Теория ПКФ

редактировать

Теория PCF является именем математической теории, введенного Сахароном Шелами ( 1978), которая имеет дело с конфинальностью из ультрапроизведений из упорядоченных множеств. Это дает сильные ограничения сверху на мощностях мощности множеств в особых кардиналы, и имеет гораздо больше приложений, а также. Аббревиатура «PCF» означает «возможные варианты ».

СОДЕРЖАНИЕ

1 Основные определения
2 Основные результаты
3 Нерешенные проблемы
4 Приложения
5 ссылки
6 Внешние ссылки

Основные определения

Если A - бесконечное множество регулярных кардиналов, D - ультрафильтр на A, то мы обозначим конфинальность упорядоченного набора функций, где порядок определяется следующим образом: если. pcf ( A) - это набор конфинальностей, которые возникают, если мы рассматриваем все ультрафильтры на A, то есть ${\ Displaystyle \ OperatorName {cf} (\ prod A / D)}$ ${\ Displaystyle \ OperatorName {cf} (\ prod A / D)}$ ${\ displaystyle \ prod A}$ ${\ displaystyle \ prod A}$ ${\ displaystyle f lt;g}$ ${\ displaystyle f lt;g}$ ${\ Displaystyle \ {х \ в А: е (х) lt;г (х) \} \ в D}$ ${\ Displaystyle \ {х \ в А: е (х) lt;г (х) \} \ в D}$

{\ displaystyle \ operatorname {pcf} (A) = \ {\ operatorname {cf} (\ prod A / D): D \, \, {\ t_dv {- ультрафильтр на}} \, \, A \}. }

{\ displaystyle \ operatorname {pcf} (A) = \ {\ operatorname {cf} (\ prod A / D): D \, \, {\ t_dv {- ультрафильтр на}} \, \, A \}. }

Основные результаты

Очевидно, pcf ( A) состоит из обычных кардиналов. Рассматривая ультрафильтры, сконцентрированные на элементах A, мы получаем это. Шела доказано, что если, то PCF () имеет наибольший элемент, и существуют подмножества из таким образом, что для каждого ультрафильтра D на А, является наименьшим элементом θ из PCF ( А) таким образом, что. Следовательно,. Шелах также доказал, что если A - интервал регулярных кардиналов (т. Е. A - множество всех регулярных кардиналов между двумя кардиналами), то pcf ( A) также является интервалом регулярных кардиналов и | pcf ( A) | lt;| А | ⁺⁴. Отсюда следует известное неравенство ${\ displaystyle A \ substeq \ operatorname {pcf} (A)}$ ${\ displaystyle A \ substeq \ operatorname {pcf} (A)}$ ${\ Displaystyle | А | lt;\ мин (А)}$ ${\ Displaystyle | А | lt;\ мин (А)}$ ${\ displaystyle \ {B _ {\ theta}: \ theta \ in \ operatorname {pcf} (A) \}}$ ${\ displaystyle \ {B _ {\ theta}: \ theta \ in \ operatorname {pcf} (A) \}}$ ${\ Displaystyle \ OperatorName {cf} (\ prod A / D)}$ ${\ Displaystyle \ OperatorName {cf} (\ prod A / D)}$ ${\ displaystyle B _ {\ theta} \ in D}$ ${\ displaystyle B _ {\ theta} \ in D}$ ${\ displaystyle \ left | \ OperatorName {pcf} (A) \ right | \ leq 2 ^ {| A |}}$ ${\ displaystyle \ left | \ OperatorName {pcf} (A) \ right | \ leq 2 ^ {| A |}}$

{\ displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {\ omega}} lt;\ aleph _ {\ omega _ {4}}}

{\ displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {\ omega}} lt;\ aleph _ {\ omega _ {4}}}

предполагая, что ℵ ω - сильный предел.

Если λ представляет собой бесконечный кардинал, то J lt;λ является следующим идеалом на A. В ∈ J lt;λ, если имеет место для любого ультрафильтра D с B ∈ D. Тогда J lt;λ - идеал, порожденный множествами. Существуют шкалы, т. Е. Для каждого λ∈pcf ( A) существует последовательность длины λ элементов, у которой как возрастающие, так и конфинальные mod J lt;λ. Отсюда следует, что конфинальность поточечного подчинения равна max (pcf ( A)). Другое следствие состоит в том, что если λ сингулярно и никакой регулярный кардинал, меньший чем λ, является Йонссоном, то и λ ⁺ не является Йонссоном. В частности, на ℵ ω + 1 существует алгебра Йонссона, которая разрешает старую гипотезу. ${\ Displaystyle \ OperatorName {cf} (\ prod A / D) lt;\ lambda}$ ${\ Displaystyle \ OperatorName {cf} (\ prod A / D) lt;\ lambda}$ ${\ displaystyle \ {B _ {\ theta}: \ theta \ in \ operatorname {pcf} (A), \ theta lt;\ lambda \}}$ ${\ displaystyle \ {B _ {\ theta}: \ theta \ in \ operatorname {pcf} (A), \ theta lt;\ lambda \}}$ ${\ displaystyle \ prod B _ {\ lambda}}$ ${\ displaystyle \ prod B _ {\ lambda}}$ ${\ displaystyle \ prod A}$ ${\ displaystyle \ prod A}$

Нерешенные проблемы

Самая известная гипотеза в теории pcf гласит, что | pcf ( A) | = | А | выполняется для любого множества A регулярных кардиналов с | А | lt;мин ( А). Это означало бы, что если ℵ ω - сильный предел, то точная оценка

{\ displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {\ omega}} lt;\ aleph _ {\ omega _ {1}}}

{\ displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {\ omega}} lt;\ aleph _ {\ omega _ {1}}}

держит. Аналогичная оценка

{\ displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {\ omega _ {1}}} lt;\ aleph _ {\ omega _ {2}}}

{\ displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {\ omega _ {1}}} lt;\ aleph _ {\ omega _ {2}}}

следует из гипотезы Чанга ( Магидор ) или даже из отсутствия дерева Курепы ( Шела ).

Более слабая, до сих пор нерешенная гипотеза гласит, что если | A | lt;min ( A), то pcf ( A) не имеет недоступной предельной точки. Это эквивалентно утверждению, что pcf (pcf ( A)) = pcf ( A).

Приложения

Теория нашла множество приложений, помимо кардинальной арифметики. Оригинальный обзор Шелаха, Кардинальная арифметика для скептиков, включает следующие темы: почти свободные абелевы группы, проблемы разбиения, несоблюдение цепных условий в булевых алгебрах при произведениях, существование алгебр Йонссона, существование запутанных линейных порядков, эквивалентно узкие булевы теории. алгебры и существование неизоморфных моделей, эквивалентных в некоторых инфинитарных логиках.

Между тем, многие другие приложения были найдены в теории множеств, теории моделей, алгебре и топологии.

использованная литература

Сахарон Шелах, Кардинальная арифметика, Oxford Logic Guides, т. 29. Oxford University Press, 1994.

внешние ссылки

Менахем Койман: теория ПКФ
Сала, Saharon (1978), "Йонссон алгебры в правопреемниками кардиналами", Израиль Журнал математики, 30 (1): 57-64, DOI : 10.1007 / BF02760829, MR 0505434
Шелах, Сахарон (1992), «Кардинальная арифметика для скептиков», Бюллетень Американского математического общества, Новая серия, 26 (2): 197–210, arXiv : math / 9201251, doi : 10.1090 / s0273-0979-1992-00261 -6, Руководство по ремонту 1112424