Логико-логистическое распределение

редактировать

Логистическое
Функция плотности вероятности $α = 1, {\ displaystyle \ alpha = 1,}$ $\ alpha = 1,$ значения $β {\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ , как показано в легенде
Кумулятивная функция распределения $α = 1, {\ displaystyle \ alpha = 1,}$ $\ alpha = 1,$ значения $β {\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ , как показано в легенде
Параметры	$α>0 {\ displaystyle \ alpha>0}$ $\alpha>0$ scale. $β>0 {\ displaystyle \ beta>0}$ $\beta>0$ shape
Поддержка	$x ∈ [0, ∞) {\ displaystyle x \ in [0, \ infty)}$ $x \ in [0, \ infty)$
PDF	$(β / α) (x / α) β - 1 (1 + (x / α) β) 2 {\ displaystyle {\ frac {(\ beta / \ alpha) (x / \ alpha) ^ {\ beta -1}} {\ left (1+ (x / \ alpha) ^ {\ beta} \ right) ^ {2}}}}$ $\ frac {(\ beta / \ alpha) (x / \ alpha) ^ {\ beta -1}} {\ left (1+ (x / \ alpha) ^ {\ beta} \ right) ^ 2}$
CDF	$1 1 + (x / α) - β {\ displaystyle {1 \ более 1+ (x / \ alpha) ^ {- \ beta}}}$ ${1 \ более 1+ (x / \ alpha) ^ {- \ beta}}$
Среднее	$α π / β sin ⁡ (π / β) {\ displaystyle {\ alpha \, \ pi / \ beta \ over \ sin (\ pi / \ beta)}}$ ${\ alpha \, \ pi / \ beta \ over \ sin (\ pi / \ beta)}$ . если $β>1 {\ displaystyle \ beta>1}$ $\beta>1$ , иначе не определено
Медиана	$α {\ displaystyle \ alpha \,}$ $\ alpha \,$
Режим	$α (β - 1 β + 1) 1 / β {\ displaystyle \ alpha \ left ({\ frac {\ beta -1} {\ beta +1}} \ right) ^ {1 / \ beta}}$ $\ alpha \ left (\ frac {\ beta-1} {\ beta + 1} \ right) ^ {1 / \ beta}$ . если $β>1 {\ displaystyle \ beta>1}$ $\beta>1$ , 0 в противном случае
Дисперсия	См. основной текст
MGF	$β α - β - 0 ∞ etxx 1 (1 + (x / α) β) 2 dx {\ displaystyle \ beta \ alpha ^ {- \ beta} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {tx} x ^ {\ beta -1}} { (1+ (x / \ alpha) ^ {\ beta}) ^ {2}}} dx}$ ${\ displaystyle \ beta \ alpha ^ {- \ beta} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {tx} x ^ {\ beta -1}} {(1+ (x / \ alpha) ^ { \ beta}) ^ {2}}} dx}$ $= ∑ n = 0 ∞ (α t) n n! В (1 + N β, 1 - N β) {\ displaystyle = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(\ alpha t) ^ {n}} {n!}} \ Mathrm {B} (1 + {\ frac {n} {\ beta}}, 1 - {\ frac {n} {\ beta}})}$ ${\ displaystyle = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(\ alpha t) ^ {n}} {n!}} \ mathrm {B} (1 + {\ frac {n} {\ beta} }, 1 - {\ frac {n} {\ beta}})}$ , где $B {\ displaystyle \ mathrm { B}}$ $\ Beta$ - бета-функция.
CF	$β α - β ∫ 0 ∞ eitxx β - 1 (1 + (x / α) β) 2 dx {\ displaystyle \ beta \ alpha ^ {- \ beta} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {itx} x ^ {\ beta -1}} {(1+ (x / \ alpha) ^ {\ beta}) ^ {2}}} dx}$ ${\ displaystyle \ beta \ alpha ^ {- \ beta} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {itx} x ^ {\ beta -1}} {(1+ (x / \ alpha) ^ {\ beta}) ^ {2}}} dx}$ $= ∑ n = 0 ∞ (i α t) nn! В (1 + N β, 1 - N β) {\ displaystyle = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(i \ alpha t) ^ {n}} {n!}} \ mathrm {B} (1 + {\ frac {n} {\ beta}}, 1 - {\ frac {n} {\ beta}})}$ ${\ displaystyle = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(i \ alpha t) ^ {n}} {n!}} \ mathrm {B} (1 + {\ frac {n} {\ beta}}, 1- {\ frac {n} {\ beta}})}$ где $B {\ displaystyle \ mathrm {B}}$ $\ Beta$ - это бета-функция.

В вероятности и статистике лог-логистическое распределение (известное поскольку распределение Фиска в экономике ) является непрерывным распределением вероятностей для неотрицательной случайной величины. Он используется в анализе выживаемости как параметрическая модель для событий, частота которых сначала увеличивается, а затем снижается, например, коэффициент смертности от рака после постановки диагноза или лечение. Он также использовался в гидрологии для моделирования стока и осадков, в экономике как простая модель распределения богатства или доход и в сети для моделирования времени передачи данных с учетом как сети, так и программного обеспечения.

Логарифмическое распределение - это распределение вероятностей случайной величины, логарифм которой имеет логистическое распределение. По форме оно похоже на логнормальное распределение, но имеет более тяжелые хвосты. В отличие от нормального логарифма, его кумулятивная функция распределения может быть записана в закрытой форме.

Содержание

1 Характеристика
- 1.1 Альтернативная параметризация
2 Свойства
- 2.1 Моменты
- 2.2 Квантили
3 Применения
- 3.1 Анализ выживаемости
- 3.2 Гидрология
- 3.3 Экономика
- 3.4 Сетевое взаимодействие
4 Связанные распределения
- 4.1 Обобщения
5 См. Также
6 Ссылки

Характеристика

Существует несколько различных параметризаций используемого распределения. Показанный здесь дает разумно интерпретируемые параметры и простую форму для кумулятивной функции распределения. Параметр $α>0 {\ displaystyle \ alpha>0}$ $\alpha>0$ - это параметр масштаба, а также медиана распределения. Параметр $β>0 {\ displaystyle \ beta>0}$ $\beta>0$ - параметр формы . Распределение является унимодальным, когда $β>1 {\ displaystyle \ beta>1}$ $\beta>1$ и его дисперсия уменьшается как $β {\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$

Кумулятивная функция распределения равна

F (x; α, β) = 1 1 + (x / α) - β = (x / α) β 1 + (Икс / α) β знак равно Икс β α β + Икс β {\ Displaystyle {\ begin {выровнено} F (х; \ альфа, \ бета) = {1 \ более 1+ (х / \ альфа) ^ {- \ beta}} \\ [5pt] = {(x / \ alpha) ^ {\ beta} \ over 1+ (x / \ alpha) ^ {\ beta}} \\ [5pt] = {x ^ { \ beta} \ over \ alpha ^ {\ beta} + x ^ {\ beta}} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} F (x; \ alpha, \ beta) = {1 \ over 1+ (x / \ alpha) ^ {- \ beta}} \\ [5pt] = {(x / \ alpha) ^ {\ beta} \ over 1+ (x / \ alpha) ^ {\ beta}} \\ [5pt ] = {x ^ {\ beta} \ over \ alpha ^ {\ beta} + x ^ {\ beta}} \ end {align}}}

где $x>0 {\ displaystyle x>0}$ $x>0$ , $α>0 { \ displaystyle \ alpha>0}$ $\alpha>0$ , $β>0. {\ displaystyle \ beta>0.}$ $\beta>0.$

функция плотности вероятности равна

f (x; α, β) = (β / α) (x / α) β - 1 (1 + (x / α) β) 2 {\ displaystyle f (x; \ alpha, \ beta) = {\ frac {(\ beta / \ alpha) (x / \ alpha) ^ {\ beta -1}} {\ left (1+ (x / \ alpha) ^ {\ beta} \ right) ^ {2}}}}

f (x; \ alpha, \ beta) = {\ frac {(\ beta / \ alpha) (x / \ альфа) ^ {{\ beta -1}}} {\ left (1+ (x / \ alpha) ^ {{\ beta}} \ right) ^ {2}}}

Альтернативная параметризация

Альтернативная параметризация задается парой $μ, s {\ displaystyle \ mu, s}$ $\ mu, s$ по аналогии с логистическим распределением:

μ = ln ⁡ (α) {\ displaystyle \ mu = \ ln (\ alpha)}

\ mu = \ ln (\ alpha)

s = 1 / β {\ displaystyle s = 1 / \ beta}

s = 1 / \ beta

Свойства

Моменты

$k {\ displaystyle k}$ $к$ th raw момент существует только тогда, когда $k < β, {\displaystyle k<\beta,}$ $k <\ beta,$ когда он задается как

E ⁡ (X k) = α k B ⁡ (1 - k / β, 1 + k / β) = α kk π / β грех ⁡ (К π / β) {\ Displaystyle {\ begin {align} \ OperatorName {E} (X ^ {k}) = \ alpha ^ {k} \ operatorname {B} (1-k / \ beta, 1 + k / \ beta) \\ [5pt] = \ alpha ^ {k} \, {k \ pi / \ beta \ over \ sin (k \ pi / \ beta)} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {E} (X ^ {k}) = \ alpha ^ {k} \ operatorname {B} (1-k / \ beta, 1 + k / \ beta) \\ [5pt] = \ alpha ^ {k} \, {k \ pi / \ beta \ над \ грех (к \ пи / \ бета)} \ конец {выровнено}}}

где B - бета-функция. От этого могут быть получены выражения для среднего, дисперсии, асимметрии и эксцесса. Написав $b = π / β {\ displaystyle b = \ pi / \ beta}$ $б = \ пи / \ бета$ для удобства, среднее значение будет

E ⁡ (X) = α b / sin ⁡ b, β>. 1, {\ displaystyle \ operatorname {E} (X) = \ alpha b / \ sin b, \ quad \ beta>1,}

\operatorname {E}(X)=\alpha b/\sin b,\quad \beta>1,

и дисперсия

Var ⁡ (X) = α 2 (2 b / грех ⁡ 2 b - b 2 / грех 2 ⁡ b), β>2, {\ displaystyle \ operatorname {Var} (X) = \ alpha ^ {2} \ left (2b / \ sin 2b-b ^ {2 } / \ sin ^ {2} b \ right), \ quad \ beta>2.}

\operatorname {Var}(X)=\alpha ^{2}\left(2b/\sin 2b-b^{2}/\sin ^{2}b\right),\quad \beta>2.

Явные выражения для искажения длинные. Поскольку $β {\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ стремится к бесконечности, среднее значение стремится к $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ , дисперсия и асимметрия стремятся к нулю и избыточный эксцесс имеет тенденцию к 6/5 (см. также связанные распределения ниже).

Квантили

Функция квантиля (обратная кумулятивная функция распределения):

F - 1 (p; α, β) = α (p 1 - p) 1 / β. {\ displaystyle F ^ {- 1} (p; \ alpha, \ beta) = \ alpha \ left ({\ frac {p} {1-p}} \ right) ^ {1 / \ beta}.}

F ^ {{- 1}} (p; \ alpha, \ beta) = \ alpha \ left ({\ frac {p} {1- p}} \ right) ^ {{1 / \ beta}}.

Отсюда следует, что медиана равна $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ , нижний квартиль равен $3-1 / β α { \ displaystyle 3 ^ {- 1 / \ beta} \ alpha}$ ${\ displaystyle 3 ^ {- 1 / \ beta} \ alpha }$ и верхний квартиль $3 1 / β α {\ displaystyle 3 ^ {1 / \ beta} \ alpha}$ ${\ displaystyle 3 ^ {1 / \ beta} \ alpha}$ .

Приложения

Функция опасности.

α = 1, {\ displaystyle \ alpha = 1,}

\ alpha = 1,

значения

β {\ displaystyle \ beta}

\ beta

, как показано в легенде

Анализ выживаемости

Логико-логистическое распределение обеспечивает одну параметрическую модель для анализа выживаемости. В отличие от более часто используемого распределения Вейбулла, оно может иметь не монотонную функцию риска : когда $β>1, {\ displaystyle \ beta>1,}$ $\beta>1,$ функция риска унимодальная (когда $β {\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ ≤ 1, опасность монотонно уменьшается). Тот факт, что кумулятивная функция распределения может быть записана в закрытой форме особенно полезен для анализа данных о выживаемости с помощью цензурирования. Логико-логистическое распределение можно использовать в качестве основы модели ускоренного времени отказа, допуская $α { \ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ , чтобы различать группы, или, в более общем смысле, путем введения ковариат, которые влияют на $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ , но не на $β {\ displaystyle \ бета}$ $\ beta$ путем моделирования $log ⁡ (α) {\ displaystyle \ log (\ alpha)}$ $\ log (\ alpha)$ как линейная функция ковариант.

функция выживаемости равна

S (t) = 1 - F (t) = [1 + (t / α) β] - 1, {\ displaystyle S (t) = 1-F (t) = [1+ (t / \ alpha) ^ {\ beta}] ^ {- 1}, \,}

S (t) = 1-F (t) = [1+ (t / \ alpha) ^ {{ \ beta}}] ^ {{- 1}}, \,

и поэтому функция риска равна

h (t) = f (t) S (t) = (β / α) (t / α) β - 1 1 + (t / α) β. {\ Displaystyle ч (т) = {\ гидроразрыва {е (т)} {S (т)}} = {\ гидроразрыва {(\ бета / \ альфа) (т / \ альфа) ^ {\ бета -1}} {1+ (t / \ alpha) ^ {\ beta}}}.}

{\ displaystyle h (t) = {\ frac {f (t)} {S (t)}} = {\ frac {(\ beta / \ alpha) (t / \ alpha) ^ {\ beta -1}} {1+ (t / \ alpha) ^ {\ beta}} }.}

Логистическое распределение с параметром формы $β = 1 {\ displaystyle \ beta = 1}$ $\ beta = 1$ равно предельное распределение временного интервала в процессе подсчета с геометрическим распределением .

Гидрология

Подгоняемое кумулятивное лог-логистическое распределение к максимальным однодневным осадкам в октябре с использованием CumFreq, см. также Распределение

Лог-логистическое распределение использовалось в гидрологии для моделирования скорости потока и осадков.

Экстремальные значения, такие как максимальное однодневное количество осадков и сток реки в месяц или год, часто следуют за логнормальное распределение. Однако логнормальное распределение требует численного приближения. Поскольку логарифмическое распределение, которое может быть решено аналитически, похоже на логнормальное распределение, его можно использовать вместо него.

На синем рисунке показан пример подгонки логарифмического распределения к ранжированным максимальным однодневным осадкам в октябре, и он показывает 90% доверительный пояс, основанный на биномиальном распределении. Данные об осадках представлены позицией графика r / (n + 1) как часть кумулятивного частотного анализа.

Экономика

Лог-логистика использовалась как простая модель распределения богатства или дохода в экономике, где она известна как распределение Фиска. Его коэффициент Джини равен $1 / β {\ displaystyle 1 / \ beta}$ $1 / \ beta$ .

Вывод коэффициента Джини
Коэффициент Джини для непрерывного распределения вероятностей имеет вид: $G Знак равно 1 μ ∫ 0 ∞ F (1 - F) dx {\ displaystyle G = {1 \ over {\ mu}} \ int _ {0} ^ {\ infty} F (1-F) dx}$ ${\ displaystyle G = {1 \ over {\ mu}} \ int _ {0} ^ {\ infty} F (1-F) dx}$ где $F {\ displaystyle F}$ $F$ - это функция распределения распределения, а $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ - ожидаемое значение. Для лог-логистического распределения формула для коэффициента Джини имеет следующий вид: $G = sin ⁡ (π / β) α π / β ∫ 0 ∞ dx [1 + (x / α) - β] [1 + ( х / α) β] {\ displaystyle G = {\ sin (\ pi / \ beta) \ over {\ alpha \ pi / \ beta}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {dx \ over {[ 1+ (x / \ alpha) ^ {- \ beta}] [1+ (x / \ alpha) ^ {\ beta}]}}}$ ${\ displaystyle G = {\ sin (\ pi / \ beta) \ over {\ alpha \ pi / \ beta}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {dx \ over {[1+ (x / \ alpha) ^ {- \ beta}] [1+ (x / \ alpha) ^ {\ beta}]}}}$ Определение замены $z = x / α {\ displaystyle z = x / \ alpha}$ ${\ displaystyle z = x / \ alpha}$ приводит к более простому уравнению: $G = sin ⁡ (π / β) π / β ∫ 0 ∞ dz (1 + z - β) (1 + z β) {\ displaystyle G = {\ sin (\ pi / \ beta) \ over {\ pi / \ beta}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {dz \ over {(1 + z ^ {- \ beta}) (1 + z ^ {\ beta})}}}$ ${\ displaystyle G = {\ sin (\ pi / \ beta) \ over {\ pi / \ beta}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {dz \ over {(1 + z ^ {- \ beta}) (1 + z ^ {\ beta})}}}$ И сделав замену $u = 1 / (1 + z β) {\ displaystyle u = 1 / (1 + z ^ {\ beta})}$ ${\ displaystyle u = 1 / (1 + z ^ {\ beta })}$ дополнительно упрощает формулу коэффициента Джини до: $G = sin ⁡ (π / β) π ∫ 0 1 u - 1 / β (1 - u) 1 / β du {\ displaystyle G = {\ sin (\ pi / \ beta) \ over {\ pi}} \ int _ {0} ^ {1} u ^ {- 1 / \ beta} (1-u) ^ {1 / \ beta } du}$ ${\ displaystyle G = {\ sin (\ pi / \ beta) \ over {\ pi}} \ int _ {0} ^ {1} u ^ {- 1 / \ beta} (1-u) ^ {1 / \ beta} du}$ Интегральный компонент эквивалентен стандартной бета-функции на $B (1-1 / β, 1 + 1 / β) {\ displaystyle {\ text {B}} (1-1 / \ beta, 1 + 1 / \ beta)}$ ${\ displaystyle {\ text {B}} (1-1 / \ beta, 1 + 1 / \ beta)}$ . Бета-функцию также можно записать как: $B (x, y) = Γ (x) Γ (y) Γ (x + y) {\ displaystyle {\ text {B}} (x, y) = { \ Gamma (x) \ Gamma (y) \ over {\ Gamma (x + y)}}}$ ${\ displaystyle {\ text {B}} (x, y) = {\ Gamma (x) \ Gamma (y) \ над {\ Gamma (x + y)}}}$ где $Γ (⋅) {\ displaystyle \ Gamma (\ cdot)}$ $\ Gamma (\ cdot)$ это гамма-функция. Используя свойства гамма-функции, можно показать, что: $B (1 - 1 / β, 1 + 1 / β) = 1 β Γ (1 - 1 / β) Γ (1 / β) {\ displaystyle {\ text {B}} (1-1 / \ beta, 1 + 1 / \ beta) = {1 \ over {\ beta}} \ Gamma (1-1 / \ beta) \ Gamma (1 / \ beta)}$ ${\ displaystyle {\ text {B}} (1-1 / \ beta, 1 + 1 / \ beta) = {1 \ over {\ beta}} \ Gamma (1-1 / \ beta) \ Gamma (1 / \ beta)}$ Исходя из формулы отражения Эйлера, выражение можно еще более упростить: $B (1 - 1 / β, 1 + 1 / β) = 1 β π sin ⁡ (π / β) {\ displaystyle {\ text {B}} (1-1 / \ beta, 1 + 1 / \ beta) = {1 \ over {\ beta}} {\ pi \ over {\ sin (\ pi / \ beta)}}}$ ${\ displaystyle {\ text {B}} (1-1 / \ beta, 1 + 1 / \ beta) = {1 \ over {\ beta}} {\ pi \ over {\ sin (\ pi / \ beta)}}}$ Наконец, мы можем заключить, что коэффициент Джини для лог-логистического распределения $G = 1 / β {\ displaystyle G = 1 / \ beta}$ ${\ displaystyle G = 1 / \ beta }$ .

Вывод коэффициента Джини

Коэффициент Джини для непрерывного распределения вероятностей имеет вид:

G Знак равно 1 μ ∫ 0 ∞ F (1 - F) dx {\ displaystyle G = {1 \ over {\ mu}} \ int _ {0} ^ {\ infty} F (1-F) dx}

{\ displaystyle G = {1 \ over {\ mu}} \ int _ {0} ^ {\ infty} F (1-F) dx}

где $F {\ displaystyle F}$ $F$ - это функция распределения распределения, а $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ - ожидаемое значение. Для лог-логистического распределения формула для коэффициента Джини имеет следующий вид:

G = sin ⁡ (π / β) α π / β ∫ 0 ∞ dx [1 + (x / α) - β] [1 + ( х / α) β] {\ displaystyle G = {\ sin (\ pi / \ beta) \ over {\ alpha \ pi / \ beta}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {dx \ over {[ 1+ (x / \ alpha) ^ {- \ beta}] [1+ (x / \ alpha) ^ {\ beta}]}}}

{\ displaystyle G = {\ sin (\ pi / \ beta) \ over {\ alpha \ pi / \ beta}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {dx \ over {[1+ (x / \ alpha) ^ {- \ beta}] [1+ (x / \ alpha) ^ {\ beta}]}}}

Определение замены $z = x / α {\ displaystyle z = x / \ alpha}$ ${\ displaystyle z = x / \ alpha}$ приводит к более простому уравнению:

G = sin ⁡ (π / β) π / β ∫ 0 ∞ dz (1 + z - β) (1 + z β) {\ displaystyle G = {\ sin (\ pi / \ beta) \ over {\ pi / \ beta}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {dz \ over {(1 + z ^ {- \ beta}) (1 + z ^ {\ beta})}}}

{\ displaystyle G = {\ sin (\ pi / \ beta) \ over {\ pi / \ beta}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {dz \ over {(1 + z ^ {- \ beta}) (1 + z ^ {\ beta})}}}

И сделав замену $u = 1 / (1 + z β) {\ displaystyle u = 1 / (1 + z ^ {\ beta})}$ ${\ displaystyle u = 1 / (1 + z ^ {\ beta })}$ дополнительно упрощает формулу коэффициента Джини до:

G = sin ⁡ (π / β) π ∫ 0 1 u - 1 / β (1 - u) 1 / β du {\ displaystyle G = {\ sin (\ pi / \ beta) \ over {\ pi}} \ int _ {0} ^ {1} u ^ {- 1 / \ beta} (1-u) ^ {1 / \ beta } du}

{\ displaystyle G = {\ sin (\ pi / \ beta) \ over {\ pi}} \ int _ {0} ^ {1} u ^ {- 1 / \ beta} (1-u) ^ {1 / \ beta} du}

Интегральный компонент эквивалентен стандартной бета-функции на $B (1-1 / β, 1 + 1 / β) {\ displaystyle {\ text {B}} (1-1 / \ beta, 1 + 1 / \ beta)}$ ${\ displaystyle {\ text {B}} (1-1 / \ beta, 1 + 1 / \ beta)}$ . Бета-функцию также можно записать как:

B (x, y) = Γ (x) Γ (y) Γ (x + y) {\ displaystyle {\ text {B}} (x, y) = { \ Gamma (x) \ Gamma (y) \ over {\ Gamma (x + y)}}}

{\ displaystyle {\ text {B}} (x, y) = {\ Gamma (x) \ Gamma (y) \ над {\ Gamma (x + y)}}}

где $Γ (⋅) {\ displaystyle \ Gamma (\ cdot)}$ $\ Gamma (\ cdot)$ это гамма-функция. Используя свойства гамма-функции, можно показать, что:

B (1 - 1 / β, 1 + 1 / β) = 1 β Γ (1 - 1 / β) Γ (1 / β) {\ displaystyle {\ text {B}} (1-1 / \ beta, 1 + 1 / \ beta) = {1 \ over {\ beta}} \ Gamma (1-1 / \ beta) \ Gamma (1 / \ beta)}

{\ displaystyle {\ text {B}} (1-1 / \ beta, 1 + 1 / \ beta) = {1 \ over {\ beta}} \ Gamma (1-1 / \ beta) \ Gamma (1 / \ beta)}

Исходя из формулы отражения Эйлера, выражение можно еще более упростить:

B (1 - 1 / β, 1 + 1 / β) = 1 β π sin ⁡ (π / β) {\ displaystyle {\ text {B}} (1-1 / \ beta, 1 + 1 / \ beta) = {1 \ over {\ beta}} {\ pi \ over {\ sin (\ pi / \ beta)}}}

{\ displaystyle {\ text {B}} (1-1 / \ beta, 1 + 1 / \ beta) = {1 \ over {\ beta}} {\ pi \ over {\ sin (\ pi / \ beta)}}}

Наконец, мы можем заключить, что коэффициент Джини для лог-логистического распределения $G = 1 / β {\ displaystyle G = 1 / \ beta}$ ${\ displaystyle G = 1 / \ beta }$ .

Networking

Лог-логистика использовалась в качестве модели для периода времени, начинающегося, когда некоторые данные покидают приложение пользователя программного обеспечения на компьютере, и ответ принимается тем же приложением после прохождения и обработки другими компьютерами, приложениями и сетью. сегменты, большинство или все из них без жестких гарантий в реальном времени ( например, когда приложение отображает данные, поступающие от удаленного датчика, подключенного к Интернету). Было показано, что это более точная вероятностная модель для этого, чем логнормальное распределение или другие, при условии, что резкие изменения режима в последовательностях этих времен правильно обнаруживаются.

Связанные распределения

Если $X ∼ LL (α, β) {\ displaystyle X \ sim LL (\ alpha, \ beta)}$ ${\ displaystyle X \ sim LL (\ alpha, \ beta)}$ , то $k X ∼ LL (k α, β). {\ Displaystyle кХ \ сим LL (к \ альфа, \ бета).}$ ${\ displaystyle kX \ sim LL (k \ alpha, \ beta).}$
$LL (α, β) ∼ Дагум (1, α, β) {\ Displaystyle LL (\ альфа, \ бета) \ sim {\ textrm {Дагум}} (1, \ alpha, \ beta)}$ ${\ displaystyle LL (\ alpha, \ beta) \ sim {\ textrm {Dagum}} (1, \ alpha, \ beta)}$ (Распределение Дагума ).
$LL (α, β) ∼ SinghMaddala (1, α, β) {\ displaystyle LL (\ alpha, \ beta) \ sim {\ textrm {SinghMaddala}} (1, \ alpha, \ beta)}$ ${\ displaystyle LL (\ alpha, \ beta) \ sim {\ textrm {SinghMaddala}} (1, \ alpha, \ beta)}$ (Распределение Сингха – Маддалы ).
$LL (γ, σ) ∼ β ′ (1, 1, γ, σ) {\ displaystyle { \ textrm {LL}} (\ gamma, \ sigma) \ sim \ beta '(1,1, \ gamma, \ sigma)}$ ${\textrm {LL}}(\gamma,\sigma)\sim \beta '(1,1,\gamma,\sigma)$ (Бета-простое распределение ).
Если X имеет лог-логистическое распределение с параметром масштаба $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ и параметр формы $β {\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ , тогда Y = log (X) имеет логистическое распределение с параметром местоположения $log ⁡ (α) {\ displaystyle \ log (\ alpha)}$ $\ log (\ alpha)$ и параметром масштаба $1 / β. {\ displaystyle 1 / \ beta.}$ ${\ displaystyle 1 / \ бета.}$
По мере того, как параметр формы $β {\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ лог-логистического распределения увеличивается, его форма все больше напоминает форму (очень узкой) логистическое распределение. Неформально:

L L (α, β) → L (α, α / β) при β → ∞. {\ displaystyle LL (\ alpha, \ beta) \ to L (\ alpha, \ alpha / \ beta) \ quad {\ text {as}} \ quad \ beta \ to \ infty.}

{ \ Displaystyle LL (\ альфа, \ бета) \ к L (\ альфа, \ альфа / \ бета) \ quad {\ text {as}} \ quad \ beta \ to \ infty.}

лог-логистика распределение с параметром формы $β = 1 {\ displaystyle \ beta = 1}$ $\ beta = 1$ и параметром масштаба $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ такое же, как и обобщенное распределение Парето с параметром местоположения $μ = 0 {\ displaystyle \ mu = 0}$ $\ mu = 0$ , параметром формы $ξ = 1 {\ displaystyle \ xi = 1}$ $\ xi = 1$ и параметр масштаба $α: {\ displaystyle \ alpha:}$ $\ alpha:$

LL (α, 1) = GPD (1, α, 1). {\ displaystyle LL (\ alpha, 1) = GPD (1, \ alpha, 1).}

{\ displaystyle LL (\ alpha, 1) = GPD (1, \ alpha, 1).}

Добавление другого параметра (параметр сдвига) формально приводит к смещенному лог-логистическому распределению, но это обычно рассматривается в другой параметризации, так что распределение может быть ограничено сверху или снизу.

Обобщения

Несколько разных распределений иногда называют обобщенным лог-логистическим распределением, поскольку они содержат логистику как частный случай. К ним относятся распределение заусенцев типа XII (также известное как распределение Сингха – Маддала) и распределение Дагума, оба из которых включают второй параметр формы. Оба, в свою очередь, являются частными случаями еще более общего обобщенного бета-распределения второго рода. Еще одно более простое обобщение лог-логистики - это смещенное лог-логистическое распределение.

См. Также

Распределения вероятностей: список важных распределений, поддерживаемых на полубесконечных интервалах

Ссылки