Функция выживания

редактировать

Функция выживания - это функция, которая дает вероятность того, что пациент, устройство или другой интересующий объект выживут после любого указанного времени.

Функция выживания также известна как функция выживаемости или функция надежности.

Термин « функция надежности» широко используется в инженерии, в то время как термин « функция выживаемости» используется в более широком диапазоне приложений, включая человеческую смертность. Другое название функции выживания - дополнительная кумулятивная функция распределения.

СОДЕРЖАНИЕ

1 Определение
2 Примеры функций выживания
3 Параметрические функции выживания
- 3.1 Экспоненциальная функция выживания
- 3.2 Функция выживания Вейбулла
- 3.3 Другие параметрические функции выживаемости
4 Непараметрические функции выживания
5 Недвижимость
6 См. Также
7 ссылки

Определение

Пусть T - непрерывная случайная величина с кумулятивной функцией распределения F ( t ) на интервале [0, ∞). Его функция выживания или функция надежности :

{\ Displaystyle S (t) = P (\ {Tgt; t \}) ​​= \ int _ {t} ^ {\ infty} f (u) \, du = 1-F (t).}

S (t) = P (\ {Tgt; t \}) ​​= \ int _ {t} ^ {\ infty} f (u) \, du = 1-F (t).

Примеры функций выживания

На графиках ниже показаны примеры гипотетических функций выживания. Ось абсцисс - время. По оси ординат отложено количество выживших субъектов. Графики показывают вероятность того, что субъект выживет после времени t.

Например, для функции выживаемости 1 вероятность прожить дольше t = 2 месяцев составляет 0,37. То есть 37% испытуемых выживают более 2 месяцев.

Для функции выживаемости 2 вероятность прожить дольше t = 2 месяцев составляет 0,97. То есть 97% испытуемых выживают более 2 месяцев.

Медиана выживаемости может быть определена по функции выживаемости. Например, для функции выживаемости 2 50% субъектов выживают 3,72 месяца. Таким образом, средняя выживаемость составляет 3,72 месяца.

В некоторых случаях среднюю выживаемость невозможно определить по графику. Например, для функции выживаемости 4 более 50% субъектов живут дольше, чем период наблюдения в 10 месяцев.

Функция выживаемости - это один из нескольких способов описания и отображения данных о выживаемости. Еще один полезный способ отображения данных - это график, показывающий распределение времени выживания субъектов. Олкин, стр. 426, приводит следующий пример данных о выживаемости. Регистрировалось количество часов между последовательными отказами системы кондиционирования воздуха. Время между последовательными отказами составляет 1, 3, 5, 7, 11, 11, 11, 12, 14, 14, 14, 16, 16, 20, 21, 23, 42, 47, 52, 62, 71, 71, 87, 90, 95, 120, 120, 225, 246 и 261 час. Средняя наработка на отказ 59,6. Это среднее значение будет вскоре использовано для подгонки теоретической кривой к данным. На рисунке ниже показано распределение времени наработки на отказ. Синие галочки под графиком - это фактические часы между последовательными отказами.

На распределение времени отказа накладывается кривая, представляющая экспоненциальное распределение. В этом примере экспоненциальное распределение аппроксимирует распределение времени отказа. Экспоненциальная кривая представляет собой теоретическое распределение, соответствующее фактическому времени отказа. Эта конкретная экспоненциальная кривая определяется параметром лямбда, λ = 1 / (средняя наработка на отказ) = 1 / 59,6 = 0,0168. Распределение времени отказов называется функцией плотности вероятности (pdf), если время может принимать любое положительное значение. В уравнениях PDF указывается как f (t). Если время может принимать только дискретные значения (например, 1 день, 2 дня и т. Д.), Распределение времени отказа называется функцией массы вероятности (pmf). Большинство методов анализа выживаемости предполагают, что время может принимать любое положительное значение, а f (t) - это pdf. Если время между наблюдаемыми отказами кондиционера приближается с использованием экспоненциальной функции, то экспоненциальная кривая дает функцию плотности вероятности f (t) для времени отказа кондиционера.

Еще один полезный способ отображения данных о выживаемости - это график, показывающий совокупное количество отказов до каждого момента времени. Эти данные могут отображаться либо как кумулятивное количество, либо как кумулятивная доля отказов до каждого раза. График ниже показывает совокупную вероятность (или долю) сбоев в каждый момент времени для системы кондиционирования воздуха. Черная линия ступенек показывает кумулятивную долю отказов. Для каждого шага внизу графика есть синяя галочка, указывающая наблюдаемое время отказа. Плавная красная линия представляет собой экспоненциальную кривую, соответствующую наблюдаемым данным.

График кумулятивной вероятности отказов до каждого момента времени называется кумулятивной функцией распределения или CDF. В анализе выживаемости кумулятивная функция распределения дает вероятность того, что время выживания меньше или равно определенному времени t.

Пусть T - время выживания, которое является любым положительным числом. Конкретное время обозначается строчной буквой t. Кумулятивная функция распределения T - это функция

{\ Displaystyle F (t) = \ OperatorName {P} (T \ leq t),}

{\ Displaystyle F (t) = \ OperatorName {P} (T \ leq t),}

где правая часть представляет собой вероятность того, что случайная величина T меньше или равна t. Если время может принимать любое положительное значение, то кумулятивная функция распределения F (t) является интегралом функции плотности вероятности f (t).

Для примера кондиционирования воздуха приведенный ниже график CDF показывает, что вероятность того, что время наработки на отказ меньше или равно 100 часам, составляет 0,81, по оценке с использованием экспоненциальной кривой, соответствующей данным.

Альтернативой графическому изображению вероятности того, что время отказа меньше или равно 100 часам, является графическое представление вероятности того, что время отказа больше 100 часов. Вероятность того, что время отказа превышает 100 часов, должна составлять 1 минус вероятность того, что время отказа меньше или равно 100 часам, потому что общая вероятность должна в сумме равняться 1.

Это дает

P (время отказаgt; 100 часов) = 1 - P (время отказа lt;100 часов) = 1 - 0,81 = 0,19.

Это соотношение распространяется на все времена отказа:

P (Tgt; t) = 1 - P (T lt;t) = 1 - интегральная функция распределения.

Эта взаимосвязь показана на графиках ниже. График слева - это кумулятивная функция распределения, которая равна P (T lt;t). График справа равен P (Tgt; t) = 1 - P (T lt;t). График справа - это функция выживания S (t). Тот факт, что S (t) = 1 - CDF, является причиной того, что другое название функции выживания - дополнительная кумулятивная функция распределения.

Параметрические функции выживания

В некоторых случаях, таких как пример с кондиционером, распределение продолжительности жизни может быть хорошо аппроксимировано такой функцией, как экспоненциальное распределение. В анализе выживаемости обычно используются несколько распределений, включая экспоненциальное, Вейбулла, гамма-распределение, нормальное, логарифмически нормальное и логарифмическое. Эти распределения определяются параметрами. Например, нормальное (гауссово) распределение определяется двумя параметрами: средним значением и стандартным отклонением. Функции выживания, определяемые параметрами, называются параметрическими.

На четырех графиках функции выживания, показанных выше, форма функции выживания определяется конкретным распределением вероятностей: функция выживания 1 определяется экспоненциальным распределением, 2 определяется распределением Вейбулла, 3 определяется лог-логистическим распределением., а 4 определяется другим распределением Вейбулла.

Экспоненциальная функция выживания

Для экспоненциального распределения выживаемости вероятность отказа одинакова в каждом временном интервале, независимо от возраста человека или устройства. Этот факт приводит к свойству "без памяти" экспоненциального распределения выживаемости: возраст испытуемого не влияет на вероятность неудачи в следующем временном интервале. Экспонента может быть хорошей моделью для срока службы системы, в которой детали заменяются по мере их выхода из строя. Это также может быть полезно для моделирования выживаемости живых организмов за короткие промежутки времени. Вряд ли это хорошая модель полной продолжительности жизни живого организма. Как отмечают Эфрон и Хасти (стр. 134): «Если бы человеческие жизни были экспоненциальными, не было бы старых или молодых людей, просто счастливчиков или неудачников».

Функция выживания Вейбулла

Ключевое предположение экспоненциальной функции выживаемости состоит в том, что степень риска постоянна. В приведенном выше примере доля мужчин, умирающих каждый год, была постоянной и составляла 10%, что означало, что уровень опасности был постоянным. Предположение о постоянной опасности может быть неуместным. Например, среди большинства живых организмов риск смерти выше в старости, чем в среднем возрасте, то есть степень опасности со временем увеличивается. Для некоторых заболеваний, таких как рак груди, риск рецидива ниже через 5 лет, то есть степень опасности со временем снижается. Распределение Вейбулла расширяет экспоненциальное распределение, чтобы обеспечить постоянную, увеличивающуюся или уменьшающуюся степень опасности.

Другие параметрические функции выживания

Есть несколько других параметрических функций выживаемости, которые могут лучше соответствовать определенному набору данных, включая нормальные, логнормальные, лог-логистические и гамма-характеристики. Выбор параметрического распределения для конкретного приложения может быть сделан с использованием графических методов или формальных тестов соответствия. Эти распределения и тесты описаны в учебниках по анализу выживаемости. Лоулесс имеет обширный охват параметрических моделей.

Параметрические функции выживаемости обычно используются в производственных приложениях, отчасти потому, что они позволяют оценить функцию выживаемости за пределами периода наблюдения. Однако для надлежащего использования параметрических функций необходимо, чтобы данные были хорошо смоделированы выбранным распределением. Если соответствующее распределение недоступно или не может быть определено перед клиническим испытанием или экспериментом, тогда непараметрические функции выживаемости предлагают полезную альтернативу.

Непараметрические функции выживания

Параметрическая модель выживания может оказаться невозможной или нежелательной. В этих ситуациях наиболее распространенным методом моделирования функции выживаемости является непараметрическая оценка Каплана – Мейера.

Характеристики

Каждая функция выживания является монотонно убывающей, т.е. для всех. S ( т ) {\ Displaystyle S (т)} S ( ты ) ≤ S ( т ) {\ Displaystyle S (и) \ Leq S (т)} ты gt; т {\ displaystyle ugt; t}
- Это свойство случайной переменной, которая отображает набор событий, обычно связанных со смертностью или отказом какой-либо системы, во времени.
Времени, представляет некоторое происхождение, как правило, в начале исследования или начало работы некоторой системы. обычно равно единице, но может быть меньше, чтобы представить вероятность того, что система выйдет из строя сразу после работы. ${\ displaystyle t = 0}$ $t = 0$ ${\ Displaystyle S (0)}$ ${\ Displaystyle S (0)}$
Поскольку CDF является непрерывной справа функцией, функция выживания также непрерывна справа. ${\ Displaystyle S (т) = 1-F (т)}$ $S (t) = 1-F (t)$
Функция выживания может быть связана с функцией плотности вероятности и функцией риска. ж ( т ) {\ displaystyle f (t)} λ ( т ) {\ Displaystyle \ лямбда (т)}
- ${\ Displaystyle f (t) = - S '(t)}$ ${\ Displaystyle f (t) = - S '(t)}$
- ${\ displaystyle \ lambda (t) = - {d \ over {dt}} \ log S (t)}$ ${\ displaystyle \ lambda (t) = - {d \ over {dt}} \ log S (t)}$

Чтобы ${\ Displaystyle S (т) = \ ехр [- \ int _ {0} ^ {t} \ lambda (t ') dt']}$ ${\ Displaystyle S (т) = \ ехр [- \ int _ {0} ^ {t} \ lambda (t ') dt']}$

Ожидаемое время выживания ${\ Displaystyle \ mathbb {E} (T) = \ int _ {0} ^ {\ infty} S (t) dt}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {E} (T) = \ int _ {0} ^ {\ infty} S (t) dt}$

Формула доказательства ожидаемого времени выживания
Ожидаемое значение случайной величины определяются следующим образом: ${\ Displaystyle Т \ в [0, \ infty)}$ ${\ Displaystyle Т \ в [0, \ infty)}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {E} (T) = \ int _ {0} ^ {\ infty} tf (t) dt}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {E} (T) = \ int _ {0} ^ {\ infty} tf (t) dt}$ где - функция плотности вероятности. Используя соотношение, можно изменить формулу ожидаемого значения: ${\ displaystyle f (t)}$ $f (t)$ ${\ Displaystyle f (t) = - S '(t)}$ ${\ Displaystyle f (t) = - S '(t)}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {E} (T) = - \ int _ {0} ^ {\ infty} tS '(t) dt}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {E} (T) = - \ int _ {0} ^ {\ infty} tS '(t) dt}$ Это можно еще больше упростить, используя интеграцию по частям : ${\ displaystyle - \ int _ {0} ^ {\ infty} tS '(t) dt = -tS (t) {\ bigg \|} _ {0} ^ {\ infty} + \ int _ {0} ^ { \ infty} S (t) dt}$ ${\ displaystyle - \ int _ {0} ^ {\ infty} tS '(t) dt = -tS (t) {\ bigg \|} _ {0} ^ {\ infty} + \ int _ {0} ^ { \ infty} S (t) dt}$ По определению, что означает, что граничные члены тождественно равны нулю. Следовательно, мы можем заключить, что ожидаемое значение - это просто интеграл функции выживаемости: ${\ Displaystyle S (\ infty) = 0}$ ${\ Displaystyle S (\ infty) = 0}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {E} (T) = \ int _ {0} ^ {\ infty} S (t) dt}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {E} (T) = \ int _ {0} ^ {\ infty} S (t) dt}$

Формула доказательства ожидаемого времени выживания

Ожидаемое значение случайной величины определяются следующим образом:

{\ Displaystyle Т \ в [0, \ infty)}

{\ Displaystyle Т \ в [0, \ infty)}

{\ Displaystyle \ mathbb {E} (T) = \ int _ {0} ^ {\ infty} tf (t) dt}

{\ Displaystyle \ mathbb {E} (T) = \ int _ {0} ^ {\ infty} tf (t) dt}

где - функция плотности вероятности. Используя соотношение, можно изменить формулу ожидаемого значения: ${\ displaystyle f (t)}$ $f (t)$ ${\ Displaystyle f (t) = - S '(t)}$ ${\ Displaystyle f (t) = - S '(t)}$

{\ Displaystyle \ mathbb {E} (T) = - \ int _ {0} ^ {\ infty} tS '(t) dt}

{\ Displaystyle \ mathbb {E} (T) = - \ int _ {0} ^ {\ infty} tS '(t) dt}

Это можно еще больше упростить, используя интеграцию по частям :

{\ displaystyle - \ int _ {0} ^ {\ infty} tS '(t) dt = -tS (t) {\ bigg |} _ {0} ^ {\ infty} + \ int _ {0} ^ { \ infty} S (t) dt}

{\ displaystyle - \ int _ {0} ^ {\ infty} tS '(t) dt = -tS (t) {\ bigg |} _ {0} ^ {\ infty} + \ int _ {0} ^ { \ infty} S (t) dt}

По определению, что означает, что граничные члены тождественно равны нулю. Следовательно, мы можем заключить, что ожидаемое значение - это просто интеграл функции выживаемости: ${\ Displaystyle S (\ infty) = 0}$ ${\ Displaystyle S (\ infty) = 0}$

{\ Displaystyle \ mathbb {E} (T) = \ int _ {0} ^ {\ infty} S (t) dt}

{\ Displaystyle \ mathbb {E} (T) = \ int _ {0} ^ {\ infty} S (t) dt}

Смотрите также

Рекомендации