Неявная функция

В математике неявное уравнение является отношением формы $R\; (x\; 1,\dots ,\; xn)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; (x\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{n\})\; =\; 0\}$, где $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$- это функция нескольких переменных (часто полином ). Например, неявное уравнение единичной окружности : $x\; 2\; +\; y\; 2-1\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\; -1\; =\; 0\}$.

Неявная функция - это функция, которая неявно определяется неявным уравнением, связывая одну из переменных (значение значение ) с другими (аргументы ). Таким образом, неявная функция для $y\; \{\backslash \; displaystyle\; y\}$в контексте единичного круга неявно определяется как $x\; 2\; +\; f\; (x)\; 2\; -\; 1\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2\}\; +\; f\; (x)\; ^\; \{2\}\; -1\; =\; 0\}$. Это неявное уравнение определяет $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$как функцию от $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$, только если $-\; 1\; \le \; x\; \le \; 1\; \{\; \backslash \; displaystyle\; -1\; \backslash \; leq\; x\; \backslash \; leq\; 1\}$и учитываются только неотрицательные (или неположительные) значения для значений функции.

Теорема о неявной функции предоставляет условия, при которых некоторые виды отношений определяют неявную функцию, а именно отношения, определенные как индикаторная функция из нулевого набора некоторой непрерывно дифференцируемой многомерной функции.

• 1 Примеры
  • 1.1 Обратные функции
  • 1.2 Алгебраические функции
• 2 Предостережения
• 3 Неявное дифференцирование
  • 3.1 Примеры
  • 3.2 Общая формула для производной неявной функции
• 4 Теорема о неявной функции
• 5 В алгебраической геометрии
• 6 В дифференциальных уравнениях
• 7 Приложения в экономике
  • 7.1 Предельная норма замены
  • 7.2 Предельная норма технической замены
  • 7.3 Оптимизация
• 8 См. Также
• 9 Ссылки
• 10 Дополнительная литература
• 11 Внешние ссылки

Обратные функции

Распространенным типом неявной функции является обратная функция. Не все функции имеют уникальную обратную функцию. Если g является функцией x, имеющей единственный обратный, то обратная функция g, называемая g, является единственной функцией, дающей решение уравнения

$y\; =\; g\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; g\; (x)\}$

для x через y. Тогда это решение можно записать как

$x\; =\; g\; -\; 1\; (y).\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; g\; ^\; \{-\; 1\}\; (y).\}$

Определение $g\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; ^\; \{-\; 1\}\}$как обратное к $g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$- неявное определение. Для некоторых функций g $g\; -\; 1\; (y)\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; ^\; \{-\; 1\}\; (y)\}$может быть явно записано как выражение в закрытой форме - например, если $g\; (x)\; =\; 2\; x\; -\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (x)\; =\; 2x-1,\}$, то $g\; -\; 1\; (y)\; =\; 1\; 2\; (y\; +\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; ^\; \{-\; 1\}\; (y)\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; (y\; +\; 1)\}$. Однако часто это невозможно или только путем введения новой нотации (как в примере журнала продукта ниже).

Интуитивно обратная функция получается из g путем смены ролей зависимых и независимых переменных.

Пример

log product - это неявная функция, дающая решение для x уравнения y - xe = 0.

Алгебраические функции

An алгебраическая функция - это функция, которая удовлетворяет полиномиальному уравнению, коэффициенты которого сами являются полиномами. Например, алгебраическая функция от одной переменной x дает решение для y уравнения

$an\; (x)\; yn\; +\; an\; -\; 1\; (x)\; yn\; -\; 1\; +\; \cdots \; +\; a\; 0\; (x)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\; (x)\; y\; ^\; \{n\}\; +\; a\_\; \{n-1\}\; (x)\; y\; ^\; \{n-1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; a\_\; \{0\}\; (x)\; =\; 0\}$

где коэффициенты a i (x) - полиномиальные функции от x. Эта алгебраическая функция может быть записана как правая часть решения уравнения y = f (x). Написанная таким образом, f является неявной функцией с несколькими значениями .

Алгебраические функции играют важную роль в математическом анализе и алгебраической геометрии. Простой пример алгебраической функции - это левая часть уравнения единичного круга:

$x\; 2\; +\; y\; 2\; -\; 1\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\; -1\; =\; 0.\}$

Решение для y дает явное решение:

$y\; =\; \pm \; 1\; -\; x\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; \backslash \; pm\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-x\; ^\; \{2\}\}\}.\}$

Но даже без указания этого явного решения можно ссылаться на неявное решение уравнения единичной окружности как $y\; =\; f\; (x),\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; f\; (x),\}$где f - многозначная неявная функция.

Хотя явные решения могут быть найдены для уравнений, которые являются квадратичными, кубическими и четвертыми по y, в целом это неверно. для пятой и более высоких степеней уравнений, например

$y\; 5\; +\; 2\; y\; 4-7\; y\; 3\; +\; 3\; y\; 2-6\; y\; -\; x\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; ^\; \{5\}\; +\; 2y\; ^\; \{4\}\; -7y\; ^\; \{3\}\; +\; 3y\; ^\; \{2\}\; -6y-x\; =\; 0.\}$

Тем не менее, можно ссылаться на неявное решение y = f (x), включающее многозначную неявную функцию f.

Не каждое уравнение R (x, y) = 0 подразумевает график однозначной функции, одним из ярких примеров является уравнение круга. Другой пример - неявная функция, заданная как x - C (y) = 0, где C - кубический многочлен , имеющий «горб» на его графике. Таким образом, для того, чтобы неявная функция была истинной (однозначной) функцией, может потребоваться использовать только часть графика. Неявная функция иногда может быть успешно определена как истинная функция только после «увеличения» некоторой части оси x и «отсечения» некоторых нежелательных ветвей функции. Затем можно написать уравнение, выражающее y как неявную функцию другой переменной (переменных).

Определяющее уравнение R (x, y) = 0 также может иметь другие патологии. Например, уравнение x = 0 вообще не подразумевает функцию f (x), дающую решения для y; это вертикальная линия. Чтобы избежать подобной проблемы, часто накладываются различные ограничения на допустимые типы уравнений или на область . Теорема о неявной функции обеспечивает единообразный способ обработки такого рода патологий.

В исчислении метод, называемый неявным дифференцированием, использует правило цепочки для дифференциации неявно определенного функции.

Чтобы дифференцировать неявную функцию y (x), заданную уравнением R (x, y) = 0, обычно невозможно решить ее явно для y, а затем дифференцировать. Вместо этого можно полностью дифференцировать R (x, y) = 0 относительно x и y, а затем решить получившееся линейное уравнение для dy / dx, чтобы явно получить производную через x и y. Даже когда можно явно решить исходное уравнение, формула, полученная в результате полного дифференцирования, в целом намного проще и легче в использовании.

Примеры

1.Рассмотрим, например,

$y\; +\; x\; +\; 5\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; +\; x\; +\; 5\; =\; 0.\}$

Это уравнение легко решить относительно y, давая

$y\; =\; -\; x\; -\; 5,\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; -x-5\; \backslash ,,\}$

где правая часть - явная форма функции y (x). Тогда дифференцирование дает dy / dx = −1.

В качестве альтернативы можно полностью дифференцировать исходное уравнение:

$d\; y\; d\; x\; +\; d\; x\; d\; x\; +\; d\; d\; x\; (5)\; =\; 0;\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{dx\}\; \{dx\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; (5)\; =\; 0;\}$

$dydx\; +\; 1\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}\; +\; 1\; =\; 0.\}$

Решение для dy / dx дает

$dydx\; =\; -\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}\; =\; -1,\}$

тот же ответ, что и полученный ранее.

2.Примером неявной функции, для которой неявное дифференцирование проще, чем использование явного дифференцирования, является функция y (x), определяемая уравнением

$x\; 4\; +\; 2\; y\; 2\; =\; 8.\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{4\}\; +\; 2y\; ^\; \{2\}\; =\; 8.\}$

Чтобы явно дифференцировать это относительно x, нужно сначала получить

$y\; (x)\; =\; \pm \; 8\; -\; x\; 4\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; (x)\; =\; \backslash \; pm\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{8-x\; ^\; \{4\}\}\; \{2\}\}\},\}$

, а затем дифференцируйте эту функцию. Это создает две производные: одну для y ≥ 0, а другую для y < 0.

Значительно проще неявно дифференцировать исходное уравнение:

$4\; x\; 3\; +\; 4\; ydydx\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; 4x\; ^\; \{3\; \}\; +\; 4y\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}\; =\; 0,\}$

, что дает

$dydx\; =\; -\; 4\; x\; 3\; 4\; y\; =\; -\; x\; 3\; y.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{-4x\; ^\; \{3\}\}\; \{4y\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{-x\; ^\; \{3\}\}\; \{y\}\}.\}$

3.Часто трудно или невозможно явно решить для y, и неявное дифференцирование - единственный возможный метод дифференцирования. Примером может служить уравнение

$y\; 5\; -\; y\; =\; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; ^\; \{5\}\; -y\; =\; x.\}$

Невозможно алгебраически выразить y явно как функцию от x, и поэтому нельзя найти dy / dx явным дифференцированием. Используя неявный метод, dy / dx можно получить путем дифференцирования уравнения, чтобы получить

$5\; y\; 4\; dydx\; -\; dydx\; =\; dxdx\; \{\backslash \; displaystyle\; 5y\; ^\; \{4\}\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{dx\}\; \{dx\}\}\}$

где dx / dx = 1. Вынос dy / dx на множитель показывает, что

$(5\; y\; 4\; -\; 1)\; dydx\; =\; 1\; \{\; \backslash \; displaystyle\; (5y\; ^\; \{4\}\; -1)\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}\; =\; 1\}$

, что дает результат

$dydx\; =\; 1\; 5\; y\; 4\; -\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\; dy\}\; \{dx\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{5y\; ^\; \{4\}\; -1\}\},\}$

, который определен для $y\; \ne \; \pm \; 1\; 5\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; \backslash \; neq\; \backslash \; pm\; \{\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; [\{4\}]\; \{5\}\}\}\}$и $y\; \ne \; \pm \; i\; 1\; 5\; 4.\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; \backslash \; neq\; \backslash \; pm\; i\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; [\{4\}]\; \{5\}\}\}.\}$

Общая формула для производной неявной функции

Если R (x, y) = 0, производная неявной функции y (x) определяется выражением

$dydx\; =\; -\; \partial \; R\; /\; \partial \; x\; \partial \; R\; /\; \partial \; y\; =\; -\; R\; x\; R\; y,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dy\; \}\; \{dx\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; R\; /\; \backslash \; partial\; x\}\; \{\backslash \; partial\; R\; /\; \backslash \; partial\; y\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{R\_\; \{x\}\}\; \{R\_\; \{y\}\}\},\}$

, где R x и R y обозначают частные производные R по x и y.

Приведенная выше формула основана на использовании правила обобщенной цепочки для получения полной производной - по x - обеих сторон R (x, y) = 0:

$\partial \; R\; \partial \; xdxdx\; +\; \partial \; R\; \partial \; ydydx\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; R\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{dx\}\; \{dx\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; частичное\; R\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}\; =\; 0,\}$

, следовательно,

$\partial \; R\; \partial \; x\; +\; \partial \; R\; \partial \; ydydx\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; R\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; R\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}\; =\; 0,\}$

которое при решении для dy / dx, дает выражение выше.

Единичный круг может быть определен неявно как набор точек (x, y), удовлетворяющих $x\; 2\; +\; y\; 2\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\; =\; 1\}$. Вокруг точки A y можно выразить как неявную функцию y (x). (В отличие от многих случаев, здесь эту функцию можно сделать явной как $g\; 1\; (x)\; =\; 1\; -\; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{1\}\; (x)\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-x\; ^\; \{2\}\}\; \}\}$.) Такой функции не существует вокруг точки B, где касательное пространство вертикально.

Пусть R (x, y) будет дифференцируемой функцией двух переменных и (a, b) пара вещественных чисел таких, что R (a, b) = 0. Если $\partial \; R\; \partial \; y\; \ne \; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; R\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; \backslash \; neq\; 0,\}$, тогда R (x, y) = 0 определяет неявную функцию, которая дифференцируема в некоторой достаточно маленькой окрестности из (а, б); другими словами, существует дифференцируемая функция f, которая определена и дифференцируема в некоторой окрестности точки a, такая что R (x, f (x)) = 0 для x в этой окрестности.

Условие $\partial \; R\; \partial \; Y\; \ne \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; R\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; \backslash \; neq\; 0\}$означает, что (a, b) является регулярной точкой неявной кривой неявного уравнения R (x, y) = 0, где касательная не является вертикальной.

Говоря менее техническим языком, неявные функции существуют и могут быть дифференцированы, если кривая имеет не вертикальную касательную.

Рассмотрим отношение вида R (x 1,..., x n) = 0, где R - многочлен с несколькими переменными. Набор значений переменных, удовлетворяющих этому соотношению, называется неявной кривой , если n = 2, и неявной поверхностью,, если n = 3. Неявные уравнения являются основой алгебраическая геометрия, основным предметом изучения которой являются одновременные решения нескольких неявных уравнений, левые части которых являются полиномами. Эти множества одновременных решений называются аффинными алгебраическими множествами.

Решения дифференциальных уравнений обычно выражаются неявной функцией.

Предельная норма замещения

В экономике, когда набор уровней R (x, y) = 0 является кривой безразличия для величин x и y потребляется из двух товаров, абсолютное значение неявной производной dy / dx интерпретируется как предельная норма замещения двух товаров: насколько больше y нужно получить, чтобы не потерять одной единицы x.

Предельная норма технического замещения

Аналогичным образом, иногда набор уровней R (L, K) представляет собой изокванту, показывающую различные комбинации использованных количеств L труда и K физический капитал, каждый из которых привел бы к производству того же заданного количества продукции некоторого товара. В этом случае абсолютное значение неявной производной dK / dL интерпретируется как предельная норма технического замещения между двумя факторами производства: сколько больше капитала должна использовать фирма для производства того же объема выпуска. на одну единицу труда меньше.

Оптимизация

Часто в экономической теории некоторые функции, такие как функция полезности или функция прибыли, должны быть максимизируется относительно вектора выбора x, даже если целевая функция не ограничена какой-либо конкретной функциональной формой. Теорема о неявной функции гарантирует, что условия первого порядка оптимизации определяют неявную функцию для каждого элемента оптимального вектора x * вектора выбора x. Когда прибыль максимизируется, обычно результирующими неявными функциями являются функция спроса на труд и функции предложения различных товаров. Когда полезность максимизируется, обычно результирующими неявными функциями являются функция предложения труда и функции спроса для различных товаров.

Более того, влияние параметров задачи на x * - частные производные неявной функции - может быть выражено как полные производные системы первых - условия порядка, найденные с использованием полной дифференциации.

• Неявная кривая
• Функциональное уравнение
• Набор уровней
  • Контурная линия
  • Изоповерхность
• Предельная скорость замещения
• Неявная функция теорема
• Логарифмическое дифференцирование
• Полигонизатор
• Связанные коэффициенты

• Binmore, KG (1983). «Неявные функции». Исчисление. Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. С. 198–211. ISBN 0-521-28952-1.
• Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа. Бостон: Макгроу-Хилл. С. 223–228. ISBN 0-07-054235-X.
• Simon, Carl P.; Блюм, Лоуренс (1994). «Неявные функции и их производные». Математика для экономистов. Нью-Йорк: У. В. Нортон. С. 334–371. ISBN 0-393-95733-0.

• «Неявная дифференциация, что здесь происходит?». 3Синий1Коричневый. Сущность исчисления. 3 мая 2017 г. - через YouTube.