Банаховый пакет

В математика, банахово расслоение - это векторное расслоение, каждое из слоев которого является банаховым пространством, т. Е. полным нормированное векторное пространство, возможно, бесконечной размерности.

• 1 Определение банахова расслоения
• 2 Примеры банаховых расслоений
• 3 Морфизмы банаховых расслоений
• 4 Восстановление банахова расслоения
• 5 Ссылки

Пусть M - банахово многообразие класса C с p ≥ 0, называемое базовым пространством ; пусть E будет топологическим пространством, называемым общим пространством ; пусть π: E → M - сюръективное непрерывное отображение. Предположим, что для каждой точки x ∈ M слою Ex= π (x) задана структура банахова пространства. Пусть

$\{U\; i\; |\; i\; \in \; I\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{U\_\; \{i\}\; |\; i\; \backslash \; in\; I\; \backslash \}\}$

быть открытой крышкой M. Предположим также, что для каждого i ∈ I существует банаховый пространство X i и карта τ i

$\tau \; i:\; \pi \; -\; 1\; (U\; i)\; \to \; U\; i\; \times \; X\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\; \_\; \{i\}:\; \backslash \; pi\; ^\; \{-\; 1\}\; (\; U\_\; \{i\})\; \backslash \; to\; U\_\; \{i\}\; \backslash \; times\; X\_\; \{i\}\}$

так, что

• отображение τ i является гомеоморфизмом, коммутирующим с проекцией на U i, т.е. следующая диаграмма коммутирует :

и для каждого x ∈ U i индуцированное отображение τ ix на слое E x

$\tau \; ix:\; \pi \; -\; 1\; (x)\; \to \; X\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\; \_\; \{ix\}:\; \backslash \; pi\; ^\; \{-\; 1\}\; (x)\; \backslash \; to\; X\_\; \{i\}\}$

является обратимым непрерывное линейное отображение, то есть изоморфизм в категории топологических векторных пространств ;

• , если U i и U j - два члена открытой обложки, тогда карта

$U\; i\; \cap \; U\; j\; \to \; L\; in\; (X\; i;\; X\; j)\; \{\backslash \; displaystyle\; U\_\; \{i\}\; \backslash \; cap\; U\_\; \{j\}\; \backslash \; to\; \backslash \; mathrm\; \{Lin\}\; (X\_\; \{i\};\; X\_\; \{j\})\}$

$x\; \mapsto \; (\tau \; j\; \circ \; \tau \; i\; -\; 1)\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; mapsto\; (\backslash \; tau\; \_\; \{j\}\; \backslash \; circ\; \backslash \; tau\; \_\; \{i\}\; ^\; \{-\; 1\})\; \_\; \{x\}\}$

- это морфизм (a дифференцируемое отображение класса C), где Lin (X; Y) обозначает пространство всех непрерывных линейных отображений из топологического векторного пространства X в другое топологическое векторное пространство Y.

Набор {(U i, τ i) | i ∈I} называется тривиализирующим покрытием для π: E → M, а отображения τ i называются тривиализирующими отображениями . Два тривиализирующих покрытия называются эквивалентными, если их объединение снова удовлетворяет двум вышеуказанным условиям. Говорят, что класс эквивалентности таких тривиализирующих покрытий определяет структуру банахова расслоения на π: E → M.

Если все пространства X i изоморфны как топологические векторные пространства, то можно считать, что все они равны одному и тому же пространству X. В этом случае π: E → M называется банаховым расслоением со слоем ИКС. Если M является связным пространством, то это обязательно так, поскольку множество точек x ∈ M, для которых существует тривиализирующее отображение

$\tau \; ix:\; \pi \; -\; 1\; (x)\; \to \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\; \_\; \{ix\}:\; \backslash \; pi\; ^\; \{-\; 1\}\; (x)\; \backslash \; to\; X\}$

для данного пространства X одновременно открыто и закрыто.

в конечном -мерный случай, второе условие выше следует из первого.

• Если V - любое банахово пространство, касательное пространство TxV к V в любой точке x ∈ V очевидным образом изоморфно самому V. касательное расслоение TV к V является тогда банаховым расслоением с обычной проекцией

$\pi :\; T\; V\; \to \; V;\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi:\; \backslash \; mathrm\; \{T\}\; V\; \backslash \; to\; V;\}$

$(x,\; v)\; \mapsto \; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; (x,\; v)\; \backslash \; mapsto\; x.\}$

Этот набор "тривиален" в том смысле, что телевизор допускает глобально определенную тривиализацию карты: тождественная функция

$\tau \; =\; id:\; \pi \; -\; 1\; (V)\; =\; TV\; \to \; V\; \times \; V;\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\; =\; \backslash \; mathrm\; \{id\}:\; \backslash \; pi\; ^\; \{-\; 1\}\; (V)\; =\; \backslash \; mathrm\; \{T\}\; V\; \backslash \; to\; V\; \backslash \; times\; V;\}$

$(x,\; v)\; \mapsto \; (x,\; v).\; \{\backslash \; displaystyle\; (x,\; v)\; \backslash \; mapsto\; (x,\; v).\}$

• Если M - любое банахово многообразие, касательное расслоение TM к M образует банахово расслоение по отношению к обычной проекции, но может быть нетривиальным.
• Аналогично кокасательное расслоение T * M, слой которого над точкой x ∈ M является топологическим двойственным пространством к касательному пространству в точке x:

$\pi \; -\; 1\; (x)\; =\; T\; x\; \ast \; M\; =\; (T\; x\; M)\; \ast ;\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; pi\; ^\; \{-\; 1\}\; (х)\; =\; \backslash \; mathrm\; \{T\}\; \_\; \{x\}\; ^\; \{*\}\; M\; =\; (\backslash \; mathrm\; \{T\}\; \_\; \{x\}\; M)\; ^\; \{*\};\}$

также образует банахово расслоение относительно обычной проекции на M.

• Существует связь между пространствами Бохнера и банаховыми расслоениями. Рассмотрим, например, пространство Бохнера X = L² ([0, T]; H (Ω)), которое может возникнуть как полезный объект при изучении уравнения теплопроводности в области Ω. Можно искать решения σ ∈ X уравнения теплопроводности; для каждого момента времени t σ (t) является функцией из пространства Соболева H (Ω). Можно также представить себе Y = [0, T] × H (Ω), которое как декартово произведение также имеет структуру банахова расслоения над многообразием [0, T] со слоем H (Ω), и в этом случае элементы / решения σ ∈ X являются сечениями расслоения Y некоторой заданной регулярности (фактически L²). Если дифференциальная геометрия рассматриваемой проблемы особенно важна, точка зрения банахова расслоения может быть полезной.

Совокупность всех банаховых расслоений может быть преобразована в категорию путем определения соответствующие морфизмы.

Пусть π: E → M и π ′: E ′ → M ′ - два банаховых расслоения. Морфизм банахова расслоения от первого расслоения ко второму состоит из пары морфизмов

$f\; 0:\; M\; \to \; M\; \prime ;\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{0\}:\; M\; \backslash \; to\; M\; \text{'};\}$

$f:\; E\; \to \; E\text{'}.\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; E\; \backslash \; to\; E\; \text{'}.\}$

Для того, чтобы f было морфизмом, просто означает, что f является непрерывным отображением топологических пространств. Если многообразия M и M 'оба принадлежат к классу C, то требование, чтобы f 0 было морфизмом, является требованием, чтобы это была p-раз непрерывно дифференцируемая функция. Эти два морфизма должны удовлетворять двум условиям (второе из них опять-таки избыточно в конечномерном случае):

• диаграмма

коммутирует, и для каждого x ∈ M индуцированное отображение

$fx\; :\; E\; x\; \to \; E\; f\; 0\; (x)\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{x\}:\; E\_\; \{x\}\; \backslash \; to\; E\; \text{'}\_\; \{f\_\; \{0\}\; (x)\}\}$

- непрерывная линейная карта;

• для каждого x 0 ∈ M существуют тривиализирующие карты

$\tau :\; \pi \; -\; 1\; (U)\; \to \; U\; \times \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau:\; \backslash \; pi\; ^\; \{-\; 1\}\; (U)\; \backslash \; to\; U\; \backslash \; times\; X\}$

$\tau \; \prime :\; \pi \; \prime \; -\; 1\; (U\; \prime )\; \to \; U\; \prime \; \times \; X\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\; \text{'}:\; \backslash \; pi\text{'}\; ^\; \{-\; 1\}\; (U\; \text{'})\; \backslash \; to\; U\text{'}\; \backslash \; times\; X\; \text{'}\}$

такой, что x 0 ∈ U, f 0(x0) ∈ U ′,

$f\; 0\; (U)\; \subseteq \; U\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{0\}\; (U)\; \backslash \; substeq\; U\; \text{'}\}$

и карта

$U\; \to \; L\; в\; (X;\; X\text{'})\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; \backslash \; to\; \backslash \; mathrm\; \{Lin\}\; (X;\; X\; \text{'})\}$

$x\; \mapsto \; \tau \; f\; 0\; (x)\; \prime \; \circ \; fx\; \circ \; \tau \; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; mapsto\; \backslash \; tau\; \text{'}\_\; \{f\_\; \{0\}\; (x)\}\; \backslash \; circ\; f\_\; \{x\}\; \backslash \; circ\; \backslash \; tau\; ^\; \{-\; 1\}\}$

является морфизмом ( дифференцируемая карта класса C).

Можно взять банахово расслоение над одним многообразием и использовать откат const Принцип определения нового банахова расслоения на втором многообразии.

В частности, пусть π: E → N - банахово расслоение, а f: M → N - дифференцируемое отображение (как обычно, все есть C). Тогда откат для π: E → N - это банахово расслоение f * π: f * E → M, удовлетворяющее следующим свойствам:

• для каждого x ∈ M, (f * E) x = E f (x) ;
• существует коммутативная диаграмма

с верхним горизонтальным отображением, являющимся единичным на каждом слое;

• если E тривиально, т.е. равно N × X для некоторого банахова пространства X, тогда f * E также тривиально и равно M × X, и

$f\; \ast \; \pi :\; f\; \ast \; E\; =\; M\; \times \; X\; \to \; M\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{*\}\; \backslash \; pi:\; f\; ^\; \{*\}\; E\; =\; M\; \backslash \; times\; X\; \backslash \; to\; M\}$

- проекция на первую координату;

• если V - открытое подмножество N и U = f (V), то

$f\; \ast \; (EV)\; =\; (f\; \ast \; E)\; U\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{*\}\; (E\_\; \{V\})\; =\; (f\; ^\; \{*\}\; E)\; \_\; \{U\}\}$

и есть коммутативная диаграмма

где карты «спереди» и «сзади» такие же, как и на предыдущей диаграмме, а карты от «тыла» к «лицевой стороне» (вызваны) включениями.

• Lang, Серж (1972). Дифференциальные многообразия. Рединг, Массачусетс - Лондон - Дон Миллс, Онтарио: Эддисон-Уэсли Паблишинг Ко., Инк.