Теория PCF является именем математической теории, введенного Сахароном Шелами ( 1978), которая имеет дело с конфинальностью из ультрапроизведений из упорядоченных множеств. Это дает сильные ограничения сверху на мощностях мощности множеств в особых кардиналы, и имеет гораздо больше приложений, а также. Аббревиатура «PCF» означает «возможные варианты ».
Если A - бесконечное множество регулярных кардиналов, D - ультрафильтр на A, то мы обозначим конфинальность упорядоченного набора функций, где порядок определяется следующим образом: если. pcf ( A) - это набор конфинальностей, которые возникают, если мы рассматриваем все ультрафильтры на A, то есть
Очевидно, pcf ( A) состоит из обычных кардиналов. Рассматривая ультрафильтры, сконцентрированные на элементах A, мы получаем это. Шела доказано, что если, то PCF () имеет наибольший элемент, и существуют подмножества из таким образом, что для каждого ультрафильтра D на А, является наименьшим элементом θ из PCF ( А) таким образом, что. Следовательно,. Шелах также доказал, что если A - интервал регулярных кардиналов (т. Е. A - множество всех регулярных кардиналов между двумя кардиналами), то pcf ( A) также является интервалом регулярных кардиналов и | pcf ( A) | lt;| А | +4. Отсюда следует известное неравенство
предполагая, что ℵ ω - сильный предел.
Если λ представляет собой бесконечный кардинал, то J lt;λ является следующим идеалом на A. В ∈ J lt;λ, если имеет место для любого ультрафильтра D с B ∈ D. Тогда J lt;λ - идеал, порожденный множествами. Существуют шкалы, т. Е. Для каждого λ∈pcf ( A) существует последовательность длины λ элементов, у которой как возрастающие, так и конфинальные mod J lt;λ. Отсюда следует, что конфинальность поточечного подчинения равна max (pcf ( A)). Другое следствие состоит в том, что если λ сингулярно и никакой регулярный кардинал, меньший чем λ, является Йонссоном, то и λ + не является Йонссоном. В частности, на ℵ ω + 1 существует алгебра Йонссона, которая разрешает старую гипотезу.
Самая известная гипотеза в теории pcf гласит, что | pcf ( A) | = | А | выполняется для любого множества A регулярных кардиналов с | А | lt;мин ( А). Это означало бы, что если ℵ ω - сильный предел, то точная оценка
держит. Аналогичная оценка
следует из гипотезы Чанга ( Магидор ) или даже из отсутствия дерева Курепы ( Шела ).
Более слабая, до сих пор нерешенная гипотеза гласит, что если | A | lt;min ( A), то pcf ( A) не имеет недоступной предельной точки. Это эквивалентно утверждению, что pcf (pcf ( A)) = pcf ( A).
Теория нашла множество приложений, помимо кардинальной арифметики. Оригинальный обзор Шелаха, Кардинальная арифметика для скептиков, включает следующие темы: почти свободные абелевы группы, проблемы разбиения, несоблюдение цепных условий в булевых алгебрах при произведениях, существование алгебр Йонссона, существование запутанных линейных порядков, эквивалентно узкие булевы теории. алгебры и существование неизоморфных моделей, эквивалентных в некоторых инфинитарных логиках.
Между тем, многие другие приложения были найдены в теории множеств, теории моделей, алгебре и топологии.