Современная теория портфеля ( MPT), или анализ среднего отклонения, представляет собой математическую основу для построения портфеля активов таким образом, чтобы ожидаемая доходность была максимальной для заданного уровня риска. Это формализация и расширение диверсификации инвестирования, идея о том, что владение разными видами финансовых активов менее рискованно, чем владение только одним типом. Его основная идея заключается в том, что риск и доходность актива должны оцениваться не сами по себе, а по тому, как он влияет на общий риск и доходность портфеля. В качестве показателя риска он использует дисперсию цен на активы.
Экономист Гарри Марковиц представил MPT в эссе 1952 года, за которое позже был удостоен Нобелевской премии по экономическим наукам ; см. модель Марковица.
MPT предполагает, что инвесторы не склонны к риску, а это означает, что при двух портфелях, предлагающих одинаковую ожидаемую доходность, инвесторы предпочтут менее рискованный. Таким образом, инвестор возьмет на себя повышенный риск только в том случае, если он будет компенсирован более высокой ожидаемой доходностью. И наоборот, инвестор, желающий получить более высокую ожидаемую доходность, должен принимать на себя больший риск. Точный компромисс не будет одинаковым для всех инвесторов. Разные инвесторы будут оценивать компромисс по-разному в зависимости от индивидуальных характеристик неприятия риска. Подразумевается, что рациональный инвестор не будет инвестировать в портфель, если существует второй портфель с более благоприятным профилем ожидаемой доходности, т. Е. Если для этого уровня риска существует альтернативный портфель с более ожидаемой доходностью.
Под моделью:
В основном:
Для портфеля из двух активов:
Для портфеля из трех активов:
Инвестор может снизить риск портфеля, просто удерживая комбинации инструментов, которые не имеют идеальной положительной корреляции ( коэффициент корреляции ). Другими словами, инвесторы могут снизить свою подверженность риску отдельных активов, имея диверсифицированный портфель активов. Диверсификация может позволить получить ту же ожидаемую доходность портфеля с меньшим риском. Модель среднего отклонения для построения оптимальных инвестиционных портфелей была впервые предложена Марковицем и с тех пор была усилена и улучшена другими экономистами и математиками, которые впоследствии учли ограничения этой схемы.
Если все пары активов имеют корреляцию 0 - они совершенно некоррелированы - дисперсия доходности портфеля представляет собой сумму по всем активам квадрата доли, удерживаемой в активе, умноженной на дисперсию доходности актива (а стандартное отклонение портфеля - это квадратный корень от этой суммы).
Если все пары активов имеют корреляцию 1 - они совершенно положительно коррелированы, - тогда стандартное отклонение доходности портфеля представляет собой сумму стандартных отклонений доходности активов, взвешенных по долям, содержащимся в портфеле. Для данного веса портфеля и данных стандартных отклонений доходности активов случай, когда все корреляции равны 1, дает максимально возможное стандартное отклонение доходности портфеля.
MPT - это теория средней дисперсии, которая сравнивает ожидаемую (среднюю) доходность портфеля с дисперсией того же портфеля. Изображение показывает ожидаемую доходность по вертикальной оси, а по горизонтальной оси следует пометить дисперсию, а не стандартное отклонение (волатильность). Дисперсия - это квадрат волатильности. Пространство дисперсии доходности иногда называют пространством «ожидаемая доходность против риска». Каждую возможную комбинацию рискованных активов можно отобразить в этом пространстве ожидаемой доходности, а совокупность всех таких возможных портфелей определяет регион в этом пространстве. Левая граница этой области является параболической, а верхняя часть параболической границы является эффективной границей в отсутствие безрискового актива (иногда называемого «пулей Марковица»). Комбинации вдоль этого верхнего края представляют собой портфели (включая отсутствие холдингов безрисковых активов), для которых существует наименьший риск для данного уровня ожидаемой доходности. Точно так же портфель, лежащий на границе эффективности, представляет собой комбинацию, предлагающую наилучшую возможную ожидаемую доходность для данного уровня риска. Касательной к верхней части параболической границы является линия распределения капитала (CAL).
Для расчета эффективной границы предпочтительнее использовать матрицы.
В матричной форме для заданного «допуска к риску» эффективная граница находится путем минимизации следующего выражения:
куда
Вышеупомянутая оптимизация находит точку на границе, в которой обратный наклон границы будет q, если дисперсия доходности портфеля вместо стандартного отклонения была нанесена горизонтально. Граница в целом является параметрической по q.
Гарри Марковиц разработал специальную процедуру для решения вышеупомянутой проблемы, называемую алгоритмом критической линии, который может обрабатывать дополнительные линейные ограничения, верхние и нижние границы активов, и который, как было доказано, работает с полуположительной определенной ковариационной матрицей. Примеры реализации алгоритма критической линии существуют в Visual Basic для приложений, в JavaScript и на некоторых других языках.
Кроме того, многие программные пакеты, включая MATLAB, Microsoft Excel, Mathematica и R, предоставляют общие процедуры оптимизации, так что их можно использовать для решения вышеуказанной проблемы с потенциальными оговорками (низкая числовая точность, требование положительной определенности ковариационной матрицы....).
Альтернативный подход к определению эффективной границы состоит в том, чтобы сделать это параметрически на основе ожидаемой доходности портфеля. Эта версия проблемы требует, чтобы мы минимизировали
при условии
для параметра. Эта проблема легко решается с помощью множителя Лагранжа, который приводит к следующей линейной системе уравнений:
Одним из ключевых результатов приведенного выше анализа является теорема о двух взаимных фондах. Эта теорема утверждает, что любой портфель на эффективной границе может быть сгенерирован путем удержания комбинации любых двух данных портфелей на границе; последние два заданных портфеля - это «паевые инвестиционные фонды» в названии теоремы. Таким образом, в отсутствие безрискового актива инвестор может получить любой желаемый эффективный портфель, даже если все, что доступно, - это пара эффективных паевых инвестиционных фондов. Если желаемый портфель находится на границе между местоположениями двух паевых инвестиционных фондов, оба паевых инвестиционных фонда будут храниться в положительных количествах. Если желаемый портфель выходит за пределы диапазона, охватываемого двумя взаимными фондами, то один из паевых инвестиционных фондов должен быть продан коротко (удерживаться в отрицательном количестве), в то время как размер инвестиций в другой паевой фонд должен быть больше суммы, доступной для инвестиции (избыток финансируется за счет заимствования из другого фонда).
Безрисковый актив - это (гипотетический) актив, по которому выплачивается безрисковая ставка. На практике краткосрочные государственные ценные бумаги (такие как казначейские векселя США) используются как безрисковые активы, поскольку они выплачивают фиксированную процентную ставку и имеют исключительно низкий риск дефолта. Безрисковый актив имеет нулевую дисперсию доходности (следовательно, безрисковый); он также не коррелирует с любым другим активом (по определению, поскольку его дисперсия равна нулю). В результате, когда он комбинируется с любым другим активом или портфелем активов, изменение доходности линейно связано с изменением риска, поскольку пропорции в комбинации меняются.
Когда вводится безрисковый актив, показанная на рисунке половина линии представляет собой новую границу эффективности. Он касается параболы чистого рискованного портфеля с наивысшим коэффициентом Шарпа. Его вертикальное пересечение представляет собой портфель со 100% долей в безрисковых активах; касание с параболой представляет собой портфель без безрисковых владений и 100% активов, находящихся в портфеле, возникающих в точке касания; точки между этими точками - это портфели, содержащие положительные суммы как портфеля рискованного касания, так и безрискового актива; а точки на полуоси за точкой касания - это портфели, включающие отрицательные запасы безрискового актива и сумму, вложенную в портфель касания, равную более чем 100% начального капитала инвестора. Эта эффективная половина линии называется линией распределения капитала (CAL), и ее формула может быть представлена следующим образом:
В этой формуле Р является суб-портфель рискованных активов по касанию с пулей Марковица, F является безрисковым активом, и C представляет собой комбинацию портфелей P и F.
Судя по диаграмме, введение безрискового актива в качестве возможного компонента портфеля улучшило диапазон доступных комбинаций ожидаемой доходности и риска, потому что везде, кроме касательного портфеля, полулиня дает более высокую ожидаемую доходность, чем парабола. делает на всех возможных уровнях риска. Тот факт, что все точки на линейном эффективном локусе могут быть достигнуты путем комбинации владений безрисковым активом и касательным портфелем, известен как теорема об одном взаимном фонде, где упомянутый паевой инвестиционный фонд является касательным портфелем.
Приведенный выше анализ описывает оптимальное поведение отдельного инвестора. Теория ценообразования активов строится на этом анализе следующим образом. Поскольку все держат рискованные активы в одинаковых пропорциях, а именно в пропорциях, заданных касательным портфелем, в рыночном равновесии цены на рискованные активы и, следовательно, их ожидаемая доходность будут корректироваться таким образом, чтобы соотношения в касательном портфеле были равны такие же, как и коэффициенты, в которых рисковые активы поставляются на рынок. Таким образом, относительное предложение будет равно относительному спросу. В этом контексте MPT получает требуемую ожидаемую доходность для актива с правильной оценкой.
Конкретный риск - это риск, связанный с отдельными активами - в рамках портфеля эти риски могут быть уменьшены за счет диверсификации (конкретные риски «нейтрализуются»). Специфический риск также называется диверсифицируемым, уникальным, несистематическим или идиосинкразическим риском. Систематический риск (также известный как портфельный риск или рыночный риск) относится к риску, общему для всех ценных бумаг - за исключением короткой продажи, как указано ниже, систематический риск нельзя диверсифицировать (в пределах одного рынка). Внутри рыночного портфеля риск, связанный с конкретным активом, будет максимально диверсифицирован. Таким образом, систематический риск приравнивается к риску (стандартному отклонению) рыночного портфеля.
Поскольку ценная бумага будет куплена только в том случае, если она улучшает характеристики рыночного портфеля, связанные с ожидаемой доходностью, соответствующей мерой риска ценной бумаги является риск, который она добавляет к рыночному портфелю, а не отдельный риск. В этом контексте волатильность актива и его корреляция с рыночным портфелем наблюдаются исторически и поэтому приводятся. (Существует несколько подходов к ценообразованию активов, которые пытаются оценить активы путем моделирования стохастических свойств моментов доходности активов - в широком смысле они называются моделями условного ценообразования активов.)
Систематическими рисками на одном рынке можно управлять с помощью стратегии использования как длинных, так и коротких позиций в одном портфеле, создавая «рыночно нейтральный» портфель. Таким образом, рыночно-нейтральные портфели не будут коррелировать с более широкими рыночными индексами.
Возврат актива зависит от суммы, уплаченной за актив сегодня. Уплаченная цена должна обеспечивать улучшение характеристик рыночного портфеля по риску / доходности при добавлении к нему актива. САРМ представляет собой модель, которая возникает теоретическая требуется ожидаемая доходность (т.е. ставка дисконтирования) для актива на рынке, учитывая безрисковую ставку доступна для инвесторов и риск на рынке в целом. CAPM обычно выражается:
Вывод выглядит следующим образом:
(1) Дополнительное влияние на риск и ожидаемую доходность при добавлении дополнительного рискованного актива a к рыночному портфелю m следует из формул для портфеля из двух активов. Эти результаты используются для получения ставки дисконтирования, соответствующей активу.
(2) Если актив, a, правильно оценен, улучшение его отношения риска к ожидаемой доходности, достигаемое за счет добавления его в рыночный портфель, m, будет по крайней мере соответствовать выгоде от траты этих денег на увеличенную долю в рыночный портфель. Предполагается, что инвестор приобретет актив на средства, привлеченные по безрисковой ставке,; это рационально, если.
Это уравнение можно оценить статистически, используя следующее уравнение регрессии :
где α i называется альфа актива, β i - коэффициент бета актива, а SCL - характеристика безопасности.
После того, как ожидаемая доходность актива рассчитывается с использованием CAPM, будущие денежные потоки актива могут быть дисконтированы до их приведенной стоимости с использованием этой ставки, чтобы установить правильную цену актива. Более рискованные акции будут иметь более высокий бета-коэффициент и будут дисконтированы по более высокой ставке; менее чувствительные акции будут иметь более низкие бета-ставки и будут дисконтированы по более низкой ставке. Теоретически, актив правильно оценивается, если его наблюдаемая цена равна его стоимости, рассчитанной с использованием ставки дисконтирования, полученной в рамках CAPM. Если наблюдаемая цена выше оценки, то актив переоценен; он недооценен из-за слишком низкой цены.
Несмотря на теоретическую важность, критики MPT сомневаются в том, что это идеальный инвестиционный инструмент, потому что его модель финансовых рынков не соответствует реальному миру во многих отношениях.
Меры риска, доходности и корреляции, используемые MPT, основаны на ожидаемых значениях, что означает, что они являются статистическими заявлениями о будущем (ожидаемое значение доходности явно указано в приведенных выше уравнениях и неявно в определениях дисперсии и ковариации ). Такие меры часто не могут уловить истинные статистические характеристики риска и доходности, которые часто следуют сильно искаженному распределению (например, логнормальному распределению ) и могут вызвать, помимо снижения волатильности, также завышенный рост доходности. На практике инвесторы должны заменять эти значения в уравнениях прогнозами, основанными на исторических измерениях доходности активов и волатильности. Очень часто такие ожидаемые значения не учитывают новые обстоятельства, которых не существовало на момент создания исторических данных.
В более фундаментальном плане инвесторы застревают в оценке ключевых параметров на основе прошлых рыночных данных, потому что MPT пытается смоделировать риск с точки зрения вероятности убытков, но ничего не говорит о том, почему эти убытки могут возникнуть. Используемые измерения риска носят вероятностный, а не структурный характер. Это серьезное отличие от многих инженерных подходов к управлению рисками.
Теория опционов и MPT имеют по крайней мере одно важное концептуальное отличие от вероятностной оценки риска, проводимой атомными электростанциями. PRA - это то, что экономисты назвали бы структурной моделью. Компоненты системы и их отношения моделируются в симуляциях Монте-Карло. Если клапан X выходит из строя, это вызывает потерю противодавления в насосе Y, вызывая падение потока в резервуар Z и так далее.
Но в уравнении Блэка – Шоулза и MPT нет попытки объяснить лежащую в основе структуру изменениями цен. Различным исходам просто даны вероятности. И, в отличие от PRA, если нет истории конкретного события на системном уровне, такого как кризис ликвидности, нет способа вычислить его шансы. Если бы ядерные инженеры управляли рисками таким образом, они никогда не смогли бы вычислить шансы расплавления на конкретной станции до тех пор, пока не произойдет несколько аналогичных событий в той же конструкции реактора.
- Дуглас В. Хаббард, «Неудача в управлении рисками», стр. 67, John Wiley amp; Sons, 2009. ISBN 978-0-470-38795-5Математические измерения риска также полезны только в той степени, в которой они отражают истинные опасения инвесторов - нет смысла сводить к минимуму переменную, которая никого не интересует на практике. В частности, дисперсия - это симметричная мера, которая считает аномально высокую доходность столь же рискованной, как и аномально низкую доходность. Психологический феномен неприятия потерь - это идея о том, что инвесторы больше озабочены потерями, чем прибылью, а это означает, что наша интуитивная концепция риска по своей сути асимметрична. Многие другие меры риска (например, согласованные меры риска ) могут лучше отражать истинные предпочтения инвесторов.
Современная теория портфеля также подвергалась критике за то, что она предполагает, что доходность соответствует гауссовскому распределению. Уже в 1960-х годах Бенуа Мандельброт и Юджин Фама показали несостоятельность этого предположения и предложили вместо него использовать более общие стабильные распределения. Стефан Миттник и Светлозар Рачев представили стратегии для получения оптимальных портфелей в таких условиях. Совсем недавно Нассим Николас Талеб также подверг критике современную теорию портфолио на этом основании, написав:
После краха фондового рынка (в 1987 году) они наградили двух теоретиков, Гарри Марковица и Уильяма Шарпа, которые построили прекрасные платоновские модели на основе Гаусса, внося свой вклад в то, что называется современной теорией портфеля. Проще говоря, если вы удалите их гауссовские предположения и расцените цены как масштабируемые, вы останетесь в тупике. Нобелевский комитет мог бы протестировать модели Шарпа и Марковица - они работают как шарлатанские средства, продаваемые в Интернете, - но никто в Стокгольме, похоже, не подумал об этом.
-Противоположные инвесторы и ценные инвесторы обычно не придерживаются современной теории портфеля. Одно из возражений состоит в том, что MPT опирается на гипотезу эффективного рынка и использует колебания цены акций в качестве замены риска.
В нескольких исследованиях утверждается, что «наивная диверсификация», делающая капитал поровну между доступными вариантами инвестирования, может иметь преимущества перед MPT в некоторых ситуациях.
С момента появления MPT в 1952 году было предпринято множество попыток улучшить модель, особенно с использованием более реалистичных предположений.
Постмодернистская теория портфеля расширяет MPT, принимая ненормально распределенные, асимметричные и толстые меры риска. Это помогает с некоторыми из этих проблем, но не с другими.
Оптимизация модели Блэка – Литтермана - это расширение неограниченной оптимизации Марковица, которая включает относительные и абсолютные «взгляды» на входные данные о риске и прибыли от.
Современная портфельная теория не согласуется с основными аксиомами теории рационального выбора, в первую очередь с монотонности аксиомой, заявив, что, если инвестиции в портфель X будет, с вероятностью единица, возврат денег больше, чем инвестиции в портфель Y, то рациональный инвестор должен предпочесть X в Y. Напротив, современная теория портфеля основана на другой аксиоме, называемой неприятием дисперсии, и может рекомендовать инвестировать в Y на том основании, что она имеет более низкую дисперсию. Maccheroni et al. описала теорию выбора, наиболее близкую к современной теории портфеля, но удовлетворяющую аксиоме монотонности. В качестве альтернативы, анализ среднего отклонения - это теория рационального выбора, возникающая в результате замены дисперсии соответствующей мерой риска отклонения.
В 1970-е годы концепции MPT нашли свое применение в области региональной науки. В серии основополагающих работ Майкл Конрой смоделировал рабочую силу в экономике, используя теоретико-портфельные методы для изучения роста и изменчивости рабочей силы. За этим последовала обширная литература о взаимосвязи между экономическим ростом и волатильностью.
Совсем недавно современная теория портфолио использовалась для моделирования Я-концепции в социальной психологии. Когда атрибуты «я», составляющие самооценку, составляют хорошо диверсифицированный портфель, тогда психологические результаты на уровне индивида, такие как настроение и самооценка, должны быть более стабильными, чем когда самооценка недиверсифицирована. Это предсказание было подтверждено исследованиями с участием людей.
В последнее время современная теория портфолио была применена для моделирования неопределенности и корреляции между документами при поиске информации. Учитывая запрос, цель состоит в том, чтобы максимизировать общую релевантность ранжированного списка документов и в то же время минимизировать общую неопределенность ранжированного списка.
Некоторые эксперты применяют MPT к портфелям проектов и другим активам помимо финансовых инструментов. Когда MPT применяется вне традиционных финансовых портфелей, необходимо учитывать некоторые различия между разными типами портфелей.
Ни то, ни другое не исключает возможности использования MPT и подобных портфелей. Они просто указывают на необходимость запустить оптимизацию с дополнительным набором математически выраженных ограничений, которые обычно не применяются к финансовым портфелям.
Более того, некоторые из простейших элементов современной теории портфелей применимы практически к любому типу портфолио. Концепция определения толерантности инвестора к риску путем документирования того, насколько приемлемый риск для данной доходности, может быть применена к множеству задач анализа решений. MPT использует историческую дисперсию в качестве меры риска, но портфели активов, такие как крупные проекты, не имеют четко определенной «исторической дисперсии». В этом случае граница инвестиций MPT может быть выражена в более общих терминах, например, «вероятность того, что рентабельность инвестиций будет меньше стоимости капитала» или «вероятность потерять более половины инвестиций». Когда риск выражается в неопределенности прогнозов и возможных убытков, тогда концепция может быть перенесена на различные типы инвестиций.