Функция Спенса

«Li2» перенаправляется сюда. Для молекулы с формулой Li 2 см дилитий. Смотрите также: полилогарифм § Дилогарифм Дилогарифм по действительной оси

В математике, дилогарифм или дилогарифм, обозначенный как Li 2 ( г), является частным случаем полилогарифма. Две связанные специальные функции называются функцией Спенса, самим дилогарифмом:

${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {2} (z) = - \ int _ {0} ^ {z} {\ ln (1-u) \ over u} \, du {\ text {,}} z \ in \ mathbb {C}}$

и его отражение. Для бесконечного ряда также применимо (интегральное определение представляет собой его аналитическое расширение на комплексную плоскость): ${\ Displaystyle | г | lt;1}$

${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {2} (z) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {z ^ {k} \ over k ^ {2}}.}$

В качестве альтернативы функция дилогарифма иногда определяется как

${\ displaystyle \ int _ {1} ^ {v} {\ frac {\ ln t} {1-t}} dt = \ operatorname {Li} _ {2} (1-v).}$

В гиперболической геометрии дилогарифм происходит как гиперболический объем в качестве идеального симплекс которого идеально подходит вершина имеет поперечное соотношение. Функция Лобачевского и функция Клаузена тесно связанные с ними функции. ${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {2} (z)}$ ${\ displaystyle z}$

Уильям Спенс, в честь которого эта функция была названа ранними авторами в этой области, был шотландским математиком, работавшим в начале девятнадцатого века. Он учился в школе с Джоном Голтом, который позже написал биографическое эссе о Спенсе.

• 1 Аналитическая структура
• 2 идентичности
• 3 Особые ценностные идентичности
• 4 Особые значения
• 5 В физике элементарных частиц
• 6 Примечания
• 7 ссылки
• 8 Дальнейшее чтение
• 9 Внешние ссылки

Используя предыдущее определение выше, функция дилогарифма аналитична всюду на комплексной плоскости, кроме точки, где она имеет логарифмическую точку ветвления. Стандартный выбор сечения ветви - по положительной действительной оси. Однако функция является непрерывной в точке ветвления и принимает значение. ${\ displaystyle z = 1}$${\ displaystyle (1, \ infty)}$${\ Displaystyle \ OperatorName {Li} _ {2} (1) = \ pi ^ {2} / 6}$

${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {2} (z) + \ operatorname {Li} _ {2} (- z) = {\ frac {1} {2}} \ operatorname {Li} _ {2} ( z ^ {2}).}$

${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {2} (1-z) + \ operatorname {Li} _ {2} \ left (1 - {\ frac {1} {z}} \ right) = - {\ frac {\ ln ^ {2} z} {2}}.}$

${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {2} (z) + \ operatorname {Li} _ {2} (1-z) = {\ frac {{\ pi} ^ {2}} {6}} - \ ln z \ cdot \ ln (1-z).}$

${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {2} (- z) - \ operatorname {Li} _ {2} (1-z) + {\ frac {1} {2}} \ operatorname {Li} _ {2 } (1-z ^ {2}) = - {\ frac {{\ pi} ^ {2}} {12}} - \ ln z \ cdot \ ln (z + 1).}$

${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {2} (z) + \ operatorname {Li} _ {2} \ left ({\ frac {1} {z}} \ right) = - {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}} - {\ frac {\ ln ^ {2} (- z)} {2}}.}$

${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {2} \ left ({\ frac {1} {3}} \ right) - {\ frac {1} {6}} \ operatorname {Li} _ {2} \ left ({\ frac {1} {9}} \ right) = {\ frac {{\ pi} ^ {2}} {18}} - {\ frac {\ ln ^ {2} 3} {6}}. }$

${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {2} \ left (- {\ frac {1} {3}} \ right) - {\ frac {1} {3}} \ operatorname {Li} _ {2} \ left ({\ frac {1} {9}} \ right) = - {\ frac {{\ pi} ^ {2}} {18}} + {\ frac {\ ln ^ {2} 3} {6} }.}$

${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {2} \ left (- {\ frac {1} {2}} \ right) + {\ frac {1} {6}} \ operatorname {Li} _ {2} \ left ({\ frac {1} {9}} \ right) = - {\ frac {{\ pi} ^ {2}} {18}} + \ ln 2 \ cdot \ ln 3 - {\ frac {\ ln ^ {2} 2} {2}} - {\ frac {\ ln ^ {2} 3} {3}}.}$

${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {2} \ left ({\ frac {1} {4}} \ right) + {\ frac {1} {3}} \ operatorname {Li} _ {2} \ left ({\ frac {1} {9}} \ right) = {\ frac {{\ pi} ^ {2}} {18}} + 2 \ ln 2 \ ln 3-2 \ ln ^ {2} 2- {\ frac {2} {3}} \ ln ^ {2} 3.}$

${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {2} \ left (- {\ frac {1} {8}} \ right) + \ operatorname {Li} _ {2} \ left ({\ frac {1} {9 }} \ right) = - {\ frac {1} {2}} \ ln ^ {2} {\ frac {9} {8}}.}$

${\ displaystyle 36 \ operatorname {Li} _ {2} \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) -36 \ operatorname {Li} _ {2} \ left ({\ frac {1} { 4}} \ right) -12 \ operatorname {Li} _ {2} \ left ({\ frac {1} {8}} \ right) +6 \ operatorname {Li} _ {2} \ left ({\ frac {1} {64}} \ right) = {\ pi} ^ {2}.}$

${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {2} (- 1) = - {\ frac {{\ pi} ^ {2}} {12}}.}$

${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {2} (0) = 0.}$

${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {2} \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) = {\ frac {{\ pi} ^ {2}} {12}} - {\ frac {\ ln ^ {2} 2} {2}}.}$

${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {2} (1) = \ zeta (2) = {\ frac {{\ pi} ^ {2}} {6}},}$где - дзета-функция Римана. ${\ displaystyle \ zeta (s)}$

${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {2} (2) = {\ frac {{\ pi} ^ {2}} {4}} - i \ pi \ ln 2.}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {Li} _ {2} \ left (- {\ frac {{\ sqrt {5}} - 1} {2}} \ right) amp; = - {\ frac { {\ pi} ^ {2}} {15}} + {\ frac {1} {2}} \ ln ^ {2} {\ frac {{\ sqrt {5}} + 1} {2}} \\ amp; = - {\ frac {{\ pi} ^ {2}} {15}} + {\ frac {1} {2}} \ operatorname {arcsch} ^ {2} 2. \ end {align}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {Li} _ {2} \ left (- {\ frac {{\ sqrt {5}} + 1} {2}} \ right) amp; = - {\ frac { {\ pi} ^ {2}} {10}} - \ ln ^ {2} {\ frac {{\ sqrt {5}} + 1} {2}} \\ amp; = - {\ frac {{\ pi } ^ {2}} {10}} - \ operatorname {arcsch} ^ {2} 2. \ end {align}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {Li} _ {2} \ left ({\ frac {3 - {\ sqrt {5}}} {2}} \ right) amp; = {\ frac {{\ pi} ^ {2}} {15}} - \ ln ^ {2} {\ frac {{\ sqrt {5}} + 1} {2}} \\ amp; = {\ frac {{\ pi} ^ { 2}} {15}} - \ operatorname {arcsch} ^ {2} 2. \ end {align}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {Li} _ {2} \ left ({\ frac {{\ sqrt {5}} - 1} {2}} \ right) amp; = {\ frac {{\ pi} ^ {2}} {10}} - \ ln ^ {2} {\ frac {{\ sqrt {5}} + 1} {2}} \\ amp; = {\ frac {{\ pi} ^ { 2}} {10}} - \ operatorname {arcsch} ^ {2} 2. \ end {align}}}$

Функция Спенса часто встречается в физике элементарных частиц при вычислении радиационных поправок. В этом контексте функция часто определяется с абсолютным значением внутри логарифма:

${\ displaystyle \ operatorname {\ Phi} (x) = - \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {\ ln | 1-u |} {u}} \, du = {\ begin {cases} \ operatorname {Li} _ {2} (x), amp; x \ leq 1; \\ {\ frac {\ pi ^ {2}} {3}} - {\ frac {1} {2}} \ ln ^ { 2} (x) - \ operatorname {Li} _ {2} ({\ frac {1} {x}}), amp; xgt; 1. \ end {cases}}}$

• Левин, Л. (1958). Дилогарифмы и связанные с ними функции. Предисловие JCP Miller. Лондон: Макдональд. Руководство по ремонту   0105524.
• Моррис, Роберт (1979). «Функция дилогарифма действительного аргумента». Математика. Комп. 33 (146): 778–787. DOI : 10.1090 / S0025-5718-1979-0521291-X. Руководство по ремонту   0521291.
• Локстон, Дж. Х (1984). «Особые значения дилогарифма». Acta Arith. 18 (2): 155–166. DOI : 10,4064 / аа-43-2-155-166. Руководство по ремонту   0736728.
• Кириллов, Анатолий Н. (1995). «Дилогарифм тождеств». Приложение "Прогресс теоретической физики". 118: 61–142. arXiv : hep-th / 9408113. Bibcode : 1995PThPS.118... 61K. DOI : 10.1143 / PTPS.118.61.
• Осакар, Карлос; Паласиан, Иисус; Паласиос, Мануэль (1995). «Численная оценка дилогарифма комплексного аргумента». Селест. Мех. Дин. Astron. 62 (1): 93–98. Bibcode : 1995CeMDA..62... 93O. DOI : 10.1007 / BF00692071.
• Загир, Дон (2007). «Функция дилогарифма». У Пьера Картье; Пьер Мусса; Бернар Джулия; Пьер Ванхов (ред.). Границы теории чисел, физики и геометрии II (PDF). С. 3–65. DOI : 10.1007 / 978-3-540-30308-4_1. ISBN   978-3-540-30308-4.

• Блох, Спенсер Дж. (2000). Высшие регуляторы, алгебраическая K- теория и дзета-функции эллиптических кривых. Серия монографий CRM. 11. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN   0-8218-2114-8. Zbl   0958.19001.

• Цифровая библиотека математических функций NIST: Дилогарифм
• Вайсштейн, Эрик В. «Дилогарифм». MathWorld.