Законы цепи Кирхгофа

Чтобы узнать о других законах, названных в честь Густава Кирхгофа, см . Законы Кирхгофа (значения).

Правила Кирхгоф два равенства, которые имеют дело с текущей и разностью потенциалов (обычно известной как напряжение) в элементе модели сосредоточенной в электрических цепях. Впервые они были описаны в 1845 году немецким физиком Густавом Кирхгофом. Это обобщило работу Георга Ома и предшествовало работе Джеймса Клерка Максвелла. Широко используемые в электротехнике, они также называются правилами Кирхгофа или просто законами Кирхгофа. Эти законы могут применяться во временной и частотной областях и составляют основу сетевого анализа.

Оба закона Кирхгофа можно понимать как следствия уравнений Максвелла в низкочастотном пределе. Они точны для цепей постоянного тока и для цепей переменного тока на частотах, где длины волн электромагнитного излучения очень велики по сравнению с цепями.

СОДЕРЖАНИЕ

• 1 Действующий закон Кирхгофа
  • 1.1 Использование
• 2 Закон Кирхгофа по напряжению
  • 2.1 Обобщение
• 3 Ограничения
  • 3.1 Моделирование реальных схем с сосредоточенными элементами
• 4 Пример
• 5 См. Также
• 6 Ссылки
• 7 Внешние ссылки

Действующий закон Кирхгофа

Ток, входящий в любое соединение, равен току, выходящему из этого соединения. я 2 + я 3 знак равно я 1 + я 4

Этот закон, называемый также первым законом Кирхгофа, правила точки Кирхгофа, или правила перехода Кирхгофа (или узловая правило), утверждает, что для любого узла (соединения) в качестве электрической цепи, сумма токов, текущих в этом узле равна сумме токов, исходящих из этого узла; или эквивалентно:

Алгебраическая сумма токов в сети проводников, сходящихся в одной точке, равна нулю.

Вспоминая, что ток - это величина со знаком (положительная или отрицательная), отражающая направление к узлу или от него, этот принцип можно кратко сформулировать следующим образом:

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} {I} _ {k} = 0}$

где n - общее количество ветвей, по которым токи текут к узлу или от него.

Закон основан на сохранении заряда, где заряд (измеренный в кулонах) является произведением силы тока (в амперах) на время (в секундах). Если чистый заряд в области постоянен, текущий закон будет действовать на границах области. Это означает, что текущий закон основан на том факте, что чистый заряд в проводах и компонентах постоянен.

Использует

Матрица версия действующего закона Кирхгоф является основой большинства моделирования схемы программного обеспечения, такими как SPICE. Текущий закон используется с законом Ома для выполнения узлового анализа.

Действующий закон применим к любой сосредоточенной сети независимо от ее характера; односторонние или двусторонние, активные или пассивные, линейные или нелинейные.

Закон напряжения Кирхгофа

Сумма всех напряжений в контуре равна нулю. v 1 + v 2 + v 3 + v 4 = 0

Этот закон, называемый также второй закон Кирхгофа, петля Кирхгофа (или сетки) правило, или второе правило Кирхгофа, гласит следующее:

Направленная сумма разностей потенциалов (напряжений) вокруг любого замкнутого контура равна нулю.

Аналогично закону тока Кирхгофа, закон напряжения можно сформулировать как:

${\ Displaystyle \ сумма _ {к = 1} ^ {п} V_ {k} = 0}$

Здесь n - общее количество измеренных напряжений.

Вывод закона напряжения Кирхгофа.

Подобный вывод можно найти в Лекциях Фейнмана по физике, том II, глава 22: Цепи переменного тока. Рассмотрим произвольную схему. Приближайте схему с сосредоточенными элементами так, чтобы (изменяющиеся во времени) магнитные поля содержались в каждом компоненте, а поле во внешней части схемы было незначительным. Основываясь на этом предположении, уравнение Максвелла-Фарадея показывает, что ${\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {E} = - {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}} = \ mathbf {0}}$ во внешнем регионе. Если каждый из компонентов имеет конечный объем, то внешняя область односвязна, и, таким образом, электрическое поле в этой области является консервативным. Следовательно, для любого цикла в схеме мы находим, что ${\ displaystyle \ sum V_ {i} = - \ sum \ int _ {{\ mathcal {P}} _ {i}} \ mathbf {E} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l} = \ oint \ mathbf {E} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l} = 0}$ где - пути вокруг внешней стороны каждого из компонентов от одного терминала к другому. ${\ textstyle {\ mathcal {P}} _ {я}}$ Обратите внимание, что в этом выводе используется следующее определение повышения напряжения от до: ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle V_ {a \ rightarrow b} = - \ int _ {{\ mathcal {P}} _ {a \ rightarrow b}} \ mathbf {E} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l}}$ Однако электрический потенциал (и, следовательно, напряжение) можно определить другими способами, например, с помощью разложения Гельмгольца.

Обобщение

В пределе низких частот падение напряжения вокруг любого контура равно нулю. Сюда входят воображаемые контуры, произвольно расположенные в пространстве - не ограниченные контурами, очерченными элементами схемы и проводниками. В пределе низких частот это следствие закона индукции Фарадея (который является одним из уравнений Максвелла ).

Это имеет практическое применение в ситуациях, связанных со « статическим электричеством ».

Ограничения

Законы Кирхгофа для схемы являются результатом модели с сосредоточенными элементами, и оба зависят от модели, применимой к рассматриваемой схеме. Когда модель неприменима, законы не применяются.

Текущий закон зависит от предположения, что чистый заряд в любом проводе, соединении или сосредоточенном компоненте постоянен. Когда электрическое поле между частями схемы не является незначительным, например, когда два провода имеют емкостную связь, это может быть не так. Это происходит в высокочастотных цепях переменного тока, где модель с сосредоточенными элементами больше не применима. Например, в линии передачи плотность заряда в проводнике будет постоянно колебаться.

В линии передачи чистый заряд в разных частях проводника изменяется со временем. В прямом физическом смысле это нарушает KCL.

С другой стороны, закон напряжения основан на том факте, что действие изменяющихся во времени магнитных полей ограничено отдельными компонентами, такими как индукторы. В действительности индуцированное электрическое поле, создаваемое индуктором, не ограничено, но поля утечки часто незначительны.

Моделирование реальных схем с сосредоточенными элементами

Приближение сосредоточенных элементов для схемы является точным на низких частотах. На более высоких частотах утечки потоков и различные плотности заряда в проводниках становятся значительными. В определенной степени такие схемы все еще можно моделировать с использованием паразитных компонентов. Если частоты слишком высоки, может быть более целесообразным моделировать поля напрямую, используя моделирование методом конечных элементов или другие методы.

Чтобы смоделировать схемы, чтобы можно было использовать оба закона, важно понимать разницу между физическими элементами схемы и идеальными элементами с сосредоточенными параметрами. Например, провод - не идеальный проводник. В отличие от идеального проводника, провода могут индуктивно и емкостно соединяться друг с другом (и с самими собой) и иметь конечную задержку распространения. Реальные проводники могут быть смоделированы в терминах сосредоточенных элементов с учетом паразитных емкостей, распределенных между проводниками, для моделирования емкостной связи или паразитных (взаимных) индуктивностей для моделирования индуктивной связи. Провода также имеют некоторую самоиндукцию, поэтому необходимы разделительные конденсаторы.

Пример

Предположим, электрическая сеть состоит из двух источников напряжения и трех резисторов.

Согласно первому закону:

${\ displaystyle i_ {1} -i_ {2} -i_ {3} = 0 \,}$

Применение второго закона к замкнутой цепи s 1 и замена напряжения с помощью закона Ома дает:

${\ displaystyle -R_ {2} i_ {2} + {\ mathcal {E}} _ {1} -R_ {1} i_ {1} = 0}$

Второй закон, опять же в сочетании с законом Ома, примененный к замкнутой цепи s 2, дает:

${\ displaystyle -R_ {3} i_ {3} - {\ mathcal {E}} _ {2} - {\ mathcal {E}} _ {1} + R_ {2} i_ {2} = 0}$

Это приводит к системе линейных уравнений в I 1, I 2, I 3:

${\ displaystyle {\ begin {cases} i_ {1} -i_ {2} -i_ {3} amp; = 0 \\ - R_ {2} i_ {2} + {\ mathcal {E}} _ {1} - R_ {1} i_ {1} amp; = 0 \\ - R_ {3} i_ {3} - {\ mathcal {E}} _ {2} - {\ mathcal {E}} _ {1} + R_ {2 } i_ {2} amp; = 0 \ end {cases}}}$

что эквивалентно

${\ displaystyle {\ begin {cases} i_ {1} + (- i_ {2}) + (- i_ {3}) amp; = 0 \\ R_ {1} i_ {1} + R_ {2} i_ {2 } + 0i_ {3} amp; = {\ mathcal {E}} _ {1} \\ 0i_ {1} + R_ {2} i_ {2} -R_ {3} i_ {3} amp; = {\ mathcal {E }} _ {1} + {\ mathcal {E}} _ {2} \ end {case}}}$

Предполагая

${\ Displaystyle R_ {1} = 100 \ Omega, \ R_ {2} = 200 \ Omega, \ R_ {3} = 300 \ Omega}$

${\ displaystyle {\ mathcal {E}} _ {1} = 3 {\ text {V}}, {\ mathcal {E}} _ {2} = 4 {\ text {V}}}$

решение

${\ displaystyle {\ begin {cases} i_ {1} = {\ frac {1} {1100}} {\ text {A}} \\ [6pt] i_ {2} = {\ frac {4} {275} } {\ text {A}} \\ [6pt] i_ {3} = - {\ frac {3} {220}} {\ text {A}} \ end {case}}}$

Ток i 3 имеет отрицательный знак, что означает, что предполагаемое направление i 3 было неправильным, и i 3 фактически течет в направлении, противоположном красной стрелке, обозначенной i 3. Ток в R 3 течет слева направо.

Смотрите также

• Закон индукции Фарадея
• Дисциплина сосредоточенной материи

использованная литература

• Пол, Клейтон Р. (2001). Основы анализа электрических цепей. Джон Вили и сыновья. ISBN   0-471-37195-5.
• Serway, Raymond A.; Джуэтт, Джон В. (2004). Физика для ученых и инженеров (6-е изд.). Брукс / Коул. ISBN   0-534-40842-7.
• Типлер, Пол (2004). Физика для ученых и инженеров: электричество, магнетизм, свет и элементарная современная физика (5-е изд.). WH Freeman. ISBN   0-7167-0810-8.
• Грэм, Говард Джонсон, Мартин (2002). Высокоскоростное распространение сигнала: продвинутая черная магия (10. полиграф. Ред.). Река Аппер Сэдл, штат Нью-Джерси: Prentice Hall PTR. ISBN   0-13-084408-X.

внешние ссылки

• Разделитель цепей и законы Кирхгофа, глава изсерии « Уроки электрических цепей, том 1» Бесплатная электронная книга исерия « Уроки электрических цепей »