Войти
| Поле | Геометрическая топология |
|---|---|
| Предполагается | Уильям Терстон |
| Предполагается в | 1982 |
| Первое доказательство | Григорий Перельман |
| Первое доказательство в | 2006 |
| Последствия | Гипотеза Пуанкаре. Гипотеза Терстона об эллиптизации |
В математике, Гипотеза Терстона о геометризации утверждает, что каждое из определенных трехмерных топологических пространств имеет уникальную геометрическую структуру, которая может быть связана с ним. Это аналог теоремы об униформизации для двумерных поверхностей, которая утверждает, что каждой односвязной римановой поверхности можно задать одну трех геометрий (евклидова, сферической или гиперболической ). В трех измерениях не всегда возможно назначить одну геометрию целому топологическому пространству. Вместо этого гипотеза геометризации утверждает, что каждое замкнутое 3-многообразие может быть разложено каноническим способом на части, каждая из которых имеет один из восьми типов геометрической структуры. Гипотеза была предложена Уильямом Терстоном (1982) и подразумевает несколько других гипотез, таких как гипотеза Пуанкаре и гипотеза Терстона об эллиптизации.
Теорема Терстона гиперболизации означает, что многообразия Хакена удовлетворяют гипотезе геометризации. Терстон объявил о доказательстве в 1980-х годах, и с тех пор в печати появилось несколько полных доказательств.
Григорий Перельман набросал доказательство гипотезы о полной геометризации в 2003 году, используя поток Риччи с операцией. Сейчас есть несколько разных рукописей (см. Ниже) с подробностями доказательства. Гипотеза Пуанкаре и гипотеза о сферической пространственной форме являются следствиями гипотезы геометризации, хотя есть более короткие доказательства первой, которые не приводят к гипотезе геометризации.
Трехмерное многообразие называется закрытым, если оно компактно и не имеет границы.
Каждое замкнутое 3-многообразие имеет простое разложение : это означает, что это связная сумма простых 3-многообразий (это разложение по существу единственное, за исключением небольшой проблемы в случае неориентируемых многообразий ). Это сводит большую часть изучения трехмерных многообразий к случаю простых трехмерных многообразий: тех, которые не могут быть записаны в виде нетривиальной связной суммы.
Вот утверждение гипотезы Терстона:
Существует 8 возможных геометрических структур в 3-х измерениях, описанных в следующем разделе. Существует единственный минимальный способ разрезания неприводимого ориентированного трехмерного многообразия вдоль торов на части, которые являются многообразиями Зейферта или атороидальными, называемыми разложением JSJ, которые не являются совершенно то же самое, что и разложение в гипотезе геометризации, потому что некоторые части в разложении JSJ могут не иметь геометрических структур конечного объема. (Например, отображающий тор отображения Аносова тора имеет решаемую структуру конечного объема, но его JSJ-разложение разрезает его вдоль одного тора, чтобы получить произведение тора и единичного интервала, и его внутренняя часть не имеет геометрической структуры конечного объема.)
Для неориентированных многообразий самый простой способ сформулировать гипотезу геометризации - сначала взять ориентированное двойное покрытие. Также возможно работать напрямую с неориентируемыми многообразиями, но это создает некоторые дополнительные сложности: может потребоваться разрезать по проективным плоскостям и бутылкам Клейна, а также по сферам и торам, а многообразия с проективной плоской граничной компонентой обычно не имеют геометрическая структура.
В двух измерениях аналогичное утверждение говорит, что каждая поверхность (без границ) имеет геометрическую структуру, состоящую из метрики с постоянной кривизной; нет необходимости предварительно разрезать коллектор.
A модельная геометрия представляет собой односвязное гладкое многообразие X вместе с транзитивным действием группы Ли G на X с компактными стабилизаторами.
Геометрия модели называется максимальной, если G максимальна среди групп, действующих гладко и транзитивно на X с компактными стабилизаторами. Иногда это условие включается в определение геометрии модели.
A геометрическая структура на многообразии M - это диффеоморфизм из M в X / Γ для некоторой модельной геометрии X, где Γ - дискретная подгруппа группы G, свободно действующая на X; это частный случай полной (G, X) -структуры. Если данное многообразие допускает геометрическую структуру, то оно допускает такое, модель которого максимальна.
Трехмерная модельная геометрия X имеет отношение к гипотезе геометризации, если она максимальна и если существует хотя бы одно компактное многообразие с геометрической структурой, смоделированной на X. Терстон классифицировал 8 модельных геометрий, удовлетворяющих этим условиям; они перечислены ниже и иногда называются геометриями Терстона . (Существует также несчетное количество модельных геометрий без компактных частных.)
Есть некоторая связь с группами Бианки : 3-мерными группами Ли. Большинство геометрий Терстона может быть реализовано как левоинвариантная метрика на группе Бианки. Однако S × Rне может быть, евклидово пространство соответствует двум различным группам Бианки, и существует несчетное количество разрешимых неунимодулярных групп Бианки, большинство из которых задают модельные геометрии без компактных представителей.
Стабилизатор точки - O (3, R ), а группа G - это 6-мерная группа Ли O (4, R ) с двумя компонентами. Соответствующие многообразия - это в точности замкнутые трехмерные многообразия с конечной фундаментальной группой. Примеры включают 3-сферу, гомологическую сферу Пуанкаре, линзовые пространства. Эта геометрия может быть смоделирована как левоинвариантная метрика на группе Бианки типа IX. Все многообразия с такой геометрией компактны, ориентируются и имеют структуру расслоенного пространства Зейферта (часто несколькими способами). Полный список таких многообразий приведен в статье Сферические 3-многообразия. Под действием потока Риччи многообразия с такой геометрией схлопываются в точку за конечное время.
Стабилизатор точки - O (3, R ), а группа G - это 6-мерная группа Ли R × O (3, R ), с 2 компонентами. Примерами являются 3-тор и, в более общем смысле, отображающий тор автоморфизма конечного порядка 2-тора; см. расслоение торов. Имеется ровно 10 конечных замкнутых 3-многообразий с этой геометрией, 6 из них ориентируемые и 4 неориентируемых. Эту геометрию можно смоделировать как левоинвариантную метрику на группах Бианки типа I или VII 0. Все многообразия конечного объема с такой геометрией компактны и имеют структуру расслоения Зейферта (иногда двумя способами). Полный список таких многообразий приведен в статье о расслоениях Зейферта. При потоке Риччи многообразия с евклидовой геометрией остаются инвариантными.
Стабилизатор точки - это O (3, R ), а группа G - это 6-мерная группа Ли O (1, 3, R ) с 2 компонентами. Таких примеров огромное количество, и их классификация до конца не изучена. Примером с наименьшим объемом является коллектор недель. Другие примеры даются пространством Зейферта – Вебера, или «достаточно сложными» операциями Дена на связях, или большинством многообразий Хакена. Гипотеза геометризации влечет, что замкнутое трехмерное многообразие гиперболично тогда и только тогда, когда оно неприводимо, атороидально и имеет бесконечную фундаментальную группу. Эта геометрия может быть смоделирована как левоинвариантная метрика на группе Бьянки типа V. Под действием потока Риччи расширяются многообразия с гиперболической геометрией.
Стабилизатор точки - O (2, R ) × Z/2Z, а группа G - O (3, R ) × R× Z/2Z, с 4 компонентами. Четыре многообразия конечного объема с этой геометрией: S× S, отображающий тор карты-антипода S, связная сумма двух копий 3-мерного проективного пространства и произведение S с двумерным проективным пространством. Первые два являются отображающими торами тождественного отображения и отображением антиподов 2-сферы и являются единственными примерами 3-многообразий, которые являются простыми, но не неприводимыми. Третий - единственный пример нетривиальной связной суммы с геометрической структурой. Это единственная модельная геометрия, которая не может быть реализована как левоинвариантная метрика на трехмерной группе Ли. Все многообразия конечного объема с этой геометрией компактны и имеют структуру расслоения Зейферта (часто несколькими способами). При нормированном потоке Риччи многообразия с такой геометрией сходятся к одномерному многообразию.
Стабилизатор точки - O (2, R ) × Z/2Z, а группа G - O (1, 2, R ) × R× Z/2Z, с 4 компонентами. Примеры включают в себя произведение гиперболической поверхности на окружность или, в более общем смысле, отображающий тор изометрии гиперболической поверхности. Многообразия конечного объема с такой геометрией имеют структуру расслоения Зейферта, если они ориентируемы. (Если они не ориентируемы, естественное расслоение на окружности не обязательно является расслоением Зейферта: проблема в том, что некоторые слои могут «переориентировать»; другими словами, их окрестности выглядят как расслоенные сплошные бутылки Клейна, а не как сплошные торы.) такие (ориентированные) многообразия приведены в статье о расслоениях Зейферта. Эта геометрия может быть смоделирована как левоинвариантная метрика на группе Бьянки типа III. При нормированном потоке Риччи многообразия с такой геометрией сходятся к двумерному многообразию.
Универсальная крышка SL (2, R) обозначается 
Примеры этих многообразий включают: многообразие единичных векторов касательного расслоения гиперболической поверхности и, в более общем смысле, гомологические сферы Брискорна (за исключением 3-сферы и додекаэдрического пространства Пуанкаре Эта геометрия может быть смоделирована как левоинвариантная метрика на группе Бианки типа VIII.Многообразия конечного объема с такой геометрией ориентируемы и имеют структуру расслоения Зейферта. Классификация таких многообразий приведена в Статья о расслоенных пространствах Зейферта. При нормированном потоке Риччи многообразия с такой геометрией сходятся к двумерному многообразию.
Это расслоение над E и является геометрией группы Гейзенберга. Стабилизатор точки - O (2, R ). Группа G имеет 2 компонента и является полупрямым произведением 3-мерной группы Гейзенберга на группу O (2, R ) изометрий окружности. Компактные многообразия с этой геометрией включают в себя отображающий тор скручивания Дена 2-тора или фактор-группу Гейзенберга по «целой группе Гейзенберга». Эту геометрию можно смоделировать как левоинвариантную метрику на группе Бьянки типа II. Многообразия конечного объема с такой геометрией компактны и ориентируемы и имеют структуру расслоения Зейферта. Классификация таких многообразий приведена в статье о расслоениях Зейферта. При нормированном потоке Риччи компактные многообразия с такой геометрией сходятся к R с плоской метрикой.
Эта геометрия (также называемая Solv-геометрией ) расслоена по линии с расслоением на плоскость и является геометрией компонента идентичности группы G. Стабилизатором точки является группа диэдра порядка 8. Группа G состоит из 8 компонентов и является группой отображений из 2-мерного пространства Минковского в себя, которые являются либо изометриями, либо умножают метрику на −1. Компонент идентичности имеет нормальную подгруппу R с частным R, где R действует на R с двумя (действительными) собственными подпространствами, с разными вещественные собственные значения произведения 1. Это группа Бьянки типа VI 0, и геометрия может быть смоделирована как левоинвариантная метрика на этой группе. Все многообразия конечного объема с решаемой геометрией компактны. Компактные многообразия с решаемой геометрией являются либо тором отображения отображения Аносова 2-тора (автоморфизм 2-тора, заданный обратимой матрицей 2 на 2, собственные значения которой являются реальными и отличными, например 
Замкнутое 3-многообразие имеет геометрическую структуру не более одного из 8 типов, указанных выше, но некомпактные трехмерные многообразия конечного объема могут иногда иметь более одного типа геометрической структуры (тем не менее, многообразие может иметь m любые разные геометрические конструкции одного типа; например, поверхность рода не меньше 2 имеет континуум различных гиперболических метрик.) Точнее, если M - многообразие с геометрической структурой конечного объема, то тип геометрической структуры почти определяется следующим образом, в терминах фундаментальная группа π 1 (M):
Бесконечный объем многообразия могут иметь много различных типов геометрической структуры: например, R может иметь 6 различных геометрических структур, перечисленных выше, поскольку 6 из 8 геометрий модели гомеоморфны ему. Более того, если объем не должен быть конечным, возникает бесконечное количество новых геометрических структур без компактных моделей; например, геометрия почти любой неунимодулярной 3-мерной группы Ли.
Существует несколько способов разложить замкнутое 3-многообразие на части с геометрической структурой. Например:
Можно выбрать «каноническое» разложение на части с геометрической структурой, например, сначала разрезав многообразие на простые части минимальным образом, а затем разрезав их с помощью наименьшее возможное количество торов. Однако это минимальное разложение не обязательно является результатом потока Риччи; фактически, поток Риччи может разрезать многообразие на геометрические части многими неэквивалентными способами, в зависимости от выбора начальной метрики.
Медаль Филдса была присуждена Терстону в 1982 году частично за доказательство гипотезы геометризации для многообразий Хакена.
Случай 3- коллектор, который должен быть сферическим, был медленнее, но обеспечил искру, необходимую Ричарду С. Гамильтону для развития его потока Риччи. В 1982 году Гамильтон показал, что для замкнутого трехмерного многообразия с метрикой положительной кривизны Риччи поток Риччи схлопывает многообразие в точку за конечное время, что доказывает гипотезу геометризации для этого случая как метрика становится «почти круглой» незадолго до коллапса. Позже он разработал программу, чтобы доказать гипотезу геометризации с помощью потока Риччи с хирургией. Идея состоит в том, что поток Риччи, как правило, порождает сингулярности, но можно продолжить поток Риччи мимо сингулярности, используя операцию по изменению топологии многообразия. Грубо говоря, поток Риччи сжимает области положительной кривизны и расширяет области отрицательной кривизны, поэтому он должен уничтожить части коллектора с геометриями «положительной кривизны» S и S× R, в то время как то, что осталось на большие времена должны иметь разложение толстого-тонкого на «толстый» кусок с гиперболической геометрией и «тонкое» графовое многообразие.
В 2003 году Григорий Перельман набросал доказательство гипотезы о геометризации, показав, что поток Риччи действительно может продолжаться за сингулярностями и имеет поведение, описанное выше. Основная трудность при проверке доказательства Перельманом гипотезы геометризации заключалась в критическом использовании его теоремы 7.4 в препринте «Поток Риччи с перестройками на трехмерных многообразиях». Эта теорема была сформулирована Перельманом без доказательства. В настоящее время имеется несколько различных доказательств теоремы Перельмана 7.4 или ее вариантов, которых достаточно для доказательства геометризации. Есть работа Шиоя и Ямагучи, в которой используются теорема Перельмана об устойчивости и теорема о расслоении для пространств Александрова. Этот метод с полными деталями, ведущими к доказательству геометризации, можно найти в изложении Брюса Клейнера и Джона Лотта.
Второй путь к последней части доказательства геометризации Перельмана: метод и др., который использует теорему Терстона о гиперболизации для многообразий Хакена и норму Громова для 3-многообразий. Европейское математическое общество опубликовало книгу тех же авторов с полными деталями их версии доказательства.
Также, содержащую доказательства теоремы Перельмана 7.4, есть статья Моргана и Тиан, еще одна статья Кляйнера и Лотта, и статья Цзяньго Цао и Цзянь Гэ.
