Мера риска

редактировать

В финансовой математике мера риска используется для определения суммы актив или набор активов (традиционно валюта ) для хранения в резерве. Цель этого резерва - сделать риски, принимаемые на себя финансовыми учреждениями, такими как банки и страховые компании, приемлемыми для регулирующего органа. В последние годы внимание переключилось на выпуклое и последовательное измерение риска.

Содержание

1 Математически
2 Установленное значение
- 2.1 Математически
3 Примеры
- 3.1 Дисперсия
4 Отношение к приемочной совокупности
- 4.1 Мера риска к приемочной совокупности
- 4.2 Приемочная совокупность к мере риска
5 Связь с мерой риска отклонения
6 См. Также
7 Ссылки
8 Дополнительная литература

Математически

Мера риска определяется как отображение набора случайных величин в действительные числа. Этот набор случайных величин представляет доходность портфеля. Обычное обозначение меры риска, связанного со случайной величиной $X {\ displaystyle X}$ $X$ , - $ρ (X) {\ displaystyle \ rho (X)}$ $\ rho (X)$ . Мера риска $ρ: L → R ∪ {+ ∞} {\ displaystyle \ rho: {\ mathcal {L}} \ to \ mathbb {R} \ cup \ {+ \ infty \}}$ $\ rho: {\ mathcal {L}} \ to {\ mathbb {R}} \ cup \ {+ \ infty \}$ должен иметь определенные свойства:

Нормализованный: $ρ (0) = 0 {\ displaystyle \ rho (0) = 0}$ $\ rho (0) = 0$

Трансляционный: $I fa ∈ R и Z ∈ L, тогда ρ ( Z + a) знак равно ρ (Z) - a {\ displaystyle \ mathrm {If} \; а \ in \ mathbb {R} \; \ mathrm {and} \; Z \ in {\ mathcal {L}}, \ ; \ mathrm {then} \; \ rho (Z + a) = \ rho (Z) -a}$ ${\ mathrm {If}} \; a \ in {\ mathbb {R}} \; {\ mathrm {and}} \; Z \ in {\ mathcal {L}}, \; {\ mathrm {then}} \; \ rho (Z + a) = \ rho (Z) -a$

Монотонный: $I f Z 1, Z 2 ∈ L и Z 1 ≤ Z 2, тогда ρ ( Z 2) ≤ ρ (Z 1) {\ Displaystyle \ mathrm {If} \; Z_ {1}, Z_ {2} \ in {\ mathcal {L}} \; \ mathrm {и} \; Z_ {1} \ leq Z_ {2}, \; \ mathrm {then} \; \ rho (Z_ {2}) \ leq \ rho (Z_ {1})}$ ${\ mathrm {If} } \; Z_ {1}, Z_ {2} \ in {\ mathcal {L}} \; {\ mathrm {and}} \; Z_ {1} \ leq Z_ {2}, \; {\ mathrm {тогда }} \; \ rho (Z_ {2}) \ leq \ rho (Z_ {1})$

Установленное значение

В ситуации с портфелями с оценкой $R d {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$ $\ mathbb {R} ^ {d}$ , так что риск можно измерить в $m ≤ d {\ displaystyle m \ leq d}$ $m \ leq d$ активов, то набор портфелей является правильным способом изобразить риск. Установленная оценка риска полезна для рынков с транзакционными издержками.

Математически

Установленной оценкой риска является функция $R: L dp → FM {\ displaystyle R: L_ { d} ^ {p} \ rightarrow \ mathbb {F} _ {M}}$ $R: L_d ^ p \ rightarrow \ mathbb {F} _M$ , где $L dp {\ displaystyle L_ {d} ^ {p}}$ $L_ {d} ^ {p}$ - a $d {\ displaystyle d}$ $d$ -размерное пространство Lp, $FM = {D ⊆ M: D = cl (D + KM)} {\ displaystyle \ mathbb {F} _ {M} = \ {D \ substeq M: D = cl (D + K_ {M}) \}}$ $\ mathbb {F} _M = \ {D \ substeq M: D = cl (D + K_M) \}$ и $KM = K ∩ M {\ displaystyle K_ {M} = K \ cap M}$ $K_M = K \ cap M$ , где $K {\ displaystyle K}$ $K$ - постоянный конус платежеспособности и $M {\ displaystyle M}$ $M$ - это набор портфелей $m {\ displaystyle m}$ $m$ эталонных активов. $R {\ displaystyle R}$ $R$ должен иметь следующие свойства:

Нормализованный: $KM ⊆ R (0) и R (0) ∩ - int KM = ∅ {\ displaystyle K_ { M} \ substeq R (0) \; \ mathrm {and} \; R (0) \ cap - \ mathrm {int} K_ {M} = \ emptyset}$ $K_M \ substeq R (0) \ ; \ mathrm {и} \; R (0) \ cap - \ mathrm {int} K_M = \ emptyset$

Трансляционный в M: $∀ X ∈ L дп, ∀ U ∈ M: р (Икс + U 1) знак равно р (Икс) - и {\ Displaystyle \ forall X \ in L_ {d} ^ {p}, \ forall u \ in M: R (X + u1) = R (X) -u}$ $\ forall X \ in L_d ^ p, \ forall u \ in M: R (X + u1) = R (X) - u$

Монотонный: $∀ X 2 - X 1 ∈ L dp (K) ⇒ R (X 2) ⊇ R (X 1) {\ displaystyle \ forall X_ {2} - X_ {1} \ in L_ {d} ^ {p} (K) \ Rightarrow R (X_ {2}) \ supseteq R (X_ {1})}$ $\ forall X_2 - X_1 \ in L_d ^ p (K) \ Rightarrow R (X_2) \ supseteq R (X_1)$

Примеры

дисперсия

дисперсия (или стандартное отклонение ) не является не мерой риска в указанном выше смысле. Это видно, поскольку у него нет ни свойства перевода, ни монотонности. То есть $V ar (X + a) = V ar (X) ≠ V ar (X) - a {\ displaystyle Var (X + a) = Var (X) \ neq Var (X) -a}$ $Var (X + a) = Var (X) \ neq Var (X) -a$ для всех $a ∈ R {\ displaystyle a \ in \ mathbb {R}}$ $a \ in \ mathbb {R}$ , и можно найти простой контрпример для монотонности. Стандартное отклонение - это мера риска отклонения. Чтобы избежать путаницы, обратите внимание, что меры риска отклонения, такие как отклонение и стандартное отклонение, иногда называют мерами риска в разных областях.

Связь с приемочной группой

Существует однозначное соответствие между приемочной группой и соответствующей мерой риска. Как определено ниже, можно показать, что $RAR (X) = R (X) {\ displaystyle R_ {A_ {R}} (X) = R (X)}$ $R _ {{A_ {R}}} (X) = R (X)$ и $ARA = A {\ displaystyle A_ {R_ {A}} = A}$ $A _ {{R_ { A}}} = A$ .

Мера риска для приемочного набора

Если $ρ {\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ - (скалярная) мера риска тогда $A ρ = {X ∈ L p: ρ (X) ≤ 0} {\ displaystyle A _ {\ rho} = \ {X \ in L ^ {p}: \ rho (X) \ leq 0 \} }$ $A _ {{\ rho}} = \ {X \ in L ^ {p}: \ rho (X) \ leq 0 \}$ - приемлемый набор.
Если $R {\ displaystyle R}$ $R$ является оценочной мерой риска, то $AR = {X ∈ L dp: 0 ∈ R (X)} {\ displaystyle A_ {R} = \ {X \ in L_ {d} ^ {p}: 0 \ in R (X) \}}$ $A_ {R} = \ {X \ in L_ {d} ^ {p}: 0 \ in R (X) \}$ является Приемочный набор.

Приемочный набор для меры риска

Если $A {\ displaystyle A}$ $A$ - приемочный набор (в 1-d), то $ρ A (X) = inf {u ∈ R: Икс + u 1 ∈ A} {\ displaystyle \ rho _ {A} (X) = \ inf \ {u \ in \ mathbb {R}: X + u1 \ in A \}}$ $\ rho _ {A} (X) = \ inf \ {u \ in {\ mathbb {R}}: X + u1 \ in A \}$ определяет (скалярную) меру риска.
Если $A {\ displaystyle A}$ $A$ является приемлемым набором, то $RA (X) = {u ∈ M: Икс + U 1 ∈ A} {\ Displaystyle R_ {A} (X) = \ {и \ в M: X + u1 \ in A \}}$ $R_ {A} (X) = \ {u \ in M: X + u1 \ in A \}$ - это установленная мера риска.

Связь с мерой риска отклонения

Существует однозначное отношение между риском отклонения мера D и мера риска, ограниченного ожиданиями $ρ {\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ , где для любого $X ∈ L 2 {\ displaystyle X \ in {\ mathcal {L} } ^ {2}}$ $X \ in {\ mathcal {L}} ^ {2}$

$D (X) = ρ (X - E [X]) {\ displaystyle D (X) = \ rho (X- \ mathbb {E} [X])}$ $D (X) = \ rho (X - {\ mathbb {E}} [X])$
$ρ (Икс) знак равно D (Икс) - Е [Икс] {\ Displaystyle \ rho (X) = D (X) - \ mathbb {E} [X]}$ $\ rho (X) = D (X) - {\ mathbb {E}} [X]$ .

$ρ {\ Displaystyle \ rho}$ $\ rho$ называется ограниченным ожиданием, если оно удовлетворяет $ρ (X)>E [- X] {\ displaystyle \ rho (X)>\ mathbb {E} [-X]}$ $\rho (X)>{\ mathbb {E}} [- X]$ для любая неконстантная X и $ρ (X) = E [- X] {\ displaystyle \ rho (X) = \ mathbb {E} [-X]}$ $\ rho (X) = {\ mathbb {E}} [- X]$ для любой постоянной X.

См. Также

Показатель когерентного риска
Динамический показатель риска
Управленческий учет рисков
Управление рисками
Метрика риска - абстрактное понятие, которое количественно оценивает мера риска
RiskMetrics - модель для управления рисками
Спектральная мера риска
Мера риска искажения
Ценность под риском
Условная ценность под риском
Энтропическая ценность под риском
Коэффициент доходности риска

Ссылки

Дополнительная литература

Crouhy, Michel; Д. Галаи; Р. Марк (2001). Управление рисками. МакГроу-Хилл. С. 752 стр. ISBN 978-0-07-135731-9.
Кевин, Дауд (2005). Измерение рыночного риска (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья. С. 410 стр. ISBN 978-0-470-01303-8.

Фоллмер, Ганс; Щед, Александр (2004). Стохастические финансы. Серия де Грюйтера по математике. 27 . Берлин: Вальтер де Грюйтер. С. xi + 459. ISBN 978-311-0183467. MR 2169807.
Шапиро, Александр; Дентчева, Даринка; Рущинский, Анджей (2009). Лекции по стохастическому программированию. Моделирование и теория. Серия MPS / SIAM по оптимизации. 9 . Филадельфия: Общество промышленной и прикладной математики. С. xvi + 436. ISBN 978-0898716870. MR 2562798.