Ожидаемый дефицит

редактировать

Ожидаемый дефицит (ES) - это показатель риска - концепция, используемая в области измерения финансового риска для оценки рыночного риска или портфеля. «Ожидаемый дефицит на уровне q%» - это ожидаемая доходность портфеля в наихудшем $q% {\ displaystyle q \%}$ ${\ displaystyle q \%}$ случаях. ES является альтернативой значению риска, которое более чувствительно к форме хвоста распределения потерь.

Ожидаемый дефицит также называется условным значением в группе риска (CVaR ), средним значением в группе риска (AVaR ), ожидаемая потеря хвоста (ETL ) и суперквантиль .

ES оценивают риск инвестиций консервативным способом, сосредотачиваясь на менее прибыльных результатах. Для высоких значений $q {\ displaystyle q}$ $q$ он игнорирует наиболее прибыльные, но маловероятные возможности, а для малых значений $q {\ displaystyle q}$ $q$ фокусируется на худшие потери. С другой стороны, в отличие от максимального дисконтированного убытка, даже для более низких значений $q {\ displaystyle q}$ $q$ ожидаемый дефицит не учитывает только единственный наиболее катастрофический исход. Значение $q {\ displaystyle q}$ $q$ , часто используемое на практике, составляет 5%.

Ожидаемый дефицит считается более полезной мерой риска, чем VaR, потому что это когерентный и, кроме того, спектральный, показатель риска финансового портфеля. Он рассчитывается для данного квантиля -уровня $q {\ displaystyle q}$ $q$ и определяется как средняя потеря значения портфеля с учетом того, что потеря происходит на уровне $q {\ displaystyle q}$ $q$ -квантиль или ниже.

Содержание

1 Формальное определение
2 Примеры
3 Свойства
4 Оптимизация ожидаемого дефицита
5 Формулы для непрерывных распределений вероятностей
- 5.1 Нормальное распределение
- 5.2 Обобщенный t Стьюдента -распределение
- 5.3 Распределение Лапласа
- 5.4 Логистическое распределение
- 5.5 Экспоненциальное распределение
- 5.6 Распределение Парето
- 5.7 Обобщенное распределение Парето (GPD)
- 5.8 Распределение Вейбулла
- 5.9 Обобщенное распределение экстремальных значений (GEV)
- 5.10 Распределение обобщенного гиперболического секанса (GHS)
- 5.11 SU-распределение Джонсона
- 5.12 Распределение типа заусенца XII
- 5.13 Распределение Дагума
- 5.14 Логнормальное распределение
- 5.15 Логистическое распределение
- 5.16 Распределение Лог-Лапласа
- 5.17 Распределение лог-обобщенного гиперболического секанса (log-GHS)
6 Динамический ожидаемый дефицит
7 См. Также
8 Ссылки
9 Внешние ссылки

Формальное определение

Если $X ∈ L p (F) {\ displaystyle X \ in L ^ {p} ({\ mathcal {F}})}$ $Икс \ in L ^ {p} ({\ mathcal {F}})$ (пространство Lp ) - это доходность портфеля в будущем, и $0 < α < 1 {\displaystyle 0<\alpha <1}$ $0 <\ alpha <1$ тогда мы определяем ожидаемый дефицит как

E ⁡ S α = - 1 α ∫ 0 α VaR γ ⁡ (Икс) d γ {\ displaystyle \ operatorname {E} S _ {\ alpha} = - {\ frac {1} {\ alpha}} \ int _ {0} ^ {\ alpha} \ operatorname {VaR} _ {\ gamma} (X) \, d \ gamma}

{\ displaystyle \ operatorname {E} S _ {\ alpha} = - {\ frac {1} {\ alpha}} \ int _ {0} ^ {\ alpha} \ operatorname {VaR} _ {\ gamma} (X) \, d \ g amma}

где $VaR γ {\ displaystyle \ operatorname {VaR} _ {\ gamma}}$ ${\ displaystyle \ OperatorName {VaR} _ {\ gamma}}$ - значение , подверженное риску. Это может быть эквивалентно записано как

E ⁡ S α = - 1 α (E ⁡ [X 1 {X ≤ x α}] + x α (α - P [X ≤ x α])) {\ displaystyle \ operatorname {E} S _ {\ alpha} = - {\ frac {1} {\ alpha}} \ left (\ operatorname {E} [X \ 1 _ {\ {X \ leq x _ {\ alpha} \}}] + x_ {\ alpha} (\ alpha -P [X \ leq x _ {\ alpha}]) \ right)}

{\ displaystyle \ operatorname { E} S _ {\ alpha} = - {\ frac {1} {\ alpha}} \ left (\ operatorname {E} [X \ 1 _ {\ {X \ leq x _ {\ alpha} \}}] + x_ { \ alpha} (\ alpha -P [X \ leq x _ {\ alpha}]) \ right)}

где $x α = inf {x ∈ R: P (X ≤ x) ≥ α} { \ displaystyle x _ {\ alpha} = \ inf \ {x \ in \ mathbb {R}: P (X \ leq x) \ geq \ alpha \}}$ ${\ displaystyle x _ {\ alpha} = \ inf \ {x \ in \ mathbb {R}: P (X \ leq x) \ geq \ alpha \}}$ является нижним $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ -квантиль и $1 A (x) = {1, если x ∈ A 0 else {\ displaystyle 1_ {A} (x) = {\ begin {cases} 1 {\ text {if}} x \ in A \\ 0 {\ text {else}} \ end {cases}}}$ $1_ {A} (x) = {\ begin {cases} 1 { \ текст {if}} x \ in A \\ 0 {\ text {else}} \ end {cases}}$ - это индикаторная функция. Двойственное представление:

E ⁡ S α = inf Q ∈ Q α EQ [X] {\ displaystyle \ operatorname {E} S _ {\ alpha} = \ inf _ {Q \ in {\ mathcal {Q}} _ {\ alpha}} E ^ {Q} [X]}

{\ displaystyle \ operatorname {E} S _ {\ alpha} = \ inf _ {Q \ in {\ mathcal {Q}} _ {\ alpha}} E ^ {Q} [X]}

где $Q α {\ displaystyle {\ mathcal {Q}} _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {Q}} _ {\ alpha}}$ - это набор вероятностные меры, которые абсолютно непрерывны для физической меры $P {\ displaystyle P}$ $P$ такие, что $d Q d P ≤ α - 1 { \ displaystyle {\ frac {dQ} {dP}} \ leq \ alpha ^ {- 1}}$ ${\ frac {dQ} {dP}} \ leq \ alpha ^ {- 1}$ почти наверняка. Обратите внимание, что $d Q d P {\ displaystyle {\ frac {dQ} {dP}}}$ ${\ frac {dQ} {dP}}$ является производной Радона – Никодима от $Q {\ displaystyle Q }$ $Q$ в отношении $P {\ displaystyle P}$ $P$ .

Ожидаемый дефицит может быть обобщен на общий класс согласованных мер риска на $L p {\ displaystyle L ^ {p}}$ $L ^ {p}$ пробелы (Lp пробел ) с соответствующей двойной характеристикой в соответствующем $L q {\ displaystyle L ^ {q}}$ $L ^ {q}$ двойном пространстве. Область может быть расширена для более общих Orlicz Hearts.

Если базовое распределение для $X {\ displaystyle X}$ $X$ является непрерывным распределением, то ожидаемый дефицит эквивалентен хвостовое условное ожидание определяется как $TCE α (X) = E [- X ∣ X ≤ - VaR α ⁡ (X)] {\ displaystyle TCE _ {\ alpha} (X) = E [-X \ mid X \ leq - \ operatorname {VaR} _ {\ alpha} (X)]}$ ${\ displaystyle TCE _ {\ alpha} (X) = E [-X \ mid X \ leq - \ operatorname {VaR} _ {\ alpha} (X)]}$ .

Неформально и не строго, это уравнение сводится к высказыванию «в случае столь серьезных потерь, что они происходят только в альфа-процентах от время, какова наша средняя потеря ».

Ожидаемый дефицит также может быть записан как мера риска искажения, заданная функцией искажения

g (x) = {x 1 - α, если 0 ≤ x < 1 − α, 1 if 1 − α ≤ x ≤ 1. {\displaystyle g(x)={\begin{cases}{\frac {x}{1-\alpha }}{\text{if }}0\leq x<1-\alpha,\\1{\text{if }}1-\alpha \leq x\leq 1.\end{cases}}\quad }

{\ displaystyle g (x) = {\ begin {cases} {\ frac {x} {1- \ alpha}} {\ text {if}} 0 \ leq x <1- \ alpha, \\ 1 {\ text {if}} 1- \ alpha \ leq x \ leq 1. \ end {ases}} \ quad}

Примеры

Пример 1. Если мы считаем, что наш средний убыток по наихудшим 5% возможных результатов для нашего портфеля составляет 1000 евро, то мы можем сказать, что наш ожидаемый дефицит составляет 1000 евро для 5% хвоста.

Пример 2. Рассмотрим портфель, который будет иметь следующие возможные значения в конце периода:

вероятность	конечное значение
события	из портфель
10%	0
30%	80
40%	100
20%	150

Теперь предположим, что мы заплатили 100 в начале периода по этому портфелю. Тогда прибыль в каждом случае будет (конечное значение-100) или:

вероятность
события	прибыль
10%	−100
30%	−20
40%	0
20%	50

Из этой таблицы рассчитаем ожидаемый дефицит $E ⁡ S q {\ displaystyle \ operatorname {E } S_ {q}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {E} S_ {q}}$ для нескольких значений $q {\ displaystyle q}$ $q$ :

$q {\ displaystyle q}$ $q$	ожидаемый дефицит $E ⁡ S q {\ displaystyle \ operatorname {E} S_ {q}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {E} S_ {q}}$
5%	100
10%	100
20%	60
30 %	46,6
40%	40
50%	32
60%	26,6
80%	20
90%	12,2
100%	6

Чтобы увидеть, как были рассчитаны эти значения, рассмотрим расчет $E ⁡ S 0,05 {\ displaystyle \ operatorname {E} S_ {0.05}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {E} S_ {0.05}}$ , ожидание в 5% худших случаев. Эти случаи принадлежат (являются подмножеством из) строки 1 в таблице прибыли, которые имеют прибыль -100 (общий убыток из 100 вложенных). Ожидаемая прибыль для этих случаев - 100.

Теперь рассмотрим расчет $E ⁡ S 0.20 {\ displaystyle \ operatorname {E} S_ {0.20}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {E} S_ {0.20}}$ , математическое ожидание в 20 наихудших случаях из 100. Это следующие случаи: 10 случаев из первой строки и 10 случаев из второй строки (обратите внимание, что 10 + 10 равны желаемым 20 случаям). Для строки 1 прибыль составляет −100, а для строки 2 - −20. Используя формулу ожидаемого значения, получаем

10 100 (- 100) + 10 100 (- 20) 20 100 = - 60. {\ displaystyle {\ frac {{\ frac {10} {100}} (- 100) + {\ frac {10} {100}} (- 20)} {\ frac {20} {100}}} = - 60.}

{\ frac {{\ frac {10} {100}} (- 100) + {\ frac {10} {100}} (- 20)} {\ frac {20} {100}}} = - 60.

Аналогично для любого значения $q {\ displaystyle q}$ $q$ . Мы выбираем столько строк, начиная сверху, сколько необходимо, чтобы получить кумулятивную вероятность $q {\ displaystyle q}$ $q$ , а затем вычисляем математическое ожидание для этих случаев. Как правило, последняя выбранная строка может использоваться не полностью (например, при вычислении $- E ⁡ S 0.20 {\ displaystyle - \ operatorname {E} S_ {0.20}}$ ${\ displaystyle - \ operatorname {E} S_ {0.20}}$ мы использовали только 10 из 30 случаев на 100, предусмотренных строкой 2).

В качестве последнего примера вычислим $- E ⁡ S 1 {\ displaystyle - \ operatorname {E} S_ {1}}$ ${\ displaystyle - \ operatorname {E} S_ {1}}$ . Это ожидание во всех случаях, или

0,1 (- 100) + 0,3 (- 20) + 0,4 ⋅ 0 + 0,2 ⋅ 50 = - 6. {\ displaystyle 0,1 (-100) +0,3 (-20) + 0,4 \ cdot 0 + 0,2 \ cdot 50 = -6. \,}

0,1 (-100) +0,3 (-20) +0,4 \ cdot 0 + 0,2 \ cdot 50 = -6. \,

Значение , подверженное риску (VaR), приведено ниже для сравнения.

$q {\ displaystyle q}$ $q$	$VaR q {\ displaystyle \ operatorname {VaR} _ {q}}$ $\ operatorname {VaR} _ {q}$
$0% ≤ q < 10 % {\displaystyle 0\%\leq q<10\%}$ ${\ displaystyle 0 \% \ leq q <10 \%}$	−100
$10% ≤ q < 40 % {\displaystyle 10\%\leq q<40\%}$ ${\ displaystyle 10 \% \ leq q <40\%}$	- 20
$40% ≤ q < 80 % {\displaystyle 40\%\leq q<80\%}$ ${\ displaystyle 40 \% \ leq q <80 \%}$	0
$80% ≤ q ≤ 100% {\ displaystyle 80 \% \ leq q \ leq 100 \%}$ ${\ displaystyle 80 \% \ leq q \ leq 100 \%}$	50

Свойства

Ожидаемый дефицит $E ⁡ S q {\ displaystyle \ operatorname {E} S_ {q}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {E} S_ {q}}$ увеличивается по мере уменьшения $q {\ displaystyle q}$ $q$ .

100% -ный квантильный ожидаемый дефицит $E ⁡ S 1.0 {\ displaystyle \ operatorname {E} S_ {1.0}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {E} S_ {1.0}}$ равен отрицательному значению ожидаемого значения портфолио.

Для данного портфеля ожидаемый дефицит $E ⁡ S q {\ displaystyle \ operatorname {E} S_ {q}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {E} S_ {q}}$ больше или равен стоимости под риском $VaR q {\ displaystyle \ operatorname {VaR} _ {q}}$ $\ operatorname {VaR} _ {q}$ на том же уровне $q {\ displaystyle q}$ $q$ .

Оптимизация ожидаемого дефицита

Известно, что ожидаемый дефицит в его стандартной форме приводит к обычно невыпуклой проблеме оптимизации. Однако можно преобразовать проблему в линейную программу и найти глобальное решение. Это свойство делает ожидаемый дефицит краеугольным камнем альтернатив средней-дисперсии оптимизации портфеля, которые учитывают более высокие моменты (например, асимметрию и эксцесс) распределения доходности.

Предположим, мы хотим минимизировать ожидаемый дефицит портфеля. Ключевой вклад Рокафеллара и Урясева в их статью 2000 г. - введение вспомогательной функции $F α (w, γ) {\ displaystyle F _ {\ alpha} (w, \ gamma)}$ ${\ displaystyle F _ {\ alpha} (w, \ gamma)}$ для ожидаемый дефицит:

F α (w, γ) = γ + 1 1 - α ∫ ℓ (w, x) ≥ γ [ℓ (w, x) - γ] p (x) dx {\ displaystyle F _ {\ alpha} (w, \ gamma) = \ gamma + {1 \ over {1- \ alpha}} \ int _ {\ ell (w, x) \ geq \ gamma} [\ ell (w, x) - \ gamma ] p (x) \, dx}

{\ displaystyle F _ {\ alpha} (w, \ gamma) = \ gamma + {1 \ over {1- \ alpha}} \ int _ {\ ell (w, x) \ geq \ gamma} [\ ell (w, x) - \ gamma] p (x) \, dx}

где

γ = VaR α ⁡ (X) {\ displaystyle \ gamma = \ operatorname {VaR} _ {\ alpha} (X)}

{ \ displaystyle \ gamma = \ operatorname {VaR} _ {\ alpha} (X)}

ℓ (w, x) {\ displaystyle \ ell (w, x)}

{\ displaystyle \ ell (w, x)}

- функция потерь для набора весов портфеля

w ∈ R p {\ displaystyle w \ in \ mathbb {R} ^ {p}}

{\ displaystyle w \ in \ mathbb {R} ^ {p}}

для применения к возвратам. Рокафеллар / Урясев доказали, что

F α (w, γ) {\ displaystyle F _ {\ alpha} (w, \ gamma)}

{\ displaystyle F _ {\ alpha} (w, \ gamma)}

является выпуклым по отношению к

γ {\ displaystyle \ gamma}

\ gamma

и эквивалентен ожидаемому дефициту в точке минимума. Чтобы численно вычислить ожидаемый дефицит для набора доходностей портфеля, необходимо сгенерировать

J {\ displaystyle J}

J

моделирование составляющих портфеля; это часто делается с помощью связок. С помощью этого моделирования вспомогательная функция может быть аппроксимирована следующим образом:

F ~ α (w, γ) = γ + 1 (1 - α) J ∑ j = 1 J [ℓ (w, xj) - γ] + {\ displaystyle {\ widetilde {F}} _ {\ alpha} (w, \ gamma) = \ gamma + {1 \ over {(1- \ alpha) J}} \ sum _ {j = 1} ^ { J} [\ ell (w, x_ {j}) - \ gamma] _ {+}}

{\ displaystyle {\ widetilde {F}} _ {\ alpha} (w, \ gamma) = \ gamma + {1 \ over {(1- \ alpha) J}} \ sum _ {j = 1} ^ {J} [\ ell (w, x_ {j }) - \ gamma] _ {+}}

Это эквивалентно формулировке:

min γ, z, w γ + 1 (1 - α) J ∑ j = 1 J zj, st zj ≥ ℓ (вес, xj) - γ ≥ 0 {\ displaystyle \ min _ {\ gamma, z, w} \; \ gamma + {1 \ over {(1- \ alpha) J}} \ sum _ {j = 1} ^ {J} z_ {j}, \ quad {\ text {st }} z_ {j} \ geq \ ell (w, x_ {j}) - \ gamma \ geq 0}

{\ displaystyle \ min _ {\ gamma, z, w} \; \ gamma + {1 \ over {(1- \ alpha) J}} \ sum _ {j = 1} ^ {J} z_ {j}, \ quad {\ text {st }} z_ {j} \ geq \ ell (w, x_ {j}) - \ gamma \ geq 0}

Наконец, выбор линейной функции потерь

ℓ (w, xj) = - w T xj { \ displaystyle \ ell (w, x_ {j}) = - w ^ {T} x_ {j}}

{\ displaystyle \ ell (w, x_ {j}) = - w ^ {T} x_ {j}}

превращает задачу оптимизации в линейную программу. Затем, используя стандартные методы, легко найти портфель, который минимизирует ожидаемый дефицит.

Формулы для непрерывных распределений вероятностей

Существуют закрытые формулы для расчета ожидаемого дефицита, когда выплата портфеля $X {\ displaystyle X}$ $X$ или соответствующий убыток $L = - X {\ displaystyle L = -X}$ ${\ displaystyle L = -X}$ следует определенному непрерывному распределению. В первом случае ожидаемый дефицит соответствует противоположному числу условного ожидания левого хвоста ниже $- VaR α ⁡ (X) {\ displaystyle - \ operatorname {VaR} _ {\ alpha} (X)}$ ${\ displaystyle - \ operatorname {VaR} _ {\ alpha} (X)}$ :

ES α ⁡ (X) = E [- X ∣ X ≤ - VaR α ⁡ (X)] = - 1 α ∫ 0 α VaR γ ⁡ (X) d γ = - 1 α ∫ - ∞ - VaR α ⁡ ( X) xf (x) dx. {\ displaystyle \ operatorname {ES} _ {\ alpha} (X) = E [-X \ mid X \ leq - \ operatorname {VaR} _ {\ alpha} (X)] = - {\ frac {1} { \ alpha}} \ int _ {0} ^ {\ alpha} \ operatorname {VaR} _ {\ gamma} (X) \, d \ gamma = - {\ frac {1} {\ alpha}} \ int _ { - \ infty} ^ {- \ operatorname {VaR} _ {\ alpha} (X)} xf (x) \, dx.}

{\ displaystyle \ operatorname {ES} _ {\ alpha} (X) = E [-X \ mid X \ leq - \ operator имя {VaR} _ {\ alpha} (X)] = - {\ frac {1} {\ alpha}} \ int _ {0} ^ {\ alpha} \ operatorname {VaR} _ {\ gamma} (X) \, d \ gamma = - {\ frac {1} {\ alpha}} \ int _ {- \ infty} ^ {- \ operatorname {VaR} _ {\ alpha} (X)} xf (x) \, dx.}

Типичные значения $α {\ textstyle \ alpha}$ ${\ textstyle \ альфа}$ в данном случае 5% и 1%.

Для инженерных или актуарных приложений обычно рассматривают распределение потерь $L = - X {\ displaystyle L = -X}$ ${\ displaystyle L = -X}$ , ожидаемый дефицит в этом случае соответствует к условному математическому ожиданию правого хвоста выше $VaR α ⁡ (L) {\ displaystyle \ operatorname {VaR} _ {\ alpha} (L)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {VaR} _ {\ alpha} (L)}$ и типичным значениям $α { \ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ равны 95% и 99%:

ES α ⁡ (L) = E ⁡ [L ∣ L ≥ VaR α ⁡ (L)] = 1 1 - α ∫ α 1 VaR γ ⁡ (L) d γ = 1 1 - α ∫ VaR α ⁡ (L) + ∞ yf (y) dy. {\ displaystyle \ operatorname {ES} _ {\ alpha} (L) = \ operatorname {E} [L \ mid L \ geq \ operatorname {VaR} _ {\ alpha} (L)] = {\ frac {1} {1- \ alpha}} \ int _ {\ alpha} ^ {1} \ operatorname {VaR} _ {\ gamma} (L) d \ gamma = {\ frac {1} {1- \ alpha}} \ int _ {\ operatorname {VaR} _ {\ alpha} (L)} ^ {+ \ infty} yf (y) \, dy.}

{\ displaystyle \ operatorname {ES} _ {\ alpha } (L) = \ operatorname {E} [L \ mid L \ geq \ operatorname {VaR} _ {\ alpha} (L)] = {\ frac {1} {1- \ alpha}} \ int _ {\ alpha} ^ {1} \ operatorname {VaR} _ {\ gamma} (L) d \ gamma = {\ frac {1} {1- \ alpha}} \ int _ {\ operatorname {VaR} _ {\ alpha} (L)} ^ {+ \ infty} yf (y) \, dy.}

Поскольку некоторые формулы, приведенные ниже, были выведены для случая левого хвоста, а некоторые - для случая В случае правого хвоста могут быть полезны следующие согласования:

ES α ⁡ (X) = - 1 α E ⁡ [X] + 1 - α α ES α ⁡ (L) и ES α ⁡ (L) = 1 1 - α E ⁡ [L] + α 1 - α ES α ⁡ (X). {\ displaystyle \ operatorname {ES} _ {\ alpha} (X) = - {\ frac {1} {\ alpha}} \ operatorname {E} [X] + {\ frac {1- \ alpha} {\ alpha }} \ operatorname {ES} _ {\ alpha} (L) {\ text {and}} \ operatorname {ES} _ {\ alpha} (L) = {\ frac {1} {1- \ alpha}} \ operatorname {E} [L] + {\ frac {\ alpha} {1- \ alpha}} \ operatorname {ES} _ {\ alpha} (X).}

{\ displaystyle \ operatorname {ES} _ {\ alpha} (X) = - {\ frac {1} { \ alpha}} \ operatorname {E} [X] + {\ frac {1- \ alpha} {\ alpha}} \ operatorname {ES} _ {\ alpha} (L) {\ text {and}} \ operatorname { ES} _ {\ alpha} (L) = {\ frac {1} {1- \ alpha}} \ operatorname {E} [L] + {\ frac {\ alpha} {1- \ alpha}} \ operatorname {ES} _ {\ alpha} (X).}

Нормальное распределение

Если выплата портфеля $X {\ displaystyle X}$ $X$ следует нормальному (гауссовскому) распределению с pdf $е (Икс) знак равно 1 2 π σ е - (Икс - μ) 2 2 σ 2 {\ Displaystyle F (x) = {\ frac {1} {{\ sqrt {2 \ pi}} \ sigma} } e ^ {- {\ frac {(x- \ mu) ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}}}}$ ${\ displaystyle f (x) = {\ frac {1 } {{\ sqrt {2 \ pi}} \ sigma}} e ^ {- {\ frac {(x- \ mu) ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}}}}$ тогда ожидаемый дефицит равен $E ⁡ S α (Икс) знак равно μ + σ φ (Φ - 1 (α)) α {\ Displaystyle \ OperatorName {E} S _ {\ alpha} (X) = \ mu + \ sigma {\ frac {\ varphi (\ Phi ^ {- 1} (\ alpha))} {\ alpha}}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {E} S _ {\ alpha} (X) = \ mu + \ sigma {\ fra с {\ varphi (\ Phi ^ {- 1} (\ alpha))} {\ alpha}}}$ , где $φ (x) = 1 2 π e - x 2 2 {\ displaystyle \ varphi (x) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {2}}}}$ ${ \ displaystyle \ varphi (x) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {2}}}}$ - стандартный нормальный PDF-файл, $Φ (x) {\ displaystyle \ Phi (x)}$ $\ Phi (x)$ - стандартный нормальный cdf, поэтому $Φ - 1 (α) {\ displaystyle \ Phi ^ {- 1} (\ alpha) }$ ${\ displaystyle \ Phi ^ {- 1} (\ alpha)}$ - стандартный нормальный квантиль.

Если убыток портфеля $L {\ displaystyle L}$ $L$ следует нормальному распределению, ожидаемый дефицит равен $Е ⁡ S α (L) знак равно μ + σ φ (Φ - 1 (α)) 1 - α {\ displaystyle \ operatorname {E} S _ {\ alpha} (L) = \ mu + \ sigma {\ frac {\ varphi (\ Phi ^ {- 1} (\ alpha))} {1- \ alpha}}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {E} S _ {\ alpha } (L) = \ mu + \ sigma {\ frac {\ varphi (\ Phi ^ {- 1} (\ alpha))} {1- \ alpha}}}$ .

G обобщенное t-распределение Стьюдента

Если выигрыш портфеля $X {\ displaystyle X}$ $X$ следует обобщенному t-распределению Стьюдента с p.d.f. $е (Икс) знак равно Γ (ν + 1 2) Γ (ν 2) π ν σ (1 + 1 ν (x - μ σ) 2) - ν + 1 2 {\ displaystyle f (x) = { \ frac {\ Gamma {\ bigl (} {\ frac {\ nu +1} {2}} {\ bigr)}} {\ Gamma {\ bigl (} {\ frac {\ nu} {2}} {\ bigr)} {\ sqrt {\ pi \ nu}} \ sigma}} \ left (1 + {\ frac {1} {\ nu}} \ left ({\ frac {x- \ mu} {\ sigma}} \ right) ^ {2} \ right) ^ {- {\ frac {\ nu +1} {2}}}}$ ${\ displaystyle f (x) = {\ frac {\ Gamma {\ bigl (} {\ frac {\ nu +) 1} {2}} {\ bigr)}} {\ Gamma {\ bigl (} {\ frac {\ nu} {2}} {\ bigr)} {\ sqrt {\ pi \ nu}} \ sigma}} \ left (1 + {\ frac {1} {\ nu}} \ left ({\ frac {x- \ mu} {\ sigma}} \ right) ^ {2} \ right) ^ {- {\ frac { \ Nu +1} {2}}}}$ тогда ожидаемый дефицит равен $E ⁡ S α (X) знак равно μ + σ ν + (T - 1 (α)) 2 ν - 1 τ (T - 1 (α)) 1 - α {\ displaystyle \ operatorname {E} S _ {\ alpha} (X) = \ mu + \ sigma {\ frac {\ nu + (\ mathrm {T} ^ {- 1} (\ alpha)) ^ {2}} {\ nu -1}} {\ frac {\ tau (\ mathrm {T} ^ {- 1} (\ alpha))} {1- \ alpha}}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {E} S _ {\ alpha} (X) = \ mu + \ sigma {\ frac {\ nu + (\ mathrm {T} ^ {- 1} (\ alpha)) ^ {2}} {\ nu -1}} {\ frac {\ tau (\ mathrm {T} ^ {- 1} (\ alpha))} {1- \ alpha}}}$ , где $τ (x) = Γ (ν + 1 2) Γ (ν 2) π ν ( 1 + Икс 2 ν) - ν + 1 2 {\ Displaystyle \ tau (x) = {\ frac {\ Gamma {\ bigl (} {\ frac {\ nu +1} {2}} {\ bigr)}} {\ Gamma {\ bigl (} {\ frac {\ nu} {2}} {\ bigr)} {\ sqrt {\ pi \ nu}}}} {\ Bigl (} 1 + {\ frac {x ^ { 2}} {\ nu}} {\ Bigr)} ^ {- {\ frac {\ nu +1} {2}}}}$ ${\ displaystyle \ tau (x) = {\ frac {\ Gamma {\ bigl (} {\ frac {\ nu +1} {2}} {\ bigr) }} {\ Gamma {\ bigl (} {\ frac {\ nu} {2}} {\ bigr)} {\ sqrt {\ pi \ nu}}}} {\ Bigl (} 1 + {\ frac {x ^ {2}} {\ nu}} {\ Bigr)} ^ {- {\ frac {\ nu +1} {2}}}}$ - стандартный PDF-файл с t-распределением, $T ( х) {\ Displaystyle \ mathrm { T} (x)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {T} (x)}$ - стандартное cdf-распределение по t-распределению, поэтому $T - 1 (α) {\ displaystyle \ mathrm {T} ^ {- 1} (\ alpha)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {T} ^ {- 1} (\ alpha)}$ - стандартный квантиль t-распределения.

Если потеря портфеля $L {\ displaystyle L}$ $L$ следует обобщенному t-распределению Стьюдента, ожидаемый дефицит составляет равно $E ⁡ S α (L) = μ + σ ν + (T - 1 (α)) 2 ν - 1 τ (T - 1 (α)) 1 - α {\ displaystyle \ operatorname {E} S _ {\ alpha} (L) = \ mu + \ sigma {\ frac {\ nu + (\ mathrm {T} ^ {- 1} (\ alpha)) ^ {2}} {\ nu -1}} { \ frac {\ tau (\ mathrm {T} ^ {- 1} (\ alpha))} {1- \ alpha}}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {E} S _ {\ alpha} (L) = \ mu + \ sigma {\ frac {\ nu + (\ mathrm {T} ^ {- 1} (\ alph a)) ^ {2}} {\ nu -1}} {\ frac {\ tau (\ mathrm {T} ^ {- 1} (\ alpha))} {1- \ alpha}}}$ .

Распределение Лапласа

Если доходность портфеля $X {\ displaystyle X}$ $X$ следует распределению Лапласа с pdf

f (x) = 1 2 b e - | x - μ | / b {\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {2b}} e ^ {- | x- \ mu | / b}}

{\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {2b}} e ^ {- | x- \ mu | / b}}

и c.d.f.

F (x) = {1 - 1 2 e - (x - μ) / b, если x ≥ μ, 1 2 e (x - μ) / b, если x < μ. {\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-{\frac {1}{2}}e^{-(x-\mu)/b}{\text{if }}x\geq \mu,\\[4pt]{\frac {1}{2}}e^{(x-\mu)/b}{\text{if }}x<\mu.\end{cases}}}

{\ displaystyle F (x) = {\ begin {case} 1 - {\ frac {1} {2}} e ^ {- (x- \ mu) / b} {\ text {if}} x \ geq \ mu, \\ [4pt ] {\ frac {1} {2}} e ^ {(x- \ mu) / b} {\ text {if}} x <\ mu. \ end {cases}}}

, то ожидаемый дефицит равен $Е ⁡ S α (Икс) знак равно - μ + б (1 - пер ⁡ 2 α) {\ displaystyle \ operatorname {E} S _ {\ alpha} (X) = - \ mu + b (1- \ ln 2 \ alpha)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {E} S _ {\ альфа} (Икс) = - \ му + б (1- \ пер 2 \ альфа)}$ для $α ≤ 0,5 {\ displaystyle \ alpha \ leq 0,5}$ ${\ displaystyle \ alpha \ leq 0.5}$ .

Если потеря портфеля $L {\ displaystyle L}$ $L$ следует распределению Лапласа, ожидаемый дефицит равен

E ⁡ S α (L) = {μ + b α 1 - α (1 - ln ⁡ 2 α), если α < 0.5, μ + b [ 1 − ln ⁡ ( 2 ( 1 − α)) ] if α ≥ 0.5. {\displaystyle \operatorname {E} S_{\alpha }(L)={\begin{cases}\mu +b{\frac {\alpha }{1-\alpha }}(1-\ln 2\alpha){\text{if }}\alpha <0.5,\\[4pt]\mu +b[1-\ln(2(1-\alpha))]{\text{if }}\alpha \geq 0.5.\end{cases}}\quad }

{\ displaystyle \ operatorname {E} S _ {\ alpha} (L) = {\ begin {case} \ mu + b {\ frac {\ alpha} {1- \ alpha}} (1- \ ln 2 \ alpha) {\ text {if}} \ alpha <0,5, \\ [4pt] \ mu + b [1- \ ln (2 (1- \ alpha))] {\ text {if}} \ alpha \ geq 0.5. \ End {cases}} \ quad}

Логистическое распределение

Если доходность портфеля $X {\ displaystyle X}$ $X$ следует за логистическим распределением с pdf $е (х) = 1 se - x - μ s (1 + e - x - μ s) - 2 {\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {s}} e ^ {- { \ frac {x- \ mu} {s}}} {\ Bigl (} 1 + e ^ {- {\ frac {x- \ mu} {s}}} {\ Bigr)} ^ {- 2}}$ ${\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {s}} e ^ {- {\ frac {x- \ mu} {s}}} {\ Bigl (} 1 + e ^ {- {\ frac {x- \ mu} {s}}} {\ Bigr)} ^ {- 2 }}$ и cdf $F (x) = (1 + e - x - μ s) - 1 {\ displaystyle F (x) = {\ Bigl (} 1 + e ^ {- {\ frac {x- \ mu} {s) }}} {\ Bigr)} ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle F (x) = {\ Bigl (} 1 + e ^ {- {\ frac {x- \ mu} {s}}} {\ Bigr)} ^ {- 1 }}$ тогда ожидаемый дефицит равен $E ⁡ S α (X) = - μ + s ln ⁡ (1 - α) 1 - 1 α α {\ displaystyle \ operatorname {E} S _ {\ alpha} (X) = - \ mu + s \ ln {\ frac {(1- \ alpha) ^ {1 - {\ frac {1} {\ alpha}}}} {\ alpha}}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {E} S _ {\ alpha} (X) = - \ mu + s \ ln {\ frac {(1- \ alpha) ^ {1 - {\ frac {1} {\ alpha}}} } {\ alpha}}}$ .

Если потеря портфеля $L {\ displaystyle L}$ $L$ следует за логистическим распределением, ожидаемый дефицит равен к $Е ⁡ S α (L) знак равно μ + s - α пер ⁡ α - (1 - α) пер ⁡ (1 - α) 1 - α {\ displaystyle \ operatorname {E} S _ {\ alpha} ( L) = \ mu + s {\ frac {- \ alpha \ ln \ alpha - (1- \ alpha) \ ln (1- \ alpha)} {1- \ alpha}}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {E} S _ {\ alpha} (L) = \ mu + s {\ frac {- \ alpha \ пер \ альфа - (1- \ альфа) \ пер (1- \ альфа)} {1- \ альфа}}}$ .

Экспоненциальное распределение

Если потеря портфеля $L {\ displaystyle L}$ $L$ следует за экспоненциальным распределением с PDF $f (x) = {λ e - λ x, если x ≥ 0, 0, если x < 0. {\displaystyle f(x)={\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x}{\text{if }}x\geq 0,\\0{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$ ${\ displaystyle f (x) = {\ begin {cases } \ lambda e ^ {- \ lambda x} { \ text {if}} x \ geq 0, \\ 0 {\ text {if}} x <0. \ end {cases}}}$ и c.d.f. $F (x) = {1 - e - λ x, если x ≥ 0, 0, если x < 0. {\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-e^{-\lambda x}{\text{if }}x\geq 0,\\0{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$ ${\ displaystyle F (x) = {\ begin {cases} 1-e ^ {- \ lambda x} {\ text {if}} x \ geq 0, \\ 0 {\ text {if}} x <0.\end{cases}}}$ , то ожидаемый дефицит равен $E ⁡ S α (L) = - ln ⁡ (1 - α) + 1 λ {\ displaystyle \ operatorname {E} S _ {\ alpha} (L) = {\ frac {- \ ln (1- \ alpha) +1} {\ lambda}}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {E} S _ {\ alpha} (L) = {\ frac {- \ ln (1- \ alpha) +1 } {\ lambda}}}$ .

Распределение Парето

Если потеря портфеля $L {\ displaystyle L}$ $L$ следует за распределением Парето с pdf $f (x) = {a x m a x a + 1, если x ≥ x m, 0, если x < x m. {\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {ax_{m}^{a}}{x^{a+1}}}{\text{if }}x\geq x_{m},\\0{\text{if }}x$ ${\ displaystyle f (x) = {\ begin {cases} {\ frac { ax_ {m} ^ {a}} {x ^ {a + 1}}} {\ text {if}} x \ geq x_ {m}, \\ 0 {\ text {if}} x <x_ {m }. \ end {cases}}}$ и c.d.f. $F (x) = {1 - (xm / x) a, если x ≥ xm, 0, если x < x m. {\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-(x_{m}/x)^{a}{\text{if }}x\geq x_{m},\\0{\text{if }}x$ ${\ displaystyle F (x) = {\ begin {cases} 1- (x_ {m} / x) ^ {a} {\ text {if}} x \ geq x_ {m}, \\ 0 {\ text {if}} x <x_ {m}. \ end {cases}}}$ , то ожидаемый дефицит равен $E ⁡ S α (L) = xma (1 - α) 1 / a (a - 1) {\ displaystyle \ operatorname {E} S _ {\ alpha} (L) = {\ frac {x_ {m} a} {(1- \ alpha) ^ {1 / a} (a-1)}}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {E} S _ {\ alpha } (L) = {\ frac {x_ {m} a} {(1- \ alpha) ^ {1 / a} (a-1)}}}$ .

Обобщенное распределение Парето (GPD)

Если потеря портфеля $L {\ displaystyle L}$ $L$ следует за GPD в формате pdf

е (х) знак равно 1 s (1 + ξ (x - μ) s) (- 1 ξ - 1) {\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {s}} {\ Bigl ( } 1 + {\ frac {\ xi (x- \ mu)} {s}} {\ Bigr)} ^ {{\ bigl (} - {\ frac {1} {\ xi}} - 1 {\ bigr) }}}

{\ displaystyle f (x) = {\ frac { 1} {s}} {\ Bigl (} 1 + {\ frac {\ xi (x- \ mu)} {s}} {\ Bigr)} ^ {{\ bigl (} - {\ frac {1} { \ xi}} - 1 {\ bigr)}}}

и cdf

F (x) = {1 - (1 + ξ (x - μ) s) - 1 ξ, если ξ ≠ 0, 1 - exp ⁡ (- x - μ s), если ξ = 0. {\ displaystyle F (x) = {\ begin {cases} 1 - {\ Big (} 1 + {\ frac {\ xi (x- \ mu)} {s}} {\ Big)} ^ {- {\ frac {1} {\ xi}}} {\ text {if}} \ xi \ neq 0, \\ 1- \ exp {\ bigl (} - {\ frac {x- \ mu} {s}} {\ bigr)} {\ text {if}} \ xi = 0. \ end {cases}}}

{\ displaystyle F (x) = {\ begin {cases} 1 - {\ Big (} 1 + {\ frac {\ xi) (x- \ mu)} {s}} {\ Big)} ^ {- {\ frac {1} {\ xi}}} {\ text {if}} \ xi \ neq 0, \\ 1- \ exp {\ bigl (} - {\ frac {x- \ mu} {s}} {\ bigr)} {\ text {if}} \ xi = 0. \ end {cases}}}

тогда ожидаемый дефицит равен

E ⁡ S α (L) = {μ + s [(1 - α) - ξ 1 - ξ + (1 - α) - ξ - 1 ξ], если ξ ≠ 0, μ + s [1 - ln ⁡ (1 - α)], если ξ = 0, {\ displaystyle \ operatorname {E} S _ {\ alpha} (L) = {\ begin {cases} \ mu + s {\ Bigl [} {\ frac {(1- \ alpha) ^ {- \ xi}} {1- \ xi}} + { \ frac {(1- \ alpha) ^ {- \ xi} -1} {\ xi}} {\ Bigr]} {\ text {if}} \ xi \ neq 0, \\\ mu + s [1 - \ ln (1- \ alpha)] {\ text {if}} \ xi = 0, \ end {cases}}}

{\ displaystyle \ operatorname {E} S _ {\ alpha} (L) = {\ begin {cases} \ mu + s {\ Bigl [} {\ frac {(1- \ alpha) ^ {- \ xi}} {1- \ xi}} + {\ frac {(1- \ alpha) ^ {- \ xi} -1} {\ xi}} {\ Bigr]} и {\ text {если }} \ xi \ neq 0, \\\ mu + s [1- \ ln (1- \ alpha)] {\ text {if}} \ xi = 0, \ end {cases}}}

и VaR равно

VaR α ⁡ (L) = { μ + s (1 - α) - ξ - 1 ξ, если ξ ≠ 0, μ - s ln ⁡ (1 - α), если ξ = 0. {\ displaystyle \ operatorname {VaR} _ {\ alpha} (L) = {\ begin {case} \ mu + s {\ frac {(1- \ alpha) ^ {- \ xi} -1} {\ xi}} {\ text {if}} \ xi \ neq 0, \\ \ mu -s \ ln (1- \ alpha) и {\ text {if}} \ xi = 0. \ end {cases}} \ quad}

{\ displaystyle \ operatorname {VaR} _ {\ alpha} (L) = {\ begin {cases} \ mu + s {\ frac {(1- \ alpha) ^ {- \ xi} -1} {\ xi} } {\ text {if}} \ xi \ neq 0, \\\ mu -s \ ln (1- \ alpha) {\ text {if}} \ xi = 0. \ end {cases}} \ quad }

Распределение Вейбулла

Если потеря портфеля $L {\ displaystyle L}$ $L$ следует за Распределение Вейбулла в формате pdf $f (x) = {k λ (x λ) k - 1 e - (x / λ) k, если x ≥ 0, 0, если x < 0. {\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {k}{\lambda }}{\Big (}{\frac {x}{\lambda }}{\Big)}^{k-1}e^{-(x/\lambda)^{k}}{\text{if }}x\geq 0,\\0{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$ ${\ displaystyle f (x) = {\ begin {cases} {\ frac {k} {\ lambda}} {\ Big (} {\ frac {x} {\ lambda}} {\ Big)} ^ {k-1} e ^ {- (x / \ lambda) ^ {k}} {\ текст {if}} x \ geq 0, \\ 0 {\ text {if}} x <0. \ end {cases}}}$ и c.d.f. $F (x) = {1 - e - (x / λ) k, если x ≥ 0, 0, если x < 0. {\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-e^{-(x/\lambda)^{k}}{\text{if }}x\geq 0,\\0{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$ ${\ displaystyle F (x) = {\ begin {cases} 1-e ^ {- (x / \ lambda) ^ {k} } {\ text {if}} x \ geq 0, \\ 0 {\ text {if}} x <0. \ end {cases}}}$ , то ожидаемый дефицит равен $E ⁡ S α (L) = λ 1 - α Γ (1 + 1 К, - пер ⁡ (1 - α)) {\ displaystyle \ operatorname {E} S _ {\ alpha} (L) = {\ frac {\ lambda} {1- \ alpha}} \ Гамма {\ Big (} 1 + {\ frac {1} {k}}, - \ ln (1- \ alpha) {\ Big)}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {E} S _ {\ alpha} (L) = {\ frac {\ lambda} {1- \ alpha}} \ Gamma {\ Big (} 1+ { \ frac {1} {k}}, - \ ln (1- \ alpha) {\ Big)}}$ , где $Γ (s, x) {\ displaystyle \ Gamma (s, x)}$ $\ Gamma (s, x)$ - это верхняя неполная гамма-функция.

Обобщенное распределение экстремальных значений (GEV)

Если доходность портфеля $X {\ displaystyle X}$ $X$ следует за GEV в формате pdf $f (x) = {1 σ (1 + ξ x - μ σ) - 1 ξ - 1 exp ⁡ [- (1 + ξ x - μ σ) - 1 ξ], если ξ ≠ 0, 1 σ e - Икс - μ σ е - е - Икс - μ σ, если ξ = 0. {\ Displaystyle f (x) = {\ begin {cases} {\ frac {1} {\ sigma}} {\ Bigl (} 1+ \ xi {\ frac {x- \ mu} {\ sigma}} {\ Bigr)} ^ {- {\ frac {1} {\ xi}} - 1} \ exp {\ Bigl [} - {\ Bigl ( } 1+ \ xi {\ frac {x- \ mu} {\ sigma}} {\ Bigr)} ^ {- {\ frac {1} {\ xi}}} {\ Bigr]} и {\ text {если }} \ xi \ neq 0, \\ {\ frac {1} {\ sigma}} e ^ {- {\ frac {x- \ mu} {\ sigma}}} e ^ {- e ^ {- {\ frac {x- \ mu} {\ sigma}}}} {\ text {if}} \ xi = 0. \ end {cases}}}$ ${\ displaystyle f (x) = {\ begin {cases} {\ гидроразрыв {1} {\ sigma}} {\ Bigl (} 1+ \ xi {\ frac {x- \ mu} {\ sigma}} {\ Bigr)} ^ {- {\ frac {1} {\ xi} } -1} \ exp {\ Bigl [} - {\ Bigl (} 1+ \ xi {\ frac {x- \ mu} {\ sigma}} {\ Bigr)} ^ {- {\ frac {1} { \ xi}}} {\ Bigr]} {\ text {if}} \ xi \ neq 0, \\ {\ frac {1} {\ sigma}} e ^ {- {\ frac {x- \ mu} {\ sigma}}} e ^ {- e ^ {- {\ frac {x- \ mu} {\ sigma}}}} {\ text {if}} \ xi = 0. \ end {cases}}}$ и cdf $F (x) = {exp ⁡ (- (1 + ξ x - μ σ) - 1 ξ), если ξ ≠ 0, exp ⁡ (- e - x - μ σ), если ξ = 0. {\ displaystyle F (x) = {\ begin {cases} \ exp {\ Big (} - {\ big (} 1+ \ xi {\ frac {x- \ mu} {\ sigma}} {\ big)} ^ {- {\ frac {1} {\ xi}}} {\ Big)} {\ text {if}} \ xi \ neq 0, \\\ exp {\ Big (} -e ^ {- {\ frac {x - \ mu} {\ sigma}}} {\ Big)} {\ text {if}} \ xi = 0. \ end {cases}}}$ ${\ displaystyle F (x) = {\ begin {cases} \ exp {\ Big ( } - {\ big (} 1+ \ xi {\ frac {x- \ mu} {\ sigma}} {\ big)} ^ {- {\ frac {1} {\ xi}}} {\ Big)} {\ text {if}} \ xi \ neq 0, \\\ exp {\ Big (} -e ^ {- {\ frac {x- \ mu} {\ sigma}}} {\ Big)} { \ text {if}} \ xi = 0. \ end {case}}}$ тогда ожидаемый дефицит равен $E ⁡ S α (X) = {- μ - σ α ξ [Γ (1 - ξ, - ln ⁡ α) - α], если ξ ≠ 0, - μ - σ α [li (α) - α ln ⁡ (- пер ⁡ α)], если ξ = 0. {\ displaystyle \ operatorname {E} S _ {\ alpha} (X) = {\ begin {cases} - \ mu - {\ frac {\ sigma} {\ alpha \ xi}} {\ big [} \ Gamma (1- \ xi, - \ ln \ alpha) - \ alpha {\ big]} {\ text {if}} \ xi \ neq 0, \\ - \ mu - {\ frac {\ sigma} {\ alpha}} {\ big [} {\ text {li}} (\ alpha) - \ alpha \ ln (- \ ln \ alpha) {\ big]} и {\ text { if}} \ xi = 0. \ end {ases}}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {E} S _ {\ alpha} (X) = {\ begin { case} - \ mu - {\ frac {\ sigma} {\ alpha \ xi}} {\ big [} \ Gamma (1- \ xi, - \ ln \ alpha) - \ alpha {\ big]} {\ текст {if}} \ xi \ neq 0, \\ - \ mu - {\ frac {\ sigma} {\ alpha}} {\ big [} {\ text {li}} (\ alpha) - \ alpha \ ln (- \ ln \ alpha) {\ big]} {\ text {if}} \ xi = 0. \ end {cases}}}$ и VaR равно $VaR α ⁡ (X) = {- μ - σ ξ [(- ln ⁡ α) - ξ - 1], если ξ ≠ 0, - μ + σ ln ⁡ (- ln ⁡ α), если ξ = 0. {\ displaystyle \ operatorname {VaR} _ {\ alph a} (X) = {\ begin {cases} - \ mu - {\ frac {\ sigma} {\ xi}} {\ big [} (- \ ln \ alpha) ^ {- \ xi} -1 {\ big]} {\ text {if}} \ xi \ neq 0, \\ - \ mu + \ sigma \ ln (- \ ln \ alpha) {\ text {if}} \ xi = 0. \ end { case}}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {VaR} _ {\ alpha} (X) = {\ begin {cases} - \ mu - {\ frac {\ sigma} {\ xi}} {\ big [} (- \ ln \ alpha) ^ { - \ xi} -1 {\ big]} {\ text {if}} \ xi \ neq 0, \\ - \ mu + \ sigma \ ln (- \ ln \ alpha) {\ text {if}} \ xi = 0. \ end {case}}}$ , где $Γ (s, x) {\ displaystyle \ Gamma (s, x)}$ $\ Gamma (s, x)$ - верхняя неполная гамма-функция $li (x) = ∫ dx ln ⁡ x {\ displaystyle {\ text {li}} (x) = \ int {\ frac {dx} {\ ln x}}}$ ${\ displaystyle {\ text {li}} (x) = \ int { \ frac {dx} {\ ln x}}}$ логарифмическая интегральная функция.

Если убыток портфеля $L {\ displaystyle L}$ $L$ следует за GEV, то ожидаемый дефицит равен $E ⁡ S α (X) = {μ + σ (1 - α) ξ [γ (1 - ξ, - ln ⁡ α) - (1 - α)], если ξ ≠ 0, μ + σ 1 - α [y - li (α) + α ln ⁡ (- ln ⁡ α)], если ξ = 0. {\ displaystyle \ operatorname {E} S _ {\ alpha} (X) = {\ begin {cases} \ mu + {\ frac {\ sigma} {(1- \ alpha) \ xi}} {\ big [} \ gamma (1- \ xi, - \ ln \ alpha) - (1- \ alpha) {\ big]} {\ text {if}} \ xi \ neq 0, \\\ mu + {\ frac {\ sigma} {1- \ alpha}} {\ big [} y - {\ text {li}} (\ alpha) + \ alpha \ ln (- \ ln \ alpha) {\ big] } {\ text {if}} \ xi = 0. \ end {cases}}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {E} S _ {\ alpha} (X) = {\ begin {cases} \ mu + {\ frac {\ sigma} {(1- \ alpha) \ xi}} {\ big [} \ gamma (1- \ xi, - \ ln \ alpha) - (1- \ alpha) {\ big]} {\ text {if}} \ xi \ neq 0, \\\ mu + {\ frac {\ sigma} {1- \ alpha}} {\ big [} y - {\ text {li}} (\ alpha) + \ alpha \ ln (- \ ln \ alpha) {\ big]} {\ text {if}} \ xi = 0. \ end {cases}}}$ , где $γ (s, x) {\ displaystyle \ gamma (s, x)}$ ${\ displaystyle \ gamma (s, x)}$ - нижняя неполная гамма-функция, $y {\ displaystyle y}$ $y$ - константа Эйлера-Машерони.

Обобщенный гиперболический секанс (GHS) распределение

Если выплата портфеля $X {\ displaystyle X}$ $X$ следует распределению GHS с pdf $е (Икс) = 1 2 σ sech ⁡ (π 2 x - μ σ) {\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {2 \ sigma}} \ operatorname {sech} ({\ frac {\ pi} {2}} {\ frac {x- \ mu} {\ sigma}})}$ ${\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {2 \ sigma}} \ operatorname {sech} ({\ frac {\ pi} {2} } {\ frac {x- \ mu} {\ sigma}})}$ и cdf $F (x) = 2 π arctan ⁡ [exp ⁡ (π 2 x - μ σ)] {\ displaystyle F (x) = {\ frac {2} {\ pi}} \ arctan {\ Big [} \ exp {\ Big (} {\ frac {\ pi} {2}} {\ frac {x- \ mu} {\ sigma}} {\ Big)} {\ Big]}}$ ${\ displaystyle F (x) = {\ frac {2} {\ pi}} \ arctan {\ Big [} \ exp {\ Big (} {\ frac {\ pi} {2}} {\ frac {x- \ mu} {\ sigma }} {\ Big)} {\ Big]}}$ тогда ожидаемый дефицит равен $E ⁡ S α (X) = - μ - 2 σ π ln ⁡ (tan ⁡ π α 2) - 2 σ π 2 α i [Li 2 (- i tan ⁡ π α 2) - Li 2 ⁡ (я загар ⁡ π α 2)] {\ displaystyle \ operatorname {E} S _ {\ alpha} (X) = - \ mu - {\ frac {2 \ sigma} {\ pi}} \ ln {\ Big (} \ tan {\ frac {\ pi \ alpha} {2}} {\ Big)} - {\ frac {2 \ sigma} {\ pi ^ {2} \ alpha}} i {\ Big [ } {\ text {Li}} _ {2} {\ Big (} -i \ tan {\ frac {\ pi \ alpha} {2}} {\ Big)} - \ operatorname {Li} _ {2} { \ Big (} i \ tan {\ frac {\ pi \ alpha} {2}} {\ Big)} {\ Big]}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {E} S_ {\ alpha} (X) = - \ mu - {\ frac {2 \ sigma} {\ pi}} \ ln {\ Big (} \ tan {\ frac {\ pi \ alpha} {2}} {\ Big)} - {\ frac {2 \ sigma} {\ pi ^ {2} \ alpha}} i {\ Big [} {\ text {Li}} _ {2} {\ Big (} -i \ tan {\ frac {\ pi \ alpha} {2}} {\ Big)} - \ operatorname {Li} _ {2} {\ Big (} i \ tan {\ frac {\ pi \ alpha} {2}} {\ Big)} {\ Big]}}$ , где $Li 2 {\ displaystyle \ operatorname { Li} _ {2}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {2}}$ - это функция Спенса, $i = - 1 {\ displaystyle i = {\ sqrt {-1}}}$ $i = \ sqrt {-1}$ - это мнимая единица.

SU-распределение Джонсона

Если выигрыш портфеля $X {\ displaystyle X}$ $X$ следует SU- Distri исполнение с к.д.ф. $F (Икс) знак равно Φ [γ + δ sinh - 1 ⁡ (x - ξ λ)] {\ displaystyle F (x) = \ Phi {\ Big [} \ gamma + \ delta \ sinh ^ {- 1 } {\ Big (} {\ frac {x- \ xi} {\ lambda}} {\ Big)} {\ Big]}}$ ${\ Displaystyle F (x) = \ Phi {\ Big [} \ gamma + \ delta \ sinh ^ {- 1} {\ Big (} {\ frac {x- \ xi} { \ lambda}} {\ Big)} {\ Big]}}$ тогда ожидаемый дефицит равен $E ⁡ S α (X) = - ξ - λ 2 α [exp ⁡ (1-2 γ δ 2 δ 2) Φ (Φ - 1 (α) - 1 δ) - exp ⁡ (1 + 2 γ δ 2 δ 2) Φ (Φ - 1 (α) + 1 δ)] {\ displaystyle \ operatorname {E} S _ {\ alpha} (X) = - \ xi - {\ frac {\ lambda} {2 \ alpha}} {\ Big [ } \ exp {\ Big (} {\ frac {1-2 \ gamma \ delta} {2 \ delta ^ {2}}} {\ Big)} \ Phi {\ Big (} \ Phi ^ {- 1} ( \ alpha) - {\ frac {1} {\ delta}} {\ Big)} - \ exp {\ Big (} {\ frac {1 + 2 \ gamma \ delta} {2 \ delta ^ {2}}} {\ Big)} \ Phi {\ Big (} \ Phi ^ {- 1} (\ alpha) + {\ frac {1} {\ delta}} {\ Big)} {\ Big]}}$ ${\ displaystyle \ operatorname { E} S _ {\ alpha} (X) = - \ xi - {\ frac {\ lambda} {2 \ alpha}} {\ Big [} \ exp {\ Big (} {\ frac {1-2 \ gamma \ delta} {2 \ delta ^ {2}}} {\ Big)} \ Phi {\ Big (} \ Phi ^ {- 1} (\ alpha) - {\ frac {1} {\ delta}} {\ Big)} - \ exp {\ Big (} {\ frac {1 + 2 \ gamma \ delta} {2 \ delta ^ {2}}} {\ Big)} \ Phi {\ Big (} \ Phi ^ {- 1 } (\ альфа) + {\ frac {1} {\ delta}} {\ Big)} {\ Big]}}$ , где $Φ {\ displaystyle \ Phi}$ $\ Phi$ - это cdf стандартного нормального распределения.

Распределение типа заусенца XII

Если доходность портфеля $X {\ displaystyle X}$ $X$ соответствует типу заусенца Распределение XII в формате pdf $е (Икс) знак равно ck β (x - γ β) c - 1 [1 + (x - γ β) c] - k - 1 {\ displaystyle f (x) = {\ frac {ck} {\ beta}} {\ Big (} {\ frac {x- \ gamma} {\ beta}} {\ Big)} ^ {c-1} {\ Big [} 1 + {\ Big (} {\ frac {x - \ gamma} {\ beta}} {\ Big)} ^ {c} {\ Big]} ^ {- k-1}}$ ${\ displaystyle f (x) = {\ frac {ck} {\ beta}} {\ Big (} { \ frac {x- \ gamma} {\ beta}} {\ Big)} ^ {c-1} {\ Big [} 1 + {\ Big (} {\ frac {x- \ gamma} {\ beta}} {\ Big)} ^ {c} {\ Big]} ^ {- k-1}}$ и cdf $F (x) = 1 - [1 + (x - γ β) c] - k {\ displaystyle F (x) = 1 - {\ Big [} 1 + {\ Big (} {\ frac {x - \ gamma} {\ beta}} {\ Big)} ^ {c} {\ Big]} ^ {- k}}$ ${\ displaystyle F (x) = 1 - {\ Big [} 1 + {\ Big (} {\ frac { x- \ gamma} {\ beta}} {\ Big)} ^ {c} {\ Big]} ^ {- k}}$ , ожидаемый дефицит равен $E ⁡ S α ( X) = - γ - β α ((1 - α) - 1 / k - 1) 1 / c [α - 1 + 2 F 1 (1 c, k; 1 + 1 c; 1 - (1 - α) - 1 / k)] {\ displaystyle \ operatorname {E} S _ {\ alpha} (X) = - \ gamma - {\ frac {\ beta} {\ alpha}} {\ Big (} (1- \ alpha) ^ {- 1 / k} -1 {\ Big)} ^ {1 / c} {\ Big [} \ alpha -1 + {_ {2} F_ {1}} {\ Big (} {\ frac {1 } {c}}, k; 1 + {\ frac {1} {c}}; 1- (1- \ alpha) ^ {- 1 / k} {\ Big)} {\ Big]}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {E} S _ {\ alpha } (X) = - \ gamma - {\ frac {\ beta} {\ alpha}} {\ Big (} (1- \ alpha) ^ {- 1 / k} -1 {\ Big)} ^ {1 / c} {\ Big [} \ alpha -1 + {_ {2} F_ {1}} {\ Big (} {\ frac {1} {c}}, k; 1 + {\ frac {1} {c }}; 1- (1- \ альфа) ^ {- 1 / k} {\ Big)} {\ Big]}}$ , где $2 F 1 {\ displaystyle _ {2} F_ {1}}$ $_ {2} F_ {1}$ - гипергеометрическая функция. В качестве альтернативы $E ⁡ S α (X) = - γ - β α ckc + 1 ((1 - α) - 1 / k - 1) 1 + 1 c 2 F 1 (1 + 1 c, k + 1 ; 2 + 1 c; 1 - (1 - α) - 1 / k) {\ displaystyle \ operatorname {E} S _ {\ alpha} (X) = - \ gamma - {\ frac {\ beta} {\ alpha} } {\ frac {ck} {c + 1}} {\ Big (} (1- \ alpha) ^ {- 1 / k} -1 {\ Big)} ^ {1 + {\ frac {1} {c }}} {_ {2} F_ {1}} {\ Big (} 1 + {\ frac {1} {c}}, k + 1; 2 + {\ frac {1} {c}}; 1- (1- \ alpha) ^ {- 1 / k} {\ Big)}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {E} S _ {\ alpha} (X) = - \ gamma - {\ frac {\ beta} {\ alpha}} {\ frac {ck} {c + 1}} {\ Big (} (1- \ alpha) ^ {- 1 / k} -1 {\ Big)} ^ {1 + {\ frac { 1} {c}}} {_ {2} F_ {1}} {\ Big (} 1 + {\ frac {1} {c}}, k + 1; 2 + {\ frac {1} {c} }; 1- (1- \ альфа) ^ {- 1 / k} {\ Big)}}$ .

Распределение Дагума

Если выплата портфеля $X {\ displaystyle X}$ $X$ следует распределению Дагума с pdf $е (Икс) знак равно ck β (x - γ β) ck - 1 [1 + (x - γ β) c] - k - 1 {\ displaystyle f (x) = {\ frac {ck} {\ beta}} {\ Big (} {\ frac {x- \ gamma} {\ beta}} {\ Big)} ^ {ck-1} {\ Big [} 1 + {\ Big (} {\ frac {x - \ gamma} {\ beta}} {\ Big)} ^ {c} {\ Big]} ^ {- k-1}}$ ${\ displaystyle f (x) = {\ frac {ck} {\ beta}} {\ Big (} {\ frac {x- \ gamma} {\ beta}} {\ Big)} ^ {ck-1} {\ Big [} 1 + {\ Big (} {\ frac {x- \ gamma} {\ beta}} { \ Big)} ^ {c} {\ Big]} ^ {- k-1}}$ и cdf $F (x) = [1 + (x - γ β) - c] - k {\ displaystyle F (x) = {\ Big [} 1 + {\ Big (} {\ frac {x- \ gamma) } {\ beta}} {\ Big)} ^ {- c} {\ Big]} ^ {- k}}$ ${\ Displaystyle F (x) = {\ Big [} 1 + {\ Big (} {\ frac {x- \ gamma} {\ beta}} {\ Big)} ^ {- c} {\ Big ]} ^ {- k}}$ , ожидаемый дефицит равен $E ⁡ S α (X) = - γ - β α ckck + 1 (α - 1 / k - 1) - k - 1 c 2 F 1 (k + 1, k + 1 c; k + 1 + 1 c; - 1 α - 1 / k - 1) {\ displaystyle \ operatorname {E} S _ {\ alpha} (X) = - \ gamma - {\ frac {\ beta} {\ alpha}} {\ frac {ck} {ck + 1}} {\ Большой (} \ alpha ^ {- 1 / k} -1 {\ Big)} ^ {- k - {\ frac {1} {c}}} {_ {2} F_ {1}} {\ Big (} k + 1, k + {\ frac {1} {c}}; k + 1 + {\ frac {1} {c}}; - {\ frac {1} {\ alpha ^ {- 1 / k} -1 }} {\ Big)}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {E} S _ {\ alpha} (X) = - \ gamma - {\ frac {\ beta} {\ alpha}} {\ frac {ck} {ck + 1}} {\ Большой (} \ alpha ^ {- 1 / k} -1 {\ Big)} ^ {- k - {\ frac {1} {c}}} {_ {2} F_ {1}} {\ Big (} k + 1, k + {\ frac {1} {c}}; k + 1 + {\ frac {1} {c}}; - {\ frac {1} {\ alpha ^ {- 1 / k} -1}} {\ Big)}}$ , где $2 F 1 {\ displaystyle _ {2} F_ {1}}$ $_ {2} F_ {1}$ - гипергеометрическая функция.

Логнормальное распределение

Если доходность портфеля $X {\ displaystyle X}$ $X$ следует логнормальному распределению, то есть случайной величине $ln ⁡ (1 + X) {\displaystyle \ln(1+X)}$ ${\ displaystyle \ ln (1 + X)}$ follows normal distribution with the pdf $f ( x) = 1 2 π σ e − ( x − μ) 2 2 σ 2 {\displaystyle f(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}e^{-{\frac {(x-\mu)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$ ${\ displaystyle f (x) = {\ frac {1 } {{\ sqrt {2 \ pi}} \ sigma}} e ^ {- {\ frac {(x- \ mu) ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}}}}$ , then the expected shortfall is equal to $E ⁡ S α ( X) = 1 − exp ⁡ ( μ + σ 2 2) Φ ( Φ − 1 ( α) − σ) α {\displaystyle \operatorname {E} S_{\alpha }(X)=1-\exp {\Bigl (}\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}{\Bigr)}{\frac {\Phi (\Phi ^{-1}(\alpha)-\sigma)}{\alpha }}}$ ${\ display стиль \ operatorname {E} S _ {\ alpha} (X) = 1- \ exp {\ Bigl (} \ mu + {\ frac {\ sigma ^ {2}} {2}} {\ Bigr)} {\ frac {\ Phi (\ Phi ^ {- 1} (\ alpha) - \ sigma)} {\ alpha}}}$ , where $Φ ( x) {\displaystyle \Phi (x)}$ $\ Phi (x)$ is the standard normal c.d.f., so $Φ − 1 ( α) {\displaystyle \Phi ^{-1}(\alpha)}$ ${\ displaystyle \ Phi ^ {- 1} (\ alpha)}$ is the standard normal quantile.

Log-logistic distribution

If the payoff of a portfolio $X {\displaystyle X}$ $X$ follows log-logistic distribution, i.e. the random variable $ln ⁡ ( 1 + X) {\displaystyle \ln(1+X)}$ ${\ displaystyle \ ln (1 + X)}$ follows logistic distribution with the p.d.f. $f ( x) = 1 s e − x − μ s ( 1 + e − x − μ s) − 2 {\displaystyle f(x)={\frac {1}{s}}e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}{\Bigl (}1+e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}{\Bigr)}^{-2}}$ ${\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {s}} e ^ {- {\ frac {x- \ mu} {s}}} {\ Bigl (} 1 + e ^ {- {\ frac {x- \ mu} {s}}} {\ Bigr)} ^ {- 2 }}$ , then the expected shortfall is equal to $E ⁡ S α ( X) = 1 − e μ α I α ( 1 + s, 1 − s) π s sin ⁡ π s {\displaystyle \operatorname {E} S_{\alpha }(X)=1-{\frac {e^{\mu }}{\alpha }}I_{\alpha }(1+s,1-s){\frac {\pi s}{\sin \pi s}}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {E} S _ {\ alpha} ( X) = 1 - {\ frac {e ^ {\ mu}} {\ alpha}} I _ {\ alpha} (1 + s, 1-s) {\ frac {\ pi s} {\ sin \ pi s} }}$ , where $I α {\displaystyle I_{\alpha }}$ ${\ displaystyle I _ {\ alpha}}$ is the regularized incomplete beta function, $I α ( a, b) = B α ( a, b) B ( a, b) {\displaystyle I_{\alpha }(a,b)={\frac {\mathrm {B} _{\alpha }(a,b)}{\mathrm {B} (a,b)}}}$ ${\ displaystyle I _ {\ alpha} (a, б) = {\ гидроразрыва {\ mathrm {B} _ {\ alpha} (a, b)} {\ mathrm {B} (a, b)}}}$ .

As the incomplete beta function is defined only for positive arguments, for a more generic case the expected shortfall can be expressed with the hypergeometric function : $E ⁡ S α ( X) = 1 − e μ α s s + 1 2 F 1 ( s, s + 1 ; s + 2 ; α) {\displaystyle \operatorname {E} S_{\alpha }(X)=1-{\frac {e^{\mu }\alpha ^{s}} {s+1}}{_{2}F_{1}}(s,s+1;s+2;\alpha)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {E} S _ {\ alpha} (X) = 1 - {\ frac {e ^ {\ mu} \ alpha ^ {s}} {s + 1}} {_ {2} F_ {1}} (s, s + 1; s + 2; \ alpha) }$ .

If the loss of a portfolio $L {\displaystyle L}$ $L$ follows log-logistic distribution with p.d.f. $f ( x) = b a ( x / a) b − 1 ( 1 + ( x / a) b) 2 {\displaystyle f(x)={\frac {{\frac {b}{a}}(x/a)^{b-1}}{(1+(x/a)^{b})^{2}}}}$ ${\ displaystyle f (x) = {\ frac {{\ frac {b} {a}} (x / a) ^ {b- 1}} {(1+ (x / a) ^ {b}) ^ {2}}}}$ and c.d.f. $F ( x) = 1 1 + ( x / a) − b {\displaystyle F(x)={\frac {1}{1+(x/a)^{-b}}}}$ ${\ displaystyle F (x) = {\ frac {1} { 1+ (х / а) ^ {- b}}}}$ , then the expected shortfall is equal to $E ⁡ S α ( L) = a 1 − α [ π b csc ⁡ ( π b) − B α ( 1 b + 1, 1 − 1 b) ] {\displaystyle \operatorname {E} S_{\alpha }(L)={\frac {a}{1-\alpha }}{\Bigl [}{\frac {\pi }{b}}\csc {\Bigl (}{\frac {\pi }{b}}{\Bigr)}-\mathrm {B} _{\alpha }{\Bigl (}{\frac {1}{b}}+1,1-{\frac {1}{b}}{\Bigr)}{\Bigr ]}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {E} S _ {\ alpha} (L) = {\ гидроразрыв {a} {1- \ alpha}} {\ Bigl [} {\ frac {\ pi} {b}} \ csc {\ Bigl (} {\ frac {\ pi} {b}} {\ Bigr)} - \ mathrm {B} _ {\ alpha} {\ Bigl (} {\ frac {1} {b}} + 1,1 - {\ frac {1} {b}} {\ Bigr)} {\ Bigr]}}$ , where $B α {\displaystyle B_{\alpha }}$ ${\ displaystyle B _ {\ alpha }}$ is the incomplete beta function.

Log-Laplace distribution

If the payoff of a portfolio $X {\displaystyle X}$ $X$ follows log-Laplace distribution, i.e. the random variable $ln ⁡ ( 1 + X) {\displaystyle \ln(1+X)}$ ${\ displaystyle \ ln (1 + X)}$ follows Laplace distribution the p.d.f. $f ( x) = 1 2 b e − | x - μ | b {\displaystyle f(x)={\frac {1}{2b}}e^{-{\frac {|x-\mu |}{b}}}}$ ${ \ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {2b}} e ^ {- {\ frac {| x- \ mu |} {b}}}}$ , then the expected shortfall is equal to $E ⁡ S α ( X) = { 1 − e μ ( 2 α) b b + 1 if α ≤ 0.5, 1 − e μ 2 − b α ( b − 1) [ ( 1 − α) ( 1 − b) − 1 ] if α>0.5. {\displaystyle \operatorname {E} S_{\alpha }(X)={\begin{cases}1-{\frac {e^{\mu }(2\alpha)^{b}}{b+1}}{\text{if }}\alpha \leq 0.5,\\1-{\frac {e^{\mu }2^{-b}}{\alpha (b-1)}}{\big [}(1-\alpha)^{(1-b)}-1{\big ]}{\text{if }}\alpha>0.5.\end{cases}}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {E} S _ {\ alpha} (X) = {\ begin {cases} 1- {\ frac {e ^ {\ mu} (2 \ alpha) ^ {b}} {b + 1}} {\ text {if}} \ alpha \ leq 0.5, \\ 1 - {\ frac {e ^ {\ mu} 2 ^ {- b}} {\ alpha (b-1)}} {\ big [} (1- \ alpha) ^ {(1-b)} - 1 {\ big]} {\ text {if}} \ alpha>0,5. \ end {cases}}}$ .

Log-generalized hyperbolic secant (log-GHS) distribution

If the payoff of a portfolio $X {\displaystyle X}$ $X$ follows log-GHS distribution, i.e. the random variable $ln ⁡ ( 1 + X) {\displaystyle \ln(1+X)}$ ${\ displaystyle \ ln (1 + X)}$ follows GHS distribution with the p.d.f. $f ( x) = 1 2 σ sech ⁡ ( π 2 x − μ σ) {\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\sigma }}\operatorname {sech} ({\frac {\pi }{2}}{\frac {x-\mu }{\sigma }})}$ ${\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {2 \ sigma}} \ operatorname {sech} ({\ frac {\ pi} {2} } {\ frac {x- \ mu} {\ sigma}})}$ , then the expected shortfall is equal to $E ⁡ S α ( X) = 1 − 1 α ( σ + π / 2) ( tan ⁡ π α 2 exp ⁡ π μ 2 σ) 2 σ / π tan ⁡ π α 2 2 F 1 ( 1, 1 2 + σ π ; 3 2 + σ π ; − tan ⁡ ( π α 2) 2) {\displaystyle \operatorname {E} S_{\alpha }(X)=1-{\frac {1}{\alpha (\sigma +{\pi /2})}}{\Big (}\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}\exp {\frac {\pi \mu }{2\sigma }}{\Big)}^{2\sigma /\pi }\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}{_{2}F_{1}}{\Big (}1,{\frac {1}{2}}+{\frac {\sigma }{\pi }};{\frac {3}{2}}+{\frac {\sigma }{\pi }};-\tan {\big (}{\frac {\pi \alpha }{2}}{\big)}^{2}{\Big)}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {E} S _ {\ alpha} (X) = 1 - {\ frac { 1} {\ alpha (\ sigma + {\ pi / 2})}} {\ Big (} \ tan {\ frac {\ pi \ alpha} {2}} \ exp {\ frac {\ pi \ mu} { 2 \ sigma}} {\ Big)} ^ {2 \ sigma / \ pi} \ tan {\ frac {\ pi \ alpha} {2}} {_ {2} F_ {1}} {\ Big (} 1, {\ frac {1} {2}} + {\ frac {\ sigma} {\ pi}}; {\ frac {3} {2}} + {\ frac {\ sigma} {\ pi}}; - \ tan {\ big (} {\ frac {\ pi \ alpha} {2}} {\ big)} ^ {2} {\ Big)}}$ , where $2 F 1 {\displaystyle _{2}F_{1}}$ $_ {2} F_ {1}$ is the hypergeometric function.

Dynamic expected shortfall

The conditional version of the expected shortfall at the time t is defined by

E ⁡ S α t ( X) = e s s sup Q ∈ Q α t ⁡ E Q [ − X ∣ F t ] {\displaystyle \operatorname {E} S_{\alpha }^{t}(X)=\operatorname {ess\sup } _{Q\in {\mathcal {Q}}_{\alpha } ^ {t}} E ^ {Q} [- X \ mid {\ mathcal {F}} _ {t}]}

{\ displaystyle \ operatorname {E} S _ {\ alpha} ^ {t} (X) = \ operatorname {ess \ sup} _ {Q \ in {\ mathcal {Q}} _ {\ alpha} ^ {t}} E ^ { Q} [- X \ mid {\ mathcal {F}} _ {t}]}

где $Q α t = {Q = P | F t: d Q d P ≤ α t - 1 п.н. } {\ displaystyle {\ mathcal {Q}} _ {\ alpha} ^ {t} = \ {Q = P \, \ vert _ {{\ mathcal {F}} _ {t}}: {\ frac {dQ } {dP}} \ leq \ alpha _ {t} ^ {- 1} {\ text {as}} \}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {Q}} _ {\ alpha} ^ {t} = \ {Q = P \, \ vert _ {{\ mathcal {F}} _ {t}}: { \ frac {dQ} {dP}} \ leq \ alpha _ {t} ^ {- 1} {\ text {as}} \}}$ .

Это не согласованная во времени мера риска. Согласованная по времени версия дается формулой

ρ α t (X) = ess sup Q ∈ Q ~ α t ⁡ EQ [- X ∣ F t] {\ displaystyle \ rho _ {\ alpha} ^ {t} ( X) = \ operatorname {ess \ sup} _ {Q \ in {\ tilde {\ mathcal {Q}}} _ {\ alpha} ^ {t}} E ^ {Q} [- X \ mid {\ mathcal { F}} _ {t}]}

{\ displaystyle \ rho _ {\ alpha} ^ {t} (X) = \ operatorname {ess \ sup} _ { Q \ in {\ tilde {\ mathcal {Q}}} _ {\ alpha} ^ {t}} E ^ {Q} [- X \ mid {\ mathcal {F}} _ {t}]}

такое, что

Q ~ α t = {Q ≪ P: E ⁡ [d Q d P ∣ F τ + 1] ≤ α t - 1 E ⁡ [d Q d P ∣ F τ] ∀ τ ≥ t, поскольку }. {\ displaystyle {\ tilde {\ mathcal {Q}}} _ {\ alpha} ^ {t} = \ left \ {Q \ ll P: \ operatorname {E} \ left [{\ frac {dQ} {dP} } \ mid {\ mathcal {F}} _ {\ tau +1} \ right] \ leq \ alpha _ {t} ^ {- 1} \ operatorname {E} \ left [{\ frac {dQ} {dP} } \ mid {\ mathcal {F}} _ {\ tau} \ right] \; \ forall \ tau \ geq t {\ text {as}} \ right \}.}

{\ displaystyle {\ tilde {\ mathcal {Q}}} _ {\ alpha} ^ {t} = \ left \ {Q \ ll P: \ operatorname {E} \ left [{\ frac {dQ} {dP}} \ mid {\ mathcal {F}} _ {\ tau +1} \ right] \ leq \ alpha _ {t} ^ {- 1} \ operatorname {E} \ left [{\ frac {dQ} {dP}} \ mid {\ mathcal {F}} _ {\ tau} \ right] \; \ forall \ tau \ geq t {\ text {as}} \ right \}.}

См. также

Связанный риск мера
EMP для стохастического программирования - технология решения задач оптимизации, связанных с ES и VaR
Entropic value at risk
Value at risk

Методы статистической оценки VaR и ES можно найти в Embrechts и другие. и Новак. При прогнозировании VaR и ES или оптимизации портфелей для минимизации хвостового риска важно учитывать асимметричную зависимость и отклонения в распределении доходности акций, такие как авторегрессия, асимметричная волатильность, асимметрия и эксцесс.

Список литературы

Внешние ссылки