Сетевой синтез

Сетевой синтез - это метод проектирования для линейных электрических цепей. Синтез начинается с заданной функции импеданса частоты или частотной характеристики, а затем определяются возможные сети, которые дадут требуемый отклик. Этот метод следует сравнить с анализом сети, в котором рассчитывается отклик (или другое поведение) данной цепи. Сетевой синтез стал большим шагом вперед в схемотехнике. До синтеза сети был доступен только анализ сети, но для этого необходимо, чтобы кто-то уже знал, какую форму цепи следует анализировать. Нет гарантии, что выбранная схема будет максимально приближена к желаемому отклику или что схема будет самой простой из возможных. Сетевой синтез напрямую решает обе эти проблемы. Сетевой синтез исторически связан с синтезом пассивных сетей, но не ограничивается такими схемами.

Эта область была основана Вильгельмом Кауэром после прочтения статьи Рональда М. Фостера 1924 года Теорема реактивного сопротивления. Теорема Фостера предоставила метод синтеза LC-цепей с произвольным числом элементов путем частичного разложения функции импеданса. Кауэр расширил метод Фостера на RC и RL-схемы, нашел новые методы синтеза и методы, которые могут синтезировать общую RLC-схему. Другие важные достижения перед Второй мировой войной связаны с Отто Бруном и Сидни Дарлингтоном. В 1940-х годах Рауль Ботт и Ричард Даффин опубликовали метод синтеза, который не требовал трансформаторов в общем случае (устранение которого беспокоило исследователей в течение некоторого времени). В 1950-х годах было приложено много усилий, чтобы свести к минимуму количество элементов, необходимых для синтеза, но с ограниченным успехом. Мало что было сделано в этой области до 2000-х годов, когда проблема мимимизации снова стала активной областью исследований, но по состоянию на 2018 год все еще остается нерешенной проблемой.

Основным применением сетевого синтеза является разработка фильтров сетевого синтеза, но это не единственное его применение. Среди прочего, сети согласования импеданса, сети с временной задержкой, направленные ответвители и эквалайзер. В 2000-х годах сетевой синтез начал применяться как к механическим системам, так и к электрическим, особенно в гонках Формулы-1.

• 1 Цели
• 2 История
• 3 Приложения
• 4 Методы синтеза
  • 4.1 Фостер-синтез
    • 4.1.1 Форма Foster I
    • 4.1.2 Форма Foster II
    • 4.1.3 Расширение до RC или RL сетей
  • 4.2 Иммитанс
  • 4.3 Синтез Кауэра
    • 4.3.1 Форма Кауэра I
    • 4.3.2 Форма Кауэра II
  • 4.4 Синтез Бруна
    • 4.4.1 Удаление критических частот на мнимой оси
    • 4.4.2 Общее описание метода
    • 4.4.3 Удаление минимального сопротивления
    • 4.4.4 Удаление отрицательной индуктивности или емкости
    • 4.4.5 Удаление сопряженной пары нулей
    • 4.4.6 Удаление полюса на бесконечности
    • 4.4.7 Замена отрицательной индуктивности на трансформатор
    • 4.4.8 Промойте и повторите попытку
    • 4.4.9 Положительный X
  • 4.5 Синтез Ботта-Даффина
  • 4.6 Синтез Байярда
  • 4.7 Синтез Дарлингтона
• 5 Активные и цифровые реализации
• 6 Ссылки
• 7 Библиография
  • 7.1 Источники
  • 7.2 Первичные документы

Есть три вопроса, которые пытается решить сетевой синтез;

Re гибкость

Важным математическим результатом электрического анализа является то, что импеданс всех электрических сетей, состоящих из дискретных пассивных элементов, должен иметь форму рациональная функция переменной комплексной частоты. Этот импеданс обозначается $Z\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; (s)\}$. Однако не все рациональные функции s могут быть реализованы в виде пассивных цепей с сопротивлением (R), индуктивностью (L) и емкостью (C). Теория синтеза сетей предоставляет методы для определения того, реализуема ли данная рациональная функция.

Эквивалентность

Одна и та же рациональная функция может быть реализована как более чем одна сеть. Сетевой синтез определяет, какие сети эквивалентны. Основная область исследования сетевого синтеза - найти реализацию, использующую минимальное количество элементов. Этот вопрос не был полностью решен для общего случая, но решения доступны для многих сетей с практическим применением.

Приближение

Функция частоты, предписанная в качестве цели проектирования, может быть идеализированным результатом, который недостижим. на практике. Простым и распространенным примером является фильтр кирпичной стены. Это идеальный отклик для фильтра нижних частот , но он недостижим в реальном фильтре по причинам причинно-следственной связи. Его также нельзя описать с помощью многочленов, поскольку он является только кусочно-непрерывным. Однако его можно аппроксимировать полиномами. Это область теории приближений. В общем, чем ближе требуется приближение, тем выше степень полинома и тем больше элементов потребуется в сети. Сетевой синтез обеспечивает метод получения рациональной функции, которая приближает требуемую частотную функцию в заданных пределах. Обычно используется приближение приближение Чебышева, но оно не единственное.

Вильгельм Кауэр

Сфера сетевого синтеза была основана немецким математиком и ученым Вильгельм Кауэр (1900–1945). Первый намек на теорию дал американский математик Рональд М. Фостер (1896–1998), когда он опубликовал теорему о реактивном сопротивлении в 1924 году. Кауэр сразу же осознал важность этой работы и установил об обобщении и расширении. Его диссертация в 1926 году была на тему «Реализация импедансов заданной частотной зависимости» и положила начало этой области. Наиболее подробная работа Кауэра была сделана во время Второй мировой войны, но он был убит незадолго до окончания войны. Его работы не могли быть широко опубликованы во время войны, и только в 1958 году его семья собрала его статьи и опубликовала их для всего мира. Тем временем в Соединенных Штатах был достигнут прогресс, основанный на довоенных публикациях Кауэра и материалах, захваченных во время войны.

Английский математик и ученый-самоучка Оливер Хевисайд (1850–1925) был первым, кто показал, что импеданс сети RLC всегда был рациональной функцией оператора частоты, но не предоставил метода реализации сети на основе рациональной функции. Кауэр нашел необходимое условие для реализации рациональной функции как пассивной сети. Южноафриканский Отто Брун (1901–1982) позже ввел термин положительно-вещественная функция (PRF) для этого состояния. Кауэр предположил, что PRF является необходимым и достаточным условием, но не смог это доказать, и предложил это в качестве исследовательского проекта Бруну, который в то время был его аспирантом в Соединенных Штатах.. Брюн опубликовал недостающее доказательство в своей докторской диссертации 1931 года .

Рауль Ботт

Реализация Фостера ограничивалась сетями LC и имела одну из двух форм; либо количество последовательных цепей LC, включенных параллельно, либо количество параллельных цепей LC, включенных последовательно. Метод Фостера заключался в том, чтобы разложить $Z\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; (s)\}$на частичные дроби. Кауэр показал, что метод Фостера можно распространить на сети RL и RC. Однако Кауэр нашел другой метод; расширение $Z\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; (s)\}$в виде непрерывной дроби, что приводит к релейной сети, опять же в двух возможных формах. В общем, PRF будет представлять сеть RLC; при наличии всех трех видов элементов реализация затруднена. И Кауэр, и Брюн использовали идеальные трансформаторы в своих реализациях сетей RLC. Наличие трансформаторов нежелательно при практической реализации схемы.

Метод реализации, не требующий трансформаторов, был предложен в 1949 году венгерско-американским математиком Раулем Боттом (1923–2005).) и американский физик Ричард Даффин (1909–1996). Метод Ботта и Даффина обеспечивает расширение путем повторного применения теоремы Ричардса, результата 1947 года, полученного американским физиком и математиком-прикладником Полом Ричардсом (1923–1978). Получающиеся в результате сети Ботта-Даффина имеют ограниченное практическое использование (по крайней мере, для рациональных функционалов высокой степени ), потому что количество требуемых компонентов растет экспоненциально с увеличением степени. Во многих вариациях исходного метода Ботта-Даффина количество элементов в каждом разделе сокращается с шести до пяти, но общее количество по-прежнему растет экспоненциально. Работы, достигшие этого, включают Pantell (1954), Reza (1954), Storer (1954) и Fialkow Gest (1955). По состоянию на 2008 год не было дальнейшего значительного прогресса в синтезе рациональных функций.

В 1939 году американский инженер-электрик Сидни Дарлингтон показал, что любой PRF может быть реализован как двухкомпонентный. сеть портов, состоящая только из элементов L и C и оканчивающаяся на выходе резистором . То есть в любой сети требуется только один резистор, а остальные компоненты работают без потерь. Теорема была независимо открыта Кауэром и Джованни Коччи. Проблема следствия, найти синтез PRF с использованием элементов R и C только с одним индуктором, является нерешенной проблемой в теории сетей. Другая нерешенная проблема - найти доказательство гипотезы Дарлингтона (1955) о том, что любой RC 2-порт с общим выводом может быть реализован как последовательно-параллельная сеть. Важным соображением в практических сетях является минимизация количества компонентов, особенно компонентов намотки - индукторов и трансформаторов. Несмотря на большие усилия, приложенные к минимизации, общая теория минимизации так и не была открыта, как это было для булевой алгебры цифровых схем.

Кауэр использовал эллиптические рациональные функции для получения приближений к идеальным фильтрам.. Частным случаем эллиптических рациональных функций являются полиномы Чебышева, разработанные Пафнутым Чебышевым (1821–1894), и они являются важной частью теории приближений. Многочлены Чебышева широко используются для создания фильтров. В 1930 году британский физик Стивен Баттерворт (1885–1958) разработал фильтр Баттерворта, иначе известный как максимально плоский фильтр, с использованием полиномов Баттерворта. Работа Баттерворта была полностью независима от Кауэра, но позже было обнаружено, что полиномы Баттерворта были предельным случаем полиномов Чебышева. Еще раньше (1929 г.) и снова независимо друг от друга американский инженер и ученый Эдвард Лоури Нортон (1898–1983) разработал максимально плоский механический фильтр с характеристикой, полностью аналогичной электрическому фильтру Баттерворта.

В 2000-х годах интерес к дальнейшему развитию теории синтеза сетей усилился, когда эта теория начала применяться к большим механическим системам. Нерешенная проблема минимизации гораздо более важна в механической области, чем в электрической, из-за размера и стоимости компонентов. В 2017 году исследователи из Кембриджского университета, ограничившись рассмотрением биквадратных рациональных функций, определили, что реализации Боттом-Даффином таких функций для всех последовательно-параллельных сетей и большинства произвольных сетей имеют минимальное количество реактивных сопротивлений ( Хьюз, 2017). Они нашли этот результат удивительным, поскольку он показал, что метод Ботта-Даффина не был таким неминимальным, как считалось ранее. Частично это исследование было сосредоточено на пересмотре каталога Ладенхейма. Это список всех отдельных сетей RLC с не более чем двумя реактивными сопротивлениями и тремя сопротивлениями. Эдвард Ладенхейм выполнил эту работу в 1948 году, будучи учеником Фостера. Актуальность каталога заключается в том, что все эти сети реализованы с помощью биквадратичных функций.

Единственное наиболее широко используемое приложение сетевого синтеза - это разработка фильтров обработки сигналов. Современные конструкции таких фильтров почти всегда представляют собой некоторую форму фильтра синтеза сети.

Хендрик Боде

Другое применение - проектирование сетей согласования импеданса. Для согласования импеданса на одной частоте требуется только тривиальная сеть - обычно один компонент. Однако согласование импеданса в широком диапазоне требует более сложной сети, даже в том случае, если сопротивление источника и нагрузки не меняется с частотой. Выполнение этого с пассивными элементами и без использования трансформаторов приводит к конструкции, подобной фильтру. Кроме того, если нагрузка не является чисто сопротивлением, тогда можно достичь идеального согласования только на нескольких дискретных частотах; совпадение по полосе в целом должно быть приблизительным. Разработчик сначала определяет полосу частот, в которой должна работать согласующая сеть, а затем проектирует полосовой фильтр для этой полосы. Единственное существенное различие между стандартным фильтром и согласующей схемой состоит в том, что импедансы источника и нагрузки не равны.

Однако есть различия в том, какие параметры важны. Если сеть не выполняет двойную функцию, проектировщика не слишком беспокоит поведение сети согласования импеданса за пределами полосы пропускания. Не имеет значения, если полоса перехода не очень узкая, или что полоса задерживания имеет плохое затухание. Фактически, попытка увеличить полосу пропускания сверх того, что строго необходимо, снизит точность согласования импеданса. При заданном количестве элементов в сети сужение проектной полосы пропускания улучшает согласование, и наоборот. Ограничения схем согласования импеданса были впервые исследованы американским инженером и ученым Хендриком Уэйдом Боде в 1945 году, а принцип, согласно которому они обязательно должны быть подобны фильтру, был установлен итало-американским компьютерным ученым Робертом Фано. в 1950 году. Одним из параметров полосы пропускания, который обычно задается для фильтров, является максимальное вносимое затухание. Для сетей согласования импеданса лучшее согласование можно получить, также установив минимальные потери. Таким образом, усиление никогда не достигает единицы в любой точке.

Сети с временной задержкой могут быть спроектированы путем синтеза сети с подобными фильтрам структурами. Невозможно сконструировать сеть задержки, которая имеет постоянную задержку на всех частотах в полосе. Приближение к этому поведению должно использоваться в пределах предписанной полосы пропускания. Заданная задержка будет иметь место максимум на конечном числе точечных частот. фильтр Бесселя имеет максимально плоскую временную задержку.

Применение сетевого синтеза не ограничивается электрической областью. Его можно применить к системам в любой области энергетики, которые могут быть представлены как сеть линейных компонентов. В частности, сетевой синтез нашел применение в механических сетях в области механики. Рассмотрение синтеза механической сети привело Малкольма С. Смита к предложению нового механического нового элемента, инертора, который аналогичен электрическому конденсатору. Механические компоненты, обладающие свойством инертности, нашли применение в подвесках гоночных автомобилей Formula One.

Синтез начинается с выбора метода аппроксимации, который обеспечивает рациональная функция, аппроксимирующая требуемую функцию сети. Если функция должна быть реализована с пассивными компонентами, функция также должна удовлетворять условиям положительно-вещественной функции (PRF). Используемая методика синтеза частично зависит от желаемой формы сети и частично от того, сколько видов элементов требуется в сети. Одноэлементная сеть - тривиальный случай. Сеть с двумя элементами (LC, RC или RL) может быть синтезирована с помощью синтеза Фостера или Кауэра. Сеть из трех элементов (сеть RLC) требует более продвинутой обработки, такой как синтез Бруна или Ботта-Даффина.

Какие и сколько видов элементов требуются, можно определить, изучив полюсы и нули (вместе называемые критическими частотами) функции. Требования к критическим частотам приведены для каждого типа сети в соответствующих разделах ниже.

Синтез Фостера

Синтез Фостера в его первоначальной форме может быть применен только к сетям LC. PRF представляет собой двухэлементную LC-сеть, если все критические частоты $Z\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; (s)\}$существуют на $i\; \omega \; \{\backslash \; displaystyle\; i\; \backslash \; omega\}$ось комплексной плоскости $s\; =\; \sigma \; +\; i\; \omega \; \{\backslash \; displaystyle\; s\; =\; \backslash \; sigma\; +\; i\; \backslash \; omega\}$(s-plane ) и будет переключаться между полюсами и нулями. Должна быть одна критическая частота в начале координат и на бесконечности, все остальные должны быть в сопряженных парах. $Z\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; (s)\}$должно быть отношением четного и нечетного многочлена, а их степени должны отличаться ровно на единицу. Эти требования являются следствием теоремы Фостера о реактивном сопротивлении.

Форма Фостера I

Пример реализации формы Фостера I

Первая форма Фостера (форма Фостера I) синтезирует $Z\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; (s)\}$как набор параллельных последовательно соединенных LC-цепей. Например,

$Z\; (s)\; =\; 9\; s\; 5\; +\; 30\; s\; 3\; +\; 24\; s\; 18\; s\; 4\; +\; 36\; s\; 2\; +\; 8\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; (s)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{9s\; ^\; \{5\}\; +\; 30s\; ^\; \{3\}\; +\; 24s\}\; \{18s\; ^\; \{4\}\; +\; 36s\; ^\; \{2\}\; +8\}\}\}$

можно разложить на дробные части следующим образом:

$Z\; (s)\; =\; s\; 2\; +\; (25\; +\; 11\; 5)\; с\; 5\; (9\; +\; 3\; 5)\; с\; 2\; +\; 20\; +\; (25\; -\; 11\; 5)\; с\; 5\; (9\; -\; 3\; 5)\; с\; 2\; +\; 20\; мкс\; 2\; +\; 2,48\; с\; 3,93\; с\; 2\; +\; 1\; +\; 0,020\; с\; 0,573\; с\; 2\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; (s)\; =\; \{s\; \backslash \; over\; 2\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{(25\; +\; 11\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\})\; s\}\; \{5\; (9\; +\; 3\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\})\; s\; ^\; \{2\}\; +20\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{(25-11\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\})\; s\}\; \{5\; (9-3\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\})\; s\; ^\; \{2\}\; +20\}\}\; \backslash \; simeq\; \{s\; \backslash \; over\; 2\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{2.48s\}\; \{3.93s\; ^\; \{2\}\; +1\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{0.020s\}\; \{0.573s\; ^\; \{2\}\; +1\}\}\}$

первый член представляет собой последовательный индуктор, что является следствием того, что $Z\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; (s)\}$имеет полюс на бесконечности. Если бы у него был полюс в начале координат, это был бы последовательный конденсатор. Каждый из оставшихся двух членов представляет сопряженные пары полюсов на оси $i\; \omega \; \{\backslash \; displaystyle\; i\; \backslash \; omega\}$. Каждый из этих членов может быть синтезирован как параллельная LC-цепь путем сравнения с выражением импеданса для такой схемы,

$ZLC\; (s)\; =\; L\; s\; LC\; s\; 2\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{LC\}\; (s)\; =\; \{\; \backslash \; frac\; \{Ls\}\; \{LCs\; ^\; \{2\}\; +1\}\}\}$

Результирующая схема показана на рисунке.

Форма Фостера II

Пример реализации формы Фостера II

Форма Фостера II синтезирует $Z\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; (s)\}$как набор последовательно включенных LC-цепей. Тот же метод разложения на частичные дроби используется, что и для формы Фостера I, но применяется к допуску, $Y\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; (s)\}$, вместо $Z\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; (s)\}$. Используя тот же пример PRF, что и раньше,

$Y\; (s)\; =\; 1\; Z\; (s)\; =\; 18\; s\; 4\; +\; 36\; s\; 2\; +\; 8\; 9\; s\; 5\; +\; 30\; s\; 3\; +\; 24\; s\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; (s)\; =\; \{\; 1\; \backslash \; over\; Z\; (s)\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{18s\; ^\; \{4\}\; +\; 36s\; ^\; \{2\}\; +8\}\; \{9s\; ^\; \{5\}\; +\; 30s\; ^\; \{3\}\; +\; 24s\}\}\}$

Частично раскрыто дроби,

$Y\; (s)\; \simeq \; 1\; 3\; s\; +\; 2,498\; s\; 0,6346\; s\; 2\; +\; 1\; +\; 1,415\; s\; 0,4719\; s\; 2\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; (s)\; \backslash \; simeq\; \{1\; \backslash \; over\; 3s\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{2,498\; s\}\; \{0,6346s\; ^\; \{2\}\; +1\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1.415s\}\; \{0,4719s\; ^\; \{2\}\; +1\}\}\}$

Первый член представляет собой шунтирующий индуктор, следствие $Y\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; (s)\}$, имеющий полюс в начале координат (или, что то же самое, $Z\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; (s)\}$имеет ноль в начале координат). Если бы у него был полюс на бесконечности, это был бы шунтирующий конденсатор. Каждый из оставшихся двух членов представляет сопряженные пары полюсов на оси $i\; \omega \; \{\backslash \; displaystyle\; i\; \backslash \; omega\}$. Каждый из этих членов может быть синтезирован как последовательный LC-контур путем сравнения с выражением проводимости для такой схемы,

$YLC\; (s)\; =\; C\; s\; LC\; s\; 2\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\_\; \{LC\}\; (s)\; =\; \{\; \backslash \; frac\; \{Cs\}\; \{LCs\; ^\; \{2\}\; +1\}\}\}$

Результирующая схема показана на рисунке.

Расширение до сетей RC или RL

Синтез Фостера может быть расширен до любой двухэлементной сети. Например, каждый член частичной дроби RC-сети в форме Фостера I будет представлять R- и C-элементы параллельно. В этом случае частичные дроби будут иметь вид

$ZRC\; (s)\; =\; RRC\; s\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{RC\}\; (s)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{R\}\; \{RCs\; +\; 1\}\}\}$

Остальные формы и виды элементов следуют аналогично. Как и в случае с сетью LC, PRF можно протестировать, чтобы определить, является ли она сетью RC или RL, исследуя критические частоты. Все критические частоты должны быть на отрицательной действительной оси и чередоваться между полюсами и нулями, и их должно быть равное количество. Если ближайшая критическая частота или точка начала координат является полюсом, тогда PRF является RC-цепью, если она представляет собой $Z\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; (s)\}$, или это является сетью RL, если она представляет собой $Y\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; (s)\}$. И наоборот, если критическая частота ближайшая или в начале координат равна нулю. Эти расширения теории также применимы к формам Кауэра, описанным ниже.

Иммитанс

В приведенном выше синтезе Фостера расширение функции является той же процедурой как в форме Фостера I, так и в форме Фостера. II форма. Удобно, особенно в теоретических работах, рассматривать их вместе как иммитанс, а не по отдельности как импеданс или адмитанс. Необходимо только указать, представляет ли функция импеданс или полную проводимость в точке, где должна быть реализована реальная схема. Иммитанс также может использоваться с формами Кауэра I и Кауэра II и другими процедурами.

Синтез Кауэра

Синтез Кауэра является альтернативой синтезу Фостера и условиям, при которых PRF Должны встретиться точно такие же, как синтез Фостера. Как и синтез Фостера, существует две формы синтеза Кауэра, и обе могут быть распространены на сети RC и RL.

Форма Кауэра I

Пример реализации формы Кауэра I

Форма Кауэра I расширяется $Z\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; (s)\}$в непрерывная дробь. Используя тот же пример, что и для формы Фостера I,

$Z\; (s)\; =\; 0,5\; s\; +\; 1\; 1,5\; s\; +\; 1\; 2\; s\; +\; 1\; 1,5\; s\; +\; 1\; 0,5\; s\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; (s)\; =\; 0,5s\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{1.5s\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{2s\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{1.5s\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{0.5s\}\}\}\}\}\}\}\}\}$

или, более компактно обозначение,

$Z\; (s)\; =\; [0,5\; с;\; 1,5\; с,\; 2\; с,\; 1,5\; с,\; 0,5\; с].\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; (s)\; =\; [0,5\; с;\; 1,5\; с,\; 2\; с,\; 1,5\; с,\; 0,5\; с].\}$

Условия этого расширения могут быть напрямую реализованы как значения компонентов лестничной сети, как показано на рисунке. Данная PRF может иметь знаменатель, который имеет большую степень, чем числитель. В таких случаях вместо этого расширяется мультипликативный обратный функции. То есть, если функция представляет $Z\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; (s)\}$, то $Y\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; (s)\}$вместо этого расширяется и наоборот.

Форма Кауэра II

Пример реализации формы Кауэра II

Форма Кауэра II расширяется $Z\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; (s)\}$точно так же, как форма Кауэра I, за исключением того, что член самой низкой степени извлекается первым в разложении непрерывной дроби, а не член самой высокой степени, как это делается в форме Кауэра I. Пример, используемый для формы Кауэра I и форм Фостера, когда раскрывается как форма Кауэра II, приводит к тому, что некоторые элементы имеют отрицательные значения. Таким образом, этот конкретный PRF не может быть реализован в пассивных компонентах в виде формы Кауэра II без включения трансформаторов или взаимных индуктивностей.

Основная причина того, что в примере $Z\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; (s))\}$не может быть реализовано как форма Кауэра II, поскольку эта форма имеет топологию верхних частот. Первым элементом, выделенным в непрерывной дроби, является конденсатор последовательного соединения. Это делает невозможным реализацию нуля $Z\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; (s)\}$в начале координат. Форма Кауэра I, с другой стороны, имеет топологию нижних частот и, естественно, имеет ноль в начале координат. Однако $Y\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; (s)\}$этой функции может быть реализован как форма Кауэра II, поскольку первый извлеченный элемент является шунтирующим индуктором. Это дает полюс в начале координат для $Y\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; (s)\}$, но это переводится в необходимый ноль в начале координат для $Z\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; (s)\}$. Расширение непрерывной дроби:

$Y\; (s)\; \simeq \; [1\; 3\; s;\; 1\; 1,083\; с,\; 1\; 0,2175\; с,\; 1\; 1,735\; с]\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; (s)\; \backslash \; simeq\; \backslash \; left\; [\{1\; \backslash \; over\; 3s\};\; \{1\; \backslash \; over\; 1.083s\},\; \{1\; \backslash \; over\; 0.2175s\},\; \{1\; \backslash \; более\; 1,735\; с\}\; \backslash \; right]\}$

и реализованная сеть показана на рисунке.

Синтез Бруна

Синтез Бруна может синтезировать любую произвольную PRF, поэтому в целом будет получена трехэлементная (т.е. RLC) сеть. Полюса и нули могут лежать где угодно в левой половине комплексной плоскости. Метод Бруна начинается с некоторых предварительных шагов по устранению критических частот на мнимой оси, как в методе Фостера. Эти предварительные шаги иногда называют преамбулой Фостера. Затем выполняется цикл шагов для создания каскада секций Брюна.

Удаление критических частот на мнимой оси

Полюсы и нули на $j\; \omega \; \{\backslash \; displaystyle\; j\; \backslash \; omega\}$оси представляют элементы L и C, которые могут быть извлечены из PRF. В частности,

• полюс в начале координат представляет собой последовательный конденсатор
• полюс на бесконечности представляет последовательную индуктивность
• ноль в начале координат представляет собой шунтирующую индуктивность
• a ноль в бесконечности представляет собой шунтирующий конденсатор
• пара полюсов в $s\; =\; \pm \; i\; \omega \; c\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; =\; \backslash \; pm\; i\; \backslash \; omega\; \_\; \{c\}\}$представляет собой параллельный LC-контур резонансной частоты $\omega \; c\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; \_\; \{c\}\}$последовательно
• пара нулей в $s\; =\; \pm \; i\; \omega \; c\; \{\; \backslash \; displaystyle\; s\; =\; \backslash \; pm\; i\; \backslash \; omega\; \_\; \{c\}\}$представляет собой последовательный LC-контур резонансной частоты $\omega \; c\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; \_\; \{c\}\}$в шунт

После этих извлечений остальная PRF не имеет критических частот на мнимой оси и известна как функция минимального реактивного сопротивления, минимального реактивного сопротивления. Собственно синтез Брюна начинается с такой функции.

Общая схема метода

Суть метода Брюна состоит в создании пары сопряженных нулей на $i\; \omega \; \{\backslash \; displaystyle\; i\; \backslash \; omega\}$путем извлечения действительной и мнимой частей функции на этой частоте, а затем извлечения пары нулей как резонансного контура. Это первая бруновская секция синтезированной сети. Результирующий остаток - это еще одна функция минимального реактивного сопротивления, которая на два градуса ниже. Затем цикл повторяется, каждый цикл создает еще одну секцию Бруна конечной сети до тех пор, пока не останется постоянное значение (сопротивление). Синтез Бруна является каноническим, то есть количество элементов в итоговой синтезированной сети равно количеству произвольных коэффициентов в функции импеданса. Следовательно, количество элементов в синтезированной схеме не может быть больше уменьшено.

Удаление минимального сопротивления

Извлечение минимального сопротивления

Функция минимального реактивного сопротивления будет иметь минимальную действительную часть, $R\; min\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{min\}\}\}$, с некоторой частотой $\omega \; min\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; \_\; \{\backslash \; text\; \{min\}\}\}$. Это сопротивление может быть извлечено из функции, оставив остаток от другой PRF, называемой минимальной положительно-действительной функцией или просто минимальной функцией. Например, функция минимального реактивного сопротивления

$Z\; (s)\; =\; 3\; s\; 2\; +\; 3\; s\; +\; 6\; 2\; s\; 2\; +\; s\; +\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; (s)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{3s\; ^\; \{2\}\; +\; 3s\; +\; 6\}\; \{2s\; ^\; \{2\}\; +\; s\; +\; 2\}\}\}$

имеет $\omega \; min\; =\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; \_\; \{\backslash \; text\; \{min\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}$и $R\; min\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{min\}\}\; =\; 1\}$. Минимальная функция, $Z\; 1\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{1\}\; (s)\}$, поэтому,

$Z\; 1\; (s)\; =\; Z\; (s)\; -\; R\; min\; =\; s\; 2\; +\; 2\; s\; +\; 4\; 2\; s\; 2\; +\; s\; +\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{1\}\; (s)\; =\; Z\; (s)\; -R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{min\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{s\; ^\; \{2\}\; +\; 2s\; +4\}\; \{2s\; ^\; \{2\}\; +\; s\; +\; 2\}\}\}$

Удаление отрицательной индуктивности или емкости

Удаление отрицательной индуктивности

Так как $Z\; 1\; (i\; \omega \; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{1\}\; (i\; \backslash \; omega\; \_\; \{0\})\}$не имеет действительной части, мы можем написать,

$Z\; 1\; (i\; \omega \; 0)\; =\; i\; X.\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{1\}\; (i\; \backslash \; omega\; \_\; \{0\})\; =\; iX\; \backslash .\}$

Для функции примера

$Z\; 1\; (i\; \omega \; 0)\; =\; -\; i\; 2\; =\; i\; X.\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{1\}\; (i\; \backslash \; omega\; \_\; \{0\})\; =\; -\; i\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; =\; iX\; \backslash .\}$

В этом случае $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$отрицательно, и мы интерпретируем его как реактивное сопротивление индуктивности с отрицательным знаком, $L\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{1\}\}$. Таким образом,

$я\; Икс\; =\; я\; \omega \; 0\; L\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; iX\; =\; i\; \backslash \; omega\; \_\; \{0\}\; L\_\; \{1\}\}$и

$L\; 1\; =\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{\; 1\}\; =\; -\; 1\}$

после подстановки значений $\omega \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; \_\; \{0\}\}$и $i\; X\; \{\backslash \; displaystyle\; iX\}$. Затем эта индуктивность извлекается из $Z\; 1\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{1\}\; (s)\}$, оставляя другой PRF, $Z\; 2\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{2\; \}\; (s)\}$,

$Z\; 2\; (s)\; =\; Z\; 1\; (s)\; -\; s\; L\; 1\; =\; 2\; s\; 3\; +\; 2\; s\; 2\; +\; 4\; s\; +\; 4\; 2\; s\; 2\; +\; s\; +\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{2\}\; (s)\; =\; Z\_\; \{1\}\; (s)\; -sL\_\; \{1\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2s\; ^\; \{3\}\; +\; 2s\; ^\; \{2\}\; +\; 4s\; +\; 4\}\; \{2s\; ^\; \{2\}\; +\; s\; +\; 2\}\}\; \backslash .\}$

Причина извлечения отрицательного значения в том, что $-\; s\; L\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; -sL\_\; \{1\}\}$является PRF, что не будет, если $L\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{1\}\}$были положительными. Это гарантирует, что $Z\; 2\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{2\}\; (s)\}$также будет PRF (поскольку сумма двух PRF также является PRF). В случаях, когда $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$является положительным значением, вместо этого используется функция проводимости и извлекается отрицательная емкость. Как реализованы эти отрицательные значения, объясняется в следующем разделе.

Удаление пары сопряженных нулей

Извлечение пары нулей

Реальная и мнимая части $Z\; (i\; \omega \; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; (i\; \backslash \; omega\; \_\; \{0\})\}$были удалены на предыдущих шагах. Это оставляет пару нулей в $Z\; 2\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{2\}\; (s)\}$в $\pm \; i\; \omega \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pm\; i\; \backslash \; omega\; \_\; \{\; 0\}\}$как показано факторизацией примера функции;

$Z\; 2\; (s)\; =\; 2\; s\; 3\; +\; 2\; s\; 2\; +\; 4\; s\; +\; 4\; 2\; s\; 2\; +\; s\; +\; 2\; =\; (s\; 2\; +\; 2)\; (2\; с\; +\; 2)\; 2\; с\; 2\; +\; с\; +\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{2\}\; (s)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2s\; ^\; \{3\}\; +\; 2s\; ^\; \{2\}\; +\; 4s\; +\; 4\}\; \{2s\; ^\; \{2\}\; +\; s\; +\; 2\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(s\; ^\; \{2\}\; +2)\; (2s\; +\; 2)\}\; \{2s\; ^\; \{2\}\; +\; s\; +\; 2\}\}\; \backslash .\}$

Так как такая пара нулей представляет собой шунтирующий резонансный контур, мы выделяем его как пару полюсов из функции адмиттанса,

$Y\; 2\; (s)\; =\; 1\; Z\; 2\; (s)\; =\; 2\; s\; 2\; +\; s\; +\; 2\; (s\; 2\; +\; 2)\; (2\; s\; +\; 2)\; =\; 1\; 2\; s\; +\; 2\; +\; s\; /\; 2\; s\; 2\; +\; 2\; знак\; равно\; Y\; 3\; (s)\; +\; s\; /\; 2\; s\; 2\; +\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; Y\_\; \{2\}\; (s)\; =\; \{1\; \backslash \; over\; Z\_\; \{2\}\; (s)\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2s\; ^\; \{2\}\; +\; s\; +\; 2\}\; \{(s\; ^\; \{2\}\; +2)\; (2s\; +\; 2)\}\}\; \backslash \backslash \; =\; \{1\; \backslash \; over\; \{2s\; +\; 2\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\; s\; /\; 2\}\; \{s\; ^\; \{2\}\; +2\}\}\; \backslash \backslash \; =\; Y\_\; \{3\}\; (s)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{s\; /\; 2\}\; \{s\; ^\; \{2\}\; +2\}\}\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{выровнено\; \}\}\}$

Крайний правый член - это выделенный резонансный контур с $L\; 2\; =\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{2\}\; =\; 2\}$и $C\; 2\; =\; 1/4\; \{\backslash \; стиль\; отображения\; C\_\; \{2\}\; =\; 1/4\}$. Синтезированная сеть показана на рисунке.

Удаление полюса на бесконечности

Удаление полюса на бесконечности

$Z\; 3\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{3\}\; (s)\}$должен иметь полюс на бесконечности, так как один был создан там путем извлечения отрицательной индуктивности. Этот полюс теперь можно извлечь как положительную индуктивность.

$Z\; 3\; (s)\; =\; 1\; Y\; 3\; (s)\; =\; 2\; s\; +\; 2\; =\; Z\; 4\; (s)\; +\; 2\; s.\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{3\}\; (s)\; =\; \{1\; \backslash \; over\; Y\_\; \{3\}\; (s)\}\; =\; 2s\; +\; 2\; =\; Z\_\; \{4\}\; (s)\; +\; 2s.\}$

Таким образом, $L\; 3\; =\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{3\}\; =\; 2\}$, как показано на рисунке.

Замена отрицательной индуктивности трансформатором

Устранение отрицательной индуктивности с помощью трансформатора

Отрицательная индуктивность не может быть реализована напрямую с помощью пассивных компонентов. Однако тройник индукторов может быть преобразован во взаимно связанные индукторы, которые поглощают отрицательную индуктивность. При коэффициенте связи, равном единице (сильная связь), взаимная индуктивность $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$в данном примере равна 2,0.

Промыть и повторить

В общем, $Z\; 4\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{4\}\; (s)\}$будет другой функцией минимального реактивного сопротивления и затем цикл Бруна повторяется для извлечения другой секции Бруна. В данном примере исходная частота повторения импульсов имела степень 2, поэтому после ее уменьшения на два градуса остается только постоянный член, который, как правило, синтезируется как сопротивление.

Положительный X

На втором этапе цикла было упомянуто, что отрицательное значение элемента должно быть извлечено, чтобы гарантировать остаток PRF. Если $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$положительный, извлеченный элемент должен быть шунтирующим конденсатором вместо последовательной катушки индуктивности, если элемент должен быть отрицательным. Он извлекается из полного сопротивления $Y\; 1\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\_\; \{1\}\; (s)\}$вместо импеданса $Z\; 1\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{1\}\; (s)\}$. Топология схемы, полученная на четвертом шаге цикла, представляет собой (pi) конденсаторов плюс индуктор вместо тройника индукторов плюс конденсатор. Однако можно показать, что эта Π конденсаторов плюс индуктор представляет собой эквивалентную схему тройника индукторов плюс конденсатор. Таким образом, допустимо извлечь положительную индуктивность, а затем действовать так, как если бы $Z\; 2\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{2\}\; (s)\}$был PRF, даже если это не так. Правильный результат все равно будет получен, а функция остатка будет PRF, поэтому ее можно будет использовать в следующем цикле.

Синтез Ботта-Даффина

Пример этапов 1 и 2 синтеза Ботта-Даффина Пример стадий 3 и 4 синтеза Ботта-Даффина

Синтез Ботта-Даффина начинается так же, как и синтез Брюна, с удаления всех полюсов и нулей на $i\; \omega \; \{\backslash \; displaystyle\; i\; \backslash \; omega\}$ось. Затем используется теорема Ричардса, в которой для

$R\; (s)\; =\; k\; Z\; (s)\; -\; s\; Z\; (k)\; k\; Z\; (k)\; -\; s\; Z\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; (s)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{kZ\; (s)\; -sZ\; (k)\}\; \{kZ\; (k)\; -sZ\; (s)\}\}\}$

если $Z\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; (s)\; \}$- PRF, тогда $R\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; (s)\}$- PRF для всех действительных положительных значений $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; \}$.

Создание $Z\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; (s)\}$субъектом выражения приводит к

$Z\; (s)\; =\; (R\; (s)\; Z\; (k)\; +\; ks\; Z\; (k))\; -\; 1\; +\; (1\; Z\; (k)\; R\; (s)\; +\; sk\; Z\; (k))\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; (s)\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{R\; (s)\})\; \{Z\; (k)\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{k\}\; \{sZ\; (k)\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{-\; 1\}\; +\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{Z\; (k)\; R\; (s)\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{s\}\; \{kZ\; (k)\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{-\; 1\}\}$

Пример одного цикла синтеза Ботта-Даффина показан на рисунках. Четыре члена в этом выражении - это, соответственно, PRF ($Z\; 2\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{2\}\; (s)\}$на диаграмме), индуктивность, $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$, параллельно с ним другой PRF ($Z\; 1\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{1\}\; (s)\}$на схеме) и емкость, $C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; \}$, параллельно с ним. Затем пара критических частот на оси $i\; \omega \; \{\backslash \; displaystyle\; i\; \backslash \; omega\}$извлекается из каждой из двух новых PRF (подробности здесь не приводятся), каждая из которых реализована как резонансный контур. Два остаточных PRF ($Y\; 3\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\_\; \{3\}\; (s)\}$и $Z\; 4\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{4\}\; (s)\})$на схеме) каждый на два градуса ниже, чем $Z\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; (s)\}$. Та же процедура затем многократно применяется к новым сгенерированным PRF, пока не останется только один элемент. Поскольку количество генерируемых PRF удваивается с каждым циклом, количество синтезированных элементов будет расти экспоненциально. Хотя метод Ботта-Даффина позволяет избежать использования трансформаторов и может быть применен к любому выражению, которое может быть реализовано как пассивная сеть, его практическое применение ограничено из-за большого количества необходимых компонентов.

Синтез Байярда

Синтез Байярда - это метод синтеза в пространстве состояний, основанный на процедуре факторизации Гаусса. Этот метод возвращает синтез с использованием минимального количества резисторов и не содержит гераторов. Однако этот метод не является каноническим и, как правило, возвращает неминимальное количество элементов реактивного сопротивления.

Синтез Дарлингтона

Синтез Дарлингтона начинается с другой точки зрения, чем обсуждаемые методы, поэтому далеко, которые все начинаются с заданной рациональной функции и реализуют ее как однопортовый импеданс . Синтез Дарлингтона начинается с заданной рациональной функции, которая является желаемой передаточной функцией для двухпортовой сети. Дарлингтон показал, что любой PRF может быть реализован в виде двухпортовой сети с использованием только L- и C-элементов с одним резистором, подключающим выходной порт. Метод Дарлингтона и связанные с ним методы называются методом вносимых потерь. Метод может быть распространен на многопортовые сети, в которых каждый порт заканчивается одним резистором.

Метод Дарлингтона, как правило, требует трансформаторов или связанных катушек индуктивности. Однако наиболее распространенные типы фильтров могут быть созданы методом Дарлингтона без этих нежелательных свойств.

Пример ячейки Саллена-Ки фильтр нижних частот

Если снимается требование использовать только пассивные элементы, тогда реализация может быть значительно упрощена. Усилители могут использоваться для буферизации частей сети друг от друга, чтобы они не взаимодействовали. Каждая буферизованная ячейка может напрямую реализовать пару полюсов рациональной функции. Тогда нет необходимости в каком-либо итеративном расширении функции. Первым примером такого рода синтеза является Стивен Баттерворт в 1930 году. Созданный им фильтр Баттерворта стал классикой конструкции фильтров, но чаще реализовывался с чисто пассивными, а не активными компоненты. Более широко применимые конструкции такого типа включают топологию Саллена – Ки, разработанную Р. П. Салленом и Э. Л. Ки в 1955 г. в лаборатории Линкольна Массачусетского технологического института, и биквадратный фильтр. Подобно подходу Дарлингтона, Баттерворт и Саллен-Ки начинают с заданной передаточной функции, а не с импеданса. Основное практическое преимущество активной реализации состоит в том, что она позволяет полностью отказаться от использования намотанных компонентов (трансформаторов и катушек индуктивности). Это нежелательно по производственным причинам. Другой особенностью активных проектов является то, что они не ограничиваются PRF.

Цифровые реализации, как и активные схемы, не ограничиваются PRF и могут реализовать любую рациональную функцию, просто запрограммировав ее. Однако функция не может быть стабильным. То есть это может привести к колебанию. PRF гарантированно стабильны, но другие функции могут не работать. Стабильность рациональной функции может быть определена путем изучения полюсов и нулей функции и применения критерия устойчивости Найквиста.

Источники

• Андерсон, Брайан ДО; Вонгпанитлерд, Сумет, Сетевой анализ и синтез: подход к современной теории систем, Courier Corporation, 2013 ISBN 0486152170.
• Аванг, Заики, Дизайн микроволновых систем, Springer, 2013 ISBN 9789814451246.
• Бакши, UA; Бакши, А.В., Анализ цепей - II, Технические публикации, 2009 г. ISBN 9788184315974.
• Белевич, Витольд, «Краткое изложение истории теории цепей», Труды ИРЭ, т. 50, вып. 5, pp. 848–855, May 1962.
• Carlin, Herbert J.; Civalleri, Pier Paolo, Wideband Circuit Design, CRC Press, 1997 ISBN 9780849378973.
• Кауэр, Эмиль; Матис, Вольфганг; Паули, Райнер, «Жизнь и творчество Вильгельма Кауэра (1900–1945)», Труды Четырнадцатого Международного симпозиума по математической теории сетей и систем (MTNS2000), Перпиньян, июнь 2000 г.
• Чао, Алан; Атанс, Майкл, "Устойчивость к неструктурированной неопределенности для линейных систем, инвариантных во времени", гл. 30 in, Levine, William S., The Control Handbook, CRC Press, 1996 ISBN 0849385709.
• Chen, Michael Z.Q.; Ху, Иньлун, Инертер и его применение в системах контроля вибрации, Springer, 2019 ISBN 981107089X.
• Чен, Майкл З.К.; Смит, Малкольм С., «Электрический и механический пассивный сетевой синтез», стр. 35–50, Блондель, Винсент Д.; Бойд, Стивен П.; Кимуру, Хиденори (ред.), Последние достижения в обучении и контроле, Springer, 2008 ISBN 9781848001541.
• Комер, Дэвид Дж.; Комер, Дональд Т., Advanced Electronic Circuit Design, Wiley, 2003 ISBN 0471228281.
• Дарлингтон, Сидни «История сетевого синтеза и теории фильтров для схемы, состоящие из резисторов, катушек индуктивности и конденсаторов ", IEEE Transactions: Circuits and Systems, vol. 31, pp. 3–13, 1984.
• Гош, С.П., Чакроборти, А.К., Сетевой анализ и синтез, Тата МакГроу Хилл, 2010 ISBN 9781259081422.
• Глиссон, Тилдон Х., Введение в анализ и проектирование цепей, Springer, 2011 ISBN ISBN 9048194431.
• Houpis, Constantine H.; Любельфельд, Ежи, Pulse Circuits, Саймон и Шустер, 1970 OCLC 637996615.
• Хаббард, Джон Х., «Ботт-Даффиновый синтез электрических цепей», стр. 33–40 in, Котюга, П. Роберт (редактор), Празднование математического наследия Рауля Ботта, Американское математическое общество, 2010 ISBN 9780821883815.
• Хьюз, Тимоти ЧАС.; Морелли, Алессандро; Смит, Малкольм К., «Синтез электрических сетей: обзор последних работ», стр. 281–293 in, Tempo, R.; Юркович, С.; Мисра П. (ред.), Новые приложения теории управления и систем, Springer, 2018 ISBN 9783319670676.
• Калман, Рудольф, «Старые и новые направления исследований. в теории систем », стр. 3–13 в, Виллемс, Ян; Хара, Синдзи; Охта, Йошито; Фудзиока, Хисая (ред.), Перспективы математической теории систем, управления и обработки сигналов, Springer, 2010 ISBN 9783540939177.
• Ли, Томас Х., Planar Microwave Engineering, Cambridge University Press, 2004 ISBN 0521835267.
• Matthaei, George L.; Янг, Лев ; Джонс, EMT, Микроволновые фильтры, согласованные по импедансу сети и структуры связи, McGraw-Hill 1964 LCCN 64-7937.
• Shenoi, Belle A., Аппроксимация амплитуды и задержки 1-D и 2-D цифровые фильтры, Springer, 2012 г. ISBN 3642585736.
• Sisodia, ML; Гупта, Виджай Лакшми, Микроволны: Введение в схемы, устройства и антенны, New Age International, 2007 ISBN 8122413382.
• Свансон, Дэвид К., Обработка сигналов для интеллектуальных сенсорных систем с MATLAB, CRC Press, 2012 ISBN 1420043056.
• Вайсбанд, Инна П.; Якушокас, Ренатас, Попович, Михаил; Межиба, Андрей В.; Кёсе, Сельчук; Фридман Эби Г., Встроенная подача питания и управление, Springer, 2016 ISBN 3319293958.
• Ванхаммар, Ларс, Аналоговые фильтры с использованием MATLAB, Springer, 2009 ISBN 0387927670.
• Юла, Данте К., Теория и синтез линейных пассивных инвариантных во времени сетей, Cambridge University Press, 2015 ISBN 1107122864.
• Wing, Omar, Classical Circuit Theory, Springer, 2008 ISBN 0387097406.

Первичные документы

• Ботт, Рауль ; Даффин, Ричард, «Синтез импеданса без использования трансформаторов», Journal of Applied Physics, vol. 20, вып. 8, стр. 816, август 1949 г.
• Боде, Хендрик, Сетевой анализ и проектирование усилителя обратной связи, стр. 360–371, D. Van Nostrand Company, 1945 OCLC 1078811368.
• Брюн, Отто, «Синтез конечной двухполюсной сети, импеданс управляющей точки которой является заданной функцией частоты», MIT Journal of Mathematics and Physics, vol. 10, стр. 191–236, апрель 1931 г.
• Баттерворт, Стивен, «К теории фильтров-усилителей», Experimental Wireless and the Wireless Engineer, vol. 7, вып. 85, стр. 536–541, октябрь 1930 г.
• Кауэр, Вильгельм, «Die Verwirklichung der Wechselstromwiderstände vorgeschriebener Frequenzabhängigkeit» (Реализация импедансов заданной частотной зависимости), Archiv für Elektrotechnik, vol. 17, pp. 355–388, 1926 (на немецком языке).
• Кауэр, Вильгельм, «Vierpole mit vorgeschriebenem D ampfungs-verhalten», Telegraphen-, Fernsprech-, Funk- und Fern-sehtechnik, vol. 29. С. 185–192, 228–235. 1940 (на немецком языке)
• Коччи, Джованни, «Rappresentazione di bipoli qualsiasi con quadripoli di pure reattanze chiusi su resistenze», Alta Frequenza, vol. 9, pp. 685–698, 1940 (на итальянском языке).
• Дарлингтон, Сидней, «Синтез 4-полюсных реактивных сопротивлений, обеспечивающих заданные характеристики вносимых потерь», MIT Journal of Mathematics and Физика, т. 18, pp. 257–353, апрель 1939 г.
• Фано, Роберт, «Теоретические ограничения на широкополосное согласование произвольных импедансов», Журнал Института Франклина, вып. 249, вып. 1, стр. 57–83, январь 1950 г.
• Фиалко, Аарон; Герст, Ирвинг, «Синтез импеданса без взаимной связи», Quarterly of Applied Mathematics, vol. 12, No. 4, pp. 420–422, 1955
• Хьюз, Тимоти Х., «Почему для реализации RLC определенных импедансов требуется намного больше элементов накопления энергии, чем ожидалось», IEEE Transactions по автоматическому управлению, т. 62, Iss 9, pp. 4333-4346, сентябрь 2017 г.
• Хьюз, Тимоти Х., «Пассивность и электрические цепи: поведенческий подход», IFAC-PapersOnLine, vol. 50, вып. 1, pp. 15500–15505, июль 2017.
• Ладенхейм, Эдвард Л., Синтез биквадратных импедансов, магистерская диссертация, Политехнический институт Бруклина, Нью-Йорк, 1948.
• Пантелл, RH, «Новый метод синтеза импеданса точки возбуждения», Proceedings of the IRE, vol. 42, вып. 5, стр. 861, 1954.
• Реза, Ф.М., «Мостовой эквивалент цикла Брюна, завершенного резистором», Proceedings of the IRE, vol. 42, вып. 8, стр. 1321, 1954.
• Ричардс, Пол I., «Особый класс функций с положительной действительной частью в полуплоскости», Duke Mathematical Journal, vol. 14, вып. 3, 777–786, 1947.
• Sallen, R.P.; Кей, Э.Л., «Практический метод разработки активных фильтров RC», IRE Transactions on Circuit Theory, vol. 2, вып. 1 стр. 74–85, март 1955 г.
• Смит, Малкольм К., «Синтез механических сетей: инертор», IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 47, вып. 10, pp. 1648–1662, Oct 2002.
• Storer, J.E., «Взаимосвязь между синтезом импеданса Ботта-Даффина и Пантелла», Proceedings of the IRE, vol. 42, вып. 9, стр. 1451, сентябрь 1954 г.