Анализ сети (электрические цепи)

редактировать

Линейный анализ сети
Элементы
.
Компоненты

Последовательные и параллельные цепи

Преобразование импеданса

Теоремы генератора	Сети теоремы

Методы сетевого анализа

Двухпортовые параметры

	view talk

Сеть в контексте электротехника и электроника, представляет собой совокупность взаимосвязанных компонентов. Анализ сети - это процесс определения напряжений и токов во всех компонентах сети. Есть много методов для вычисления этих значений. Однако по большей части методы предполагают линейные компоненты. Если не указано иное, методы, описанные в этой статье, применимы только к линейному сетевому анализу.

Содержание

1 Определения
2 Эквивалентные цепи
- 2.1 Полное сопротивление последовательно и параллельно
- 2.2 Преобразование треугольник-звезда
  - 2.2.1 Уравнения преобразования треугольник-звезда
  - 2.2.2 Уравнения преобразования звезда-треугольник
- 2.3 Общая форма исключения сетевого узла
- 2.4 Преобразование источника
3 Простые сети
- 3.1 Разделение напряжения последовательных компонентов
- 3.2 Текущее разделение параллельных компонентов
  - 3.2.1 Особый случай: разделение тока двух параллельных компонентов
4 Узловой анализ
5 Анализ сетки
6 Суперпозиция
7 Выбор метода
8 Передаточная функция
- 8.1 Два терминала функции передачи компонентов
- 8.2 Функция передачи двухпортовой сети
  - 8.2.1 Параметры двух портов
  - 8.2.2 Распределенные компоненты
  - 8.2.3 Анализ изображения
9 Нелинейные сети
- 9.1 Конструктивные уравнения
- 9.2 Существование, уникальность и стабильность
- 9.3 Методы
  - 9.3.1 Булев анализ коммутационных сетей
  - 9.3.2 Разделение анализа смещения и анализа сигналов
  - 9.3.3 Графический метод анализа постоянного тока
  - 9.3.4 Эквивалентная схема малых сигналов
  - 9.3.5 Кусочно-линейный метод
- 9.4 Компоненты, изменяющиеся во времени
- 9.5 Теория векторных схем
10 См. также
11 Ссылки
12 Внешние ссылки

Определения

Компонент	Устройство с двумя или более клеммами, в которые или из которых может течь ток.
Узел	Точка, в которой соединяются клеммы более двух компонентов. Проводник с практически нулевым сопротивлением считается узлом для целей анализа.
Ветвь	Компонент (ы), соединяющий два узла.
Сетка	Группа ветвей внутри сети, объединенных таким образом, чтобы образовать полный цикл, в котором нет другого цикла.
Порт	Два терминала, ток на одном из которых идентичен току на другом.
Цепь	Ток от одной клеммы генератора, через компонент (ы) нагрузки и обратно на другую клемму. В этом смысле схема представляет собой однопортовую сеть, и анализировать ее несложно. Если есть какое-либо соединение с любыми другими цепями, то была сформирована нетривиальная сеть и должны существовать как минимум два порта. Часто «цепь» и «сеть» используются взаимозаменяемо, но многие аналитики оставляют термин «сеть» для обозначения идеализированной модели, состоящей из идеальных компонентов.
Передаточная функция	Соотношение токов и / или напряжений между двумя портами. Чаще всего обсуждаются входной порт и выходной порт, а передаточная функция описывается как усиление или затухание.
Передаточная функция компонента	Для двухполюсного компонента (т. Е. Однопортового компонента) ток и напряжение принимаются в качестве входа и выхода, а передаточная функция будет иметь единицы импеданса или адмиттанса (обычно это вопрос произвольного удобства, считается ли входом напряжение или ток). Компонент с тремя (или более) выводами фактически имеет два (или более) порта, и передаточная функция не может быть выражена как единый импеданс. Обычный подход заключается в выражении передаточной функции в виде матрицы параметров. Эти параметры могут быть импедансами, но существует множество других подходов (см. двухпортовая сеть ).

Эквивалентные схемы

Полезной процедурой при сетевом анализе является упрощение сети за счет уменьшения количества компонентов. Это можно сделать, заменив физические компоненты другими условными компонентами, имеющими такой же эффект. Конкретный метод может напрямую уменьшить количество компонентов, например, путем последовательного объединения импедансов. С другой стороны, он может просто изменить форму на ту, в которой компоненты могут быть уменьшены в более поздней операции. Например, можно преобразовать генератор напряжения в генератор тока, используя теорему Нортона, чтобы впоследствии иметь возможность комбинировать внутреннее сопротивление генератора с нагрузкой параллельного импеданса.

A резистивная цепь - это цепь, содержащая только резисторы, идеальные источники тока и идеальные источники напряжения. Если источники являются постоянными (DC ) источниками, результатом будет цепь постоянного тока. Анализ схемы состоит из определения напряжений и токов, присутствующих в цепи. Изложенные здесь принципы решения также применимы к фазовому анализу цепей переменного тока.

Две цепи считаются эквивалентными по отношению к паре клемм, если напряжение на выводах и ток через выводы для одной сети имеют такое же соотношение, как напряжение и ток на выводах другой сети.

Если $V 2 = V 1 {\ displaystyle V_ {2} = V_ {1}}$ $V_2 = V_1$ подразумевает $I 2 = I 1 {\ displaystyle I_ {2} = I_ {1}}$ $I_2 = I_1$ для всех (реальных) значений $V 1 {\ displaystyle V_ {1}}$ $V_ {1}$ , затем относительно клемм ab и xy, схема 1 и схема 2 эквивалентны.

Приведенного выше определения достаточно для однопортовой сети. Для более чем одного порта необходимо определить, что токи и напряжения между всеми парами соответствующих портов должны иметь одинаковую взаимосвязь. Например, сети «звезда» и «треугольник» фактически представляют собой сети с тремя портами и, следовательно, требуют трех одновременных уравнений, чтобы полностью определить их эквивалентность.

Последовательные и параллельные импедансы

Любая двухконтактная сеть сопротивлений может в конечном итоге быть уменьшена до одного импеданса путем последовательного приложения импедансов последовательно или параллельно.

Импедансы в серии : $Z e q = Z 1 + Z 2 + ⋯ + Z n. {\ displaystyle Z _ {\ mathrm {eq}} = Z_ {1} + Z_ {2} + \, \ cdots \, + Z_ {n}.}$ ${\ displaystyle Z _ {\ mathrm {eq}} = Z_ {1} + Z_ {2} + \, \ cdots \, + Z_ {n}.}$

Импедансы в параллельном : $1 Z экв = 1 Z 1 + 1 Z 2 + ⋯ + 1 Z n. {\ displaystyle {\ frac {1} {Z _ {\ mathrm {eq}}}} = {\ frac {1} {Z_ {1}}} + {\ frac {1} {Z_ {2}}} + \, \ cdots \, + {\ frac {1} {Z_ {n}}}.}$ $\ frac {1} {Z_ \ mathrm {eq}} = \ frac {1} {Z_1} + \ frac {1} {Z_2} + \, \ cdots \, + \ frac {1} {Z_n}.$

Вышеупомянутое упрощено только для двух параллельных импедансов:

Z eq = Z 1 Z 2 Z 1 + Z 2. {\ displaystyle Z _ {\ mathrm {eq}} = {\ frac {Z_ {1} Z_ {2}} {Z_ {1} + Z_ {2}}}.}

Z_ \ mathrm {eq} = \ frac {Z_1Z_2} {Z_1 + Z_2}.

Преобразование дельта-звезда

A сеть сопротивлений с более чем двумя выводами не может быть сведена к одной эквивалентной схеме полного сопротивления. Сеть с n терминалами в лучшем случае может быть уменьшена до n импедансов (в худшем случае C 2). Для сети с тремя терминалами три импеданса могут быть выражены как сеть с тремя дельта-узлами (Δ) или сеть с четырьмя узлами звезда (Y). Эти две сети эквивалентны, и ниже приведены преобразования между ними. Обычная сеть с произвольным числом узлов не может быть уменьшена до минимального числа импедансов, используя только последовательные и параллельные комбинации. Как правило, также должны использоваться преобразования Y-Δ и Δ-Y. Для некоторых сетей также может потребоваться расширение Y-Δ до преобразования звезда-многоугольник.

Для обеспечения эквивалентности импедансы между любой парой клемм должны быть одинаковыми для обеих сетей, в результате получается набор из трех одновременных уравнений. Приведенные ниже уравнения выражены как сопротивления, но в равной мере применимы и к общему случаю с импедансами.

Уравнения преобразования дельты в звезду

R a = R ac R ab R ac + R ab + R bc {\ displaystyle R_ {a} = {\ frac {R _ {\ mathrm {ac}) } R _ {\ mathrm {ab}}} {R _ {\ mathrm {ac}} + R _ {\ mathrm {ab}} + R _ {\ mathrm {bc}}}}}

R_a = \ frac {R_ \ mathrm {ac} R_ \ mathrm {ab}} {R_ \ mathrm {ac} + R_ \ mathrm {ab} + R_ \ mathrm {bc}}

R b = R ab R bc R ac + R ab + R bc {\ displaystyle R_ {b} = {\ frac {R _ {\ mathrm {ab}} R _ {\ mathrm {bc}}} {R _ {\ mathrm {ac}} + R _ {\ mathrm {ab}} + R _ {\ mathrm {bc}}}}

R_b = \ frac {R_ \ mathrm {ab} R_ \ mathrm {bc}} {R_ \ mathrm {ac} + R_ \ mathrm {ab} + R_ \ mathrm {bc}}

R c = R bc R ac R ac + R ab + R bc {\ displaystyle R_ {c} = {\ frac {R _ {\ mathrm {bc}} R _ {\ mathrm {ac}}} {R _ {\ mathrm {ac}} + R _ {\ mathrm {ab}} + R _ {\ mathrm {bc}}}}}

R_c = \ frac {R_ \ mathrm {bc} R_ \ mathrm {ac}} {R_ \ mathrm {ac} + R_ \ mathrm {ab} + R_ \ mathrm {bc}}

От звезды до -уравнения преобразования дельты

R ac = R a R b + R b R c + R c R a R b {\ displaystyle R _ {\ mathrm {ac}} = {\ frac {R_ {a} R_ {b} + R_ {b} R_ {c} + R_ {c} R_ {a}} {R_ {b}}}}

R_ \ mathrm {ac} = \ frac {R_aR_b + R_bR_c + R_cR_a} {R_b}

R ab = R a R b + R b R c + R c R a R c { \ Displaystyle R _ {\ mathrm {ab}} = {\ frac {R_ {a} R_ {b} + R_ {b} R_ {c} + R_ {c} R_ {a}} {R_ {c}}}}

R_ \ mathrm {ab} = \ frac {R_aR_b + R_bR_c + R_cR_a} {R_c}

р bc = р a р b + р б р с + р с р a R a {\ displaystyle R _ {\ mathrm {bc}} = {\ frac {R_ {a} R_ {b} + R_ {b } R_ {c} + R_ {c} R_ {a}} {R_ {a}}}}

R_ \ mathrm {bc} = \ frac {R_aR_b + R_bR_c + R_cR_a} {R_a}

Общая форма o f Устранение сетевого узла

Преобразование «звезда-треугольник» и преобразование последовательного резистора являются частными случаями общего алгоритма исключения сетевого узла резистора. Любой узел, соединенный резисторами $N {\ displaystyle N}$ $N$ ( $R 1 {\ displaystyle R_ {1}}$ $R_ {1}$ .. $RN {\ displaystyle R_ {N}}$ $R_N$ ) к узлам 1 .. N можно заменить на $(N 2) {\ displaystyle {N \ choose 2}}$ ${N \ выберите 2 }$ резисторы, соединяющие между собой оставшиеся узлы $N {\ displaystyle N}$ $N$ . Сопротивление между любыми двумя узлами $x {\ displaystyle x}$ $x$ и $y {\ displaystyle y}$ $y$ определяется по формуле:

R xy = R x R Y ∑ я знак равно 1 N 1 R я {\ Displaystyle R _ {\ mathrm {xy}} = R_ {x} R_ {y} \ sum _ {i = 1} ^ {N} {\ frac {1} {R_ { i}}}}

R_ \ mathrm {xy} = R_xR_y \ sum_ {i = 1} ^ N \ frac {1} {R_i}

Для звезды-треугольника ( $N = 3 {\ displaystyle N = 3}$ $N = 3$ ) это сокращается до:

R ab = R a R b (1 R a + 1 R b + 1 R c) = R a R b (R a R b + R a R c + R b R c) R a R b R c = R a R b + R b R c + R c R a R c {\ displaystyle R _ {\ mathrm {ab}} = R_ {a} R_ {b} ({\ frac {1} {R}} _ {a} + {\ frac {1} { R}} _ {b} + {\ frac {1} {R}} _ {c}) = {\ frac {R_ {a} R_ {b} (R_ {a} R_ {b} + R_ {a}) R_ {c} + R_ {b} R_ {c})} {R_ {a} R_ {b} R_ {c}}} = {\ frac {R_ {a} R_ {b} + R_ {b} R_ { c} + R_ {c} R_ {a}} {R_ {c}}}}

R_\mathrm{ab} = R_aR_b(\frac 1 R_a+\frac 1 R_b+\frac 1 R_c) = \frac{R_aR_b(R_aR_b+R_aR_c+R_bR_c)}{R_aR_bR_c}=\frac{R_aR_b + R_bR_c + R_cR_a}{R_c}

Для сокращения ряда ( $N = 2 {\ displaystyle N = 2}$ $N = 2$ ) это уменьшает на:

R ab = R a R b (1 R a + 1 R b) = R a R b (R a + R b) R a R b = R a + R b {\ displaystyle R _ {\ mathrm {ab}} = R_ {a} R_ {b} ({\ frac {1} {R}} _ {a} + {\ frac {1} {R}} _ {b}) = {\ frac {R_ {a} R_ {b} (R_ {a} + R_ {b})} {R_ {a} R_ {b}}} = R_ {a} + R_ {b}}

R_ \ mathrm {ab} = R_aR_b (\ frac 1 R_a + \ frac 1 R_b) = \ frac {R_aR_b (R_a + R_b)} {R_aR_b} = R_a + R_b

Для болтающегося резистора ( $N = 1 {\ displaystyle N = 1}$ $N = 1$ ) это приводит к исключению резистора, поскольку $(1 2) = 0 {\ displaystyle {1 \ choose 2} = 0}$ ${ 1 \ choose 2} = 0$ .

Преобразование источника

Генератор с внутренним импедансом (т.е. неидеальный генератор) может быть представлен либо как идеальный генератор напряжения, либо как идеальный генератор тока плюс импеданс. Эти две формы эквивалентны, и преобразования приведены ниже. Если две сети эквивалентны относительно клемм ab, то V и I должны быть идентичны для обеих сетей. Таким образом,

V s = RI s {\ displaystyle V _ {\ mathrm {s}} = RI _ {\ mathrm {s}} \, \!}

V_ \ mathrm {s} = RI_ \ mathrm {s} \, \!

или

I s = V s R {\ displaystyle I _ {\ mathrm {s}} = {\ frac {V _ {\ mathrm {s}}} {R}}}

I_ \ mathrm {s} = \ frac {V_ \ mathrm {s}} {R}

Теорема Нортона утверждает, что любую двуперминальную линейную сеть можно редуцировать к идеальному генератору тока и параллельному сопротивлению.
Теорема Тевенина утверждает, что любую двухконтактную линейную сеть можно свести к идеальному генератору напряжения плюс последовательный импеданс.

Простые сети

Некоторые очень простые сети можно анализировать без применения более систематических подходов.

Разделение напряжений между последовательными компонентами

Рассмотрим n полных сопротивлений, которые соединены в серии . Напряжение $V i {\ displaystyle V_ {i}}$ $V_ {i}$ на любом импедансе $Z i {\ displaystyle Z_ {i}}$ $Z_ {i}$ равно

V i = Z я I знак равно (Z я Z 1 + Z 2 + ⋯ + Z N) V {\ displaystyle V_ {i} = Z_ {i} I = \ left ({\ frac {Z_ {i}} {Z_ {1}) + Z_ {2} + \ cdots + Z_ {n}}} \ right) V}

V_i = Z_iI = \ left (\ frac {Z_i} {Z_1 + Z_2 + \ cdots + Z_n} \ right) V

Текущее разделение параллельных компонентов

Рассмотрим n импедансов, которые соединены в параллельном . Ток $I i {\ displaystyle I_ {i}}$ $I_ {i}$ через любой импеданс $Z i {\ displaystyle Z_ {i}}$ $Z_ {i}$ равен

I i = ((1 Z я) (1 Z 1) + (1 Z 2) + ⋯ + (1 Z n)) I {\ displaystyle I_ {i} = \ left ({\ frac {\ left ({\ frac {1 } {Z_ {i}}} \ right)} {\ left ({\ frac {1} {Z_ {1}}} \ right) + \ left ({\ frac {1} {Z_ {2}}} \ right) + \, \ cdots \, + \ left ({\ frac {1} {Z_ {n}}} \ right)}} \ right) I}

I_i = \ left (\ frac {\ left (\ frac {1} {Z_i} \ right)} {\ left (\ frac {1} {Z_1} \ right) + \ left (\ frac {1} {Z_2} \ right) + \, \ cdots \, + \ left (\ frac {1} {Z_n} \ right)} \ right) I

для $i = 1, 2,..., п. {\ displaystyle i = 1,2,..., n.}$ $i = 1,2,..., n.$

Особый случай: текущее деление двух параллельных компонентов

I 1 = (Z 2 Z 1 + Z 2) I {\ displaystyle I_ {1 } = \ left ({\ frac {Z_ {2}} {Z_ {1} + Z_ {2}}} \ right) I}

I_1 = \ left (\ frac {Z_2} {Z_1 + Z_2} \ right) I

I 2 = (Z 1 Z 1 + Z 2) I {\ displaystyle I_ {2} = \ left ({\ frac {Z_ {1}} {Z_ {1} + Z_ {2}}} \ right) I}

I_2 = \ left (\ frac {Z_1} {Z_1 + Z_2} \ right) I

Узловой анализ

1. Обозначьте все узлы в цепи. Произвольно выберите любой узел в качестве ссылки.

2. Определите переменную напряжения от каждого оставшегося узла до ссылки. Эти переменные напряжения должны быть определены как напряжение возрастает относительно опорного узла.

3. Напишите уравнение KCL для каждого узла, кроме эталона.

4. Решите получившуюся систему уравнений.

Анализ сетки

Сетка - цикл, не содержащий внутреннего цикла.

1. Подсчитайте количество «оконных стекол» в схеме. Назначьте текущую сетку для каждой оконной панели.

2. Напишите уравнение KVL для каждой сетки, ток которой неизвестен.

3. Решите полученные уравнения

Суперпозиция

В этом методе поочередно рассчитывается эффект каждого генератора. Все генераторы, кроме рассматриваемого, снимаются и либо замыкаются накоротко в случае генераторов напряжения, либо размыкаются в случае генераторов тока. Затем рассчитывается общий ток или общее напряжение на конкретной ветви путем суммирования всех отдельных токов или напряжений.

В основе этого метода лежит допущение, что полный ток или напряжение является линейной суперпозицией его частей. Следовательно, метод нельзя использовать при наличии нелинейных компонентов. Анализ сетки и анализ узлов также неявно используют суперпозицию, поэтому они тоже применимы только к линейным цепям. Суперпозицию мощностей нельзя использовать для определения полной мощности, потребляемой элементами даже в линейных цепях. Мощность изменяется в зависимости от квадрата общего напряжения или тока, и квадрат суммы обычно не равен сумме квадратов. Полная мощность в элементе может быть найдена путем применения суперпозиции к напряжениям и току независимо друг от друга, а затем вычисления мощности из общего напряжения и тока.

Выбор метода

Выбор метода в некоторой степени дело вкуса. Если сеть особенно проста или требуется только определенный ток или напряжение, то специальное применение некоторых простых эквивалентных схем может дать ответ без обращения к более систематическим методам.

Узловой анализ : количество переменных напряжения и, следовательно, одновременных уравнений, которые необходимо решить, равно количеству узлов минус один. Каждый источник напряжения соединен с опорным узлом уменьшает число неизвестных и уравнений одной
Сетка анализ :. Количество текущих переменных, и, следовательно, система уравнений для решения, равно числу ячеек. Каждый источник тока в сетке уменьшает количество неизвестных на единицу. Анализ сетки можно использовать только с сетями, которые можно нарисовать как планарную сеть, то есть без пересекающихся компонентов.
Суперпозиция, возможно, является наиболее простым в концептуальном плане методом, но быстро приводит к большое количество уравнений и беспорядочные комбинации импеданса по мере того, как сеть становится больше.

Приближения эффективной среды : Для сети, состоящей из высокой плотности случайных резисторов, точное решение для каждого отдельного элемента может быть непрактичным или невозможным. Вместо этого, эффективное сопротивление и свойства распределения тока могут быть смоделированы в терминах измерений графика и геометрических свойств сетей.

Передаточная функция

A Передаточная функция выражает взаимосвязь между входом и выход в сеть. Для резистивных сетей это всегда будет простое действительное число или выражение, которое сводится к действительному числу. Резистивные сети представлены системой одновременных алгебраических уравнений. Однако в общем случае линейных сетей сеть представлена системой одновременных линейных дифференциальных уравнений. В сетевом анализе, вместо прямого использования дифференциальных уравнений, обычно сначала выполняется преобразование Лапласа, а затем результат выражается через параметр Лапласа s, который в целом составляет комплекс. Это описано как работающее в s-домене. Непосредственная работа с уравнениями будет описана как работа во временной (или t) области, потому что результаты будут выражены как переменные во времени. Преобразование Лапласа - это математический метод преобразования между s-областью и t-областью.

Этот подход является стандартным в теории управления и полезен для определения стабильности системы, например, в усилителе с обратной связью.

Передаточные функции двух оконечных компонентов

Для двух оконечных компонентов передаточная функция или, в более общем смысле, для нелинейных элементов, определяющее уравнение, является соотношением между текущими вход в устройство и результирующее напряжение на нем. Таким образом, передаточная функция Z (s) будет иметь единицы импеданса - Ом. Для трех пассивных компонентов в электрических сетях передаточные функции:

Резистор	$Z (s) = R {\ displaystyle Z (s) = R \, \!}$ $Z (s) = R \, \!$
Индуктор	$Z (s) = s L {\ displaystyle Z (s) = sL \, \!}$ $Z (s) = sL \, \!$
Конденсатор	$Z (s) = 1 s C {\ displaystyle Z (s) = {\ frac {1} {sC}}}$ $Z (s) = \ frac {1} {sC}$

Для сети, в которой только постоянный применяются сигналы, s заменяется на jω, и в результате получаются более знакомые значения из теории сетей переменного тока.

Резистор	$Z (j ω) = R {\ displaystyle Z (j \ omega) = R \, \!}$ $Z (j \ omega) = R \, \!$
индуктор	$Z (j ω) = j ω L {\ displaystyle Z (j \ omega) = j \ omega L \, \!}$ $Z (j \ omega) = j \ omega L \, \!$
конденсатор	$Z (j ω) = 1 j ω C {\ displaystyle Z (j \ omega) = {\ frac {1} {j \ omega C}}}$ $Z (j \ omega) = \ frac {1} {j \ omega C}$

Наконец, для сети, к которой применяется только устойчивый постоянный ток, s заменяется нулем и применяется теория сети постоянного тока.

Резистор	$Z = R {\ displaystyle Z = R \, \!}$ $Z = R \, \!$
Индуктор	$Z = 0 {\ displaystyle Z = 0 \, \!}$ $Z=0\,\!$
Конденсатор	$Z = ∞ {\ displaystyle Z = \ infty \, \!}$ $Z = \ infin \, \!$

Передаточная функция двухпортовой сети

Передаточные функции, как правило, в теории управления обозначаются символом H (s). Чаще всего в электронике передаточная функция определяется как отношение выходного напряжения к входному напряжению и обозначается символом A (s) или, что более часто (поскольку анализ неизменно выполняется в терминах синусоидальной характеристики), A (jω), поэтому который;

$A (j ω) = V o V i {\ displaystyle A (j \ omega) = {\ frac {V_ {o}} {V_ {i}}}}$ $A (j \ omega) = \ frac {V_o} {V_i}$

A означает затухание, или усиление, в зависимости от контекста. Как правило, это будет сложная функция от jω, которую можно получить из анализа импедансов в сети и их индивидуальных передаточных функций. Иногда аналитика интересует только величина усиления, а не фазовый угол. В этом случае комплексные числа могут быть исключены из передаточной функции и записаны как;

$A (ω) = | V o V i | {\ displaystyle A (\ omega) = \ left | {\ frac {V_ {o}} {V_ {i}}} \ right |}$ $A (\ omega) = \ left | {\ frac {V_o} {V_i}} \ right |$

Два параметра порта

Концепция двухпортового сеть портов может быть полезна при анализе сети как метод анализа черного ящика. Поведение двухпортовой сети в более крупной сети можно полностью охарактеризовать без обязательного указания чего-либо о внутренней структуре. Однако для этого необходимо иметь больше информации, чем просто A (jω), описанное выше. Можно показать, что для полной характеристики двухпортовой сети требуется четыре таких параметра. Это могут быть прямая передаточная функция, входной импеданс, обратная передаточная функция (то есть напряжение, возникающее на входе, когда напряжение подается на выход) и выходное сопротивление. Есть много других (полный список см. В основной статье), один из которых выражает все четыре параметра как импедансы. Обычно четыре параметра выражают в виде матрицы;

$[V 1 V 0] = [z (j ω) 11 z (j ω) 12 z (j ω) 21 z (j ω) 22] [I 1 I 0] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix) } V_ {1} \\ V_ {0} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} z (j \ omega) _ {11} z (j \ omega) _ {12} \\ z (j \ omega) _ {21} z (j \ omega) _ {22} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} I_ {1} \\ I_ {0} \ end {bmatrix}}}$ $\ begin {bmatrix} V_1 \\ V_0 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} z (j \ omega) _ {11} z (j \ omega) _ {12} \\ z (j \ omega) _ {21} z (j \ omega) _ {22} \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} I_1 \\ I_0 \ end {bmatrix}$

Матрица может быть сокращено до репрезентативного элемента;

$[z (j ω)] {\ displaystyle \ left [z (j \ omega) \ right]}$ $\ left [z (j \ omega) \ right]$ или просто $[z] {\ displaystyle \ left [z \ right] }$ $\ left [z \ right]$

Эти концепции могут быть распространены на сети с более чем двумя портами. Однако в реальности это делается редко, потому что во многих практических случаях порты считаются либо чисто входными, либо чисто выходными. Если игнорировать функции передачи в обратном направлении, многопортовая сеть всегда может быть разложена на несколько двухпортовых сетей.

Распределенные компоненты

Если сеть состоит из дискретных компонентов, анализ с использованием двухпортовых сетей является вопросом выбора, а не существенным. Сеть всегда можно альтернативно проанализировать с точки зрения ее передаточных функций отдельных компонентов. Однако, если сеть содержит распределенные компоненты, например, в случае линии передачи, то анализировать с точки зрения отдельных компонентов невозможно, поскольку они не существуют. Самый распространенный подход к этому - смоделировать линию как двухпортовую сеть и охарактеризовать ее с помощью двухпортовых параметров (или чего-то эквивалентного им). Другой пример этого метода - моделирование несущих, пересекающих базовую область в высокочастотном транзисторе. Базовая область должна быть смоделирована как распределенное сопротивление и емкость, а не как сосредоточенные компоненты.

Анализ изображения

Линии передачи и некоторые типы конструкции фильтров используют метод изображения для определения своих параметров передачи. В этом методе рассматривается поведение бесконечно длинной каскадно соединенной цепочки одинаковых сетей. Затем для этой бесконечно длинной цепи рассчитываются входной и выходной импедансы, а также функции прямой и обратной передачи. Хотя теоретические значения, полученные таким образом, никогда не могут быть точно реализованы на практике, во многих случаях они служат очень хорошим приближением для поведения конечной цепи, если она не слишком коротка.

Нелинейные сети

Большинство электронных конструкций, в действительности, нелинейны. Очень немногие из них не включают некоторые полупроводниковые устройства. Они всегда нелинейны, передаточная функция идеального полупроводника p-n-переход задается очень нелинейной зависимостью;

я = I о (е v V T - 1) {\ displaystyle i = I_ {o} (e ^ {\ frac {v} {V_ {T}}} - 1)}

i = I_o (e ^ {\ frac {v} {V_T}} - 1)

где;

i и v - мгновенные ток и напряжение.
Io- произвольный параметр, называемый током обратной утечки, значение которого зависит от конструкции устройства.
VT- параметр, пропорциональный температуре, называемый тепловым напряжением, и равный примерно до 25 мВ при комнатной температуре.

Есть много других способов появления нелинейности в сети. Все методы, использующие линейную суперпозицию, не работают, если присутствуют нелинейные компоненты. Существует несколько вариантов решения проблемы нелинейности в зависимости от типа схемы и информации, которую аналитик желает получить.

Основные уравнения

Вышеприведенное уравнение диода является примером основного уравнения элемента общей формы,

f (v, i) = 0 {\ displaystyle f (v, i) = 0 \,}

f (v, i) = 0 \,

Это можно рассматривать как нелинейный резистор. Соответствующие определяющие уравнения для нелинейных катушек индуктивности и конденсаторов соответственно:

е (v, φ) знак равно 0 {\ displaystyle f (v, \ varphi) = 0 \,}

f (v, \ varphi) = 0 \,

f (v, q) = 0 {\ displaystyle f (v, q) = 0 \, }

f (v, q) = 0 \,

где f - любая произвольная функция, φ - накопленный магнитный поток, а q - накопленный заряд.

Существование, уникальность и стабильность

Важным аспектом нелинейного анализа является вопрос уникальности. Для сети, состоящей из линейных компонентов, всегда будет одно и только одно уникальное решение для данного набора граничных условий. В нелинейных цепях это не всегда так. Например, линейный резистор с фиксированным током, приложенным к нему, имеет только одно решение для напряжения на нем. С другой стороны, нелинейный туннельный диод имеет до трех решений для напряжения при заданном токе. То есть конкретное решение для тока через диод не является уникальным, могут быть и другие, равнозначные. В некоторых случаях решения может не быть вовсе: необходимо рассмотреть вопрос о существовании решения.

Еще одно важное соображение - это вопрос стабильности. Может существовать конкретное решение, но оно может быть нестабильным и быстро отклоняться от этой точки при малейшем раздражении. Можно показать, что сеть, которая является абсолютно стабильной для всех условий, должна иметь одно и только одно решение для каждого набора условий.

Методы

Логический анализ коммутационных сетей

Переключающее устройство - это устройство, в котором нелинейность используется для создания двух противоположных состояний. КМОП-устройства в цифровых схемах, например, имеют свой выход, подключенный либо к положительной, либо к отрицательной шине питания, и никогда не обнаруживаются где-либо между ними, за исключением переходного периода, когда устройство переключается. Здесь нелинейность рассчитана на крайнюю степень, и аналитик может воспользоваться этим фактом. Эти типы сетей могут быть проанализированы с помощью логической алгебры путем присвоения двух состояний («включено» / «выключено», «положительное» / «отрицательное» или любые другие используемые состояния) логическим константам «0». "и" 1 ".

Переходные процессы игнорируются в этом анализе вместе с любым незначительным расхождением между состоянием устройства и номинальным состоянием, присвоенным логическому значению. Например, логическая «1» может быть присвоена состоянию + 5В. Выход устройства может быть +4,5 В, но аналитик все равно считает это логическим "1". Производители устройств обычно указывают диапазон значений в своих таблицах данных, которые следует считать неопределенными (т.е. результат будет непредсказуемым).

Переходные процессы не совсем неинтересны аналитику. Максимальная скорость переключения определяется скоростью перехода из одного состояния в другое. К счастью для аналитика, для многих устройств большая часть перехода происходит в линейной части передаточной функции устройства, и для получения хотя бы приблизительного ответа можно применить линейный анализ.

Математически возможно вывести логические алгебры, которые имеют более двух состояний. Их не так много в электронике, хотя устройства с тремя состояниями встречаются довольно часто.

Разделение смещения и анализа сигналов

Этот метод используется, когда работа схемы должна быть по существу линейной, но устройства, используемые для ее реализации, нелинейны. Транзисторный усилитель является примером такой сети. Суть этой методики - разделить анализ на две части. Во-первых, смещения постоянного тока анализируются с использованием некоторого нелинейного метода. Это устанавливает рабочую точку покоя схемы. Во-вторых, характеристики схемы слабого сигнала анализируются с использованием линейного сетевого анализа. Примеры методов, которые можно использовать на обоих этапах, приведены ниже.

Графический метод анализа постоянного тока

Во многих схемах смещение постоянного тока подается на нелинейный компонент через резистор (или, возможно, сеть резисторов). Поскольку резисторы представляют собой линейные компоненты, особенно легко определить рабочую точку покоя нелинейного устройства по графику его передаточной функции. Метод заключается в следующем: из линейного анализа сети вычисляется выходная передаточная функция (то есть выходное напряжение по отношению к выходному току) для цепи резистора (ов) и генератора, управляющего ими. Это будет прямая линия (называемая линией нагрузки ), которую можно легко наложить на график передаточной функции нелинейного устройства. Точка пересечения линий - это рабочая точка покоя.

Возможно, самый простой практический метод - это вычислить (линейное) напряжение холостого хода сети и ток короткого замыкания и построить их на передаточной функции нелинейного устройства. Прямая линия, соединяющая эти две точки, является передаточной функцией сети.

В действительности разработчик схемы будет действовать в направлении, обратном описанному. Исходя из графика, представленного в листе технических данных производителя для нелинейного устройства, разработчик должен выбрать желаемую рабочую точку, а затем вычислить значения линейных компонентов, необходимых для ее достижения.

Этот метод все еще можно использовать, если смещение устройства, на которое смещается, подается через другое устройство, которое само по себе является нелинейным, например диод. Однако в этом случае график передаточной функции сети на смещаемом устройстве больше не будет прямой линией и, следовательно, будет более утомительным.

Эквивалентная схема малых сигналов

Этот метод может использоваться там, где отклонение входных и выходных сигналов в сети остается в пределах практически линейной части передаточной функции нелинейных устройств, или иначе настолько малы, что кривую передаточной функции можно считать линейной. При наборе этих конкретных условий нелинейное устройство может быть представлено эквивалентной линейной сетью. Следует помнить, что эта эквивалентная схема является полностью условной и действительна только для малых отклонений сигнала. Это совершенно неприменимо к смещению устройства по постоянному току.

Для простого устройства с двумя выводами эквивалентная схема слабого сигнала может состоять не более чем из двух компонентов. Сопротивление, равное наклону кривой v / i в рабочей точке (называемое динамическим сопротивлением) и касательное к кривой. Генератор, потому что эта касательная, как правило, не проходит через начало координат. При большем количестве клемм требуются более сложные эквивалентные схемы.

Популярной формой указания эквивалентной схемы слабого сигнала среди производителей транзисторов является использование параметров двухпортовой сети, известных как [h] параметры. Это матрица из четырех параметров, как и в случае параметров [z], но в случае параметров [h] они представляют собой гибридную смесь импедансов, проводимых сопротивлений, усиления по току и усиления по напряжению. В этой модели трехконтактный транзистор рассматривается как двухпортовая сеть, причем один из его выводов является общим для обоих портов. Параметры [h] сильно различаются в зависимости от того, какой терминал выбран в качестве общего. Наиболее важным параметром для транзисторов обычно является коэффициент усиления по прямому току h 21 в конфигурации с общим эмиттером. В технических характеристиках это обозначено h fe.

Эквивалентная схема слабого сигнала с точки зрения двухпортовых параметров приводит к концепции зависимых генераторов. То есть значение генератора напряжения или тока линейно зависит от напряжения или тока в другом месте цепи. Например, модель параметра [z] приводит к зависимым генераторам напряжения, как показано на этой диаграмме;

Эквивалентная схема параметра [z], показывающая зависимые генераторы напряжения

В двухпортовой эквивалентной схеме параметров всегда будут зависимые генераторы. Это относится к параметрам [h], а также к параметрам [z] и любым другим параметрам. Эти зависимости должны быть сохранены при разработке уравнений в более крупном линейном сетевом анализе.

Кусочно-линейный метод

В этом методе передаточная функция нелинейного устройства разбита на области. Каждая из этих областей аппроксимируется прямой линией. Таким образом, передаточная функция будет линейной до определенной точки, где будет разрыв. После этого передаточная функция снова будет линейной, но с другим наклоном.

Хорошо известным применением этого метода является аппроксимация передаточной функции диода с pn переходом. Передаточная функция идеального диода приведена в верхней части этого (нелинейного) раздела. Однако эта формула редко используется в сетевом анализе, вместо этого используется кусочная аппроксимация. Можно видеть, что ток диода быстро уменьшается до -I o по мере падения напряжения. Этот ток для большинства целей настолько мал, что его можно игнорировать. С увеличением напряжения ток увеличивается экспоненциально. Диод моделируется как разомкнутая цепь до изгиба экспоненциальной кривой, а затем после этой точки как резистор, равный сопротивлению полупроводникового материала.

Общепринятые значения напряжения в точке перехода составляют 0,7 В для кремниевых устройств и 0,3 В для германиевых устройств. Еще более простая модель диода, иногда используемая в коммутационных приложениях, - это короткое замыкание для прямого напряжения и разрыв цепи для обратного напряжения.

Модель pn-перехода с прямым смещением, имеющего приблизительно постоянное значение 0,7 В, также является часто используемым приближением для напряжения перехода база-эмиттер транзистора в конструкции усилителя.

Кусочный метод аналогичен методу малого сигнала в том, что методы линейного сетевого анализа могут применяться только в том случае, если сигнал остается в определенных пределах. Если сигнал пересекает точку разрыва, модель больше не пригодна для целей линейного анализа. Однако модель имеет преимущество перед слабым сигналом в том, что она в равной степени применима к сигналу и смещению постоянного тока. Следовательно, они могут быть проанализированы в рамках одних и тех же операций и могут быть линейно наложены друг на друга.

Компоненты, изменяющиеся во времени

В линейном анализе предполагается, что компоненты сети неизменны, но в некоторых схемах это не применяется, например, в генераторах развертки, с управлением напряжением усилители и переменные эквалайзеры. Во многих случаях изменение значения компонента является периодическим. Нелинейная составляющая, возбуждаемая периодическим сигналом, например, может быть представлена как периодически изменяющаяся линейная составляющая. Сидни Дарлингтон раскрыл способ анализа таких периодических изменяющихся во времени схем. Он разработал канонические формы схем, которые аналогичны каноническим формам Рональда М. Фостера и Вильгельма Кауэра, используемых для анализа линейных схем.

Теория векторных схем

Обобщение теории цепей, основанной на скалярных величинах, на векторные токи является необходимостью для новых развивающиеся схемы, такие как схемы вращения. Обобщенные переменные схемы состоят из четырех компонентов: скалярного тока и векторного спинового тока в направлениях x, y и z. Напряжения и токи становятся векторными величинами с проводимостью, описываемой как матрица спиновой проводимости 4x4.

См. Также

Ссылки

Внешние ссылки

Методы анализа цепей - включает анализ узлов / сеток, суперпозицию и преобразование венина / нортона
Узловой анализ цепей ОУ
Анализ резистивных цепей
Законы, примеры и решения, связанные с анализом цепей
Самин Ахмед Хан, Теоретический подход к сетям резисторов, Физическое образование, Том 29, № 4, статья Число: 5 (октябрь – декабрь 2013 г.).