Теоретико-множественная топология

редактировать

Пространство целых чисел имеет мощность

ℵ 0 {\ displaystyle \ aleph _ {0 }}

\ алеф _ {0}

, а действительные числа имеют мощность

2 ℵ 0 {\ displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}}}

2 ^ {\ aleph _ {0}}

. Топологии обоих пространств имеют мощность

2 ℵ 0 {\ displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}}}

2 ^ {\ aleph _ {0}}

. Это примеры кардинальных функций, тема теоретико-множественной топологии.

В математике, теоретико-множественная топология - это предмет, объединяющий теорию множеств и общая топология. Он фокусируется на топологических вопросах, которые не зависят от теории множеств Цермело – Френкеля (ZFC).

Содержание

1 Объекты, изучаемые в теоретико-множественной топологии
- 1.1 Пространства Даукера
- 1.2 Нормальные пространства Мура
- 1.3 Кардинальные функции
- 1.4 Аксиома Мартина
- 1.5 Принуждение
2 Ссылки
3 Дополнительная литература

Объекты, изучаемые в теоретико-множественной топологии

Пространства Даукера

В поле математика в общей топологии, пространство Даукера является топологическим пространством, которое является T4, но не счетно паракомпактным.

Даукер предположил, что пространств Даукера не было, и эта гипотеза не была решена до тех пор, пока Я Рудин построил его в 1971 году. Контрпример Рудина - это очень большое пространство (мощности $ℵ ω ℵ 0 {\ displaystyle \ aleph _ {\ omega} ^ {\ aleph _ {0} }}$ $\ aleph_ \ omega ^ {\ aleph_0}$ ) и обычно не ведет себя хорошо. Золтан Балог дал первую ZFC конструкцию небольшого (мощность континуум ) примера, который был более благовоспитанным, чем у Рудина. Используя теорию ПКФ, М. Койман и С. Шелах построил подпространство пространства Даукера Рудина мощности $ℵ ω + 1 {\ displaystyle \ aleph _ {\ omega +1}}$ $\aleph_{\omega+1}$ , которое также является Даукером.

Нормальные пространства Мура

Известной проблемой является вопрос о нормальном пространстве Мура, вопрос общей топологии, который был предметом интенсивных исследований. В конечном итоге было доказано, что ответ на обычный вопрос о пространстве Мура не зависит от ZFC.

Кардинальные функции

Кардинальные функции широко используются в топологии в качестве инструмента для описания различных топологических свойств. Ниже приведены некоторые примеры. (Примечание: некоторые авторы, утверждая, что «в общей топологии нет конечных кардинальных чисел», предпочитают определять кардинальные функции, перечисленные ниже, чтобы они никогда не принимали конечные кардинальные числа в качестве значений; это требует изменения некоторых определений, приведенных ниже, например, добавив " $+ ℵ 0 {\ displaystyle \; \; + \; \ aleph _ {0}}$ $\; \; + \; \ aleph_0$ " в правую часть определений и т. д.)

Возможно, простейшими кардинальными инвариантами топологического пространства X являются его мощность и мощность топологии, обозначаемые соответственно через | X | и o (X).
weight w (X) топологического пространства X - это наименьшая возможная мощность базы для X. Когда w (X) ≤ ℵ 0 {\ displaystyle \ leq \ aleph _ {0}}, пространство X называется счетной секундой.
- $π {\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ -вес пространства X - это наименьшая мощность $π {\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ -базы для X.
символ топологического пространства X в точке x является наименьшей мощностью локальной базы для x. Символ пространства X равен $χ (X) = sup {χ (x, X): x ∈ X}. {\ displaystyle \ chi (X) = \ sup \; \ {\ chi (x, X): x \ in X \}.}$ $\ chi (X) = \ sup \; \ {\ chi (x, X): x \ in X \}.$ Когда $χ (X) ≤ ℵ 0 {\ displaystyle \ chi (X) \ leq \ aleph _ {0}}$ $\ chi (X) \ le \ aleph_0$ пространство X называется первым счетным.
плотность d (X) пространства X равна наименьшая мощность плотного подмножества X. Когда $d (X) ≤ ℵ 0 {\ displaystyle {\ rm {{d} (X) \ leq \ aleph _ {0}}}}$ $\ rm {d} (X) \ le \ aleph_0$ пространство X называется сепарабельным.
Число Линделёфа L (X) пространства X - это наименьшая бесконечная мощность, такая что каждое открытое крышка имеет подкладку мощности не более L (X). Когда $L (X) = ℵ 0 {\ displaystyle {\ rm {{L} (X) = \ aleph _ {0}}}}$ $\ rm {L} (X) = \ aleph_0$ , пространство X называется Пространство Линделёфа.
клеточность пространства X составляет $c (X) = sup {| U | : U {\ displaystyle {\ rm {c}} (X) = \ sup \ {| {\ mathcal {U}} |: {\ mathcal {U}}}$ ${\ rm c} (X) = \ sup \ {| {\ mathcal U} |: {\ mathcal U}$ - это семейство взаимно непересекающихся непустых открытых подмножеств $X} {\ displaystyle X \}}$ $X \}$ .
- Наследственная клеточность (иногда spread ) - наименьшая верхняя граница клеточностей его подмножеств: $s (X) = hc (X) = sup {c (Y): Y ⊆ X} {\ displaystyle s (X) = {\ rm {hc}} (X) = \ sup \ {{\ rm {c}} (Y): Y \ substeq X \}}$ $s (X) = {\ rm hc} (X) = \ sup \ {{\ rm c} (Y): Y \ substeq X \}$ или $s (X) = sup {| Y | : Y ⊆ Икс {\ displaystyle s (X) = \ sup \ {| Y |: Y \ substeq X}$ $s (X) = \ sup \ {| Y |: Y \ substeq X$ с подпространством топология дискретная $} {\ displaystyle \}}$ $\}$ .
плотность t (x, X) топологического пространства X в точке x ∈ X {\ displaystyle x \ in X}наименьшее кардинальное число α {\ displaystyle \ alpha}такое, что всякий раз, когда x ∈ cl X (Y) {\ displaystyle x \ в {\ rm {cl}} _ {X} (Y)}для некоторого подмножества Y из X существует подмножество Z из Y, причем | Z | ≤ α {\ displaystyle \ alpha}, такое, что x ∈ cl X (Z) {\ displaystyle x \ in {\ rm {cl}} _ {X} (Z) }. Символически $t (x, X) = sup {min {| Z | : Z ⊆ Y ∧ x ∈ c l X (Z)}: Y ⊆ X ∧ x ∈ c l X (Y)}. {\ Displaystyle т (Икс, Икс) = \ sup {\ big \ {} \ min \ {| Z |: Z \ substeq Y \ \ wedge \ x \ in {\ rm {cl}} _ {X} (Z) \}: Y \ substeq X \ \ wedge \ x \ in {\ rm {cl}} _ {X} (Y) {\ big \}}.}$ $t (x, X) = \ sup \ big \ {\ min \ {| Z |: Z \ substeq Y \ \ wedge \ x \ in {\ rm cl} _X (Z) \}: Y \ substeq X \ \ wedge \ x \ in {\ rm cl} _X (Y) \ big \}.$ плотность пространства X равно t (X) = sup {t (x, X): x ∈ X} {\ displaystyle t (X) = \ sup \ {t (x, X): x \ in X \}}. Когда t (X) = ℵ 0 {\ displaystyle \ aleph _ {0}}, пространство X называется сгенерированным счетно или счетно плотным.
- увеличенная плотность пробела X, $t + (X) {\ displaystyle t ^ {+} (X)}$ $t ^ + (X)$ является наименьшим обычным кардиналом $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ альфа$ такой, что для любого $Y ⊆ X {\ displaystyle Y \ substeq X}$ $Y \ substeq X$ , $x ∈ cl X (Y) {\ displaystyle x \ in {\ rm {cl}} _ {X} (Y)}$ $x \ in {\ rm cl} _X ( Y)$ существует подмножество Z из Y с мощностью меньше $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ альфа$ , такое, что $x ∈ cl X (Z) {\ displaystyle x \ in {\ rm {cl}} _ {X} (Z)}$ $x \ in {\ rm cl} _X (Z)$ .

аксиома Мартина

Для любого кардинала k, мы определяем оператор, обозначенный MA (k ):

Для любого частичного порядка P, удовлетворяющего условию счетной цепочки ( здесь и далее ccc) и любое семейство D плотных множеств в P такое, что | D | ≤ k, существует фильтр F на P такой, что F ∩ d не- пусто для каждого d в D.

Поскольку это теорема ZFC о том, что MA (c ) не выполняется, аксиома Мартина формулируется как:

аксиома Мартина (MA): Для каждого k< c, MA (k ).

В этом случае (для применения ccc) антицепь - это подмножество A в P такое, что любые два различных элемента A несовместимы (два элемента называются совместимыми, если существует общий элемент ниже обоих из них в частичном порядке). Это отличается, например, от понятия антицепи в контексте деревьев.

MA ( $2 ℵ 0 {\ displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}}}$ $2 ^ {\ aleph _ {0}}$ ) ложно: [0, 1] - это компактное пространство Хаусдорфа, которое разделимо и т. д. ccc. В нем нет изолированных точек, поэтому точки в нем нигде не плотные, но это объединение $2 ℵ 0 {\ displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}}}$ $2 ^ {\ aleph _ {0}}$ много очков.

Эквивалентная формулировка: если X - компактное хаусдорфово топологическое пространство, которое удовлетворяет ccc, то X не является объединением k или меньше нигде не плотно подмножества.

аксиома Мартина имеет ряд других интересных комбинаторных, аналитических и топологических следствий:

Объединение k или меньше нулевых наборов в безатомной σ-конечной мере Бореля на польском пространстве равно нулю. В частности, объединение k или меньшего числа подмножеств R из меры Лебега 0 также имеет меру Лебега 0.
Компактное хаусдорфово пространство X с | X | < 2 is последовательно компактный, то есть каждая последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность.
Ни один неглавный ультрафильтр на N не имеет базы мощности < k.
Эквивалентно для любого x в β N\Nмы имеем χ (x) ≥ k, где χ - символ символа x, и поэтому χ (β N ) ≥ k.
MA ( $ℵ 1 {\ displaystyle \ aleph _ {1}}$ $\ aleph _ {1}$ ) подразумевает, что произведение топологических пространств ccc равно ccc (это, в свою очередь, означает, что Строки Суслина ).
MA + ¬CH подразумевают, что существует группа Уайтхеда, которая не свободна; Шелах использовал это, чтобы показать, что проблема Уайтхеда не зависит от ZFC.

Форсирование

Форсирование - это метод, изобретенный Полом Коэном для доказательства согласованности и независимости результатов. Это был первый использовался в 1963 году для доказательства независимости аксиомы выбора и гипотезы континуума из теории множеств Цермело – Френкеля. Принуждение было значительно переработано и упрощено в 19 60-х годов, и оказался чрезвычайно мощным методом как в теории множеств, так и в областях математической логики, таких как теория рекурсии.

Интуитивно, принуждение состоит из расширения теоретического множества вселенной. V в большую вселенную V *. В этой большей вселенной, например, у кого-то может быть много новых подмножеств из ω = {0,1,2,…}, которых не было в старой вселенной, и тем самым нарушить гипотеза континуума. Хотя это невозможно на первый взгляд, это всего лишь еще одна версия парадокса Кантора о бесконечности. В принципе, можно рассматривать

V ∗ = V × {0, 1}, {\ displaystyle V ^ {*} = V \ times \ {0,1 \}, \,}

V ^ * = V \ times \ {0,1 \}, \,

идентифицировать $x ∈ V {\ displaystyle x \ in V}$ $x \ in V$ с $(x, 0) {\ displaystyle (x, 0)}$ $(x,0)$ , а затем ввести расширенное отношение членства, включающее «новые» наборы формы $(x, 1) {\ displaystyle (x, 1)}$ $(x,1)$ . Принуждение - это более сложная версия этой идеи, сводящая расширение к существованию одного нового набора и позволяющая точно контролировать свойства расширенной вселенной.

См. Основные статьи о таких приложениях, как случайные числа.

Ссылки

Дополнительная литература

Кеннет Кунен ; Джерри Э. Воган (ред.). Справочник по теоретико-множественной топологии. Северная Голландия. ISBN 0-444-86580-2.