Узловой анализ

Текущий закон Кирхгофа является основой узлового анализа.

В анализе электрических цепей, узловом анализе, анализе узлового напряжения или методе тока ветви - это метод определения напряжения (разности потенциалов ) между «узлами » (точками, где элементы или ветви соединяются) в электрической цепи в терминах ответвленных токов.

При анализе цепи с использованием законов цепи Кирхгофа можно выполнить узловой анализ с использованием закона тока Кирхгофа (KCL) или анализ сетки с использованием закона напряжения Кирхгофа (KVL). Узловой анализ записывает уравнение в каждом электрическом узле, требуя, чтобы токи ответвления, падающие в узел, суммировались до нуля. Токи ответвлений записываются через напряжения узлов схемы. Как следствие, определяющее отношение каждой ветви должно давать ток как функцию напряжения; представление допуска. Например, для резистора I ветвь = V ветвь * G, где G (= 1 / R) - проводимость (проводимость) резистора.

Узловой анализ возможен, когда все определяющие взаимосвязи элементов схемы имеют представление проводимости. Узловой анализ дает компактный набор уравнений для сети, которые могут быть решены вручную, если они маленькие, или могут быть быстро решены с помощью линейной алгебры на компьютере. Из-за компактной системы уравнений многие программы моделирования схем (например, SPICE ) используют узловой анализ в качестве основы. Когда элементы не имеют представлений о допустимости, можно использовать более общее расширение узлового анализа, модифицированный узловой анализ.

• 1 Процедура
• 2 Примеры
  • 2.1 Базовый случай 1
  • 2.2 Надузлы
• 3 Матричная форма для уравнения напряжения узла
• 4 См. Также
• 5 Ссылки
• 6 Внешние ссылки

1. Отметьте все подключенные сегменты проводов в цепи. Они являются узлами узлового анализа.
2. Выберите один узел в качестве заземления ссылки. Выбор не влияет на результат и является условием. Выбор узла с наибольшим количеством подключений может упростить анализ. Для схемы из N узлов количество узловых уравнений равно N − 1.
3. Назначьте переменную для каждого узла, напряжение которого неизвестно. Если напряжение уже известно, нет необходимости назначать переменную.
4. Для каждого неизвестного напряжения сформируйте уравнение, основанное на законе тока Кирхгофа (т.е. сложите все токи, выходящие из узла, и отметьте сумму равной до нуля). Ток между двумя узлами равен узлу с более высоким потенциалом минус узел с более низким потенциалом, оба делятся на сопротивление между двумя узлами.
5. Если между двумя неизвестными напряжениями есть источники напряжения, присоединитесь к два узла как надузел. Токи двух узлов объединяются в одно уравнение, и формируется новое уравнение для напряжений.
6. Решите систему одновременных уравнений для каждого неизвестного напряжения.

Базовый случай 1 Базовый пример схемы с одним неизвестным напряжением, V 1.

Единственное неизвестное напряжение в этой цепи - V 1. Есть три подключения к этому узлу и, следовательно, три тока, которые следует учитывать. Направление токов при расчетах выбирается дальше от узла.

1. Ток через резистор R 1 : (V 1 - V S) / R 1
2. Ток через резистор R 2 : V 1 / R 2
3. Ток через источник тока I S : -I S

. В соответствии с законом Кирхгофа, мы получаем:

$V\; 1\; -\; VSR\; 1\; +\; V\; 1\; R\; 2\; -\; IS\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{V\_\; \{1\}\; -V\_\; \{S\}\}\; \{R\_\; \{1\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{V\_\; \{1\}\}\; \{R\_\; \{2\}\}\}\; -\; I\_\; \{S\}\; =\; 0\}$

Это уравнение может быть решено относительно V 1:

$V\; 1\; =\; (VSR\; 1\; +\; IS)\; (1\; R\; 1\; +\; 1\; R\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; V\_\; \{1\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{V\_\; \{S\}\}\; \{R1\}\}\; +\; I\_\; \{S\}\; \backslash \; right)\}\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{R\_\; \{1\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\})\; \{R\_\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\}\}\}$

Наконец, неизвестное напряжение может быть решено путем замены символов числовыми значениями. Любые неизвестные токи легко вычислить после того, как известны все напряжения в цепи.

$В\; 1\; знак\; равно\; (5\; В\; 100\; Ом\; +\; 20\; мА)\; (1100\; Ом\; +\; 1200\; Ом)\; =\; 14\; 3\; В\; \{\backslash \; displaystyle\; V\_\; \{1\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{5\; \{\backslash \; текст\; \{V\}\}\}\; \{100\; \backslash ,\; \backslash \; Omega\}\}\; +\; 20\; \{\backslash \; text\; \{mA\}\}\; \backslash \; right)\}\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{100\; \backslash ,\; \backslash \; Omega\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\; 1\}\; \{200\; \backslash ,\; \backslash \; Omega\}\}\; \backslash \; right)\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{14\}\; \{3\}\}\; \{\backslash \; text\; \{V\}\}\}$

Надузлы

В этой схеме V A находится между двумя неизвестными напряжениями и, следовательно, является супеузлом.

В этой схеме мы изначально имеем два неизвестных напряжения: V 1 и V 2. Напряжение на V 3 уже известно как V B, потому что другой вывод источника напряжения находится под потенциалом земли.

Ток, протекающий через источник напряжения V A, нельзя вычислить напрямую. Следовательно, мы не можем написать текущие уравнения ни для V 1, ни для V 2. Однако мы знаем, что тот же ток, выходящий из узла V 2, должен поступать в узел V 1. Несмотря на то, что узлы не могут быть решены по отдельности, мы знаем, что объединенный ток этих двух узлов равен нулю. Такое объединение двух узлов называется техникой надузла, и для него требуется одно дополнительное уравнение: V 1 = V 2 + V A.

Полный набор уравнений для этой схемы:

$\{V\; 1\; -\; VBR\; 1\; +\; V\; 2\; -\; VBR\; 2\; +\; V\; 2\; R\; 3\; =\; 0\; V\; 1\; =\; V\; 2\; +\; VA\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; \{\backslash \; frac\; \{V\_\; \{1\}\; -V\; \_\; \{\backslash \; text\; \{B\}\}\}\; \{R\_\; \{1\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{V\_\; \{2\}\; -V\; \_\; \{\backslash \; text\; \{B\}\}\}\; \{R\_\; \{2\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{V\_\; \{2\}\}\; \{R\_\; \{3\}\}\}\; =\; 0\; \backslash \backslash \; V\_\; \{1\}\; =\; V\_\; \{2\}\; +\; V\; \_\; \{\backslash \; text\; \{A\}\}\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{cases\}\}\}$

Подставив V 1 к первому уравнению и решая относительно V 2, получаем:

$V\; 2\; =\; (R\; 1\; +\; R\; 2)\; R\; 3\; VB\; -\; R\; 2\; R\; 3\; VA\; (R\; 1\; +\; R\; 2)\; R\; 3\; +\; R\; 1\; R\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; V\_\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(R\_\; \{1\}\; +\; R\_\; \{2\})\; R\_\; \{3\}\; V\; \_\; \{\backslash \; text\; \{B\}\}\; -\; R\_\; \{2\}\; R\_\; \{3\}\; V\; \_\; \{\backslash \; text\; \{A\}\}\}\; \{(R\_\; \{1\}\; +\; R\_\; \{2\})\; R\_\; \{3\}\; +\; R\_\; \{1\}\; R\_\; \{2\}\}\}\}$

.

В общем, для схемы с узлами $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$уравнения узлового напряжения, полученные с помощью узлового анализа, могут быть записаны в виде матричная форма, полученная следующим образом. Для любого узла $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$в KCL состояния $\sum \; j\; \ne \; k\; G\; jk\; (vk\; -\; vj)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; \backslash \; neq\; k\}\; G\_\; \{jk\}\; (v\_\; \{k\}\; -v\_\; \{j\})\; =\; 0\}$где $G\; kj\; =\; G\; jk\; \{\backslash \; displaystyle\; G\_\; \{kj\}\; =\; G\_\; \{jk\}\}$- отрицательное значение суммы проводимости между узлами $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$и $j\; \{\backslash \; displaystyle\; j\}$и $vk\; \{\; \backslash \; displaystyle\; v\_\; \{k\}\}$- напряжение узла $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$. Это означает, что $0\; =\; \sum \; J\; \ne \; К\; G\; JK\; (vk\; -\; vj)\; =\; \sum \; J\; \ne \; K\; G\; jkvk\; -\; \sum \; j\; \ne \; K\; G\; jkvj\; =\; G\; kkvk\; -\; \sum \; j\; \ne \; K\; G\; jkvj\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; \backslash \; neq\; k\}\; G\_\; \{jk\}\; (v\_\; \{k\}\; -v\_\; \{j\})\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; \backslash \; neq\; k\}\; G\_\; \{jk\}\; v\_\; \{k\}\; -\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; \backslash \; neq\; k\}\; G\_\; \{jk\}\; v\_\; \{j\}\; =\; G\_\; \{kk\}\; v\_\; \{k\}\; -\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; \backslash \; neq\; k\}\; G\_\; \{jk\}\; v\_\; \{j\}\}$где $G\; kk\; \{\backslash \; displaystyle\; G\_\; \{kk\}\}$- это сумма проводимости, подключенная к узлу $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$. Отметим, что первый член вносит линейный вклад в узел $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$через $G\; kk\; \{\backslash \; displaystyle\; G\_\; \{kk\}\}$, а второй термин вносит линейный вклад в каждый узел $j\; \{\backslash \; displaystyle\; j\}$, подключенный к узлу $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$через $G\; jk\; \{\backslash \; displaystyle\; G\_\; \{jk\}\}$со знаком минус. Если независимый источник / вход тока $ik\; \{\backslash \; displaystyle\; i\_\; \{k\}\}$также присоединен к узлу $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$, приведенное выше выражение будет обобщено на $ik\; =\; G\; kkvk\; -\; \sum \; j\; \ne \; k\; G\; jkvj\; \{\backslash \; displaystyle\; i\_\; \{k\}\; =\; G\_\; \{kk\}\; v\_\; \{k\}\; -\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; \backslash \; neq\; k\}\; G\_\; \{jk\}\; v\_\; \{j\}\; \}$. Несложно показать, что можно объединить приведенные выше уравнения узлового напряжения для всех узлов $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$и записать их в следующей матричной форме

$(G\; 11\; G\; 12\; \cdots \; G\; 1\; NG\; 21\; G\; 22\; \cdots \; G\; 2\; N\; ⋮\; ⋮\; \ddots \; ⋮\; GN\; 1\; GN\; 2\; \cdots \; GNN)\; (v\; 1\; v\; 2\; ⋮\; v\; N)\; =\; (i\; 1\; i\; 2\; ⋮\; i\; N)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\; \}\; G\_\; \{11\}\; G\_\; \{12\}\; \backslash \; cdots\; G\_\; \{1N\}\; \backslash \backslash \; G\_\; \{21\}\; G\_\; \{22\}\; \backslash \; cdots\; G\_\; \{2N\}\; \backslash \backslash \backslash \; vdots\; \backslash \; vdots\; \backslash \; ddots\; \backslash \; vdots\; \backslash \backslash \; G\_\; \{\; N1\}\; G\_\; \{N2\}\; \backslash \; cdots\; G\_\; \{NN\}\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; v\_\; \{1\}\; \backslash \backslash \; v\_\; \{2\}\; \backslash \backslash \backslash \; vdots\; \backslash \backslash \; v\_\; \{N\}\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\; \}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; i\_\; \{1\}\; \backslash \backslash \; i\_\; \{2\}\; \backslash \backslash \backslash \; vdots\; \backslash \backslash \; i\_\; \{N\}\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$

или просто

$G\; v\; =\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{Gv\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{i\}\}$

Матрица $G\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{G\}\}$в левой части уравнения сингулярна, поскольку удовлетворяет условию $G\; 1\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{G1\}\; =\; 0\}$где $1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{1\}\}$- $1\; \times \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; \backslash \; times\; N\}$матрица столбцов. Это соответствует факту сохранения тока, а именно, $\Sigma \; кик\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; сумма\; \_\; \{к\}\; i\_\; \{к\}\; =\; 0\}$, а свобода выбора опорного узла ( земля). На практике напряжение опорного узла принимается равным 0. Рассмотрим это последний узел, $v\; N\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; V\_\; \{N\}\; =\; 0\}$. В этом случае легко проверить, что результирующие уравнения для других узлов $N\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; N-1\}$остаются такими же, и поэтому можно просто отбросить последний столбец как а также последняя строка матричного уравнения. Эта процедура приводит к $(N\; -\; 1)\; \times \; (N\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; (N-1)\; \backslash \; times\; (N-1)\}$размерное невырожденное матричное уравнение с определениями всех элементов остаются неизменными.

• Анализ сетки
• Матрица Ybus
• Топология (электрические цепи)
• Сохранение заряда

• Стр. Dimo Узловой анализ энергосистем Abacus Press Kent 1975

В Викиверситете есть обучающие ресурсы по Узловому анализу

• Текущий метод ветвления
• Онлайн-решение четырех узлов
• Пример простого узлового анализа