Войти
В математике четыре группы Клейна - это группа с четырьмя элементами, в которой каждый элемент является самообратным (составление его самого с собой производит идентичность) и в которой составление любых двух из трех неидентификационных элементов дает третий. Его можно описать как группу симметрии неквадратного прямоугольника (с тремя неидентичными элементами, являющимися горизонтальным и вертикальным отражением и поворотом на 180 градусов), как группу побитовые исключающие или операции с двухбитовыми двоичными значениями, или более абстрактно как Z 2 × Z 2, прямой продукт двух копий циклической группы порядка 2. Она была названа Vierergruppe (что означает четыре группы) Феликсом Кляйном в 1884 году. Она также называется группой Клейна и часто обозначается буквой V или как K 4.
Четыре группы Клейна с четырьмя элементами - это наименьшая группа, которая не является циклической группой. Есть только одна другая группа четвертого порядка, вплоть до изоморфизма, циклическая группа четвертого порядка. Обе являются абелевыми группами. Наименьшей неабелевой группой является симметрическая группа степени 3, имеющая порядок 6.
группы Klein Таблица Кэли задается следующим образом:
| * | e | a | b | c |
|---|---|---|---|---|
| e | e | a | b | c |
| a | a | e | c | b |
| b | b | c | e | a |
| c | c | b | a | e |
Четырехгрупповая группа Клейна также определяется представлением группы
Все не- Элементы identity группы Клейна имеют порядок 2, таким образом, любые два неидентичных элемента могут служить генераторами в приведенном выше представлении. Четыре группы Клейна - это наименьшая не- циклическая группа. Однако это абелева группа и изоморфна диэдральной группе порядка (мощности) 4, то есть D 4 (или D 2, используя геометрическое соглашение); кроме группы порядка 2, это единственная группа диэдра, которая является абелевой.
Четырехгруппа Клейна также изоморфна прямой сумме Z2⊕ Z 2, так что ее можно представить в виде пар {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)} при покомпонентном сложении по модулю 2 (или эквивалентно битовые строки {00, 01, 10, 11} под поразрядным исключающим ИЛИ ); где (0,0) является элементом идентичности группы. Таким образом, четырехгруппа Клейна является примером элементарной абелевой 2-группы, которую также называют булевой группой . Таким образом, четырехгруппа Клейна также является группой, созданной симметричной разностью как двоичной операцией над подмножествами из powerset набора с двумя элементами, т.е. над полем наборов с четырьмя элементами, например 
Другой числовой конструкцией четырехгруппы Клейна является набор {1, 3, 5, 7} с операцией умножения по модулю 8. Здесь a равно 3, b равно 5, а c = ab равно 3 × 5 = 15 7 (mod 8).
Четырехгруппа Клейна имеет представление в виде вещественных матриц 2x2 с операцией умножения матриц:
Группа симметрии этого креста - четырехгруппа Клейна. Его можно перевернуть по горизонтали (а), по вертикали (b) или по обоим направлениям (ab) и оставить без изменений. Однако, в отличие от квадрата, поворот на четверть оборота изменит фигуру. Геометрически, в двух измерениях четырехмерная группа Клейна - это группа симметрии ромба и прямоугольники, которые не являются квадратами, причем четыре элемента представляют собой идентичность, вертикальное отражение, горизонтальное отражение и поворот на 180 градусов.
В трех измерениях есть три разные группы симметрии, которые алгебраически представляют собой четырехгруппу Клейна V:
Идентичность и двойные транспозиции четырех объектов образуют V 
Другие перестановки четырех объектов, также образующих V.. См. : 4-элементные подмножества S 4 Три элемента второго порядка в четырехгруппе Клейна взаимозаменяемы: группа автоморфизмов группы V - это группа перестановок этих трех элементов.
Перестановки собственных элементов в четырехгруппах Клейна можно представить себе абстрактно как их представление перестановок по четырем точкам:
В этом представлении V является нормальной подгруппой группы переменная группа A4(а также симметричная группа S4) из четырех букв. Фактически, это ядро сюръективного группового гомоморфизма от S 4 до S 3.
. Другие представления в S 4 являются :
{(), (1,2), (3,4), (1,2) (3,4)}
{(), (1,3), (2,4), (1,3) (2,4)}
{(), (1,4), (2,3), (1,4) (2,3)}
Они не являются нормальными подгруппами S 4.
Согласно теории Галуа, существование четырехгруппы Клейна (и, в частности, представления перестановок этого) объясняет существование формулы для вычисления корней уравнений четвертой степени в терминах радикалов, как установлено Лодовико Феррари : карта S 4 → S 3 соответствует резольвентной кубике, в терминах резольвент Лагранжа.
При построении конечных колец восемь из одиннадцати колец с четыре элемента имеют четырехгруппу Клейна в качестве аддитивной субструктуры.
Если R обозначает мультипликативную группу ненулевых действительных чисел, а R мультипликативная группа положительных вещественных чисел, R× Rпредставляет собой группу единиц кольца R× R, а R× Rявляется подгруппой R× R(фактически это компонент идентичности R× R). Фактор-группа (R× R) / (R× R) изоморфна четырехгруппе Клейна. Аналогичным образом группа единиц кольца расщепленных комплексных чисел, при делении на ее компонент идентичности, также приводит к четырехгруппе Клейна.
Простейший простой связный граф, который допускает четырехгруппу Клейна в качестве своей группы автоморфизмов, является ромбовидный график показан ниже. Это также группа автоморфизмов некоторых других графов, которые проще в том смысле, что в них меньше сущностей. К ним относятся граф с четырьмя вершинами и одним ребром, который остается простым, но теряет связность, и граф с двумя вершинами, соединенными друг с другом двумя ребрами, который остается связанным, но теряет простоту.
В музыкальной композиции четыре группы являются основной группой перестановок в двенадцатитонной технике. В этом случае записывается таблица Кэли;
| S | I: | R: | RI: |
| I: | S | RI | R |
| R: | RI | S | I |
| RI: | R | I | S |
