Тригонометрические константы, выраженные в действительных радикалах

Углы первичного решения в форме (cos, sin) на единичной окружности равны кратны 30 и 45 градусам.

Точные алгебраические выражения для тригонометрических значений иногда полезны, в основном для упрощения решений в радикальных формах, которые позволяют дальнейшее упрощение.

Все тригонометрические числа - синусы или косинусы рациональных кратных 360 ° - являются алгебраическими числами (решения полиномиальных уравнений с целыми коэффициентами) ; кроме того, они могут быть выражены в терминах радикалов комплексных чисел ; но не все они выражаются в терминах настоящих радикалов. Когда они есть, их можно более конкретно выразить в терминах квадратных корней.

Все значения синусов, косинусов и тангенсов углов с шагом 3 ° можно выразить в терминах квадратных корней, используя тождества - тождество полуугла, двойное - идентификация угла и идентификация угла сложения / вычитания - и использование значений для 0 °, 30 °, 36 ° и 45 °. Для угла целого числа градусов, не кратного 3 ° (π / 60 радиан ), значения синуса, косинуса и тангенса не могут быть выражены в терминах действительных радикалов.

Согласно теореме Нивена, единственными рациональными значениями синусоидальной функции, аргументом которой является рациональное число градусов, являются 0, 1/2, 1, −1/2 и −1.

Согласно теореме Бейкера, если значение синуса, косинуса или тангенса является алгебраическим, то угол является либо рациональным числом градусов, либо трансцендентным числом градусов. То есть, если угол представляет собой алгебраическое, но нерациональное число градусов, все тригонометрические функции имеют трансцендентные значения.

• 1 Сфера применения этой статьи
• 2 Таблица некоторых общих углов
• 3 Дополнительные углы
  • 3.1 0 °: основной
  • 3.2 1.5 °: правильный гекатоникосагон (120-сторонний многоугольник)
  • 3,3 1,875 °: правильный шестиугольник (96-сторонний многоугольник)
  • 3,4 2,25 °: правильный восьмиугольник (80-сторонний многоугольник)
  • 3,5 2,8125 °: правильный гексаконтагексагон (64-сторонний многоугольник)
  • 3,6 3 °: правильный шестиугольник (60-сторонний многоугольник)
  • 3,7 3,75 °: правильный четырехугольник (48-сторонний многоугольник)
  • 3,8 4,5 °: правильный четырехконтагон (40-сторонний многоугольник)
  • 3,9 5,625 °: правильный триаконтадигон ( 32-сторонний многоугольник)
  • 3.10 6 °: правильный триаконтагон (30-сторонний многоугольник)
  • 3.11 7.5 °: правильный икоситетрагон (24-сторонний многоугольник)
  • 3.12 9 °: правильный икосугольник (20-сторонний многоугольник)
  • 3,13 11,25 °: правильный шестиугольник (16-сторонний многоугольник)
  • 3,14 12 °: правильный пятидекагон (15-сторонний многоугольник)
  • 3,15 15 °: правильный двенадцатигранник (12-сторонний многоугольник)
  • 3,16 18 °: правильный десятиугольник (10-сторонний многоугольник)
  • 3,17 21 °: сумма 9 ° + 12 °
  • 3,18 22,5 °: правильный восьмиугольник
  • 3,19 24 °: сумма 12 ° + 12 °
  • 3,20 27 °: сумма 12 ° + 15 °
  • 3,21 30 °: правильный шестиугольник
  • 3,22 33 °: сумма 15 ° + 18 °
  • 3,23 36 °: правильный пятиугольник
  • 3,24 39 °: сумма 18 ° + 21 °
  • 3,25 42 °: сумма 21 ° + 21 °
  • 3,26 45 °: квадрат
  • 3,27 54 °: сумма 27 ° + 27 °
  • 3,28 60 °: равносторонний треугольник
  • 3,29 67,5 °: сумма 7,5 ° + 60 °
  • 3,30 72 °: сумма 36 ° + 36 °
  • 3,31 75 °: сумма 30 ° + 45 °
  • 3,32 90 °: фундаментальный
• 4 Список тригонометрических констант 2π / n
• 5 Примечания
  • 5.1 Использование констант
  • 5.2 Деривационные треугольники
• 6 Вычисленные тригонометрические значения для синуса и косинуса
  • 6.1 Тривиальные значения
  • 6.2 Радикальная форма, sin и cos для π / (3 × 2)
  • 6.3 Радикальная форма, sin и cos для π / (5 × 2)
  • 6.4 Радикальная форма, sin и cos числа π / (5 × 3 × 2)
  • 6.5 Радикальная форма, sin и cos числа π / (17 × 2)
  • 6.6 Радикальная форма, sin и cos числа π / (257 × 2) и π / (65537 × 2)
  • 6.7 Радикальная форма, sin и cos из π / (255 × 2), π / (65535 × 2) и π / (4294967295 × 2)
  • 6,8 п × π / (5 × 2)
    • 6.8.1 Геометрический метод
    • 6.8.2 Алгебраический метод
  • 6.9 n × π / 20
  • 6.10 n × π / 30
  • 6.11 n × π / 60
• 7 Стратегии упрощения выражений
  • 7.1 Рационализация знаменателя
  • 7.2 Разделение дроби на две
  • 7.3 Возведение в квадрат и извлечение квадратного корня
  • 7.4 Упрощение вложенных радикальных выражений
• 8 См. Также
• 9 Ссылки
• 10 Внешние ссылки

Список в этой статье неполон в нескольких смыслах. Во-первых, тригонометрические функции всех углов, которые являются целыми кратными указанным, также могут быть выражены в радикалах, но некоторые из них здесь опущены.

Во-вторых, всегда можно применить формулу половинного угла, чтобы найти выражение в радикалах для тригонометрической функции: половина любого угла в списке, затем половина этого угла и т. Д.

В-третьих, выражения в вещественных радикалах существуют для тригонометрической функции рационального кратного числа π тогда и только тогда, когда знаменатель полностью приведенного рационального кратного является степенью 2 сама по себе или произведением степени 2 на произведение различных простых чисел Ферма, из которых известны 3, 5, 17, 257 и 65537.

В-четвертых, в этой статье рассматриваются значения тригонометрических функций только тогда, когда выражение в радикалах находится в реальных радикалах - корнях действительных чисел. Многие другие значения тригонометрических функций могут быть выражены, например, в виде кубических корней из комплексных чисел, которые нельзя переписать в терминах корней действительных чисел. Например, значения тригонометрической функции любого угла, который составляет одну треть угла θ, рассматриваемого в этой статье, могут быть выражены в виде кубических корней и квадратных корней с помощью формулы кубического уравнения для решения

$4\; соз\; 3\; \; \theta \; 3\; -\; 3\; соз\; \; \theta \; 3\; =\; соз\; \; \theta ,\; \{\backslash \; displaystyle\; 4\; \backslash \; cos\; ^\; \{3\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; theta\}\; \{3\}\}\; -\; 3\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; theta\}\; \{3\; \}\}\; =\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta,\}$

, но, как правило, решение для косинуса одной трети угла включает кубический корень из комплексного числа (что дает casus unducibilis ).

На практике все значения синусов, косинусов и тангенсов, не представленные в этой статье, аппроксимируются с использованием методов, описанных в Тригонометрических таблицах.

Несколько широко используются различные единицы измерения угла, включая градусы, радианы и градианы (углы ):

1 полный круг (поворот ) = 360 градусов = 2π радиан = 400 гон.

В следующей таблице показаны преобразования и значения для некоторых распространенных углов:

Повороты	Градусы	Радианы	Градианы	синус	косинус	тангенс
0	0 °	0	0	0	1	0
1/12	30 °	π / 6	33+1/3	1/2	√3 / 2	√3 / 3
1/8	45 °	π / 4	50	√2 / 2	√2 / 2	1
1/6	60 °	π / 3	66+2/3	√3 / 2	1/2	√3
1/4	90 °	π / 2	100	1	0
1/3	120 °	2π / 3	133 + 1 / 3	√3 / 2	−1/2	−√3
3/8	135 °	3π / 4	150	√2 / 2	−√2 / 2	−1
5/12	150 °	5π / 6	166+2/3	1/2	−√3 / 2	−√3 / 3
1/2	180 °	π	200	0	−1	0
7/12	210 °	7π / 6	233 + 1/3	−1/2	−√3 / 2	√3 / 3
5/8	225 °	5π / 4	250	−√2 / 2	−√2 / 2	1
2/3	240 °	4π / 3	266+2/3	−√3 / 2	−1/2	√3
3/4	270 °	3π / 2	300	−1	0
5/6	300 °	5π / 3	333+1/3	−√3 / 2	1/2	−√3
7/8	315 °	7π / 4	350	−√2 / 2	√2 / 2	−1
11/12	330 °	11π / 6	366+2/3	-1/2	√3 / 2	−√3 / 3
1	360 °	2π	400	0	1	0

Точная тригонометрическая таблица для кратных 3 градусам.

Значения вне диапазона углов [0 °, 45 °] тривиально выводятся из этих значений с использованием оси круга отражение симметрии. (См. Список тригонометрических отождествлений.)

В приведенных ниже записях, когда определенное количество градусов относится к правильному многоугольнику, отношение состоит в том, что количество градусов в каждом углу многоугольник в (n - 2) раз больше указанного числа градусов (где n - количество сторон). Это потому, что сумма углов любого n-угольника равна 180 ° × (n - 2), и поэтому мера каждого угла любого правильного n-угольника равна 180 ° × (n - 2) ÷ n. Так, например, запись «45 °: квадрат» означает, что при n = 4 180 ° ÷ n = 45 °, а количество градусов в каждом углу квадрата составляет (n - 2) × 45 ° = 90 °..

0 °: фундаментальный

$грех\; \; 0\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; 0\; =\; 0\; \backslash ,\}$

$cos\; \; 0\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; 0\; =\; 1\; \backslash ,\}$

$загар\; \; 0\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tan\; 0\; =\; 0\; \backslash ,\}$

$кроватка\; \; 0\; не\; определена\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cot\; 0\; \{\backslash \; text\; \{is\; undefined\}\}\; \backslash ,\}$

1,5 °: правильный гекатоникосагон (120-сторонний многоугольник)

$sin\; \; (\pi \; 120)\; =\; sin\; \; (1.5\; \circ )\; =\; (2\; +\; 2)\; (15\; +\; 3\; -\; 10\; -\; 2\; 5)\; -\; (2\; -\; 2)\; (30\; -\; 6\; 5\; +\; 5\; +\; 1)\; 16\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{120\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; sin\; \backslash \; left\; (1,5\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; (\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{15\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{10-2\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\})\; \}\}\}\; \backslash \; right)\; -\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{2\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{30-6\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\; +\; 1\; \backslash \; right)\}\; \{16\}\}\}$

$cos\; \; (\pi \; 120)\; =\; cos\; \; (1,5\; \circ )\; =\; (2\; +\; 2)\; (30\; -\; 6\; 5\; +\; 5\; +\; 1)\; +\; (\; 2–2)\; (15\; +\; 3–10–2\; 5)\; 16\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{120\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; cos\; \backslash \; left\; (1.5\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; \backslash \; справа)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{30-6\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\; +\; 1\; \backslash \; right)\; +\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{2\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\})\; \}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{15\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{10-2\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\}\}\; \backslash \; right)\}\; \{16\}\}\}$

1,875 °: правильный enneacontahexagon (96-сторонний многоугольник)

$sin\; \; (\pi \; 96)\; =\; sin\; \; (1,875\; \circ )\; =\; 1\; 2\; 2\; -\; 2\; +\; 2\; +\; 2\; +\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; \backslash \; left\; (\{\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{96\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; sin\; \backslash \; left\; (1,875\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}$

$cos\; \; (\pi \; 96)\; =\; cos\; \; (1,875\; \circ )\; =\; 1\; 2\; 2\; +\; 2\; +\; 2\; +\; 2\; +\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{96\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; cos\; \backslash \; left\; (1,875\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\; \}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}$

2,25 ° : правильный восьмиугольник (80-сторонний многоугольник)

$грех\; \; (\pi \; 80)\; =\; грех\; \; (2,25\; \circ )\; =\; 1\; 2\; 2\; -\; 2\; +\; 2\; +\; 5\; +\; 5\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\; \backslash \; pi\}\; \{80\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; sin\; \backslash \; left\; (2.25\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{5\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\}\; \{2\}\}\}\}\}\}\}\}\}$

$cos\; \; (\pi \; 80)\; =\; cos\; \; (2,25\; \circ )\; =\; 1\; 2\; 2\; +\; 2\; +\; 2\; +\; 5\; +\; 5\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{80\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; cos\; \backslash \; left\; (2.25\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{5\; +\; \{\backslash \})\; sqrt\; \{5\}\}\}\; \{2\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}$

2,8125 °: правильный шестиугольник (64-сторонний многоугольник)

$sin\; \; (\pi \; 64)\; =\; sin\; \; (2,8125\; \circ )\; =\; 1\; 2\; 2\; -\; 2\; +\; 2\; +\; 2\; +\; 2\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; sin\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{64\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; sin\; \backslash \; left\; (2,8125\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}$

$соз\; \; (\pi \; 64)\; =\; соз\; \; (2,8125\; \circ )\; =\; 1\; 2\; 2\; +\; 2\; +\; 2\; +\; 2\; +\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{64\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; cos\; \backslash \; left\; (2,8125\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \})\; sqrt\; \{2\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}$

3 °: правильный шестиугольник (60-сторонний многоугольник)

$sin\; \; (\pi \; 60)\; =\; sin\; \; (3\; \circ )\; =\; 2\; (1\; -\; 3)\; 5\; +\; 5\; +\; (10-2)\; (3\; +\; 1)\; 16\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{60\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; sin\; \backslash \; left\; (3\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; left\; (1\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\}\}\; +\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{10\}\}\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; +\; 1\; \backslash \; right)\}\; \{16\}\}\; \backslash ,\}$

$cos\; \; (\pi \; 60)\; =\; cos\; \; (3\; \circ )\; знак\; равно\; 2\; (1\; +\; 3)\; 5\; +\; 5\; +\; (10-2)\; (3-1)\; 16\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{60\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; cos\; \backslash \; left\; (3\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; left\; (1\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\}\}\; +\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{10\}\}\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; -\; 1\; \backslash \; right)\}\; \{16\}\}\; \backslash ,\}$

$загар\; \; (\pi \; 60)\; =\; загар\; \; (3\; \circ )\; =\; [(2-3)\; (3\; +\; 5)\; -\; 2]\; [2-10-2\; 5]\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tan\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{60\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; tan\; \backslash \; left\; (3\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; [\backslash \; left\; (2\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (3\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\})\; \}\; \backslash \; right)\; -2\; \backslash \; right]\; \backslash \; left\; [2\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{10-2\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\}\}\; \backslash \; right]\}\; \{4\}\}\; \backslash ,\}$

$детская\; кроватка\; \; (\pi \; 60)\; знак\; равно\; детская\; кроватка\; \; (3\; \circ )\; =\; [(2\; +\; 3)\; (3\; +\; 5)\; -\; 2]\; [2\; +\; 10-2\; 5]\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cot\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{60\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; cot\; \backslash \; left\; (3\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; [\backslash \; left\; (2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (3\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{\; 5\}\}\; \backslash \; right)\; -2\; \backslash \; right]\; \backslash \; left\; [2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{10-2\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\}\}\; \backslash \; right]\}\; \{4\}\}\; \backslash ,\}$

3,75 °: обычный четырехугольник (48-сторонний многоугольник)

$грех\; \; (\pi \; 48)\; =\; грех\; \; (3,75\; \circ )\; =\; 1\; 2\; 2\; -\; 2\; +\; 2\; +\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{48\; \}\}\backslash р\; ight)\; =\; \backslash \; sin\; \backslash \; left\; (3,75\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{\; 3\}\}\}\}\}\}\}\}\}$

$соз\; \; (\pi \; 48)\; =\; соз\; \; (3,75\; \circ )\; =\; 1\; 2\; 2\; +\; 2\; +\; 2\; +\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\; \}\; \{48\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; cos\; \backslash \; left\; (3,75\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{\; 2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\}\}\}\}\}\}\}$

4.5 °: правильный четырехугольник (40-сторонний многоугольник)

$sin\; \; (\pi \; 40)\; =\; sin\; \; (4.5\; \circ )\; =\; 1\; 2\; 2\; -\; 2\; +\; 5\; +\; 5\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{40\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; sin\; \backslash \; left\; (4.5\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\; \}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{5\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\}\; \{2\}\}\}\}\}\}\}\}$

$cos\; \; (\; \pi \; 40)\; знак\; равно\; соз\; \; (4,5\; \circ )\; =\; 1\; 2\; 2\; +\; 2\; +\; 5\; +\; 5\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{40\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; cos\; \backslash \; left\; (4,5\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{5\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\}\}\; \{2)\; \}\}\}\}\}\}\}\}$

5,625 °: правильный триаконтадигон (32-сторонний многоугольник)

$sin\; \; (\pi \; 32)\; =\; sin\; \; (5,625\; \circ )\; =\; 1\; 2\; 2\; -\; 2\; +\; 2\; +\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{32\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; sin\; \backslash \; left\; (5,625\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\}\}\}\}\}\}$

$cos\; \; (\pi \; 32)\; =\; cos\; \; (5,625\; \circ )\; знак\; равно\; 1\; 2\; 2\; +\; 2\; +\; 2\; +\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{32\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; cos\; \backslash \; left\; (5,625\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; \backslash \; справа)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\}\}\}\}\}\}$

6 ° : правильный триаконтагон (30-сторонний многоугольник)

$грех\; \; \pi \; 30\; =\; грех\; \; 6\; \circ \; =\; 30\; -\; 180\; -\; 5\; -\; 1\; 8\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{30\}\}\; =\; \backslash \; sin\; 6\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{30\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{180\}\}\}\}\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\; -\; 1\}\; \{8\}\}\; \backslash ,\}$

$cos\; \; \pi \; 30\; знак\; равно\; соз\; \; 6\; \circ \; знак\; равно\; 10-20\; +\; 3\; +\; 15\; 8\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{30\}\}\; =\; \backslash \; cos\; 6\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{10-\; \{\backslash \; sqrt\; \{20\}\}\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{15\}\}\}\; \{8\}\}\; \backslash ,\}$

$загар\; \; \pi \; 30\; =\; загар\; \; 6\; \circ \; =\; 10–20\; +\; 3–15\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tan\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{30\}\}\; =\; \backslash \; tan\; 6\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{10\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{20\}\}\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{15\}\}\}\; \{2\}\}\; \backslash ,\}$

$детская\; кроватка\; \; \pi \; 30\; =\; детская\; кроватка\; \; 6\; \circ \; =\; 27\; +\; 15\; +\; 50\; +\; 2420\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cot\; \{\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{30\}\}\; =\; \backslash \; cot\; 6\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{27\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{15\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{50\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{\; 2420\}\}\}\}\}\; \{2\}\}\; \backslash ,\}$

7. 5 °: правильный икоситетракон (24-сторонний многоугольник)

$грех\; \; (\pi \; 24)\; =\; грех\; \; (7,5\; \circ )\; =\; 1\; 2\; 2\; -\; 2\; +\; 3\; =\; 1\; 4\; 8\; -\; 2\; 6\; -\; 2\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{24\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; sin\; \backslash \; left\; (7.5\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2-\; \{\; \backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\}\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{8-2\; \{\backslash \; sqrt\; \{6\}\}\; -\; 2\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; \}\}\}$

$соз\; \; (\pi \; 24)\; =\; соз\; \; (7,5\; \circ )\; =\; 1\; 2\; 2\; +\; 2\; +\; 3\; =\; 1\; 4\; 8\; +\; 2\; 6\; +\; 2\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{24\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; cos\; \backslash \; left\; (7.5\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\}\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{8\; +\; 2\; \{\backslash \; sqrt\; \{6\}\}\; +\; 2\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\}\}$

$загар\; \; (\pi \; 24)\; знак\; равно\; загар\; \; (7,5\; \circ )\; =\; 6\; -\; 3\; +\; 2\; -\; 2\; =\; (2\; -\; 1)\; (3\; -\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tan\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{24\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; tan\; \backslash \; left\; (7.5\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{6\}\}\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; -\; 2\; \backslash \; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; -\; 1\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\}$

$детская\; кроватка\; \; (\pi \; 24)\; =\; детская\; кроватка\; \; (7,5\; \circ )\; =\; 6\; +\; 3\; +\; 2\; +\; 2\; =\; (2\; +\; 1)\; (3\; +\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cot\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{24\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; cot\; \backslash \; left\; (7.5\; ^\; \{\backslash \; circ\; \}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{6\}\}\; +\; \{\; \backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; +\; 2\; \backslash \; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; +\; 1\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\; \}\; \backslash \; right)\}$

9 °: правильный икосугольник (20-сторонний многоугольник)

$грех\; \; \pi \; 20\; =\; грех\; \; 9\; \circ \; =\; 1\; 2\; 2\; -\; 5\; +\; 5\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{20\}\}\; =\; \backslash \; sin\; 9\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{5\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\}\; \{\; 2\}\}\}\}\}\}$

$соз\; \; \pi \; 20\; =\; соз\; \; 9\; \circ \; =\; 1\; 2\; 2\; +\; 5\; +\; 5\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{20\}\}\; =\; \backslash \; cos\; 9\; ^\; \{\; \backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{5\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\}\; \{2\}\}\}\}\}\}$

$загар\; \; \pi \; 20\; =\; загар\; \; 9\; \circ \; =\; 5\; +\; 1-5\; +\; 2\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tan\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{20\}\}\; =\; \backslash \; tan\; 9\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\; +\; 1\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\; +\; 2\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\}\}\; \backslash ,\}$

$детская\; кроватка\; \; \pi \; 20\; =\; детская\; кроватка\; \; 9\; \circ \; =\; 5\; +\; 1\; +\; 5\; +\; 2\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cot\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{20\}\}\; =\; \backslash \; cot\; 9\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\; +\; 1\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\; +\; 2\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\}\}\; \backslash ,\}$

11,25 °: правильный шестиугольник (16-сторонний многоугольник)

$грех\; \; \pi \; 16\; =\; грех\; \; 11,25\; \circ \; =\; 1\; 2\; 2\; -\; 2\; +\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{16\}\}\; =\; \backslash \; sin\; 11.25\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\}\}\}\}$

$cos\; \; \pi \; 16\; =\; cos\; \; 11,25\; \circ \; =\; 1\; 2\; 2\; +\; 2\; +\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{16\}\}\; =\; \backslash \; cos\; 11.25\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2)\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\}\}\}\}$

$загар\; \; \pi \; 16\; =\; загар\; \; 11,25\; \circ \; =\; 4\; +\; 2\; 2\; -\; 2\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tan\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{16\}\}\; =\; \backslash \; tan\; 11.25\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{4\; +\; 2\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\}\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; -\; 1\}$

$детская\; кроватка\; \; \pi \; 16\; =\; детская\; кроватка\; \; 11.25\; \circ \; =\; 4\; +\; 2\; 2\; +\; 2\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cot\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{16\}\}\; =\; \backslash \; cot\; 11.25\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{4\; +\; 2\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; +\; 1\}$

12 °: правильный пятиугольник (15-сторонний многоугольник)

$sin\; \; \pi \; 15\; =\; sin\; \; 12\; \circ \; =\; 1\; 8\; [2\; (5\; +\; 5)\; +\; 3\; -\; 15]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{15\}\}\; =\; \backslash \; sin\; 12\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{8\}\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; left\; (5\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\; \backslash \; right)\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{15\}\}\; \backslash \; right]\; \backslash ,\}$

$cos\; \; \pi \; 15\; =\; cos\; \; 12\; \circ \; =\; 1\; 8\; [6\; (5\; +\; 5)\; +\; 5-1]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{15\}\}\; =\; \backslash \; cos\; 12\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{8\}\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; sqrt\; \{6\; \backslash \; left\; (5\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\; \backslash \; right)\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\; -\; 1\; \backslash \; right]\; \backslash ,\}$

$загар\; \; \pi \; 15\; =\; загар\; \; 12\; \circ \; знак\; равно\; 1\; 2\; [3\; 3\; -\; 15\; -\; 2\; (25\; -\; 11\; 5)]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tan\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{15\}\}\; =\; \backslash \; tan\; 12\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; tfra\; c\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; [3\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{15\}\}\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; left\; (25-11\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\; \backslash \; right)\}\; \}\; \backslash ,\; \backslash \; right]\; \backslash ,\}$

$детская\; кроватка\; \; \pi \; 15\; =\; детская\; кроватка\; \; 12\; \circ \; =\; 1\; 2\; [15\; +\; 3\; +\; 2\; (5\; +\; 5)]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cot\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{15\; \}\}\; =\; \backslash \; cot\; 12\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; sqrt\; \{15\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; left\; (5\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\; \backslash \; right)\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; right]\; \backslash ,\}$

15 °: правильный двенадцатигранник (12-сторонний многоугольник)

$sin\; \; \pi \; 12\; =\; sin\; \; 15\; \circ \; =\; 1\; 4\; (6–2)\; =\; 1\; 2\; 2–3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{12\}\}\; =\; \backslash \; sin\; 15\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; \backslash \; left\; (\; \{\backslash \; sqrt\; \{6\}\}\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\}\}\}$

$cos\; \; \pi \; 12\; знак\; равно\; соз\; \; 15\; \circ \; знак\; равно\; 1\; 4\; (6\; +\; 2)\; =\; 1\; 2\; 2\; +\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{12\}\}\; =\; \backslash \; cos\; 15\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{6\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{3)\; \}\}\}\}\}$

$загар\; \; \pi \; 12\; =\; загар\; \; 15\; \circ \; =\; 2\; -\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tan\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{12\}\}\; =\; \backslash \; tan\; 15\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; 2-\; \{\; \backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; \backslash ,\}$

$детская\; кроватка\; \; \pi \; 12\; =\; детская\; кроватка\; \; 15\; \circ \; =\; 2\; +\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cot\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{12\}\}\; =\; \backslash \; cot\; 15\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; 2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; \backslash ,\}$

18 °: обычный склон. агон (10-сторонний многоугольник)

$грех\; \; \pi \; 10\; =\; грех\; \; 18\; \circ \; =\; 1\; 4\; (5-1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{10\}\}\; =\; \backslash \; sin\; 18\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{4\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\; -\; 1\; \backslash \; right)\; \backslash ,\}$

$cos\; \; \pi \; 10\; =\; cos\; \; 18\; \circ \; =\; 1\; 4\; 2\; (5\; +\; 5)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{10\}\}\; =\; \backslash \; cos\; 18\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{4\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; left\; (5\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\; \backslash \; right)\}\}\; \backslash ,\}$

$загар\; \; \pi \; 10\; =\; загар\; \; 18\; \circ \; =\; 1\; 5\; 5\; (5–2\; 5)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tan\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{10\}\; \}\; =\; \backslash \; tan\; 18\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{5\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\; \backslash \; left\; (5-2\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\; \backslash \; right)\}\}\; \backslash ,\}$

$детская\; кроватка\; \; \pi \; 10\; =\; детская\; кроватка\; \; 18\; \circ \; =\; 5\; +\; 2\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cot\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{10\}\}\; =\; \backslash \; cot\; 18\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\; +\; 2\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\}\}\; \backslash ,\}$

21 °: сумма 9 ° + 12 °

$sin\; \; 7\; \pi \; 60\; =\; sin\; \; 21\; \circ \; =\; 1\; 16\; (2\; (3\; +\; 1)\; 5\; -\; 5\; -\; (6\; -\; 2)\; (1\; +\; 5))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{7\; \backslash \; pi\}\; \{60\}\}\; =\; \backslash \; sin\; 21\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{16\}\}\; \backslash \; left\; (2\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; +\; 1\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\}\}\; -\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{6\}\}\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; \backslash \; вправо)\; \backslash \; влево\; (1\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right)\; \backslash ,\}$

$cos\; \; 7\; \pi \; 60\; =\; cos\; \; 21\; \circ \; =\; 1\; 16\; (2\; (3\; -\; 1)\; 5\; -\; 5\; +\; (6\; +\; 2)\; (1\; +\; 5))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{7\; \backslash \; pi\}\; \{60\}\}\; =\; \backslash \; cos\; 21\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{16\}\}\; \backslash \; left\; (2\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{3\; \}\}\; -\; 1\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\}\}\; +\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{6\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (1+\; \{\; \backslash \; sqrt\; \{5\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right)\; \backslash ,\}$

$загар\; \; 7\; \pi \; 60\; =\; загар\; \; 21\; \circ \; =\; 1\; 4\; (2\; -\; (2\; +\; 3)\; (3-5))\; (2\; -\; 2\; (\; 5\; +\; 5))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tan\; \{\backslash \; frac\; \{7\; \backslash \; pi\}\; \{60\}\}\; =\; \backslash \; tan\; 21\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; \backslash \; left\; (2-\; \backslash \; left\; (\; 2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (3\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (2\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; left\; (5\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\; \}\}\; \backslash \; right)\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash ,\}$

$детская\; кроватка\; \; 7\; \pi \; 60\; =\; детская\; кроватка\; \; 21\; \circ \; =\; 1\; 4\; (2\; -\; (2-3)\; (3-5))\; (2\; +\; 2\; (5\; +\; 5))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cot\; \{\backslash \; frac\; \{7\; \backslash \; pi\}\; \{60\}\}\; =\; \backslash \; cot\; 21\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; \backslash \; left\; (2-\; \backslash \; left\; (2-\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (3\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; left\; (5\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\})\; \backslash \; right)\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash ,\}$

22,5 °: правильный восьмиугольник

$грех\; \; \pi \; 8\; =\; грех\; \; 22,5\; \circ \; =\; 1\; 2\; 2\; -\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{8\}\}\; =\; \backslash \; sin\; 22.5\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\},\}$

$cos\; \; \pi \; 8\; =\; cos\; \; 22,5\; \circ \; знак\; равно\; 1\; 2\; 2\; +\; 2\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; соз\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{\backslash \; pi\}\; \{8\}\}\; =\; \backslash \; cos\; 22,5\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\}\; \backslash ,\}$

$загар\; \; \pi \; 8\; =\; загар\; \; 22,5\; \circ \; =\; 2\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tan\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{8\}\}\; =\; \backslash \; tan\; 22,5\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; -\; 1\; \backslash ,\}$

$детская\; кроватка\; \; \pi \; 8\; =\; детская\; кроватка\; \; 22,5\; \circ \; =\; 2\; +\; 1\; =\; \delta \; S\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cot\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{8\}\}\; =\; \backslash \; cot\; 22,5\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \}\}\; +\; 1\; =\; \backslash \; delta\; \_\; \{S\}\; \backslash ,\}$, отношение серебра

24 °: сумма 12 ° + 12 °

$sin\; \; 2\; \pi \; 15\; =\; sin\; \; 24\; \circ \; знак\; равно\; 1\; 8\; [15\; +\; 3–2\; (5–5)]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{15\}\}\; =\; \backslash \; sin\; 24\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{8\}\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; sqrt\; \{15\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; left\; (5\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\; \backslash \; right)\}\}\; \backslash \; right]\; \backslash ,\; \}$

$соз\; \; 2\; \pi \; 15\; =\; соз\; \; 24\; \circ \; =\; 1\; 8\; (6\; (5–5)\; +\; 5\; +\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{15\}\}\; =\; \backslash \; cos\; 24\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{8\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{6\; \backslash \; left\; (5\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\; \backslash \; right)\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\; +\; 1\; \backslash \; right)\; \backslash ,\}$

$загар\; \; 2\; \pi \; 15\; =\; загар\; \; 24\; \circ \; =\; 1\; 2\; [50\; +\; 22\; 5–3\; 3–15]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tan\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{15\}\; \}\; =\; \backslash \; tan\; 24\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; sqrt\; \{50\; +\; 22\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\}\}\; -\; 3\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{15\}\}\; \backslash \; right]\; \backslash ,\}$

$детская\; кроватка\; \; 2\; \pi \; 15\; знак\; равно\; детская\; кроватка\; \; 24\; \circ \; знак\; равно\; 1\; 2\; [15-3\; +\; 2\; (5-5)]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cot\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{15\}\}\; =\; \backslash \; cot\; 24\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; sqrt\; \{15\}\}\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; left\; (5\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\; \backslash \; right)\}\; \}\; \backslash \; right]\; \backslash ,\}$

27 °: сумма 12 ° + 15 °

$sin\; \; 3\; \pi \; 20\; =\; sin\; \; 27\; \circ \; =\; 1\; 8\; [2\; 5\; +\; 5\; -\; 2\; (5\; -\; 1)]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{3\; \backslash \; pi\}\; \{20\}\}\; =\; \backslash \; sin\; 27\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{8\}\}\; \backslash \; left\; [2\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\; \}\}\}\}\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; \backslash ;\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\; -\; 1\; \backslash \; right)\; \backslash \; right]\; \backslash ,\}$

$cos\; \; 3\; \pi \; 20\; =\; cos\; \; 27\; \circ \; =\; 1\; 8\; [2\; 5\; +\; 5\; +\; 2\; (5-1)]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{3\; \backslash \; pi\}\; \{20\}\}\; =\; \backslash \; cos\; 27\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{8\}\; \}\; \backslash \; left\; [2\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; \backslash ;\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\; -\; 1\; \backslash \; right)\; \backslash \; right]\; \backslash ,\; \}$

$загар\; \; 3\; \pi \; 20\; =\; загар\; \; 27\; \circ \; =\; 5\; -\; 1\; -\; 5\; -\; 2\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tan\; \{\backslash \; frac\; \{3\; \backslash \; pi\}\; \{20\}\}\; =\; \backslash \; tan\; 27\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\; -\; 1\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{5-2\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\}\}\; \backslash ,\}$

$детская\; кроватка\; \; 3\; \pi \; 20\; =\; детская\; кроватка\; \; 27\; \circ \; =\; 5\; -\; 1\; +\; 5\; -\; 2\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cot\; \{\backslash \; frac\; \{3\; \backslash \; pi\}\; \{20\}\}\; =\; \backslash \; cot\; 27\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\; -\; 1\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{5-2\; \{\backslash \; sqrt\; \{5)\; \}\}\}\}\; \backslash ,\}$

30 °: правильный шестиугольник

$sin\; \; \pi \; 6\; =\; sin\; \; 30\; \circ \; знак\; равно\; 1\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{6\}\}\; =\; \backslash \; sin\; 30\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash ,\}$

$cos\; \; \pi \; 6\; =\; соз\; \; 30\; \circ \; =\; 3\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{6\}\}\; =\; \backslash \; cos\; 30\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; \{2\}\}\; \backslash ,\}$

$загар\; \; \pi \; 6\; =\; загар\; \; 30\; \circ \; =\; 3\; 3\; =\; 1\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tan\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{6\}\}\; =\; \backslash \; tan\; 30\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; \{3\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\}\; \backslash ,\}$

$детская\; кроватка\; \; \pi \; 6\; =\; детская\; кроватка\; \; 30\; \circ \; =\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cot\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{6\}\}\; =\; \backslash \; cot\; 30\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; \backslash ,\}$

33 °: сумма 15 ° + 18 °

$sin\; \; 11\; \pi \; 60\; =\; грех\; \; 33\; \circ \; знак\; равно\; 1\; 16\; [2\; (3-1)\; 5\; +\; 5\; +\; 2\; (1\; +\; 3)\; (5-1)]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{11\; \backslash \; pi\}\; \{60\}\}\; =\; \backslash \; sin\; 33\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{16\}\}\; \backslash \; left\; [2\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; -\; 1\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\}\; \}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (1\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\; -\; 1\; \backslash \; right)\; \backslash \; right]\; \backslash ,\}$

$cos\; \; 11\; \pi \; 60\; знак\; равно\; соз\; \; 33\; \circ \; знак\; равно\; 1\; 16\; [2\; (3\; +\; 1)\; 5\; +\; 5\; +\; 2\; (1-3)\; (5-1)]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{11\; \backslash \; pi\}\; \{60\}\; \}\; =\; \backslash \; cos\; 33\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{16\}\}\; \backslash \; left\; [2\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; +\; 1\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{\; 5\}\}\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (1\; -\; \{\backslash \; s\; qrt\; \{3\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\; -\; 1\; \backslash \; right)\; \backslash \; right]\; \backslash ,\}$

$загар\; \; 11\; \pi \; 60\; =\; загар\; \; 33\; \circ \; =\; 1\; 4\; [2\; -\; (2\; -\; 3)\; (3\; +\; 5)]\; [2\; +\; 2\; (5-5)]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tan\; \{\backslash \; frac\; \{11\; \backslash \; pi\}\; \{60\}\}\; =\; \backslash \; tan\; 33\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{\; 1\}\; \{4\}\}\; \backslash \; left\; [2-\; \backslash \; left\; (2\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (3\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right]\; \backslash \; left\; [2+\; \{\; \backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; left\; (5\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\; \backslash \; right)\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; right]\; \backslash ,\}$

$детская\; кроватка\; \; 11\; \pi \; 60\; =\; детская\; кроватка\; \; 33\; \circ \; =\; 1\; 4\; [2\; -\; (2\; +\; 3)\; (3\; +\; 5)]\; [2–2\; (5–5)]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cot\; \{\backslash \; frac\; \{11\; \backslash \; pi\}\; \{60\}\}\; =\; \backslash \; cot\; 33\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{\; 1\}\; \{4\}\}\; \backslash \; left\; [2-\; \backslash \; left\; (2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (3\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right]\; \backslash \; left\; [2-\; \{\; \backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; left\; (5\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\; \backslash \; right)\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; right]\; \backslash ,\}$

36 °: правильный пятиугольник

$sin\; \; \pi \; 5\; =\; sin\; \; 36\; \circ \; =\; 1\; 4\; 10\; -\; 2\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{5\}\}\; =\; \backslash \; sin\; 36\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{10-2\; \{\; \backslash \; sqrt\; \{5\}\}\}\}\}$

$соз\; \; \pi \; 5\; =\; соз\; \; 36\; \circ \; =\; 5\; +\; 1\; 4\; =\; \phi \; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{5\}\}\; =\; \backslash \; cos\; 36\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\; +\; 1\}\; \{4\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; varphi\}\; \{2\}\},\}$где φ - золотое сечение ;

$загар\; \; \pi \; 5\; =\; загар\; \; 36\; \circ \; =\; 5–2\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tan\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{5\}\}\; =\; \backslash \; tan\; 36\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{5-2\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\}\}\; \backslash ,\}$

$детская\; кроватка\; \; \pi \; 5\; =\; детская\; кроватка\; \; 36\; \circ \; =\; 1\; 5\; 25\; +\; 10\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cot\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{5\}\}\; =\; \backslash \; cot\; 36\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{5\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{25\; +\; 10\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\}\}\}$

39 °: сумма 18 ° + 21 °

$sin\; \; 13\; \pi \; 60\; =\; sin\; \; 39\; \circ \; Знак\; равно\; 1\; 16\; [2\; (1-3)\; 5-5\; +\; 2\; (3\; +\; 1)\; (5\; +\; 1)]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{13\; \backslash \; pi\}\; \{60\}\}\; =\; \backslash \; sin\; 39\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{16\}\}\; \backslash \; left\; [2\; \backslash \; left\; (1\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; +\; 1\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\; +\; 1\; \backslash \; right)\; \backslash \; right]\; \backslash ,\}$

$cos\; \; 13\; \pi \; 60\; =\; соз\; \; 39\; \circ \; знак\; равно\; 1\; 16\; [2\; (1\; +\; 3)\; 5-5\; +\; 2\; (3-1)\; (5\; +\; 1)]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{13\; \backslash \; pi\}\; \{60\}\}\; =\; \backslash \; соз\; 39\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{16\}\}\; \backslash \; left\; [2\; \backslash \; left\; (1\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\}\; \}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; -\; 1\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\; +\; 1\; \backslash \; right)\; \backslash \; right]\; \backslash ,\}$

$загар\; \; 13\; \pi \; 60\; знак\; равно\; загар\; \; 39\; \circ \; знак\; равно\; 1\; 4\; [(2-3)\; (3-5)\; -\; 2]\; [2-2\; (5\; +\; 5)]\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; загар\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{13\; \backslash \; pi\}\; \{60\; \}\}\; =\; \backslash \; tan\; 39\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\; \}\; \{4\}\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; left\; (2\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (3\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\; \backslash \; right)\; -2\; \backslash \; right]\; \backslash \; left\; [2\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; left\; (5\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\; \backslash \; right)\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; right]\; \backslash ,\}$

$детская\; кроватка\; \; 13\; \pi \; 60\; =\; детская\; кроватка\; \; 39\; \circ \; =\; 1\; 4\; [(2\; +\; 3)\; (3-5)\; -\; 2]\; [2\; +\; 2\; (5\; +\; 5)]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cot\; \{\backslash \; frac\; \{13\; \backslash \; pi\}\; \{60\}\}\; =\; \backslash \; cot\; 39\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\; \}\; \{4\}\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; left\; (2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (3\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\; \backslash \; right)\; -2\; \backslash \; right]\; \backslash \; left\; [2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; left\; (5\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\; \backslash \; right)\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; right]\; \backslash ,\}$

42 °: сумма 21 ° + 21 °

$sin\; \; 7\; \pi \; 30\; =\; sin\; \; 42\; \circ \; знак\; равно\; 30\; +\; 6\; 5-5\; +\; 1\; 8\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{7\; \backslash \; pi\}\; \{30\}\}\; =\; \backslash \; sin\; 42\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{30+)\; 6\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\}\}\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\; +\; 1\}\; \{8\}\}\; \backslash ,\}$

$cos\; \; 7\; \pi \; 30\; =\; cos\; \; 42\; \circ \; =\; 15\; -\; 3\; +\; 10\; +\; 2\; 5\; 8\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{7\; \backslash \; pi\}\; \{30\}\}\; =\; \backslash \; cos\; 42\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{15\}\}\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{10\; +\; 2\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\}\}\}\; \{8\}\}\; \backslash ,\}$

$загар\; \; 7\; \pi \; 30\; =\; загар\; \; 42\; \circ \; =\; 15\; +\; 3\; -\; 10\; +\; 2\; 5\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tan\; \{\backslash \; frac\; \{7\; \backslash \; pi\}\; \{30\}\}\; =\; \backslash \; tan\; 42\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{15\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{10\; +\; 2\; \{\; \backslash \; sqrt\; \{5\}\}\}\}\}\; \{2\}\}\; \backslash ,\}$

$детская\; кроватка\; \; 7\; \pi \; 30\; =\; детская\; кроватка\; \; 42\; \circ \; =\; 50\; -\; 22\; 5\; +\; 3\; 3\; -\; 15\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cot\; \{\backslash \; frac\; \{7\; \backslash \; pi\}\; \{30\}\}\; =\; \backslash \; cot\; 42\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{50-22\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\})\; \}\}\}\; +\; 3\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{15\}\}\}\; \{2\}\}\; \backslash ,\}$

45 °: квадрат

$sin\; \; \pi \; 4\; =\; sin\; \; 45\; \circ \; =\; 2\; 2\; =\; 1\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{4\}\}\; =\; \backslash \; sin\; 45\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; \{2\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\; \backslash ,\}$

$соз\; \; \pi \; 4\; =\; соз\; \; 45\; \circ \; =\; 2\; 2\; =\; 1\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{4\}\}\; =\; \backslash \; cos\; 45\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; \{2\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\; \backslash ,\}$

$загар\; \; \pi \; 4\; =\; загар\; \; 45\; \circ \; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tan\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{4\}\}\; =\; \backslash \; tan\; 45\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; 1\; \backslash ,\}$

$детская\; кроватка\; \; \pi \; 4\; =\; детская\; кроватка\; \; 45\; \circ \; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cot\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{4\}\}\; =\; \backslash \; cot\; 45\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; 1\; \backslash ,\}$

54 °: сумма 27 ° + 27 °

$sin\; \; 3\; \pi \; 10\; =\; sin\; \; 54\; \circ \; =\; 5\; +\; 1\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{3\; \backslash \; pi\}\; \{10\}\}\; =\; \backslash \; sin\; 54\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\; +\; 1\}\; \{4\}\}\; \backslash ,\; \backslash !\}$

$соз\; \; 3\; \pi \; 10\; =\; соз\; \; 54\; \circ \; =\; 10\; -\; 2\; 5\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{3\; \backslash \; pi\}\; \{10\}\}\; =\; \backslash \; cos\; 54\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{10-2\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\}\}\; \{4\}\}\}$

$загар\; \; 3\; \pi \; 10\; =\; загар\; \; 54\; \circ \; =\; 25\; +\; 10\; 5\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tan\; \{\; \backslash \; frac\; \{3\; \backslash \; pi\}\; \{10\}\}\; =\; \backslash \; tan\; 54\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{25\; +\; 10\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\}\}\; \{5\}\}\; \backslash ,\}$

$детская\; кроватка\; \; 3\; \pi \; 10\; =\; детская\; кроватка\; \; 54\; \circ \; =\; 5–2\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cot\; \{\backslash \; frac\; \{3\; \backslash \; pi\}\; \{10\}\}\; =\; \backslash \; cot\; 54\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{5-2\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\}\; \}\; \backslash ,\}$

60 °: равносторонний треугольник

$грех\; \; \pi \; 3\; =\; грех\; \; 60\; \circ \; =\; 3\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{3\}\}\; =\; \backslash \; sin\; 60\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; \{2\}\}\; \backslash ,\}$

$cos\; \; \pi \; 3\; =\; cos\; \; 60\; \circ \; =\; 1\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{3\}\; \}\; =\; \backslash \; cos\; 60\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash ,\}$

$загар\; \; \pi \; 3\; =\; загар\; \; 60\; \circ \; =\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tan\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{3\}\}\; =\; \backslash \; tan\; 60\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; \backslash ,\}$

$детская\; кроватка\; \; \pi \; 3\; =\; детская\; кроватка\; \; 60\; \circ \; =\; 3\; 3\; =\; 1\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cot\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{3\}\}\; =\; \backslash \; cot\; 60\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; \{3\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\}\; \backslash ,\}$

67,5 °: сумма 7,5 ° + 60 °

$грех\; \; 3\; \pi \; 8\; =\; грех\; \; 67,5\; \circ \; =\; 1\; 2\; 2\; +\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{3\; \backslash \; pi\}\; \{8\}\}\; =\; \backslash \; sin\; 67,5\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\}\; \backslash ,\}$

$cos\; \; 3\; \pi \; 8\; =\; cos\; \; 67,5\; \circ \; =\; 1\; 2\; 2\; -\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{3\; \backslash \; pi\}\; \{8\}\}\; =\; \backslash \; cos\; 67,5\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\}\; \backslash ,\}$

$загар\; \; 3\; \pi \; 8\; =\; загар\; \; 67,5\; \circ \; =\; 2\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tan\; \{\backslash \; frac\; \{3\; \backslash \; pi\}\; \{8\}\}\; =\; \backslash \; tan\; 67,5\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; +\; 1\; \backslash ,\}$

$детская\; кроватка\; \; 3\; \pi \; 8\; =\; детская\; кроватка\; \; 67,5\; \circ \; =\; 2\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cot\; \{\backslash \; frac\; \{3\; \backslash \; pi\}\; \{8\}\}\; =\; \backslash \; cot\; 67,5\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; -\; 1\; \backslash ,\}$

72 °: сумма 36 ° + 36 °

$sin\; \; 2\; \pi \; 5\; =\; sin\; \; 72\; \circ \; =\; 1\; 4\; 2\; (5\; +\; 5)\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{5\}\}\; =\; \backslash \; sin\; 72\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{4\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; left\; (5\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{\; 5\}\}\; \backslash \; right)\}\}\; \backslash ,\}$

$соз\; \; 2\; \pi \; 5\; =\; соз\; \; 72\; \circ \; =\; 1\; 4\; (5–1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{5\}\}\; =\; \backslash \; cos\; 72\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{4\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\; -\; 1\; \backslash \; right)\; \backslash ,\}$

$загар\; \; 2\; \pi \; 5\; =\; загар\; \; 72\; \circ \; =\; 5\; +\; 2\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tan\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{5\}\}\; =\; \backslash \; tan\; 72\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\; +\; 2\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\}\}\; \backslash ,\; \}$

$детская\; кроватка\; \; 2\; \pi \; 5\; =\; детская\; кроватка\; \; 72\; \circ \; =\; 1\; 5\; 5\; (5–2\; 5)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cot\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{5\}\}\; =\; \backslash \; cot\; 72\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{5\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\; \backslash \; left\; (5-2\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\; \backslash \; right)\}\}\; \backslash ,\}$

75 °: сумма 30 ° + 45 °

$sin\; \; 5\; \pi \; 12\; =\; sin\; \; 75\; \circ \; =\; 1\; 4\; (\; 6\; +\; 2)\; \{\backslash displaystyle\; \backslash sin\; \{\backslash frac\; \{5\backslash pi\; \}\{12\}\}=\backslash sin\; 75^\{\backslash circ\; \}=\{\backslash tfrac\; \{1\}\{4\}\}\backslash left\; (\{\backslash sqrt\; \{6\}\}+\{\backslash sqrt\; \{2\}\}\backslash right)\backslash ,\}$

$cos\; \; 5\; \pi \; 12\; =\; cos\; \; 75\; \circ \; =\; 1\; 4\; (\; 6\; -\; 2)\; \{\backslash displaystyle\; \backslash cos\; \{\backslash frac\; \{5\backslash pi\; \}\{12\}\}=\backslash cos\; 75^\{\backslash circ\; \}=\{\backslash tfrac\; \{1\}\{4\}\}\backslash left(\{\backslash sqrt\; \{6\}\}-\{\backslash sqrt\; \{2\}\}\backslash right)\backslash ,\}$

$tan\; \; 5\; \pi \; 12\; =\; tan\; \; 75\; \circ \; =\; 2\; +\; 3\; \{\backslash displaystyle\; \backslash tan\; \{\backslash frac\; \{5\backslash pi\; \}\{12\}\}=\backslash tan\; 75^\{\backslash circ\; \}=2+\{\backslash sqrt\; \{3\}\}\backslash ,\}$

$cot\; \; 5\; \pi \; 12\; =\; cot\; \; 75\; \circ \; =\; 2\; -\; 3\; \{\backslash displaystyle\; \backslash cot\; \{\backslash frac\; \{5\backslash pi\; \}\{12\}\}=\backslash cot\; 75^\{\backslash circ\; \}=2-\{\backslash sqrt\; \{3\}\}\backslash ,\}$

90°: fundamental

$sin\; \; \pi \; 2\; =\; sin\; \; 90\; \circ \; =\; 1\; \{\backslash displaystyle\; \backslash sin\; \{\backslash frac\; \{\backslash pi\; \}\{2\}\}=\backslash sin\; 90^\{\backslash circ\; \}=1\backslash ,\}$

$cos\; \; \pi \; 2\; =\; cos\; \; 90\; \circ \; =\; 0\; \{\backslash displaystyle\; \backslash cos\; \{\backslash frac\; \{\backslash pi\; \}\{2\}\}=\backslash cos\; 90^\{\backslash circ\; \}=0\backslash ,\}$

$tan\; \; \pi \; 2\; =\; tan\; \; 90\; \circ \; is\; undefined\; \{\backslash displaystyle\; \backslash tan\; \{\backslash frac\; \{\backslash pi\; \}\{2\}\}=\backslash tan\; 90^\{\backslash circ\; \}\{\backslash text\{\; is\; undefined\}\}\backslash ,\}$

$cot\; \; \pi \; 2\; =\; cot\; \; 90\; \circ \; =\; 0\; \{\backslash displaystyle\; \backslash cot\; \{\backslash frac\; \{\backslash pi\; \}\{2\}\}=\backslash cot\; 90^\{\backslash circ\; \}=0\backslash ,\}$

For cube roots of non-real numbers that appear in this table, one has to take the principal value, that is the cube root with the largest real part; this largest real part is always positive. Therefore, the sums of cube roots that appear in the table are all positive real numbers.

$n sin ⁡ ( 2 π n) cos ⁡ ( 2 π n) tan ⁡ ( 2 π n) 1 0 1 0 2 0 − 1 0 3 1 2 3 − 1 2 − 3 4 1 0 ± ∞ 5 1 4 ( 10 + 2 5) 1 4 ( 5 − 1) 5 + 2 5 6 1 2 3 1 2 3 7 1 6 ( − 1 + 7 + 21 − 3 2 3 + 7 − 21 − 3 2 3) 8 1 2 2 1 2 2 1 9 i 2 ( − 1 − − 3 2 3 − − 1 + − 3 2 3) 1 2 ( − 1 + − 3 2 3 + − 1 − − 3 2 3) 10 1 4 ( 10 − 2 5) 1 4 ( 5 + 1) 5 − 2 5 11 12 1 2 1 2 3 1 3 3 13 1 12 ( 104 − 20 13 + 12 − 39 3 + 104 − 20 13 − 12 − 39 3 + 13 − 1) 14 1 24 3 ( 112 − 14336 + − 5549064192 3 − 14336 − − 5549064192 3) 1 24 3 ( 80 + 14336 + − 5549064192 3 + 14336 − − 5549064192 3) 112 − 14336 + − 5549064192 3 − 14336 − − 5549064192 3 80 + 14336 + − 5549064192 3 + 14336 − − 5549064192 3 15 1 8 ( 15 + 3 − 10 − 2 5) 1 8 ( 1 + 5 + 30 − 6 5) 1 2 ( − 3 3 − 15 + 50 + 22 5) 16 1 2 ( 2 − 2) 1 2 ( 2 + 2) 2 − 1 17 1 4 8 − 2 ( 15 + 17 + 34 − 2 17 − 2 17 + 3 17 − 170 + 38 17) 1 16 ( − 1 + 17 + 34 − 2 17 + 2 17 + 3 17 − 34 − 2 17 − 2 34 + 2 17) 18 i 4 ( 4 − 4 − 3 3 − 4 + 4 − 3 3) 1 4 ( 4 + 4 − 3 3 + 4 − 4 − 3 3) 19 20 1 4 ( 5 − 1) 1 4 ( 10 + 2 5) 1 5 ( 25 − 10 5) 21 22 23 24 1 4 ( 6 − 2) 1 4 ( 6 + 2) 2 − 3 {\displaystyle {\begin{array}{r|l|l|l}n\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right)\cos \left({\frac {2\pi }{n}}\right)\tan \left({\frac {2\pi }{n}}\right)\\\hline 1010\\\hline 20-10\\\hline 3{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}-{\frac {1}{2}}-{\sqrt {3}}\\\hline 410\pm \infty \\\hline 5{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\right){\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right){\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\\\hline 6{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}\\\hline 7{\frac {1}{6}}\left(-1+{\sqrt[{3}]{\frac {7+21{\sqrt {-3}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {7-21{\sqrt {-3}}}{2}}}\right)\\\hline 8{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}1\\\hline 9{\frac {i}{2}}\left({\sqrt[{3}]{\frac {-1-{\sqrt {-3}}}{2}}}-{\sqrt[{3}]{\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}}\right){\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{3}]{\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {-1-{\sqrt {-3}}}{2}}}\right)\\\hline 10{ \frac {1}{4}}\left({\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right){\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}+1\right){\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\\\hline 11\\\hline 12{\frac {1}{2}}{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}\\\hline 13{\frac {1}{12}}\left({\sqrt[{3}]{104-20{\sqrt {13}}+12{\sqrt {-39}}}}+{\sqrt[{3}]{104-20{\sqrt {13}}-12{\sqrt {-39}}}}+{\sqrt {13}}-1\right)\\\hline 14{\frac {1}{24}}{\sqrt {3\left(112-{\sqrt[{3}]{14336+{\sqrt {-5549064192}}}}-{\sqrt[{3}]{14336-{\sqrt {-5549064192}}}}\right)}}{\frac {1}{24}}{\sqrt {3\left(80+{\sqrt[{3}]{14336+{\sqrt {-5549064192}}}}+{\sqrt[{3}]{14336-{\sqrt {-5549064192}}}}\right)}}{\sqrt {\frac {112-{\sqrt[{3}]{14336+{\sqrt {-5549064192}}}}-{\sqrt[{3}]{14336-{\sqrt {-5549064192}}}}}{80+{\sqrt[{3}]{14336+{\sqrt {-5549064192}}}}+{\sqrt[{3}]{14336-{\sqrt {-5549064192}}}}}}}\\\hline 15{\frac {1}{8}}\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right){\frac {1}{8}}\left(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}\right){\frac {1}{2}}\left(-3 {\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}+{\sqrt {50+22{\sqrt {5}}}}\right)\\\hline 16{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\right){\frac {1}{2}}\left({\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\right){\sqrt {2}}-1\\\hline 17{\frac {1}{4}}{\sqrt {8-{\sqrt {2\left(15+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}-2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {170+38{\sqrt {17}}}}}}\right)}}}}{\frac {1}{16}}\left(-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}+2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}-2{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}}}\right)\\\hline 18{\frac {i}{4}}\left({\sqrt[{3}]{4-4{\sqrt {-3}}}}-{\sqrt[{3}]{4+4{\sqrt {-3}}}}\right){\frac {1}{4}}\left({\sqrt[{3}]{4+4{\sqrt {-3}}}}+{\sqrt[{3}]{4-4{\sqrt {-3}}}}\right)\\\hline 19\\\hline 20{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right){\frac {1}{4}}\left({\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\right){\frac {1}{5}}\left({\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}\right)\\\hline 21\\\hline 22\\\hline 23\\\hline 24{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}\right){\frac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}+{\s qrt {2}}\right)2-{\sqrt {3}}\end{array}}}$

Uses for constants

As an example of the use of t В этих константах рассматривается объем правильного додекаэдра, где a - длина ребра:

$V\; =\; 5\; a\; 3\; cos\; \; 36\; \circ \; tan\; 2\; \; 36\; \circ .\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; =\; \{\backslash \; frac\; \{5a\; ^\; \{3\}\; \backslash \; cos\; 36\; ^\; \{\backslash \; circ\}\}\; \{\backslash \; tan\; ^\; \{2\}\; \{36\; ^\; \{\backslash \; circ\}\}\}\}.\}$

Использование

$cos\; \; 36\; \circ \; знак\; равно\; 5\; +\; 1\; 4,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; 36\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\; +\; 1\}\; \{4\}\},\; \backslash ,\}$

$загар\; \; 36\; \circ \; =\; 5\; -\; 2\; 5,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tan\; 36\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{5-2\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\}\},\; \backslash ,\}$

это можно упростить до:

$V\; =\; а\; 3\; (15\; +\; 7\; 5)\; 4.\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; =\; \{\backslash \; frac\; \{a\; ^\; \{3\}\; \backslash \; left\; (15\; +\; 7\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\; \backslash \; right)\}\; \{4\}\}.\; \backslash ,\}$

Деривационные треугольники

Правильный многоугольник ( n-сторонний) и его основной прямоугольный треугольник. Углы: a = 180 ° / n и b = 90 (1-2 / n) °.

Выведение констант синуса, косинуса и тангенса в радиальные формы основано на конструктивности прямоугольных треугольников..

Здесь прямоугольные треугольники, состоящие из участков симметрии правильных многоугольников, используются для вычисления основных тригонометрических соотношений. Каждый прямоугольный треугольник представляет три точки в правильном многоугольнике: вершину, центр края, содержащего эту вершину, и центр многоугольника. N-угольник можно разделить на 2n прямоугольных треугольников с углами 180 / n, 90 - 180 / n, 90 градусов, для n в 3, 4, 5,…

Конструктивность 3, 4, 5, а 15-сторонние многоугольники являются базисом, а биссектрисы углов также позволяют вычислять значения, кратные двум.

• Конструируемый
  • 3 × 2-сторонних правильных многоугольника для n = 0, 1, 2, 3,...
    • треугольник 30 ° -60 ° -90 °: треугольник (3-сторонний)
    • треугольник 60 ° -30 ° -90 °: шестиугольник (6-сторонний)
    • треугольник 75 ° -15 ° -90 ° : додекагон (12-сторонний)
    • треугольник 82,5 ° -7,5 ° -90 °: икозитетракон (24-стор)
    • 86,25 ° - Треугольник 3,75 ° -90 °: тетраконтаоктагон (48-сторонний)
    • треугольник 88,125 ° -1,875 ° -90 °: эннеконтагексагон (96-гранный)
    • 89,0625 ° -0,9375 ° -90 ° треугольник: 192-угольник
    • 89,53125 ° -0,46875 ° -90 ° треугольник: 384-угольник
    • ...
  • 4 × 2 -сторонний
    • треугольник 45 ° -45 ° -90 °: квадрат (4-стор)
    • треугольник 67,5 ° -22,5 ° -90 °: восьмиугольник (8-сторонний)
    • 78,75 ° -11,25 ° -90 ° треугольник: шестиугольник (16-сторонний)
    • 84,375 ° -5,625 ° -90 ° треугольник: триаконтадигон (32-сторонний)
    • 87,1875 ° -2,8125 ° -90 ° треугольник: hexacontatetragon (64-сторонний)
    • 88,09375 ° -1,40625 ° -90 ° треугольник: 128-угольник
    • 89,046875 ° -0,703125 ° -90 ° треугольник: 256-угольник
    • ...
  • 5 × 2-сторонний
    • 54 ° -36 ° -90 ° треугольник: пятиугольник (5-гранный)
    • 72 ° -18 ° -90 ° треугольник: десятиугольник (10-сторонний)
    • 81 ° -9 ° - Треугольник 90 °: икосугольник (20-сторонний)
    • треугольник 85,5 ° -4,5 ° -90 °: тетраконтагон (40-сторонний)
    • 87,75 ° -2,25 ° -90 ° треугольник: octacontagon (80-sided)
    • 88,875 ° -1,125 ° -90 ° треугольник: 160-угольник
    • 89,4375 ° - 0,5625 ° -90 ° треугольник: 320-угольник
    • ...
  • 15 × 2-сторонний
    • треугольник 78 ° -12 ° -90 °: пятиугольник (15-сторонний)
    • треугольник 84 ° -6 ° -90 °: триаконтагон (30-сторонний)
    • треугольник 87 ° -3 ° -90 °: шестиугольник (60-гранный)
    • треугольник 88,5 ° -1,5 ° -90 °: гекатоникосагон (120-гранный)
    • 89,25 ° -0,75 ° Треугольник -90 °: 240-угольник
  • ...

Существуют также более высокие конструктивные правильные многоугольники: 17, 51, 85, 255, 257, 353, 449, 641, 1409, 2547,..., 65535, 65537, 69481, 73697,..., 4294967295.)

• Неконструируемый (с целыми углами или углами в половину градуса) - Никакие конечные радикальные выражения с действительными числами для этих соотношений сторон треугольника невозможны, поэтому их кратное двум также невозможно.
  • 9 × 2-сторонний
    • треугольник 70 ° -20 ° -90 °: пятиугольник (9-сторонний)
    • 80 ° -10 ° Треугольник -90 °: восьмиугольник (18-сторонний)
    • 85 ° -5 ° -90 ° треугольник: трехгранный шестиугольник (36-сторонний)
    • 87,5 ° -2,5 ° -90 ° треугольник: гептаконтадигон (72-сторонний)
    • ...
  • 45 × 2-сторонний
    • 86 ° -4 ° -90 ° треугольник: тетраконтапентагон (45-сторонний)
    • Треугольник 88 ° -2 ° -90 °: концевой треугольник (90-сторонний)
    • Треугольник 89 ° -1 ° -90 °: 180-угольник
    • 89,5 ° -0,5 ° -90 ° треугольник: 360-угольник
    • ...

Тривиальные значения

В градусном формате sin и cos 0, 30, 45, 60 и 90 могут быть вычислены из их прямоугольных треугольников, используя теорему Пифагора.

В радианах sin и cos числа π / 2 можно выразить в радикальном формате, рекурсивно применяя следующее:

$2\; cos\; \; \theta \; =\; 2\; +\; 2\; cos\; \; 2\; \theta \; =\; 2\; +\; 2\; +\; 2\; соз\; \; 4\; \theta \; знак\; равно\; 2\; +\; 2\; +\; 2\; +\; 2\; соз\; \; 8\; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; 2\; \backslash \; cos\; 2\; \backslash \; theta\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{\; 2\; +\; 2\; \backslash \; cos\; 4\; \backslash \; theta\}\}\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; 2\; \backslash \; cos\; 8\; \backslash \; theta\}\}\}\}\}\}\}$и т. д.

$2\; грех\; \; \theta \; =\; 2\; -\; 2\; cos\; \; 2\; \theta \; =\; 2\; -\; 2\; +\; 2\; cos\; \; 4\; \theta \; =\; 2\; -\; 2\; +\; 2\; +\; 2\; cos\; \; 8\; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{2-2\; \backslash \; cos\; 2\; \backslash \; theta\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; 2\; \backslash \; cos\; 4\; \backslash \; theta\}\}\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{2+)\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; 2\; \backslash \; cos\; 8\; \backslash \; theta\}\}\}\}\}\}\}$и т. д.

Например:

$cos\; \; \pi \; 2\; 1\; =\; 0\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\; ^\; \{1\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{0\}\; \{2\}\}\}$

$cos\; \; \pi \; 2\; 2\; =\; 2\; +\; 0\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\; \backslash \; pi\}\; \{2\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; 0\}\}\; \{2\}\}\}$и $sin\; \; \pi \; 2\; 2\; =\; 2\; -\; 0\; 2\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{2-0\}\}\; \{2\}\}\}$

$cos\; \; \pi \; 2\; 3\; =\; 2\; +\; 2\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\; ^\; \{3\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\}\; \{2\}\}\}$и $грех\; \; \pi \; 2\; 3\; =\; 2–2\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\; ^\; \{3\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\}\; \{2\}\}\}$

$cos\; \; \pi \; 2\; 4\; =\; 2\; +\; 2\; +\; 2\; 2\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\; ^\; \{4\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\}\}\}\}\; \{2\}\}\; \}$и $грех\; \; \pi \; 2\; 4\; =\; 2\; -\; 2\; +\; 2\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\; ^\; \{4\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\}\}\}\; \{2\}\}\}$

$cos\; \; \pi \; 2\; 5\; =\; 2\; +\; 2\; +\; 2\; +\; 2\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\; ^\; \{5\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\}\}\}\}\}\; \{2\}\; \}\}$и $грех\; \; \pi \; 2\; 5\; =\; 2\; -\; 2\; +\; 2\; +\; 2\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\; ^\; \{5\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\}\}\}\}\; \{2\}\}\}$

$cos\; \; \pi \; 2\; 6\; =\; 2\; +\; 2\; +\; 2\; +\; 2\; +\; 2\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\; ^\; \{6\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt)\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\; \{2\}\}\}$и $sin\; \; \pi \; 2\; 6\; =\; 2\; -\; 2\; +\; 2\; +\; 2\; +\; 2\; 2\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\; ^\; \{6\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt)\; \{2\}\}\}\}\; \}\}\}\}\}\}\; \{2\}\}\}$

и так далее.

Радикальная форма, грех и cos числа π / (3 × 2)

$cos\; \; 2\; \pi \; 3\; =\; -\; 1\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{3\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{-1\}\; \{2\}\}\}$

$соз\; \; \pi \; 3\; \times \; 2\; 0\; =\; 2\; -\; 1\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{3\; \backslash \; times\; 2\; ^\; \{0\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{2-1\}\}\; \{2\}\}\}$и $грех\; \; \pi \; 3\; \times \; 2\; 0\; =\; 2\; +\; 1\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{3\; \backslash \; times\; 2\; ^\; \{0\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; 1\}\}\; \{2\}\}\}$

$cos\; \; \pi \; 3\; \times \; 2\; 1\; =\; 2\; +\; 1\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{3\; \backslash \; times\; 2\; ^\; \{1\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; 1\}\}\; \{2\}\}\}$и $sin\; \; \pi \; 3\; \times \; 2\; 1\; =\; 2\; -\; 1\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{3\; \backslash \; times\; 2\; ^\; \{1\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{2-1\}\}\; \{2\}\}\}$

$соз\; \; \pi \; 3\; \times \; 2\; 2\; =\; 2\; +\; 3\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{3\; \backslash \; times\; 2\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\}\}\; \{2\}\}\}$и $грех\; \; \pi \; 3\; \times \; 2\; 2\; =\; 2–3\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{3\; \backslash \; times\; 2\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\}\}\; \{2\}\}\}$

$cos\; \; \pi \; 3\; \times \; 2\; 3\; =\; 2\; +\; 2\; +\; 3\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{3\; \backslash \; times\; 2\; ^\; \{3\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\}\}\}\}\; \{2\; \}\}\}$и $sin\; \; \pi \; 3\; \times \; 2\; 3\; =\; 2\; -\; 2\; +\; 3\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{3\; \backslash \; times\; 2\; ^\; \{3\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt)\; \{3\}\}\}\}\}\}\; \{2\}\}\}$

$соз\; \; \pi \; 3\; \times \; 2\; 4\; =\; 2\; +\; 2\; +\; 2\; +\; 3\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{3\; \backslash \; times\; 2\; ^\; \{4\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\}\}\}\}\}\}\}\; \{2\}\}\}$и $грех\; \; \pi \; 3\; \times \; 2\; 4\; =\; 2\; -\; 2\; +\; 2\; +\; 3\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{3\; \backslash \; times\; 2\; ^\; \{4\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\}\}\}\}\}\}\; \{2\}\}\}$

$cos\; \; \pi \; 3\; \times \; 2\; 5\; =\; 2\; +\; 2\; +\; 2\; +\; 2\; +\; 3\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{3\; \backslash \; times\; 2\; ^\; \{5\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2+)\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\; \{2\}\}\}$и $sin\; \; \pi \; 3\; \times \; 2\; 5\; =\; 2\; -\; 2\; +\; 2\; +\; 2\; +\; 3\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{3\; \backslash \; times\; 2\; ^\; \{5\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2+\; \{)\; \{\; \backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\; \{2\}\}\}$

и так далее.

Радикальная форма, грех и cos числа π / (5 × 2)

$cos\; \; 2\; \pi \; 5\; =\; 5\; -\; 1\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{5\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\; -\; 1\}\; \{4\}\}\}$

$cos\; \; \pi \; 5\; \times \; 2\; 0\; =\; 5\; +\; 1\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{5\; \backslash \; умноженное\; на\; 2\; ^\; \{0\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\; +\; 1\}\; \{4\}\}\}$(Следовательно, $2\; +\; 2\; cos\; \; \pi \; 5\; =\; 2\; +\; 1,25\; +\; 0,5\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; +\; 2\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{5\}\}\; =\; 2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{1.25\}\}\; +\; 0,5\}$)

$cos\; \; \pi \; 5\; \times \; 2\; 1\; =\; 2,5\; +\; 1,25\; 2\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{5\; \backslash \; times\; 2\; ^\; \{1\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{2.5\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{1.25\}\}\}\}\; \{2\}\}\}$и $грех\; \; \pi \; 5\; \times \; 2\; 1\; =\; 1,5\; -\; 1,25\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{5\; \backslash \; times\; 2\; ^\; \{1\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{1,5\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{1.25\}\}\}\}\; \{2\}\}\}$

$cos\; \; \pi \; 5\; \times \; 2\; 2\; =\; 2\; +\; 2,5\; +\; 1,25\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{5\; \backslash \; times\; 2\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2.5\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{1.25\}\}\}\}\}\; \{2\}\}\}$и $sin\; \; \pi \; 5\; \times \; 2\; 2\; =\; 2\; -\; 2,5\; +\; 1,25\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{5\; \backslash \; times\; 2\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{2.5+)\; \{\backslash \; sqrt\; \{1.25\}\}\}\}\}\}\; \{2\}\}\}$

$cos\; \; \pi \; 5\; \times \; 2\; 3\; =\; 2\; +\; 2\; +\; 2,5\; +\; 1,25\; 2\; \{\backslash \; displaystyl\; e\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{5\; \backslash \; times\; 2\; ^\; \{3\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2.5\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{1.25\}\}\})\; \}\}\}\}\}\}\; \{2\}\}\}$и $грех\; \; \pi \; 5\; \times \; 2\; 3\; =\; 2–2\; +\; 2,5\; +\; 1,25\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{\; 5\; \backslash \; times\; 2\; ^\; \{3\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2.5\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{1.25\}\}\}\}\}\}\}\}\}\; \{2\}\}\}$

$соз\; \; \pi \; 5\; \times \; 2\; 4\; =\; 2\; +\; 2\; +\; 2\; +\; 2,5\; +\; 1,25\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{5\; \backslash \; times\; 2\; ^\; \{4\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2.5\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{1.25\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\; \{2\}\}\}$и $грех\; \; \pi \; 5\; \times \; 2\; 4\; =\; 2\; -\; 2\; +\; 2\; +\; 2,5\; +\; 1,25\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{5\; \backslash \; times\; 2\; ^\; \{4\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2.5\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{1.25\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\; \{2\}\}\}$

$cos\; \; \pi \; 5\; \times \; 2\; 5\; =\; 2\; +\; 2\; +\; 2\; +\; 2\; +\; 2,5\; +\; 1,25\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{5\; \backslash \; times\; 2\; ^\; \{5\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2.5\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{1.25\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\; \{2\}\}\}$и $грех\; \; \pi \; 5\; \times \; 2\; 5\; =\; 2\; -\; 2\; +\; 2\; +\; 2\; +\; 2,5\; +\; 1,25\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{5\; \backslash \; times\; 2\; ^\; \{5\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt)\; \{2.5\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{1.25\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\; \{2\}\}\}$

и так далее.

Радикальная форма, грех и cos числа π / (5 × 3 × 2)

$cos\; \; \pi \; 15\; \times \; 2\; 0\; =\; 0,703125\; +\; 1,875\; +\; 0,3125\; -\; 0,25\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\; \backslash \; pi\}\; \{15\; \backslash \; times\; 2\; ^\; \{0\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{0.703125\}\}\; +\; 1.875\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{0.3125\}\}\; -\; 0.25\}\; \{2\}\}\}$

$соз\; \; \pi \; 15\; \times \; 2\; 1\; =\; 0,703125\; +\; 1,875\; +\; 0,3125\; +\; 1,75\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{15\; \backslash \; times\; 2\; ^\; \{1\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{\; \{\backslash \; sqrt\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{0.703125\}\}\; +\; 1.875\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{0.3125\}\}\; +\; 1.75\}\}\; \{2\}\}\}$и $sin\; \; \pi \; 15\; \times \; 2\; 1\; =\; 2,25\; -\; 0,703125\; +\; 1,875\; -\; 0,3125\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{15\; \backslash \; times\; 2\; ^\; \{1\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{2,25\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{0,703125)\; \}\}\; +\; 1,875\}\}\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{0,3125\}\}\}\}\; \{2\}\}\}$

$cos\; \; \pi \; 15\; \times \; 2\; 2\; =\; 2\; +\; 0,703125\; +\; 1,875\; +\; 0,3125\; +\; 1,75\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{15\; \backslash \; times\; 2\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{0.703125\}\}\; +\; 1.875\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{0.3125)\; \}\}\; +\; 1,75\}\}\}\}\; \{2\}\}\}$и $грех\; \; \pi \; 15\; \times \; 2\; 2\; =\; 2\; -\; 0,703125\; +\; 1,875\; +\; 0,3125\; +\; 1,75\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\; \backslash \; pi\}\; \{15\; \backslash \; times\; 2\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{\; 0,703125\}\}\; +\; 1,875\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{0,3125\}\}\; +\; 1,75\}\}\}\}\; \{2\}\}\}$

$cos\; \; \pi \; 15\; \times \; 2\; 3\; =\; 2\; +\; 2\; +\; 0,703125\; +\; 1,875\; +\; 0,3125\; +\; 1,75\; 2\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{15\; \backslash \; times\; 2\; ^\; \{3\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; sqrt\; \{)\; 0,703125\}\}\; +\; 1,875\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{0,3125\}\}\; +\; 1,75\}\}\}\}\}\}\; \{2\}\}\}$и $sin\; \; \pi \; 15\; \times \; 2\; 3\; =\; 2\; -\; 2\; +\; 0,703125\; +\; 1,875\; +\; 0,3125\; +\; 1,75\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{15\; \backslash \; times\; 2\; ^\; \{3\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt)\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{0.703125\}\}\; +\; 1.875\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{0.3125\}\}\; +\; 1.75\}\}\}\}\}\}\; \{2\}\}\}$

$cos\; \; \pi \; 15\; \times \; 2\; 4\; =\; 2\; +\; 2\; +\; 2\; +\; 0,703125\; +\; 1,875\; +\; 0,3125\; +\; 1,75\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{15\; \backslash \; times\; 2\; ^\; \{4\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2)\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{0.703125\}\}\; +\; 1.875\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{0.3125\}\}\; +\; 1.75\}\}\}\}\}\}\}\}\; \{2\}\}\}$и $грех\; \; \pi \; 15\; \times \; 2\; 4\; =\; 2\; -\; 2\; +\; 2\; +\; 0,703125\; +\; 1,875\; +\; 0,3125\; +\; 1,75\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{15\; \backslash \; times\; 2\; ^\; \{\; 4\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{0,703125\}\}\; +\; 1,875\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{\; 0,3125\}\}\; +\; 1,75\}\}\}\}\}\}\}\}\; \{2\}\}\}$

$в\; ос\; \; \pi \; 15\; \times \; 2\; 5\; =\; 2\; +\; 2\; +\; 2\; +\; 2\; +\; 0,703125\; +\; 1,875\; +\; 0,3125\; +\; 1,75\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{15\; \backslash \; times\; 2\; ^\; \{5\}\}\}\; =\; \{\backslash \; гидроразрыв\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{0,703125\}\}\; +\; 1,875\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{0,3125)\; \}\}\; +\; 1,75\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\; \{2\}\}\}$и $sin\; \; \pi \; 15\; \times \; 2\; 5\; =\; 2\; -\; 2\; +\; 2\; +\; 2\; +\; 0,703125\; +\; 1,875\; +\; 0,3125\; +\; 1,75\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{15\; \backslash \; times\; 2\; ^\; \{5\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; \backslash \; sqrt\; \{2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{0,703125\}\}\; +\; 1,875\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{0,3125\}\}\; +\; 1,75\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\; \{2\}\}\}$

и так далее.

Радикальная форма, грех и cos числа π / (17 × 2)

Если $M\; =\; 2\; (17\; +\; 17)\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; =\; 2\; (17\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{17\}\})\}$и $N\; =\; 2\; (17-17)\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; =\; 2\; (17\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{17\}\})\}$, затем

$cos\; \; \pi \; 17\; =\; M\; -\; 4\; +\; 2\; (N\; +\; 2\; (2\; M\; -\; N\; +\; 17\; N\; -\; N\; -\; 8\; M))\; 8.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{17\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{M-4\; +\; 2\; (\{\backslash \; sqrt\; \{N\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; (2M-N\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{17N\}\}\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{N\}\}\; -\; 8\; \{\backslash \; sqrt\; \{M\}\})\}\})\}\}\; \{8\}\}.\}$

Следовательно, применяя индукцию:

$cos\; \; \pi \; 17\; \times \; 2\; 0\; =\; 30\; +\; 2\; 17\; +\; 136-8\; 17\; +\; 272\; +\; 48\; 17\; +\; 8\; 34-2\; 17\; \times \; (17-1)\; -\; 64\; 34\; +\; 2\; 17\; 8;\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{17\; \backslash \; times\; 2\; ^\; \{0\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{30\; +\; 2\; \{\backslash \; sqrt\; \{17\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{136-8\; \{\; \backslash \; sqrt\; \{17\}\}\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{272\; +\; 48\; \{\backslash \; sqrt\; \{17\}\}\; +\; 8\; \{\backslash \; sqrt\; \{34-2\; \{\backslash \; sqrt\; \{17\}\}\}\}\}\; \backslash \; times\; (\{\backslash \; sqrt\; \{17\}\; \}\; -1)\; -64\; \{\backslash \; sqrt\; \{34\; +\; 2\; \{\backslash \; sqrt\; \{17\}\}\}\}\}\}\}\}\}\; \{8\}\};\}$

$cos\; \; \pi \; 17\; \times \; 2\; n\; +\; 1\; =\; 2\; +\; 2\; cos\; \; \pi \; 17\; \times \; 2\; N\; 2\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{17\; \backslash \; times\; 2\; ^\; \{n\; +\; 1\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; 2\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\; \}\; \{17\; \backslash \; times\; 2\; ^\; \{n\}\}\}\}\}\; \{2\}\}\}$и $sin\; \; \pi \; 17\; \times \; 2\; n\; +\; 1\; =\; 2\; -\; 2\; cos\; \; \pi \; 17\; \times \; 2\; n\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{17\; \backslash \; times\; 2\; ^\; \{n\; +\; 1\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{2-2\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{17\; \backslash \; times\; 2)\; ^\; \{n\}\}\}\}\}\; \{2\}\}.\}$

Радикальная форма, sin и cos чисел π / (257 × 2) и π / (65537 × 2)

Индукция выше может быть применяется таким же образом ко всем оставшимся простым числам Ферма (F3= 2 + 1 = 2 + 1 = 257 и F 4 = 2 + 1 = 2 + 1 = 65537 ), множители π, радикальные выражения cos и sin которых, как известно, существуют, но их здесь очень много.

$соз\; \; \pi \; 257\; \times \; 2\; n\; +\; 1\; =\; 2\; +\; 2\; cos\; \; \pi \; 257\; \times \; 2\; n\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{257\; \backslash \; times\; 2\; ^\; \{n\; +\; 1\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; 2\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{257\; \backslash \; times\; 2\; ^\; \{n\}\}\}\}\}\; \{2\}\}\}$и $sin\; \; \pi \; 257\; \times \; 2\; n\; +\; 1\; =\; 2\; -\; 2\; cos\; \; \pi \; 257\; \times \; 2\; n\; 2;\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{257\; \backslash \; times\; 2\; ^\; \{n\; +\; 1\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{2-2\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{257\; \backslash \; times\; 2)\; ^\; \{n\}\}\}\}\}\; \{2\}\};\}$

$cos\; \; \pi \; 65537\; \times \; 2\; n\; +\; 1\; =\; 2\; +\; 2\; cos\; \; \pi \; 65537\; \times \; 2\; n\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{65537\; \backslash \; times\; 2\; ^\; \{n\; +\; 1\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; 2\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{65537\; \backslash \; times\; 2\; ^\; \{n\}\}\}\}\}\; \{2\}\}\; \}$и $sin\; \; \pi \; 65537\; \times \; 2\; n\; +\; 1\; =\; 2–2\; cos\; \; \pi \; 65537\; \times \; 2\; n\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{65537\; \backslash \; times\; 2\; ^\; \{n\; +\; 1\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{2-2\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{65537\; \backslash \; times\; 2)\; ^\; \{n\}\}\}\}\}\; \{2\}\}.\}$

Радикальная форма, sin и cos чисел π / (255 × 2), π / (65535 × 2) и π / (4294967295 × 2)

D = 2 - 1 = 4 294 967 295 - наибольший нечетный целочисленный знаменатель, для которого, как известно, существуют радикальные формы для sin (π / D) и cos (π / D).

Используя значения радикальной формы из приведенных выше разделов и применяя cos (AB) = cosA cosB + sinA sinB с последующей индукцией, мы получаем -

$cos\; \; \pi \; 255\; \times \; 2\; 0\; =\; 2\; +\; 2\; соз\; \; (\pi \; 15\; -\; \pi \; 17)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{255\; \backslash \; times\; 2\; ^\; \{0\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; 2\; \backslash \; cos\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{15\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{17\}\})\}\}\; \{2\}\}\}$и $sin\; \; \pi \; 255\; \times \; 2\; 0\; =\; 2\; -\; 2\; cos\; \; (\pi \; 15\; -\; \pi \; 17)\; 2;\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{255\; \backslash \; times\; 2\; ^\; \{0\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{2-2\; \backslash \; cos\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{15\}\}\; -\; \{\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{17\}\})\}\}\; \{2\}\};\}$

$cos\; \; \pi \; 255\; \times \; 2\; n\; +\; 1\; =\; 2\; +\; 2\; cos\; \; \pi \; 255\; \times \; 2\; n\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{255\; \backslash \; times\; 2\; ^\; \{n\; +\; 1\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; 2\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{255\; \backslash \; times\; 2\; ^\; \{n\}\}\}\}\; \}\; \{2\}\}\}$и $sin\; \; \pi \; 255\; \times \; 2\; n\; +\; 1\; =\; 2–2\; cos\; \; \pi \; 255\; \times \; 2\; n\; 2;\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{255\; \backslash \; times\; 2\; ^\; \{n\; +\; 1\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{2-2\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{255\; \backslash \; times\; 2)\; ^\; \{n\}\}\}\}\}\; \{2\}\};\}$

Следовательно, используя значения радикальной формы из разделов выше и применяя cos (AB) = cosA cosB + sinA sinB с последующей индукцией, мы получаем -

$соз\; \; \pi \; 65535\; \times \; 2\; 0\; =\; 2\; +\; 2\; соз\; \; (\pi \; 255\; -\; \pi \; 257)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{65535\; \backslash \; times\; 2\; ^\; \{0\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; 2\; \backslash \; cos\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{255\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{257\}\})\}\}\; \{2\}\}\}$и $sin\; \; \pi \; 65535\; \times \; 2\; 0\; =\; 2\; -\; 2\; cos\; \; (\pi \; 255\; -\; \pi \; 257)\; 2;\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{65535\; \backslash \; times\; 2\; ^\; \{0\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{2-2\; \backslash \; cos\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{255\}\}\; -\; \{\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{257\}\})\}\}\; \{2\}\};\}$

$cos\; \; \pi \; 65535\; \times \; 2\; n\; +\; 1\; =\; 2\; +\; 2\; cos\; \; \pi \; 65535\; \times \; 2\; n\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; гидроразрыв\; \{\backslash \; pi\}\; \{65535\; \backslash \; times\; 2\; ^\; \{n\; +\; 1\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; 2\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{65535\; \backslash \; times\; 2\; ^\; \{n\}\}\}\}\; \}\; \{2\}\}\}$и $sin\; \; \pi \; 65535\; \times \; 2\; n\; +\; 1\; =\; 2–2\; cos\; \; \pi \; 65535\; \times \; 2\; n\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{65535\; \backslash \; times\; 2\; ^\; \{n\; +\; 1\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{2-2\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{65535\; \backslash \; times\; 2)\; ^\; \{n\}\}\}\}\}\; \{2\}\}.\}$

Наконец, используя значения радикальной формы из разделов выше и применяя cos (AB) = cosA cosB + sinA sinB с последующей индукцией, мы получаем -

$соз\; \; \pi \; 4294967295\; \times \; 2\; 0\; =\; 2\; +\; 2\; соз\; \; (\pi \; 65535\; -\; \pi \; 65537)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{4294967295\; \backslash \; times\; 2\; ^\; \{0\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; 2\; \backslash \; cos\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{65535\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{65537\}\})\}\}\; \{2\}\}\}$и $sin\; \; \pi \; 4294967295\; \times \; 2\; 0\; =\; 2\; -\; 2\; cos\; \; (\pi \; 65535\; -\; \pi \; 65537)\; 2;\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{4294967295\; \backslash \; times\; 2\; ^\; \{0\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{2-2\; \backslash \; cos\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{65535\}\}\; -\; \{\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{65537\}\})\}\}\; \{2\}\};\}$

$cos\; \; \pi \; 4294967295\; \times \; 2\; n\; +\; 1\; =\; 2\; +\; 2\; cos\; \; \pi \; 4294967295\; \times \; 2\; n\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{4294967295\; \backslash \; times\; 2\; ^\; \{n\; +\; 1\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; +\; 2\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{4294967295\; \backslash \; times\; 2\; ^\; \{n\}\}\}\}\}\; \}\; \{2\}\}\}$и $sin\; \; \pi \; 4294967295\; \times \; 2\; n\; +\; 1\; =\; 2–2\; cos\; \; \pi \; 4294967295\; \times \; 2\; n\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{4294967295\; \backslash \; times\; 2\; ^\; \{n\; +\; 1\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{2-2\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{4294967295\; \backslash \; times\; 2\; ^\; \{n\}\}\}\}\}\; \{2\}\}.\}$

Расширение радикальной формы приведенного выше очень велико, поэтому выражено в более простой форме, приведенной выше.

n × π / (5 × 2)

Хорда (36 °) = a / b = 1 / φ, т. Е. Обратная величина золотого сечения, от Теорема Птолемея

Геометрический метод

Применяя теорему Птолемея к циклическому четырехугольнику ABCD, определяемому четырьмя последовательными вершинами пятиугольника, мы можем найти, что:

$crd\; \; 36\; \circ \; =\; crd\; \; (\angle \; ADB)\; =\; ab\; =\; 2\; 1\; +\; 5\; =\; 5\; -\; 1\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{crd\}\; 36\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \backslash \; operatorname\; \{crd\}\; (\backslash \; angle\; \backslash \; mathrm\; \{\; ADB\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{a\}\; \{b\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{1\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\; -\; 1\}\; \{2\; \}\}\}$

, который является обратной величиной 1 / φ золотого сечения. crd - функция chord,

$crd\; \; \theta \; =\; 2\; sin\; \; \theta \; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{crd\}\; \backslash \; \{\backslash \; theta\}\; =\; 2\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; theta\}\; \{2\}\}.\; \backslash ,\}$

(См. также таблицу аккордов Птолемея.)

Таким образом,

$sin\; \; 18\; \circ \; =\; 1\; 1\; +\; 5\; =\; 5\; -\; 1\; 4.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; 18\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\; -\; 1\}\; \{4\}\}.\; \}$

(В качестве альтернативы, без использования теоремы Птолемея, обозначьте как X пересечение AC и BD и обратите внимание, учитывая углы, что треугольник AXB равен равнобедренный, поэтому AX = AB = a. Треугольники AXD и CXB аналогичны, потому что AD параллельна BC. Итак, XC = a · (a / b). Но AX + XC = AC, поэтому a + a / b = b. Решение этого дает a / b = 1 / φ, как указано выше).

Аналогично

$crd\; \; 108\; \circ \; =\; crd\; \; (\angle \; ABC)\; =\; ba\; =\; 1\; +\; 5\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{crd\}\; \backslash \; 108\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \backslash \; operatorname\; \{crd\}\; (\backslash \; angle\; \backslash \; mathrm\; \{ABC\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{b\}\; \{a\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\}\; \{2\}\},\}$

так что

$sin\; \; 54\; \circ \; =\; соз\; \; 36\; \circ \; =\; 1\; +\; 5\; 4.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; 54\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \backslash \; cos\; 36\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\}\; \{4\}\}.\}$

Алгебраический метод

Если θ равно 18 ° или -54 °, тогда 2θ и 3θ в сумме дают 5θ = 90 ° или -270 °, поэтому sin 2θ равен cos 3θ.

$(2\; sin\; \; \theta )\; cos\; \; \theta \; =\; sin\; \; 2\; \theta \; =\; cos\; \; 3\; \theta \; =\; 4\; cos\; 3\; \; \theta \; -\; 3\; cos\; \; \theta \; =\; (4\; cos\; 2\; \; \theta \; -\; 3)\; cos\; \; \theta \; =\; (1\; -\; 4\; грех\; 2\; \; \theta )\; соз\; \; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; (2\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta)\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; =\; \backslash \; sin\; 2\; \backslash \; theta\; =\; \backslash \; cos\; 3\; \backslash \; theta\; =\; 4\; \backslash \; cos\; ^\; \{3\}\; \backslash \; theta\; -3\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; =\; (4\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta\; -3)\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; =\; (1-4\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta)\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\}$

Итак, $4\; sin\; 2\; \; \theta \; +\; 2\; грех\; \; \theta \; -\; 1\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; 4\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta\; +2\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; -1\; =\; 0\}$, что означает $sin\; \; \theta \; =\; sin\; \; (18\; \circ ,\; -\; 54\; \circ )\; =\; -\; 1\; \pm \; 5\; 4.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; =\; \backslash \; sin\; (18\; ^\; \{\backslash \; circ\},\; -\; 54\; ^\; \{\backslash \; circ\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{-1\; \backslash \; pm\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\}\; \{4\}\}.\}$

Следовательно,

$грех\; \; (18\; \circ )\; =\; соз\; \; (72\; \circ )\; =\; 5\; -\; 1\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; (18\; ^\; \{\backslash \; circ\})\; =\; \backslash \; cos\; (72\; ^\; \{\backslash \; circ\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\; -\; 1\}\; \{4\}\}\}$и $грех\; \; (54\; \circ )\; =\; соз\; \; (36\; \circ )\; =\; 5\; +\; 1\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; (54\; ^\; \{\backslash \; circ\})\; =\; \backslash \; cos\; (36\; ^\; \{\backslash \; circ\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\; +\; 1\}\; \{4\}\}\}$и

$грех\; \; (36\; \circ )\; =\; соз\; \; (54\; \circ )\; =\; 10\; -\; 2\; 5\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; (36\; ^\; \{\backslash \; circ\})\; =\; \backslash \; cos\; (54\; ^\; \{\backslash \; circ\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{10-2\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\}\}\; \{4\}\}\}$и $sin\; \; (72\; \circ )\; =\; cos\; \; (18)\; =\; 10\; +\; 2\; 5\; 4.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; (72\; ^\; \{\backslash \; circ\})\; =\; \backslash \; cos\; (18\; ^\; \{\backslash \; circ\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{10\; +\; 2\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\}\}\; \{4\}\}.\}$

В качестве альтернативы, формулы для нескольких углов для функций 5x, где x ∈ {18, 36, 54, 72, 90} и 5x ∈ {90, 180, 270, 360, 450}, могут быть решены для функций x, поскольку мы знаем значения функции 5x. Формулы для нескольких углов:

$грех\; \; 5\; x\; =\; 16\; sin\; 5\; \; x\; -\; 20\; sin\; 3\; \; x\; +\; 5\; sin\; \; x,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; 5x\; =\; 16\; \backslash \; sin\; ^\; \{5\}\; x-20\; \backslash \; sin\; ^\; \{3\}\; x\; +\; 5\; \backslash \; sin\; x,\; \backslash ,\}$

$cos\; \; 5\; x\; =\; 16\; cos\; 5\; \; x\; -\; 20\; cos\; 3\; \; x\; +\; 5\; cos\; \; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; 5x\; =\; 16\; \backslash \; cos\; ^\; \{5\}\; x-20\; \backslash \; cos\; ^\; \{3\}\; x\; +\; 5\; \backslash \; cos\; x.\; \backslash ,\}$

• Когда sin 5x = 0 или cos 5x = 0, мы полагаем y = sin x или y = cos x и решите относительно y:

$16\; y\; 5\; -\; 20\; y\; 3\; +\; 5\; y\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; 16y\; ^\; \{5\}\; -20y\; ^\; \{3\}\; +\; 5y\; =\; 0.\; \backslash ,\; \}$

Одно решение равно нулю, и полученное уравнение четвертой степени может быть решено как квадратичное по y.

• Когда sin 5x = 1 или cos 5x = 1, мы снова принимаем y = sin x или y = cos x и решите относительно y:

$16\; y\; 5-20\; y\; 3\; +\; 5\; y\; -\; 1\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; 16y\; ^\; \{5\}\; -20y\; ^\; \{3\}\; +\; 5y-1\; =\; 0,\; \backslash ,\}$

который делится на:

$(y\; -\; 1)\; (4\; y\; 2\; +\; 2\; y\; -\; 1)\; 2\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; (y-1)\; \backslash \; left\; (4y\; ^\; \{2\}\; +\; 2y-\; 1\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; =\; 0.\; \backslash ,\}$

n × π / 20

9 ° - это 45–36, а 27 ° - это 45–18; поэтому мы используем формулы вычитания для синуса и косинуса.

n × π / 30

6 ° - это 36 - 30, 12 ° - это 30 - 18, 24 ° - это 54 - 30, и 42 ° - это 60 - 18. ; поэтому мы используем формулы вычитания для синуса и косинуса.

n × π / 60

3 ° - 18-15, 21 ° - 36-15, 33 ° - 18 + 15, 39 ° - 54-15, поэтому мы используем формулы вычитания (или сложения) для синуса и косинуса.

Рационализация знаменателя

Если знаменатель является квадратным корнем, умножьте числитель и знаменатель на этот радикальный.

Если знаменатель представляет собой сумму или разность двух членов, умножьте числитель и знаменатель на сопряжение знаменателя. Сопряжение такое же, за исключением того, что знак между членами изменен.

Иногда вам нужно рационализировать знаменатель более одного раза.

Разделение дроби на две

Иногда помогает разделить дробь в сумму двух дробей, а затем упростить обе по отдельности.

Возведение в квадрат и извлечение квадратного корня

Этот план может помочь, если есть сложный термин, содержащий только один вид радикала. Возведите термин в квадрат, объедините похожие термины и извлеките квадратный корень. Это может оставить большой радикал с меньшим радикалом внутри, но это часто лучше, чем оригинал.

Упрощение вложенных радикальных выражений

В общем случае вложенные радикалы не могут быть уменьшены. Но если

$a\; \pm \; bc\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{a\; \backslash \; pm\; b\; \{\backslash \; sqrt\; \{c\}\}\}\}\; \backslash ,\}$

с рациональными a, b и c, мы имеем

$R\; =\; a\; 2\; -\; b\; 2\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{a\; ^\; \{2\}\; -b\; ^\; \{2\}\; c\}\}\; \backslash ,\}$

рационально, тогда и

$d\; =\; a\; +\; R\; 2,\; и\; e\; =\; a\; -\; R\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; =\; \{\backslash \; frac\; \{a\; +\; R\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; text\; \{and\}\}\; e\; =\; \{\backslash \; frac\; \{aR\}\; \{2\}\}\; \backslash ,\}$

рациональны ; то имеем

$a\; \pm \; b\; c\; =\; d\; \pm \; e.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{a\; \backslash \; pm\; b\; \{\backslash \; sqrt\; \{c\}\}\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{d\}\}\; \backslash \; pm\; \{\backslash \; sqrt\; \{e\}\}.\; \backslash ,\}$

Например,

$4\; грех\; \; 18\; \circ \; =\; 6-2\; 5\; =\; 5-1.\; \{\backslash \; Displaystyle\; 4\; \backslash \; sin\; 18\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{6-2\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\; \}\}\; -\; 1.\; \backslash ,\}$

$4\; sin\; \; 15\; \circ \; =\; 2\; 2\; -\; 3\; =\; 2\; (3\; -\; 1).\; \{\backslash \; displaystyle\; 4\; \backslash \; sin\; 15\; ^\; \{\backslash \; circ\}\; =\; 2\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; -\; 1\; \backslash \; справа).\}$

• Конструируемый многоугольник, для которого косинус или синус каждого угла имеет точное выражение в квадратных корнях
• Гептадекагональная конструкция, дающая точное выражение для cos 2π / 17
• Список тригонометрических тождеств
• Теорема Нивена о рациональных значениях синуса рационального кратного числа π
• Таблица аккордов Птолемея
• Тригонометрические функции
• Тригонометрическое число, значение тригонометрической функции рационального кратного числа π

• Вайсштейн, Эрик В. «Конструируемый многоугольник». MathWorld.

Вайсштейн, Эрик У. «Углы тригонометрии». MathWorld.

• π / 3 (60 °) - π / 6 (30 °) - π / 12 (15 °) - π / 24 (7,5 °)
• π / 4 (45 °) - π / 8 (22,5 °) - π / 16 (11,25 °) - π / 32 (5,625 °)
• π / 5 (36 °) - π / 10 (18 °) - π / 20 (9 °)
• π / 7 - π / 14
• π / 9 (20 °) - π / 18 (10 °)
• π / 11
• π / 13
• π / 15 (12 °) - π / 30 (6 °)
• π / 17
• π / 19
• π / 23

• Бракен, Пол; Чижек, Иржи (2002). «Оценка сумм квантово-механических возмущений в терминах квадратичных сурдов и их использование в приближении ζ (3) / π». Int. J. Quantum Chem. 90 (1): 42–53. doi : 10.1002 / qua.1803.
• Conway, John H.; Радин, Чарльз ; Садун, Лоренцо (1999). «Об углах, квадраты тригонометрических функций которых рациональны». Диск. И комп. Геом. 22 (3): 321–332. arXiv : math-ph / 9812019. doi : 10.1007 / PL00009463. MR 1706614.
• Girstmair, Kurt (1997). «Некоторые линейные отношения между значениями тригонометрических функций при kπ / n». Acta Arithmetica. 81 (4): 387–398. doi : 10.4064 / aa-81-4-387-398. MR 1472818.
• Гурак, С. (2006). «О минимальном многочлене периодов Гаусса для степеней простых чисел». Математика вычислений. 75 (256): 2021–2035. Bibcode : 2006MaCom..75.2021G. doi : 10.1090 / S0025-5718-06-01885-0. MR 2240647.
• Серви, Л. Д. (2003). «Вложенные квадратные корни из 2». Амер. Математика. Ежемесячно. 110 (4): 326–330. DOI : 10.2307 / 3647881. JSTOR 3647881. MR 1984573.

• Конструируемые регулярные многоугольники
• Именование многоугольников
• Синус и косинус в surds в некоторых случаях также включает альтернативные выражения как выражения для некоторых других углов