двумерного среза гравитационного потенциала внутри и вокруг однородное сферическое тело. точки перегиба поперечного сечения находятся на поверхности тела.

Примером является (почти) однородное гравитационное поле у поверхности Земли. Он имеет потенциальную энергию

$U\; =\; m\; g\; h\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; =\; mgh\}$

где U - гравитационная потенциальная энергия, а h - высота над поверхностью. Это означает, что потенциальная энергия гравитации на контурной карте пропорциональна высоте. На контурной карте двумерный отрицательный градиент высоты представляет собой двумерное векторное поле, векторы которого всегда перпендикулярны контурам, а также перпендикулярны направлению силы тяжести. Но на холмистой местности, представленной контурной картой, трехмерный отрицательный градиент U всегда указывает прямо вниз в направлении силы тяжести; Ф . Однако мяч, катящийся с холма, не может двигаться прямо вниз из-за нормальной силы поверхности холма, которая нейтрализует компонент гравитации, перпендикулярный поверхности холма. Составляющая силы тяжести, остающаяся для перемещения шара, параллельна поверхности:

$FS\; =\; -\; mg\; sin\; \; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{S\}\; =\; -\; mg\; \backslash \; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\}$

где θ - угол угла наклона, а составляющая F S, перпендикулярная силе тяжести, равна

$FP\; =\; -\; mg\; sin\; \; \theta \; cos\; \; \theta \; =\; -\; 1\; 2\; mg\; sin\; \; 2\; \theta .\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{P\}\; =\; -\; mg\; \backslash \; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \backslash \; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; =\; -\; \{1\; \backslash \; over\; 2\}\; mg\; \backslash \; sin\; 2\; \backslash \; theta.\}$

Эта сила F P, параллельно земле, является наибольшим, когда θ составляет 45 градусов.

Пусть Δh - это равномерный интервал высот между контурами на контурной карте, а Δx - расстояние между двумя контурами. Тогда

$\theta \; =\; tan\; -\; 1\; \; \Delta \; h\; \Delta \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\; =\; \backslash \; tan\; ^\; \{-\; 1\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Delta\; h\}\; \{\backslash \; Delta\; x\}\}\}$

, так что

$FP\; =\; -\; mg\; \Delta \; x\; \Delta \; h\; \Delta \; x\; 2\; +\; \Delta \; h\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{P\}\; =\; -\; mg\; \{\backslash \; Delta\; x\; \backslash ,\; \backslash \; Delta\; h\; \backslash \; over\; \backslash \; Delta\; x\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; Delta\; h\; ^\; \{2\}\}.\}$

Однако на контурной карте градиент обратно пропорционален Δx, что не похоже на силу F P : высота на контурной карте не совсем двумерное потенциальное поле. Величины сил разные, но направления сил одинаковы на контурной карте, а также на холмистой части земной поверхности, представленной контурной картой.

В механике жидкости жидкость в равновесии, но в присутствии однородного гравитационного поля пронизана однородной выталкивающей силой, которая нейтрализует гравитационная сила: именно так жидкость поддерживает свое равновесие. Эта выталкивающая сила представляет собой отрицательный градиент давления :

$f\; B\; =\; -\; \nabla \; p.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{f\_\; \{B\}\}\; =\; -\; \backslash \; nabla\; p.\; \backslash ,\}$

Поскольку выталкивающая сила направлена ​​вверх, в направлении, противоположном силе тяжести, давление в жидкости увеличивается вниз. Давление в статическом водоёме увеличивается пропорционально глубине под поверхностью воды. Поверхности постоянного давления - это плоскости, параллельные поверхности, которую можно охарактеризовать как плоскость нулевого давления.

Если жидкость имеет вертикальный вихрь (ось вращения которого перпендикулярна поверхности), то вихрь вызывает разрежение в поле давления. Поверхность жидкости внутри вихря тянется вниз, как и любые поверхности с одинаковым давлением, которые все еще остаются параллельными поверхности жидкости. Эффект сильнее всего внутри вихря и быстро спадает с удалением от оси вихря.

Выталкивающая сила, создаваемая жидкостью на твердом объекте, погруженном и окруженном этой жидкостью, может быть получена путем интегрирования отрицательного градиента давления вдоль поверхности объекта:

$FB\; =\; -\; \oint \; S\; \nabla \; p\; \cdot \; d\; S.\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{B\}\; =\; -\; \backslash \; oint\; \_\; \{S\}\; \backslash \; nabla\; p\; \backslash \; cdot\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mathbf\; \{S\}.\}$

в 3-мерном евклидовом пространстве $R\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{3\}\}$, скалярный потенциал безвихревого векторного поля Eопределяется как

$\Phi \; (r)\; =\; 1\; 4\; \pi \; \int \; R\; 3\; div\; \; E\; (r\; \prime )\; \Vert \; r\; -\; r\; \prime \; \Vert \; d\; V\; (r\; \prime )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; =\; \{1\; \backslash \; over\; 4\; \backslash \; pi\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{3\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; operatorname\; \{div\}\; \backslash \; mathbf\; \{E\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\}\; \text{'})\}\; \{\backslash \; |\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\text{'}\; \backslash \; |\; \}\}\; \backslash ,\; dV\; (\backslash \; mathbf\; \{r\}\; \text{'})\}$

где $d\; V\; (r\; \prime )\; \{\backslash \; displaystyle\; dV\; (\backslash \; mathbf\; \{r\}\text{'})\}$- бесконечно малый объем элемент относительно r '. Тогда

$E\; =\; -\; \nabla \; \Phi \; =\; -\; 1\; 4\; \pi \; \nabla \; \int \; R\; 3\; div\; \; E\; (r\; \prime )\; \Vert \; r\; -\; r\; \prime \; \Vert \; d\; V\; (r\; \prime )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{E\}\; =\; -\; \backslash \; mathbf\; \{\; \backslash \; nabla\}\; \backslash \; Phi\; =\; -\; \{1\; \backslash \; over\; 4\; \backslash \; pi\}\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; nabla\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{3\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; operatorname\; \{div\}\; \backslash \; mathbf\; \{E\}\; (\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \text{'})\}\; \{\backslash \; |\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\text{'}\; \backslash \; |\}\}\; \backslash ,\; dV\; (\backslash \; mathbf\; \{r\}\; \text{'})\}$

Это выполняется при условии E является непрерывным и асимптотически обращается в нуль к бесконечности, убывая быстрее, чем 1 / r, и если расходимость E аналогичным образом обращается в бесконечность, затухая быстрее, чем 1 / р.

Написано иначе, пусть

$\Gamma \; (r)\; =\; 1\; 4\; \pi \; 1\; \Vert \; r\; \Vert \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\; \backslash \; pi\}\; \}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; |\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \backslash \; |\}\}\}$

- ньютоновский потенциал. Это фундаментальное решение уравнения Лапласа, означающее, что лапласиан Γ равен отрицательному значению дельта-функции Дирака :

$\nabla \; 2\; \Gamma \; (r)\; +\; \delta \; (r)\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; ^\; \{2\}\; \backslash \; Gamma\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; +\; \backslash \; delta\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; =\; 0.\}$

Тогда скалярный потенциал - это дивергенция свертки из E с Γ:

$\Phi \; =\; div\; \; (E\; \ast \; \Gamma ).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\; =\; \backslash \; operatorname\; \{div\}\; (\backslash \; mathbf\; \{E\}\; *\; \backslash \; Gamma).\}$

Действительно, свертка безвихревого векторного поля с вращательно-инвариантным потенциалом также является безвихревой. Для безвихревого векторного поля G можно показать, что

$\nabla \; 2\; G\; =\; \nabla \; (\nabla \; \cdot \; G).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; ^\; \{2\}\; \backslash \; mathbf\; \{G\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; nabla\}\; (\backslash \; mathbf\; \{\backslash \; nabla\}\; \backslash \; cdot\; \{\}\; \backslash \; mathbf\; \{G\}).\}$

Следовательно,

$\nabla \; div\; \; (E\; \ast \; \Gamma )\; знак\; равно\; \nabla \; 2\; (E\; \ast \; \Gamma )\; =\; E\; \ast \; \nabla \; 2\; \Gamma \; =\; -\; E\; \ast \; \delta \; =\; -\; E\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; \backslash \; operatorname\; \{div\}\; (\backslash \; mathbf\; \{E\}\; *\; \backslash \; Gamma)\; =\; \backslash \; nabla\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; mathbf\; \{E\}\; *\; \backslash \; Gamma)\; =\; \backslash \; mathbf\; \{E\}\; *\; \backslash \; nabla\; ^\; \{2\}\; \backslash \; Gamma\; =\; -\; \backslash \; mathbf\; \{E\}\; *\; \backslash \; delta\; =\; -\; \backslash \; mathbf\; \{E\}\}$

как требуется.

В более общем смысле формула

$\Phi \; =\; div\; \; (E\; \ast \; \Gamma )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\; =\; \backslash \; operatorname\; \{div\}\; (\backslash \; mathbf\; \{E\}\; *\; \backslash \; Gamma)\}$

выполняется в n-мерное евклидово пространство (n>2) с ньютоновским потенциалом, заданным следующим образом

$\Gamma \; (r)\; =\; 1\; n\; (n\; -\; 2)\; \omega \; n\; \Vert \; r\; \Vert \; n\; -\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (\backslash \; mathbf\; \{r\; \})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\; (n-2)\; \backslash \; omega\; \_\; \{n\}\; \backslash \; |\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \backslash \; |\; ^\; \{n-2\}\}\}\}$

где ω n - это объем единицы n-шара. Доказательство идентично. В качестве альтернативы интегрирование по частям (или, точнее, свойства свертки ) дает

$\Phi \; (r)\; =\; -\; 1\; n\; \omega \; n\; \int \; R\; n\; E\; (r\; \prime )\; \cdot \; (r\; -\; r\; \prime )\; \Vert \; R\; -\; r\; \prime \; \Vert \; nd\; V\; (r\; \prime ).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Phi\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\; \backslash \; omega\; \_\; \{n\}\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathbf\; \{E\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\}\; \text{'})\; \backslash \; cdot\; (\backslash \; mathbf\; \{r\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\text{'})\}\; \{\backslash \; |\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \text{'}\backslash \; |\; ^\; \{n\}\}\; \}\; \backslash ,\; dV\; (\backslash \; mathbf\; \{r\}\; \text{'}).\}$

• Градиентная теорема
• Основная теорема векторного анализа
• Эквипотенциальные (изопотенциальные) линии и поверхности

1. ^Герберт Гольдштейн. Классическая механика (2-е изд.). С. 3–4. ISBN 978-0-201-02918-5.
2. ^Вторая часть этого уравнения действительна только для декартовых координат, другие системы координат, такие как цилиндрические или сферические координаты, будут иметь более сложные представления, полученный из фундаментальной теоремы градиента.
3. ^См. [1] для примера, где потенциал определяется без отрицательного значения. Другие ссылки, такие как Луи Лейтольд, Исчисление с аналитической геометрией (5-е изд.), Стр. 1199 избегайте использования термина «потенциал» при решении функции по ее градиенту.