Тригонометрическое число

редактировать

В математике тригонометрическое число - это иррациональное число, полученное с помощью синуса . или косинус рационального, кратного полного круга, или, что эквивалентно, синуса или косинуса угла, который в радианах является рациональным числом, кратным π, или синусом или косинусом рационального числа градусов. Один из простейших примеров: $cos ⁡ π 4 = 2 2. {\ displaystyle \ cos {\ frac {\ pi} {4}} = {\ frac {\ sqrt {2}} {2}}.}$ ${\ displaystyle \ cos {\ frac {\ pi} {4}} = {\ frac {\ sqrt {2}} {2}}.}$

Действительное число, отличное от 0, 1, –1, 1 / 2, –1/2 является тригонометрическим числом тогда и только тогда, когда оно является действительной частью корня из единицы (см. теорему Нивена ). Таким образом, каждое тригонометрическое число представляет собой половину суммы двух комплексно сопряженных корней из единицы. Это означает, что тригонометрическое число - это алгебраическое число, а дважды тригонометрическое число - это целое алгебраическое число..

Иван Нивен дал доказательства теорем относительно этих чисел. Ли Чжоу и Любомир Марков недавно улучшили и упростили доказательства Нивена.

Любое тригонометрическое число можно выразить с помощью радикалов. Те, которые могут быть выражены с помощью квадратных корней, хорошо охарактеризованы (см. Тригонометрические константы, выраженные в действительных радикалах ). Чтобы выразить другие в терминах радикалов, требуется корней n-й степени нереальных комплексных чисел, где n>2.

Элементарное доказательство того, что каждое тригонометрическое число является алгебраическим числом, выглядит следующим образом. Начнем с утверждения формулы де Муавра для случая $θ = 2 π k / n {\ displaystyle \ theta = 2 \ pi k / n}$ $\ theta = 2 \ pi k / n$ для взаимно простое k и n:

(cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ) n = 1. {\ displaystyle (\ cos \ theta + i \ sin \ theta) ^ {n} = 1.}

(\ cos \ theta + i \ sin \ theta) ^ n = 1.

Расширение левой части и приравнивание вещественных частей дает уравнение в $cos ⁡ θ { \ displaystyle \ cos \ theta}$ $\ cos \ theta$ и $sin 2 ⁡ θ; {\ displaystyle \ sin ^ {2} \ theta;}$ $\ sin ^ 2 \ theta;$ заменяя $sin 2 ⁡ θ = 1 - cos 2 ⁡ θ {\ displaystyle \ sin ^ {2} \ theta = 1- \ cos ^ {2} \ theta}$ $\ sin ^ 2 \ theta = 1- \ cos ^ 2 \ theta$ дает полиномиальное уравнение, имеющее в качестве решения $cos ⁡ θ {\ displaystyle \ cos \ theta}$ $\ cos \ theta$ , поэтому по определению последнее является алгебраическим число. Также $sin ⁡ θ {\ displaystyle \ sin \ theta}$ $\ sin \ theta$ является алгебраическим, поскольку оно равно алгебраическому числу $cos ⁡ (θ - π / 2). {\ displaystyle \ cos (\ theta - \ pi / 2).}$ $\ cos (\ theta- \ pi /2).$ Наконец, $tan ⁡ θ, {\ displaystyle \ tan \ theta,}$ $\ tan \ theta,$ где снова $θ {\ displaystyle \ theta}$ $\theta$ - рациональное кратное π, является алгебраическим как отношение двух алгебраических чисел. Более элементарно это также можно увидеть, приравняв мнимые части двух сторон разложения уравнения де Муавра друг к другу и разделив их на $cos n ⁡ θ {\ displaystyle \ cos ^ {n } \ theta}$ $\ cos ^ n \ theta$ , чтобы получить полиномиальное уравнение от $tan ⁡ θ. {\ displaystyle \ tan \ theta.}$ $\ tan \ theta.$

См. также

Ссылки