Калибровочная ковариантная производная

Калибровочная ковариантная производная является разновидностью ковариантной производной, используемой в общая теория относительности. Если теория имеет калибровочные преобразования, это означает, что некоторые физические свойства определенных уравнений сохраняются при этих преобразованиях. Точно так же калибровочная ковариантная производная - это обычная производная, модифицированная таким образом, что она ведет себя как истинный векторный оператор, так что уравнения, написанные с использованием ковариантной производной, сохраняют свои физические свойства при калибровочных преобразованиях.

• 1 Обзор
• 2 Гидродинамика
• 3 Калибровочная теория
  • 3.1 Построение ковариантной производной через требование калибровочной ковариации
  • 3.2 Квантовая электродинамика
  • 3.3 Квантовая хромодинамика
  • 3.4 Стандартная модель
• 4 Общая теория относительности
• 5 См. Также
• 6 Ссылки

Есть много способов понять калибровочную ковариантную производную. Подход, принятый в этой статье, основан на исторически традиционных обозначениях, используемых во многих учебниках физики. Другой подход состоит в том, чтобы понимать калибровочную ковариантную производную как своего рода связь, а более конкретно, аффинную связь. Аффинная связь интересна тем, что не требует определения какого-либо понятия метрического тензора ; кривизна аффинной связи может пониматься как напряженность поля калибровочного потенциала. Когда метрика доступна, можно пойти в другом направлении и определить соединение в пакете кадров . Этот путь ведет прямо к общей теории относительности; однако для этого требуется метрика, которой физика элементарных частиц калибровочные теории не имеют.

Вместо того, чтобы быть обобщениями друг друга, аффинная и метрическая геометрии расходятся в разных направлениях: калибровочная группа из (псевдо- ) римановой геометрии должен быть неопределенной ортогональной группой O (s, r) в целом или группой Лоренца O (3,1) для пространства-времени. Это связано с тем, что волокна связки кадров должны обязательно, по определению, соединять касательные и котангенсные пространства пространства-времени. Напротив, калибровочные группы, используемые в физике элементарных частиц, могут быть (в принципе) любой группой Ли вообще (а на практике быть всего лишь U (1), SU (2) или SU (3) в стандартной модели ). Обратите внимание, что группы Ли не снабжены метрикой.

Еще более сложный, но более точный и геометрически проясняющий подход состоит в том, чтобы понять, что калибровочная ковариантная производная (в точности) то же самое, что и внешняя ковариантная производная на секция ассоциированного расслоения для главного расслоения калибровочной теории; и, в случае спиноров, ассоциированная связка будет спиновой связкой спиновой структуры . Хотя концептуально такой же, этот подход использует совершенно другой набор обозначений и требует гораздо более продвинутых знаний в нескольких областях дифференциальной геометрии.

Последний шаг в геометризации калибровочной инвариантности - признать, что в квантовой Согласно теории, достаточно сравнить соседние волокна основного пучка волокон, и что сами волокна дают лишнее дополнительное описание. Это приводит к идее модификации калибровочной группы для получения калибровочного группоида как наиболее близкого описания калибровочной связи в квантовой теории поля.

Для обычных алгебр Ли калибровочная ковариантная производная симметрии пространства (псевдориманово многообразие и общая теория относительности) не могут быть переплетены с внутренними калибровочными симметриями; то есть метрическая геометрия и аффинная геометрия обязательно являются разными математическими предметами: это содержание теоремы Коулмана – Мандулы. Однако предпосылка этой теоремы нарушается супералгебрами Ли (которые не являются алгебрами Ли!), Что дает надежду на то, что единая объединенная симметрия может описывать как пространственные, так и внутренние симметрии: это основа суперсимметрия.

Более математический подход использует безиндексную нотацию, подчеркивая геометрическую и алгебраическую структуру калибровочной теории и ее связь с алгебрами Ли и римановыми многообразиями ; например, обработка калибровочной ковариации как эквивариантности на волокнах жгута волокон. Индексные обозначения, используемые в физике, делают ее гораздо более удобной для практических расчетов, хотя и делают общую геометрическую структуру теории более непрозрачной. Физический подход также имеет педагогическое преимущество: общая структура калибровочной теории может быть раскрыта после минимального опыта в многомерном исчислении, тогда как геометрический подход требует больших затрат времени на общую теорию дифференциальная геометрия, римановы многообразия, алгебры Ли, представления алгебр Ли и основные расслоения до того, как можно будет получить общее представление развит. В более продвинутых дискуссиях обе нотации обычно смешиваются.

В этой статье делается попытка максимально приблизиться к обозначениям и языку, обычно используемым в учебных программах по физике, лишь вкратце затрагивая более абстрактные связи.

В гидродинамике калибровочная ковариантная производная жидкости может быть определена как

$\nabla \; tv:\; =\; \partial \; tv\; +\; (v\; \cdot \; \nabla )\; v\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; \_\; \{t\}\; \backslash \; mathbf\; \{v\}:\; =\; \backslash \; partial\; \_\; \{t\}\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; +\; (\backslash \; mathbf\; \{v\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; nabla)\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\}$

где $v\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\}$- векторное поле скорости жидкости.

В калибровочной теории, изучающей определенный класс полей, которые важны в квантовой теории поля, минимально связанная калибровочная ковариантная производная определяется как

$D\; \mu :\; =\; \partial \; \mu \; -\; iq\; A\; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; D\; \_\; \{\backslash \; mu\}:\; =\; \backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; -iqA\_\; \{\backslash \; mu\}\}$

, где $A\; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \_\; \{\backslash \; mu\}\}$- это электромагнитный четырехпотенциал.

(это верно для Минковского метрическая подпись (-, +, +, +), которая является общей в общей теории относительности и используется ниже. Для физики элементарных частиц соглашение (+, -, -, -), это $D\; \mu :\; =\; \partial \; \mu \; +\; iq\; A\; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; D\; \_\; \{\backslash \; mu\}:\; =\; \backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; +\; iqA\; \_\; \{\backslash \; mu\}\}$. заряд электрона определяется как отрицательный как $qe\; =\; -\; |\; e\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; q\_\; \{e\}\; =\; -\; |\; e\; |\}$, в то время как поле Дирака определено для преобразования положительно, как $\psi \; (x)\; \to \; eiq\; \alpha \; (x)\; \psi \; (x).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; (x)\; \backslash \; rightarrow\; e\; ^\; \{iq\; \backslash \; alpha\; (x)\}\; \backslash \; psi\; (x).\}$)

Построить Определение ковариантной производной через требование калибровочной ковариантности

Рассмотрим типичное (возможно, неабелево) калибровочное преобразование, определяемое оператором симметрии $U\; (x)\; =\; ei\; \alpha \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; (\; x)\; =\; e\; ^\; \{i\; \backslash \; alpha\; (x)\}\}$, действуя на поле $\varphi \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; (x)\}$, так что

$\varphi \; (x)\; \to \; \varphi \; \prime \; (x)\; знак\; равно\; U\; (x)\; \varphi \; (x)\; \equiv \; ei\; \alpha \; (x)\; \varphi \; (x),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; (x)\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; phi\; \text{'}(x)\; =\; U\; (x)\; \backslash \; phi\; (x)\; \backslash \; Equiv\; e\; ^\; \{i\; \backslash \; alpha\; (x)\}\; \backslash \; phi\; (x),\}$

$\varphi \; †\; (x)\; \to \; \varphi \; \prime \; †\; =\; \varphi \; †\; (x)\; U\; †\; (x)\; \equiv \; \varphi \; †\; (x)\; e\; -\; i\; \alpha \; (x),\; U\; †\; =\; U\; -\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; (x)\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; phi\; \{\text{'}\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; =\; \backslash \; phi\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; (x)\; U\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; (x)\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; phi\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; (x)\; e\; ^\; \{-\; i\; \backslash \; alpha\; (x)\},\; \backslash \; qquad\; U\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; =\; U\; ^\; \{-\; 1\}.\}$

где $\alpha \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; (x)\}$- элемент алгебры Ли, связанный с группой Ли преобразований симметрии, и может быть выражен в терминах генераторов группа $\{ta\}\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{t\; ^\; \{a\}\; \backslash \}\; \_\; \{a\}\}$, как $\alpha \; (x)\; =\; \alpha \; a\; (x)\; ta\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; (x)\; =\; \backslash \; alpha\; ^\; \{a\}\; (x)\; t\; ^\; \{a\}\}$.

Частная производная $\partial \; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; mu\}\}$преобразуется, соответственно, как

$\partial \; \mu \; \varphi \; (x)\; \to \; \partial \; \mu \; \varphi \; \prime \; (x)\; =\; U\; (x)\; \partial \; \mu \; \varphi \; (x)\; +\; (\partial \; \mu \; U)\; \varphi \; (x)\; \equiv \; ei\; \alpha \; (x)\; \partial \; \mu \; \varphi \; (Икс)\; +\; я\; (\partial \; \mu \; \alpha )\; ei\; \alpha \; (x)\; \varphi \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; phi\; (x)\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; phi\; \text{'}(\; x)\; =\; U\; (x)\; \backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; phi\; (x)\; +\; (\backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; U)\; \backslash \; phi\; (x)\; \backslash \; Equiv\; e\; ^\; \{i\; \backslash \; alpha\; (x)\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; phi\; (x)\; +\; i\; (\backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; alpha)\; e\; ^\; \{i\; \backslash \; alpha\; (x)\}\; \backslash \; phi\; (x)\}$

и кинетический член формы $\varphi \; †\; \partial \; \mu \; \varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; phi\}$, таким образом, не инвариантен относительно этого преобразования.

Мы можем ввести ковариантную производную $D\; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; D\; \_\; \{\backslash \; mu\}\}$в этом контексте как обобщение частной производной $\partial \; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; mu\}\}$, которое ковариантно преобразуется при калибровке преобразования, т.е. объект, удовлетворяющий

$D\; \mu \; \varphi \; (x)\; \to \; D\; \mu \; \prime \; \varphi \; \prime \; (x)\; =\; U\; (x)\; D\; \mu \; \varphi \; (Икс),\; \{\backslash \; Displaystyle\; D\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; phi\; (x)\; \backslash \; rightarrow\; D\; \text{'}\_\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; phi\text{'}\; (x)\; =\; U\; (x)\; D\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; phi\; (x),\; \}$

который в операторной форме принимает вид

$D\; \mu \; \prime \; =\; U\; (x)\; D\; \mu \; U\; †\; (x).\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; \text{'}\_\; \{\backslash \; mu\}\; =\; U\; (x)\; D\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; U\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; (x).\}$

Таким образом, мы вычисляем (без явного $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$зависимости для краткости)

$D\; \mu \; \varphi \; \to \; D\; \mu \; \prime \; U\; \varphi \; =\; UD\; \mu \; \varphi \; +\; (\delta \; D\; \mu \; U\; +\; [D\; \mu ,\; U])\; \varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; D\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; phi\; \backslash \; rightarrow\; D\; \text{'}\_\; \{\backslash \; mu\}\; U\; \backslash \; phi\; =\; UD\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; phi\; +\; (\backslash \; delta\; D\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; U\; +\; [D\; \_\; \{\backslash \; mu\},\; U])\; \backslash \; phi\}$,

где

$D\; \mu \; \to \; D\; \mu \; \prime \; \equiv \; D\; \mu \; +\; \delta \; D\; \mu \; \{\backslash \; Displaystyle\; D\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; rightarrow\; D\; \text{'}\_\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; Equ\; D\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; +\; \backslash \; delta\; D\; \_\; \{\backslash \; mu\}\}$.

Требование ковариантного преобразования $D\; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; D\; \_\; \{\backslash \; mu\}\}$теперь переводится в условие

$(\delta \; D\; \mu \; U\; +\; [D\; \mu ,\; U])\; \varphi \; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; delta\; D\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; U\; +\; [D\; \_\; \{\backslash \; mu\},\; U])\; \backslash \; phi\; =\; 0.\}$

Чтобы получить явное выражение, мы следуем QED и делаем анзац

$D\; \mu \; =\; \partial \; \mu \; -\; ig\; A\; \mu ,\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; =\; \backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; -igA\; \_\; \{\backslash \; mu\},\}$

где векторное поле $A\; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \_\; \{\backslash \; mu\}\}$удовлетворяет,

$A\; \mu \; \to \; A\; \mu \; \prime \; =\; A\; \mu \; +\; \delta \; A\; \mu ,\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; rightarrow\; A\; \text{'}\_\; \{\backslash \; mu\}\; =\; A\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; +\; \backslash \; delta\; A\; \_\; \{\backslash \; mu\},\}$

откуда следует, что

$\delta \; D\; \mu \; \equiv \; -\; ig\; \delta \; A\; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; D\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; Equiv\; -ig\; \backslash \; delta\; A\_\; \{\; \backslash \; mu\}\}$

и

$\delta \; A\; \mu \; =\; [U,\; A\; \mu ]\; U\; †\; -\; ig\; [\partial \; \mu ,\; U]\; U\; †\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; A\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; =\; [U,\; A\; \_\; \{\backslash \; mu\}]\; U\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{i\}\; \{g\}\}\; [\backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; mu\},\; U]\; U\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\}$

который, используя $U\; (x)\; Знак\; равно\; 1\; +\; я\; \alpha \; (Икс)\; +\; О\; (\alpha \; 2)\; \{\backslash \; Displaystyle\; U\; (х)\; =\; 1\; +\; я\; \backslash \; альфа\; (х)\; +\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; (\backslash \; альфа\; ^\; \{2\})\}$, принимает вид

$\delta \; A\; \mu \; =\; 1\; g\; ([\partial \; \mu ,\; \alpha ]\; -\; ig\; [A\; \mu ,\; \alpha ])\; +\; O\; (\alpha \; 2)\; =\; 1\; g\; [D\; \mu ,\; \alpha ]\; +\; O\; (\alpha \; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; A\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{g\}\}\; ([\backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; mu\},\; \backslash \; alpha]\; -ig\; [A\; \_\; \{\backslash \; mu\},\; \backslash \; alpha])\; +\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; (\backslash \; alpha\; ^\; \{2\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{g\}\}\; [D\; \_\; \{\backslash \; mu\},\; \backslash \; alpha]\; +\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; (\backslash \; alpha\; ^\; \{2\})\}$

Таким образом, мы нашли объект $D\; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; D\; \_\; \{\backslash \; mu\}\}$такой, что

$\varphi \; †\; (x)\; D\; \mu \; \varphi \; (x)\; \to \; \varphi \; \prime \; †\; (x)\; D\; \mu \; \prime \; \varphi \; \prime \; (x)\; =\; \varphi \; †\; (x)\; D\; \mu \; \varphi \; (x).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; (x)\; D\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; phi\; (x)\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; phi\; \text{'}^\; \{\backslash \; dagger\}\; (x)\; D\text{'}\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; phi\; \text{'}(x)\; =\; \backslash \; phi\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; (x)\; D\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; phi\; (x).\}$

Квантовая электродинамика

Если калибровочное преобразование задается формулой

$\psi \; \mapsto \; ei\; \Lambda \; \psi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; \backslash \; mapsto\; e\; ^\; \{i\; \backslash \; Lambda\}\; \backslash \; psi\}$

и для калибровочного потенциала

$A\; \mu \; \mapsto \; A\; \mu \; +\; 1\; e\; (\partial \; \mu \; \Lambda )\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; mapsto\; A\_\; \{\backslash \; mu\}\; +\; \{1\; \backslash \; over\; e\}\; (\backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; Lambda)\}$

, затем $D\; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; D\; \_\; \{\backslash \; mu\}\}$преобразуется как

$D\; \mu \; \mapsto \; \partial \; \mu \; -\; то\; есть\; A\; \mu \; -\; я\; (\partial \; \mu \; \Lambda )\; \{\backslash \; Displaystyle\; D\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; mapsto\; \backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; -ieA\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; -i\; (\backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; mu\; \}\; \backslash \; Lambda)\}$,

и $D\; \mu \; \psi \; \{\backslash \; displaystyle\; D\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; psi\}$преобразуется как

$D\; \mu \; \psi \; \mapsto \; ei\; \Lambda \; D\; \mu \; \psi \; \{\backslash \; displaystyle\; D\_\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; psi\; \backslash \; mapsto\; e\; ^\; \{i\; \backslash \; Lambda\}\; D\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; psi\}$

и $\psi \; ¯:\; =\; \psi \; †\; \gamma \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; psi\}\}:\; =\; \backslash \; psi\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; \backslash \; gamma\; ^\; \{0\}\}$преобразуется как

$\psi \; ¯\; \mapsto \; \psi \; ¯\; e\; -\; i\; \Lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; psi\}\}\; \backslash \; mapsto\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; psi\}\}\; e\; ^\; \{-\; i\; \backslash \; Lambda\}\}$

так, чтобы

$\psi \; ¯\; D\; \mu \; \psi \; \mapsto \; \psi \; ¯\; D\; \mu \; \psi \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; psi\}\}\; D\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; psi\; \backslash \; mapsto\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; psi\}\}\; D\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; psi\}$

и $\psi \; ¯\; D\; \mu \; \psi \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; psi\}\}\; D\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; psi\}$в QED лагранжиан, следовательно, калибровочно инвариантен, поэтому калибровочно-ковариантная производная названа удачно.

С другой стороны, нековариантная производная $\partial \; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; mu\}\}$не сохранит калибровочную симметрию лагранжиана, поскольку

$\psi \; ¯\; \partial \; \mu \; \psi \; \mapsto \; \psi \; ¯\; \partial \; \mu \; \psi \; +\; я\; \psi \; ¯\; (\partial \; \mu \; \Lambda )\; \psi \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; psi\}\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; psi\; \backslash \; mapsto\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; psi\}\; \}\; \backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; psi\; +\; i\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; psi\}\}\; (\backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; Lambda)\; \backslash \; psi\}$.

Квантовая хромодинамика

В квантовой хромодинамики калибровочная ковариантная производная равна

$D\; \mu :\; =\; \partial \; \mu \; -\; igs\; G\; \mu \; \alpha \; \lambda \; \alpha \; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; \_\; \{\backslash \; mu\}:\; =\; \backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; -ig\_\; \{s\}\; \backslash ,\; G\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; \backslash ,\; \backslash \; lambda\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; /\; 2\}$

где $gs\; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{s\}\}$- это константа связи сильного взаимодействия, $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$- калибровочное поле глюона для восьми различных глюонов $\alpha \; =\; 1\dots \; 8\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; =\; 1\; \backslash \; dots\; 8\}$, и где $\lambda \; \alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\}$- одно из восьми Матрицы Гелл-Манна. Матрицы Гелл-Манна дают представление группы цветовой симметрии SU (3). Для кварков представлением является фундаментальное представление, для глюонов - присоединенное представление.

Стандартная модель

Ковариантная производная в Стандартной модели сочетает в себе электромагнитное, слабое и сильное взаимодействия. Его можно выразить в следующей форме:

$D\; \mu :\; =\; \partial \; \mu \; -\; ig\; \prime \; 2\; YB\; \mu \; -\; ig\; 2\; \sigma \; j\; W\; \mu \; j\; -\; igs\; 2\; \lambda \; \alpha \; G\; \mu \; \alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; D\; \_\; \{\backslash \; mu\}:\; =\; \backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; -i\; \{\backslash \; frac\; \{g\; \text{'}\}\; \{2\}\}\; Y\; \backslash ,\; B\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; -i\; \{\backslash \; frac\; \{g\}\; \{2\}\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{j\}\; \backslash ,\; W\_\; \{\; \backslash \; mu\}\; ^\; \{j\}\; -i\; \{\backslash \; frac\; \{g\_\; \{s\}\}\; \{2\}\}\; \backslash \; lambda\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; \backslash ,\; G\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\}$

Калибровочные поля здесь принадлежат к фундаментальным представлениям электрослабой группы Ли $U\; (1)\; \otimes \; SU\; (2)\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; (1)\; \backslash \; otimes\; SU\; (\; 2)\}$умножить на цветовую симметрию группа Ли SU (3). Константа связи $g\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; g\; \text{'}\}$обеспечивает связь гиперзаряда $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$с $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$бозон и $g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$связь через три векторных бозона $W\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; W\; ^\; \{j\}\}$$(\; j\; =\; 1,\; 2,\; 3)\; \{\backslash \; displaystyle\; (j\; =\; 1,2,3)\}$к слабому изоспину, компоненты которого здесь записаны как матрицы Паули $\sigma \; J\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{j\}\}$. С помощью механизма Хиггса эти бозонные поля объединяются в безмассовое электромагнитное поле $A\; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \_\; \{\backslash \; mu\}\}$и поля трех массивных векторных бозонов $W\; \pm \; \{\backslash \; displaystyle\; W\; ^\; \{\backslash \; pm\}\}$и $Z\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\}$.

В общей теории относительности калибровочная ковариантная производная определяется как

$\nabla \; jvi:\; =\; \partial \; jvi\; +\; \sum \; k\; \Gamma \; ijkvk\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; \_\; \{j\}\; v\; ^\; \{i\}:\; =\; \backslash \; partial\; \_\; \{j\}\; v\; ^\; \{i\}\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; \backslash \; Gamma\; ^\; \{i\}\; \{\}\; \_\; \{jk\}\; v\; ^\; \{k\}\}$

где $\Gamma \; ijk\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; ^\; \{i\}\; \{\}\; \_\; \{jk\}\}$- это символ Кристоффеля. Более формально эту производную можно понимать как риманову связь на связке кадров. «Калибровочная свобода» здесь - это произвольный выбор системы координат в каждой точке в пространстве-времени.

• Кинетический импульс
• Связь (математика)
• Минимальная связь
• Расчет Риччи

1. ^LD Фаддеев, А.А. Славнов, Калибровочные поля: Введение в калибровочную теорию, (1980) Бенджамин Каммингс, ISBN 0-8053-9016-2
2. ^Клод Ициксон, Жан-Бернар Зубер, Квантовая теория поля (1980) МакГроу-Хилл ISBN 0-07-032071-3
3. ^Уоррен Сигел, Филдс (1999) ArXiv
4. ^Ричард С. Пале, Геометризация физики (1981) Конспект лекций, Институт математики, Национальный университет Цин Хуа
5. ^М. Э. Майер, "Обзор: Дэвид Д. Бликер, Калибровочная теория и вариационные принципы ", Bull. Амер. Математика. Soc. (N.S.) 9 (1983), нет. 1, 83--92
6. ^ Александр Гуай, Геометрические аспекты локальной калибровочной симметрии (2004)
7. ^ Чарльз В. Миснер, Кип С. Торн и Джон Арчибальд Уиллер, Гравитация, (1973) WH Freeman and Company
8. ^Дэвид Бликер, «Теория калибровки и вариационные принципы » (1982) D. Reidel Publishing (см. Главу 3)
9. ^Дэвид Бликер, op. соч. (См. Главу 6.)
10. ^Мейнхард Э. Майер, «Основные расслоения против группоидов Ли в калибровочной теории», (1990) в «Дифференциальные геометрические методы в теоретической физике», том 245 стр. 793-802
11. ^http://www.fuw.edu.pl/~dobaczew/maub-42w/node9.html
12. ^См., например, экв. 3.116 в К. Талли, Физика элементарных частиц в двух словах, 2011, Princeton University Press.

• Цутому Камбе, Принцип измерения идеальных жидкостей и вариационный принцип. (Файл PDF.)